求值域的方法,帶例題

1、1 .直接觀察法：利用常見(jiàn)函數(shù)的值域來(lái)求值域或者通過(guò)對(duì)函數(shù)定義域、性質(zhì)或者圖像的觀 察，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域。一次函數(shù)y=ax+b(a 0)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)镽;k反比例函數(shù)y -(k 0)的正義域?yàn)閤|x 0,值域?yàn)閥|y 0;x二次函數(shù)f(x) ax2 bx c(a 0)的定義域?yàn)镽,22當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)閥|y 4ac b匕當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)?y|y 4ac b j. 4a4a練習(xí)1 .求下列函數(shù)的值域y=3x+2(-1 x 1) f(x) 2有關(guān)分式函數(shù)求值域的方法2 .分離常數(shù)法：分離常數(shù)法在含有兩個(gè)量(一個(gè)常量和一個(gè)變量)的關(guān)系式(不等式或方程) 中，要求

2、變量的取值范圍，可以將變量和常量分離(即變量和常量各在式子的一端)，從而 求出變量的取值范圍。練習(xí)2.求函數(shù)f (x)xe 1xe 1的值域。3 .有解判別法:有解判別法一般用于分式函數(shù)，其分子或分母只能為二次式，并且分子、分母，沒(méi)有公因式,解題中要注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為 0的討論*例1. 求函數(shù) y=:x2一x-1值域 x x 1解：原式可化為y(x2 x 1) x2 x 1,整理得(y 1)x2 (y 1)x y 1 0,若 y=1,即 2x=0,則 x=0;若y 1,由題 0,即(y 1)2-4(y-1)20,2函數(shù) yx-2x5x的值域?yàn)閥|y?1且y?練習(xí)3 (1) y3x 1E 1)

3、 y1解得1 y 3且y 1. 1綜上：值域y| y 3.3例2.求函數(shù)y X： 5X 6的值域(注意此題分子、分母有公因式，怎么求解呢？) x2 x 6解：把已知函數(shù)化為y (x 2)(x3)上21 _6_(x?2且x?-3)(x 2)( x3)x 3 x 3由此可得y?1.11x=2 時(shí) yy55例3.求下列函數(shù)的最大值、最小值與值域:Dy x2 4x 1; y x24x 1,x 3,4;Dyx2 4x 1,x 0,1 y2x2 4x 1,x 0,5;注：對(duì)于二次函數(shù)f(x)2 axbx c(a 0),1 ./1-2 -1 O 1 2 3 4 5 6ax-1若定義域?yàn)镽時(shí),-2-3當(dāng)a&g

4、t;0時(shí),則當(dāng):時(shí),其最小值4 .二次函數(shù)在給定區(qū)間上的值域。若定義域?yàn)閤 a,b,則應(yīng)首先判定其對(duì)稱軸b2a是否屬于區(qū)間a,b.24ac b .ymin'，4a當(dāng)a<0時(shí)，則當(dāng)x卷時(shí)，其最大值ymax看若 a,b,則f (2)是函數(shù)的最小值(a>0)時(shí)或最大值(a<0)時(shí)，再比較f(a), f(b) 2a2 a的大小決定函數(shù)的最大(小)值.若 a,b,則a,b是在f(x)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，只需比較f(a), f(b)的大小即可決定函數(shù) 2a的最大(小)值.注：若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大(小)值；當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是字母時(shí)，則應(yīng)根據(jù)其對(duì)應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點(diǎn)的位置關(guān)

5、系進(jìn)行討論5 .配方法當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí)，可以利用配方法求函數(shù)值域 例4:求函數(shù)f(x)x2 x 2的值域。1練習(xí)4;設(shè)函數(shù)f(x) x2 x4(1)若定義域?yàn)? , 3,求f(x)的值域；11(2)若定義域?yàn)閍,a 1時(shí)，f(x)的值域?yàn)?求a的值.2 166 .反函數(shù)法當(dāng)函數(shù)的反函數(shù)存在時(shí)，則其反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域。例5求函數(shù)f (x) x x1的值域。2解：可求得函數(shù)f/s f (x)x 1的反函數(shù)為：一、力f(y)1 2y,其定義域?yàn)閥 w 1的實(shí)數(shù),故函數(shù)y的值域?yàn)?y I yw 1,y 口 R這種方法體現(xiàn)逆向思維的思想，是數(shù)學(xué)解題的重要方法之一7,換元法(化繁為簡(jiǎn)，化難為易)例6.求函數(shù)y 2x 4、Tx的值域解：設(shè) t v1 x 則 t 0x=1?t2代入得 y f (t) 2 (1 t2) 4t 2t2 4t 2開(kāi)口向下，對(duì)稱軸t 1 0,)t 1 時(shí)，ymaxf(1) 4;值域?yàn)?，48.分段函數(shù)y例7.求函數(shù)y=|x+1|+|x-2|