2022年八下壓軸題一次函數(shù)與幾何動點問題教師版

1、學習必備歡迎下載八年級下數(shù)學期末壓軸題精選1. 等腰三角形存在性（2017廣西柳州）23 （10 分）如圖，在四邊形 oabc 中，oa bc ，oab=90 ，o為原點，點 c的坐標為（ 2，8） ，點 b 的坐標為（ 24，8） ，點 d從點 b 出發(fā)，以每秒 1 個單位長度的速度沿bc向點 c運動，點 e同時從點 o出發(fā)，以每秒 3個單位長度的速度沿oa向 a運動，當點 e達到點 a時，點 d也停止運動，從運動開始，設 d（e）點運動的時間為t 秒（1）連接 ad ，記 ade得面積為 s，求 s 與 t 的函數(shù)關系式，寫出t 的取值范圍；（2）當 t 為何值時，四邊形abde 是矩形；

2、（3）在（2）的條件下，當四邊形abde 是矩形，在 x 軸上找一點 p，使得 adp為等腰三角形，直接寫出所有滿足要求的p點的坐標【分析】 （1）根據三角形面積公式計算即可；（2）當 bd=ae 時，四邊形 abde 是矩形，由此構建方程即可解決問題；（3）分三種情形：當ad=ap 時，當 da=dp 時，當 pd=pa 時，分別求解即可；【解答】解：（1）如圖 1 中，s= （243t ）8=12t+96（0t 8） （2）oa bd ，當 bd=ae 時，四邊形 bdea 是平行四邊形，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共

3、 24 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載oab=90 ，四邊形 abde 是矩形，t=243t ，t=6s ，當 t=6s 時，四邊形 abde 是矩形（3）分三種情形討論：由（2）可知 d （18，8） ，a（24，0） ，ad=10，當 ad=ap 時，可得 p1（14，0） ，p2（34，0） ，當 da=dp 時，可得 p3（12，0） ，當 pd=pa 時，設 pd=pa=x ，在 rtdp4e中，x2=82+（x6）2，解得 x=，p4（，0） ，綜上所述，滿足條件的點p 坐標為（ 14，0）或（ 34，0）或（ 12，0）或（，0） ；【點評】本題考查四邊形

4、的綜合題、 矩形的判定和性質、 等腰三角形的判定和性質、勾股定理等知識， 解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，學會用分類討論的思想解決問題，屬于中考壓軸題精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 24 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載2. 直角三角形存在性（2017深圳新華）如圖，在平面直角坐標系中，o是坐標原點，平行四邊形的頂點 c的坐標為（ 8，8） ，頂點 a的坐標為（ 6，0） ，邊 ab在 x 軸上，點 e為線段 ad的中點，點 f 在線段 dc上，且橫坐標為 3，直線 ef與 y 軸交于點 g ，

5、有一動點 p以每秒 1 個單位長度的速度，從點a沿折線 abcf 運動，當點 p到達點 f 時停止運動，設點p運動時間為 t 秒（1）求直線 ef的表達式及點 g的坐標；（2）點 p 在運動的過程中，設 efp的面積為 s（p 不與 f 重合） ，試求 s 與 t的函數(shù)關系式；（3）在運動的過程中，是否存在點p，使得 pgf為直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點p的坐標；若不存在，請說明理由【分析】 （1） 根據點 c的坐標可求出點 f 的縱坐標，結合題意可得出點 f 的坐標，過點 e作 eh x 軸于點 h ，利用 ahe aod ，可求出點 e的坐標，從而利用待定系數(shù)法可確定直線

6、ef的解析式，令 x=0，可得出點 g的坐標（2） 延長 he交 cd的延長線于點 m ， 討論點 p的位置，當點 p在 ab上運動時，當點 p在 bc邊上運動時，當點 p在 cf上運動時，分別利用面積相減法可求出答案（3）很明顯在 bc上存在兩個點使 pgf為直角三角形，這兩點是通過過點g作 gp ef ，過點 f作 fp ef得出來的【解答】解：（1）c（8，8） ，dc x 軸，點 f的橫坐標為 3，od=cd=8精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 24 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載點 f 的坐

