西南交通大學(xué)概率教案15(考研必備)精品名師資料

1、5.1 大數(shù)定律大數(shù)定律一、大數(shù)定律的概念一、大數(shù)定律的概念二、依概率收斂性二、依概率收斂性三、常用的大數(shù)定律三、常用的大數(shù)定律一、大數(shù)定律的概念一、大數(shù)定律的概念的的漸漸近近穩(wěn)穩(wěn)定定性性的的事事實(shí)實(shí)。明明了了平平均均結(jié)結(jié)果果大大數(shù)數(shù)定定律律的的意意義義在在于于指指 nkknxnx11定義定義1.1 設(shè)設(shè)x1,x2,是是隨機(jī)變量序列隨機(jī)變量序列, e(xk)存存在在(k=1,2,), 令令 , 若若對(duì)于任意正對(duì)于任意正數(shù)數(shù) , 有有或或則稱(chēng)則稱(chēng)xn服從大數(shù)定律服從大數(shù)定律, 或稱(chēng)或稱(chēng)大數(shù)法成立大數(shù)法成立。 nkknxnx111| )(|lim0| )(|lim nnnnnnxexpxexp二、

2、依概率收斂性二、依概率收斂性aypn定義定義1.2 設(shè)設(shè)y1,y2,是是隨機(jī)變量序列隨機(jī)變量序列, a是是一個(gè)常數(shù)一個(gè)常數(shù), 若若對(duì)于任意正數(shù)對(duì)于任意正數(shù) , 有有則稱(chēng)則稱(chēng)序列序列yn依概率收斂于依概率收斂于a, 記為記為1| )|lim aypnn注注1 一般地一般地, 若若y為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量, 對(duì)任意的對(duì)任意的 0, 滿(mǎn)足滿(mǎn)足則稱(chēng)則稱(chēng)序列序列yn依概率收斂于依概率收斂于y, 記為記為特別地特別地, 當(dāng)當(dāng)y=a時(shí)時(shí), 即為定義即為定義1.2。1|lim yypnnyypn注注3 隨機(jī)變量序列隨機(jī)變量序列x1,x2,xn,依概率收依概率收斂于斂于a, 意味著對(duì)于任意給定的正數(shù)意味著對(duì)于任意

3、給定的正數(shù) 0, 當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)充分大時(shí), 隨機(jī)事件隨機(jī)事件|xna|0, 有有 pnpnxenxnexekppxdpxepxppxpxxxxnxnkakakxnkknkknkkkknnnkkak 1)(1)1()(, 2 , 1)1()()(101, 2 , 11011211，故，故，點(diǎn)分布，即點(diǎn)分布，即相互獨(dú)立，且均服從兩相互獨(dú)立，且均服從兩注意注意則：則：，發(fā)生發(fā)生次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中若在第若在第不發(fā)生不發(fā)生次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中若在第若在第證：引入隨機(jī)變量證：引入隨機(jī)變量papannnafapnnpnppxdxexpnpppnpnxdnxndxdanannnnnnkknkkn )()(0lim0

4、)1()(| )(|0)1()1(1)(1)1()(222121發(fā)發(fā)生生的的概概率率件件增增大大時(shí)時(shí)，幾幾乎乎是是等等于于事事無(wú)無(wú)限限，當(dāng)當(dāng)發(fā)發(fā)生生的的頻頻率率件件貝貝努努利利定定理理表表明明了了某某事事即即，對(duì)對(duì)任任意意給給定定正正數(shù)數(shù)再再由由車(chē)車(chē)比比雪雪夫夫不不等等式式知知 2 2、車(chē)比雪夫、車(chē)比雪夫大數(shù)定律大數(shù)定律0|lim nnxp定理定理1.2 設(shè)設(shè)x1,x2,相互相互獨(dú)立，且具有相獨(dú)立，且具有相同的期望和方差同的期望和方差e(xk)= ，d(xk)= 2，k=1,2,，則則x1,x2,服從大數(shù)定律，即服從大數(shù)定律，即對(duì)于任意正數(shù)對(duì)于任意正數(shù) 0，有，有 pnknkknnnnnnkk

5、nkknnkknkknnxkxexnxnxxnxdxexpnxdnxndxdnnxenxnexex，即即，望望，依依概概率率接接近近于于數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期項(xiàng)項(xiàng)的的平平均均結(jié)結(jié)果果前前了了，隨隨機(jī)機(jī)變變量量車(chē)車(chē)比比雪雪夫夫大大數(shù)數(shù)定定律律說(shuō)說(shuō)明明，有有，對(duì)對(duì)任任意意正正數(shù)數(shù)故故由由切切比比雪雪夫夫不不等等式式知知的的期期望望與與方方差差為為證證明明：由由題題設(shè)設(shè)知知, 2, 1)(1,0)(| )(|0)(1)1()(1)(1)1()(1212222121113 3、辛欽、辛欽大數(shù)定律大數(shù)定律定理定理1.3 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量x1,x2,獨(dú)立同獨(dú)立同分布分布, 具有期望具有期望e(xk)= , k=

6、1,2, 則則對(duì)于任意正數(shù)對(duì)于任意正數(shù) 0, 有有 pnnnxxp，即，即1|lim2)(2)(, 2 , 1),(baxebaxenkbauxnkk ，故故，解解：因因?yàn)闉?11依依概概率率收收斂斂于于何何值值 nkknxnx例例1.1 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量x1,x2,相互相互獨(dú)立獨(dú)立, 且均且均服從區(qū)間服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布。試問(wèn)平均值上的均勻分布。試問(wèn)平均值，故故由由辛辛欽欽大大數(shù)數(shù)定定理理知知：2baxpn 。的的中中點(diǎn)點(diǎn)即即依依概概率率收收斂斂于于區(qū)區(qū)間間2),(baba pnkknkkxnxkxex11, 2 , 1)()(由辛欽大數(shù)定理知由辛欽大數(shù)定理知，故，故，解：因?yàn)榻猓阂驗(yàn)槔?.2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量x1,x2,xn,相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且均服從泊松分布均服從泊松分布 ( )，試問(wèn)當(dāng)，試