7、標為（ 3，8） ，a（6，0） ，oa=6 ，ad=10 ，過點 e作 eh x 軸于點 h ，則ahe aod 又e為 ad的中點，=ah=3 ，eh=4 oh=3 點 e的坐標為（ 3，4） ，設過 e、f 的直線為 y=kx+b，直線 ef為 y=x+6，令 x=0，則 y=6，即點 g的坐標為（ 0，6） （2）延長 he交 cd的延長線于點 m ，則 em=eh=4df=3 ，sdef=34=6，且 s平行四邊形 abcd=cd?od=88=64當點 p在 ab上運動時，如圖 3，s=s平行四邊形 abcdsdefsapes四邊形 pbcfap=t，eh=4 ，sape=4t=2t

8、 ，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 24 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載s四邊形 pbcf=（5+8t ）8=524t s=64 62t （524t ） ，即：s=2t+6當點 p在 bc邊上運動時，s=s平行四邊形 abcdsdefspcfs四邊形 abpe過點 p作 pn cd于點 nc= a，sin a=，sin c= pc=18 t ，pn=pc?sin c= （18t ） cf=5 ，spcf=5（18t ）=362t 過點 b作 bk ad于點 kab=cd=8 ，bk=ab?sin a

9、=8=pb=t8，s四邊形 abpe=（t 8+5）=t s=64 6（362t ）（t ） ，即s=t+ （8 分）當點 p在 cf上運動時，pc=t18，pf=5 （t 18）=23t em=4 ，spef=4（23t ）=462t 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 24 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載綜上： s=（3）存在p1（，） p2（，） 3. 一次函數(shù)與平行四邊形：（2016 山西晉中）（1）在直角坐標系中， a（1，2） ，b（4，0） ，在圖 1 中，四邊形 abcd 為平行四邊形，

10、請寫出圖中的頂點c的坐標（5 ，2 ）精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 24 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載（2）平面內是否存在不同于圖1 的點 c，使得以 o 、a、b、c為頂點的四邊形為平行四邊形，請在圖2 中畫出滿足情況的平行四邊形，并在圖中直接標出點c的坐標（3）如圖 3，在直角坐標系中， a （1，2） ，p是 x 軸上一動點，在直線y=x 上是否存在點 q ，使以 o 、a、p、q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，畫出所有滿足情況的平行四邊形，并求出對應的q的坐標；若不存在，請說明理由【

11、分析】 （1）根據平行四邊形的性質對邊相等，即可解決問題（2）存在注意有兩種情形點c坐標根據平行四邊形的性質即可解決（3）存在如圖 3 中所示，平行四邊形aq1p1o ，平行四邊形 aoq2p2，平行四邊形aq1op2點 q的坐標根據平行四邊形的性質即可解決【解答】解：（1）如圖 1 中，四邊形 abcd 是平行四邊形，ob=ac ，ob ac ，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 24 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載a（1，2） ，b（4，0） ，ac=4 ，點 c坐標（ 5，2） 故點 c坐標為（

12、5，2） （2）存在點 c坐標如圖 2 中所示，（3）存在如圖 3 中所示，平行四邊形aq1p1o ，平行四邊形 aoq2p2，平行四邊形aq1op2點 q1（2，2） ，點 q2（2，2） 【點評】本題考查四邊形綜合題、 點與坐標的關系等知識， 解題的關鍵是學會正確畫出圖形，學會分類討論，不能漏解，屬于中考?？碱}型（2017 襄陽） 25 （11 分）如圖，平面直角坐標系中，直線l ：y=x+分別交 x 軸，y 軸于 a，b兩點，點 c在 x 軸負半軸上，且 acb=30 （1）求 a，c兩點的坐標（2）若點 m從點 c出發(fā)，以每秒 1 個單位長度的速度沿射線cb運動，連接 am ，設abm

13、 的面積為 s，點 m的運動時間為 t ，求出 s關于 t 的函數(shù)關系式，并寫出自變量的取值范圍（3）點 p是 y 軸上的點，在坐標平面內是否存在點q ，使以 a，b，p，q為頂點精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 24 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出q點的坐標；若不存在，說明理由【分析】 （1）由直線方程易得點a 的坐標在直角 boc 中，利用 30 度所對的直角邊等于斜邊的一半求出bc的長，利用勾股定理求出oc 的長，確定出 c的坐標即可；（2）先求出 abc=90

14、 ，分兩種情況考慮：當m在線段 bc上；當 m在線段 bc延長線上；表示出bm ，利用三角形面積公式分別表示出s 與 t 的函數(shù)關系式即可；（3）點 p是 y 軸上的點，在坐標平面內存在點q ，使以 a、b、p、q為頂點的四邊形是菱形，分兩種情況，如圖所示，利用菱形的性質求出aq的長，根據aq與 y 軸平行得到 q與 a橫坐標相同，求出滿足題意q得坐標即可【解答】解：（1）當 x=0 時，y=；當 y=0 時，x=1點 a坐標為（ 1，0） ，點 b坐標為（ 0，） ，在 rtboc 中，ocb=30 ， ob=，bc=2oc=3點 c坐標為（ 3，0） （2）如圖 1 所示： oa=1 ，o

15、b=，ab=2 ，abo=30 ，同理： bc=2，ocb=30 ，obc=60 ，abc=90 ，分兩種情況考慮：若m在線段 bc上時，bc=2，cm=t ，可得 bm=bc cm=2t ，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 24 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載此時 sabm=bm?ab=（2t ）2=2t （0t 2） ；若 m在 bc延長線上時， bc=2，cm=t ，可得 bm=cmbc=t2，此時 sabm=bm?ab=（t 2）2=t2（t 2） ；綜上所述， s=；（3）p是 y 軸上的點

16、，在坐標平面內存在點q ，使以 a、b、p、q為頂點的四邊形是菱形，如 2 圖所示，當 p在 y 軸正半軸上，四邊形abpq 為菱形，可得 aq=ab=2 ，且 q與 a的橫坐標相同，此時 q坐標為（1，2） ，ap=aq=，q與 a的橫坐標相同， 此時 q坐標為（1，） ，當 p在 y 軸負半軸上，四邊形abpq 為菱形，可得 aq=ab=2 ，且 q與 a橫坐標相同，此時 q坐標為（ 1，2） ，bp垂直平分 aq ，此時 q坐標為（ 1，0） ，綜上，滿足題意 q坐標為（ 1，2） 、 （1，2） 、 （1，） 、 （1，0） 【點評】此題屬于一次函數(shù)綜合題， 涉及的知識有：含 30 度

17、直角三角形的性質，勾股定理，坐標與圖形性質，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，菱形的性質，利用了分類討論的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題第二問的關鍵精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 24 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載4. 一次函數(shù)與矩形 : （2017 重慶江津） 26 （12 分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=mx+n（m 0）的圖象與 x 軸交于點 a（3，0） ，與 y 軸交于點 b，且與正比例函數(shù)y=2x 的圖象交于點 c（3，6） （1）求一次函數(shù) y=mx+n的解析式；（2）點 p

18、在 x 軸上，當 pb+pc 最小時，求出點 p 的坐標；（3）若點 e是直線 ac上一點，點 f 是平面內一點，以o 、c、e、f 四點為頂點的四邊形是矩形，請直接寫出點f 的坐標【分析】 （1）由 a、c坐標，可求得答案；（2）由一次函數(shù)解析式可求得b點坐標，可求得b點關于 x 軸的對稱點 b的坐標，連接 bc 與 x 軸的交點即為所求的p點，由 b、c坐標可求得直線 bc的解析式，則可求得p點坐標；（3）分兩種情形分別討論即可當oc為邊時，四邊形 ocfe 是矩形，此時 eo oc ，當 oc為對角線時，四邊形oe cf 是矩形，此時oe ac ；【解答】解：（1）一次函數(shù) y=mx+n

19、 （m 0）的圖象經過點a（3，0） ，點 c（3，6） ，解得，一次函數(shù)的解析式為y=x+3精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 24 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載（2） 如圖 1 中， 作點 p關于 x 軸的對稱點 b，連接 cb 交 x 軸于 p， 此時 pb+pc的值最小b（0，3） ，c（3，6）b（ 3，0） ，直線 cb 的解析式為 y=3x3，令 y=0，得到 x=1，p（1，0） （3）如圖，當 oc為邊時，四邊形 ocfe 是矩形，此時 eo oc ，直線 oc的解析式為 y=2x

20、，直線 oe的解析式為 y=x，由，解得，e（2，1） ，eo=cf ，oe cf ，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 24 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載f（1，7） 當 oc為對角線時，四邊形oe cf 是矩形，此時oe ac ，直線 oe 的解析式為 y=x，由，解得，e（，） ，oe =cf ，oe cf ，f（，） ，綜上所述，滿足條件的點f 的坐標為（ 1.7 ）或（，） 【點評】 本題考查一次函數(shù)綜合題、 軸對稱最短問題、矩形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會利用對稱解決最短問題，學

21、會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題5. 一次函數(shù)與正方形如圖（ 1） ，四邊形 aobc 是正方形，點 c的坐標是（，0） ，（1）求點 a的坐標點和正方形 aobc 的面積；（2）將正方形繞點 o順時針旋轉 45，求旋轉后的正方形與原正方形的重疊部分的面積；（3）如圖（ 2） ，動點 p從點 o出發(fā)，沿折線 o acb方向以 1 個單位 / 每秒勻速運動；另一動點 q從點 c出發(fā)，沿折線 cbo a方向以 2 個單位 / 每秒勻速運動p、q兩點同時出發(fā)，當 q運動到點 a 時 p、q同時停止運動設運動時間為 t 秒，是否存在這樣的t 值，使 opq 成為等腰三角形？若存在，直接寫出精

22、品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 24 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載t 的值；若不存在，請說明理由【分析】 （1）連接 ab ，根據 oca 為等腰三角形可得ad=od 的長，從而得出點a的坐標，則得出正方形aobc 的面積；（2）根據旋轉的性質可得oa 的長，從而得出ac ，ae，再求出面積即可；（3）存在，從 q點在不同的線段上運動情況，可分為三種：當 q點在 bc上時，使 oq=qp，則有 op=2bq ，而 op=t，bq=4 2t ，列式可得出t ；當 q點在 ob上時，使 oq=op，而

23、 op=t，oq=8 2t ，列式可得出 t ；當 q點在 oa上時，使 oq=pq，列式可得出 t 【解答】解：（1）如圖 1，連接 ab ，與 oc交于點 d ，由oca 為等腰 rt，得 ad=od=oc=2，故點 a的坐標為（ 2，2） ，故正方形 aobc 的面積為：44=16；（2）如圖 1，旋轉后可得 oa =ob=4 ，則 ac=44，而可知 ca e=90 ，ocb=45 ，故aec是等腰直角三角形，則 ae=a c=44，故 s四邊形 oa eb=sobcsa ec=1616（3）存在，從 q點在不同的線段上運動情況，可分為三種：如圖 2，精品學習資料 可選擇p d f -

24、 - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 24 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載當 q點在 bc上時，使 oq=qp，qm 為 op的垂直平分線，則有 op=2om=2bq，而 op=t，bq=4 2t ，則 t=2（42t ） ，解得： t=如圖 3，當 q點在 ob上時，使 oq=op，而 op=t，oq=8 2t ，則 t=82t ，解得： t=當 q點在 oa上時，如圖 4，使 oq=pq，t224t+96=0，解得： t=12+4（舍去） ，t=124精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - -

25、 - 第 15 頁，共 24 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載【點評】此題考查了正方形的性質， 等腰三角形的判定以及旋轉的性質，是中考壓軸題，綜合性較強，難度較大6. 四邊形綜合（1） （2017 武漢新洲）如圖，正方形abcd 中，p 為 ab邊上任意一點， ae dp于 e，點 f 在 dp的延長線上，且 ef=de ，連接 af 、bf ，baf的平分線交 df于g ，連接 gc （1）求證： aeg 是等腰直角三角形；（2）求證： ag+cg= dg 【分析】 （1）根據線段垂直平分線的定義得到af=ad ，根據等腰三角形的性質、角平分線的定義證明即可；（2） 作

26、 ch dp ， 交 dp于 h點， 證明 ade dch（aas ） ， 得到 ch=de ， dh=ae=eg，證明 cg=gh ，ag=dh ，計算即可【解答】 （1）證明： de=ef ，ae dp ，af=ad ，afd= adf ，adf+ dae= pae+ dae=90 ，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 24 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載afd= pae ，ag平分 baf ，fag= gap afd+ fae=90 ，afd+ pae+ fap=90 2gap+2 pae=90

27、 ，即gae=45 ，age 為等腰直角三角形；（2）證明：作 ch dp ，交 dp于 h點，dhc=90 ae dp ，aed=90 ，aed= dhc ade+ cdh=90 ， cdh+ dch=90 ，ade= dch 在 ade和dch 中，ade dch （aas ） ，ch=de ，dh=ae=egeh+eg=eh+hd，即 gh=ed，gh=chcg=gh ag=eg ，ag=dh ，cg+ag= gh+hd ，cg+ag= （gh+hd） ，即 cg+ag= dg 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 24

28、 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載（2） （2017天津） 24 （8 分）如圖（ 1） ，正方形 abcd 的對角線 ac ，bd相交于點 o ，e是 ac上一點，連結 eb ，過點 a作 am be ，垂足為 m ，am與 bd相交于點f（1）求證： oe=of ；（2）如圖（ 2）若點 e 在 ac的延長線上， am be于點 m ，am交 db的延長線于點 f，其他條件不變，結論“ oe=of ”還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由【分析】 （1） 根據正方形的性質對角線垂直且平分，得到 ob=oa， 又因為 am be ，所以 mea+ mae

29、=90 = afo+ mae ，從而求證出rtboe rtaof ，得到oe=of （2）根據第一步得到的結果以及正方形的性質得到ob=oa，再根據已知條件求證出 rtboe rtaof ，得到 oe=of 【解答】解：（1）四邊形 abcd 是正方形boe= aof=90 ，ob=oa 又am be ，mea+ mae=90 =afo+ mae ，mea= afo 在boe 和aof中，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 24 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載boe aof oe=of （2）oe=o

30、f 成立四邊形 abcd 是正方形，boe= aof=90 ，ob=oa 又am be ，f+mbf=90 ，e+obe=90 ，又 mbf= obe ，f=e在boe 和aof中，boe aof oe=of 【點評】本題主要考查正方形的性質和全等三角形的判定與性質，將待求線段放到兩個三角形中，通過證明三角形全等得到對應邊相等是解題的關鍵7. 動點問題：（1） （2017 黃石大冶）如圖1，正方形 abcd 的邊長為 6cm ，點 f 從點 b 出發(fā)，沿射線 ab方向以 1cm/秒的速度移動， 點 e從點 d出發(fā)，向點 a以 1cm/秒的速度移動（不到點 a） 設點 e，f同時出發(fā)移動 t 秒

31、（1）在點 e，f 移動過程中，連接ce ，cf ，ef ，則 cef的形狀是，始終保持不變；（2）如圖 2，連接 ef，設 ef交 bd于點 m ，當 t=2 時，求 am 的長；（3）如圖 3，點 g ，h分別在邊 ab ，cd上，且 gh=3cm ，連接 ef ，當 ef與 gh的夾角為 45，求 t 的值精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 24 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載【解答】解：（1）等腰直角三角形理由如下：如圖 1，在正方形 abcd 中，dc=bc ，d=abc=90 依題意得：

32、de=bf=t 在cde 與cbf中，cde cbf （sas ） ，cf=ce ，dce= bcf ，ecf= bcf+ bce= dce+ bce= bcd=90 ，cef是等腰直角三角形故答案是：等腰直角三角形（2）如圖 2，過點 e作 en ab ，交 bd于點 n ，則 nem= bfm end= abd= edn=45 ，en=ed=bf在emn 與fmb 中，emn fmb （aas ） ，em=fmrtaef中，ae=4 ，af=8 ，=ef=4，am= ef=2；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 24 頁

33、 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載（3）如圖 3，連接 ce ，cf ，ef與 gh交于 p由（1）得cfe=45 ，又 epq=45 ，gh cf ，又af dc ，四邊形 gfch 是平行四邊形，cf=gh=3 ，在 rtcbf中，得 bf=3，t=3【點評】本題考查了四邊形綜合題 解題過程中， 涉及到了平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質以及勾股定理的應用解答該類題目時， 要巧妙的作出輔助線， 構建幾何模型， 利用特殊的四邊形的性質 （或者全等三角形的性精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁，共 24 頁 - - - - - - - - -學習必備歡迎下載質）得到相關線段間的數(shù)量關系，從而解決問題（2） （2017 成都金堂） 28 （12 分）如圖，邊長為a 正方形 oabc 的邊 oa 、oc在坐標軸上在x 軸上線段 pq=a （q在 a的右邊） ，p從 a出發(fā)，以每秒 1 個單位的速度向 o運動，當點 p到達點 o時停止運動，運動時間為t 連接 pb ，過 p作 pb的垂線，過 q作 x 軸的垂線，兩垂線相交于點d連接 bd交 y 軸于點 e，連接 pd交 y 軸于點 f，