第九章__雙因素和多因素方差分析

1、第九章第九章 雙因素和多因素方差分析雙因素和多因素方差分析學(xué)習(xí)目標(biāo)n掌握：兩因素交叉分組（有重復(fù)觀察值、無(wú)重復(fù)觀察值）資料的方差分析方法。n熟悉：多因素試驗(yàn)線性模型和不同變異來(lái)源期望均方構(gòu)成。n了解：缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)原理及方差分析方法。講授內(nèi)容n第一節(jié) 雙因素方差分析概述n第二節(jié) 不同實(shí)驗(yàn)類型的雙因素方差分析n第三節(jié) 多因素試驗(yàn)的方差分析n第四節(jié) 缺失數(shù)據(jù)的估計(jì)n第五節(jié) 數(shù)據(jù)變換第一節(jié) 雙因素方差分析概述v一、雙因素試驗(yàn)匯中的幾個(gè)基本概念1、主效應(yīng)（main effect）：各實(shí)驗(yàn)因素相對(duì)獨(dú)立的效應(yīng)，該效應(yīng)水平的改變會(huì)造成因素效應(yīng)的改變，如包裝方式對(duì)果汁銷售量的影響。2、互作效應(yīng)（interac

2、tion）：兩個(gè)或多個(gè)實(shí)驗(yàn)因素的相互作用而產(chǎn)生的效應(yīng)。3、無(wú)交互作用的雙因素方差分析或無(wú)重復(fù)雙因素方差分析(Two-factor without replication)：兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果。兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的影響。4、有交互作用的雙因素方差分析或可重復(fù)雙因素方差分析 (Two-factor with replication)：如果兩個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的單獨(dú)影響外，兩個(gè)因素的搭配還會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生一種新的影響。二、雙因素交叉分組試驗(yàn)設(shè)計(jì)的描述n（一）雙因素試驗(yàn)的數(shù)據(jù)描述n（二）觀測(cè)值的描述n（三）平方和與自由度的分解n（四）平方和的簡(jiǎn)便計(jì)算公式n（五）各項(xiàng)均方的計(jì)算（一）試驗(yàn)數(shù)據(jù)的描述（二）觀測(cè)值

3、的描述v對(duì)于上表中的每一個(gè)觀測(cè)值可用線性統(tǒng)計(jì)模型描述表示隨機(jī)誤差水平的交互效應(yīng)第水平和因素的第表示因素水平的處理效應(yīng)第表示因素水平的處理效應(yīng)第表示因素均數(shù)表示所有觀測(cè)值的總平其中ijkijjiijkijjiijkiBiAjBiAy（三）平方和與自由度的分解n 1、平方和的分解 總平方和SST被分解為A因素所引起的平方和SSA、B因素所引起的平方和SSB、AB交互作用所引起的平方和SSAB、誤差平方和SSeA因素誤差平方和B因素誤差平方和AB交互作用誤差平方和隨機(jī)誤差項(xiàng)平方和a1b1n12ijijkyySSeijk）（v2、平方和的分解與平方和相應(yīng)的自由度分別為：總自由度：dfT=abn-1vA

4、因素處理間自由度：dfA=a-1vB因素處理間自由度：dfB=b-1v交互作用自由度：dfAB=(a-1)(b-1)v處理內(nèi)自由度：dfe=ab(n-1)vdfT=dfA+dfB+dfAB+dfe（四）平方和的簡(jiǎn)便計(jì)算方式a1b1n12ijkTCySSijkABBATa1b1n1a1b12ij2ijkSSSSSSSSyn1ySSeijkij（五）各項(xiàng)均方的計(jì)算1bBBBBSSdfSSMS1abnSSdfSSMSTTTT1-aAAAASSdfSSMS）（1-nabeeeeSSdfSSMS1-b1-aBBBAAAASSdfSSMS第二節(jié) 不同實(shí)驗(yàn)類型的雙因素方差分析n一、固定模型（一）重復(fù)試驗(yàn)時(shí)的

5、雙因素方差分析1、觀察值的線性統(tǒng)計(jì)模型 2、提出假設(shè)ba.,2 , 1j ;.,2 , 1i0H0H0H, 0H0H, 0HijA3ij03iA2i02iA1i01，其中）：（，）：（：;.,21k;.,21j ;.,21iyjkijijiijknba，其中3、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算 在F檢驗(yàn)時(shí)，A因素、B因素和互作效應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均以MSe做分母：FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe FAB=MSAB/MSe 用F分布的上尾檢驗(yàn)，拒絕域?yàn)镕F4、均方期望ainMSE12j2B1ba)(aiiAanMSE1221b)(2e)(MSEaiijAbanMSE122B) 1)(1)(（v（二）無(wú)重復(fù)

6、實(shí)驗(yàn)時(shí)的雙因素方差分析1、觀測(cè)值的描述2、提出假設(shè)的隨機(jī)變量，分布為相互獨(dú)立且服從正態(tài)；，其中2jib1jja1iijijiijk0N00;.,21j ;.,21iyba0H,0H0H,0HiA2i02iA1i01：3、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算 在F檢驗(yàn)時(shí)，A因素、B因素的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量均以MSe做分母 FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe 用F分布的上尾檢驗(yàn)，拒絕域?yàn)镕F（三）交互作用的判斷vTukey提供的方法進(jìn)行因素間是否存在交互作用的判斷vP150n二、隨機(jī)模型1、觀察值的線性統(tǒng)計(jì)模型 2、提出假設(shè);.,21k;.,21j ;.,21iyjkijijiijknba，其中ba.,2 , 1j;

7、.,2 , 1i0H0H0H, 0H0H, 0H2A32032A22022A1201，其中：，：v3、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算 在F檢驗(yàn)時(shí)，A因素、B因素主效應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是以MSAB做分母；互作效應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量以MSe做分母 FA=MSA/MSAB FB=MSB/MAB FAB=MSAB/MSe 用F分布的上尾檢驗(yàn)，拒絕域?yàn)镕F 注意：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的分母與統(tǒng)計(jì)量的第二自由度與固定效應(yīng)不同v4、均方期望222Bann)(MSE222bnn)(AMSE2e)(MSE22Bn)(AMSEv三、混合模型（以A為固定因素、B為隨機(jī)因素為例）v在混合模型中，A、B因素的效應(yīng)為非可加性， 為固定效應(yīng)， 為隨機(jī)效應(yīng)v

8、對(duì)A做檢驗(yàn)時(shí)用隨機(jī)模型，對(duì)B及AB交互效應(yīng)做檢驗(yàn)時(shí)用固定模型。vP177ijijv例1：隨機(jī)選擇4個(gè)小麥品種，施以三種肥料，小區(qū)產(chǎn)量列于下表，該問(wèn)題屬于哪種模型？從方差分析的結(jié)果可得出什么結(jié)論？ 肥料種類小麥品種不同條件下小區(qū)產(chǎn)量/kg(NH4)2SO4NH4NO3Ca(NO3)2121.118.019.4224.022.021.7314.213.312.3431.531.427.5題解v解：本題影響產(chǎn)量的因素包括肥料種類和小麥品種。該問(wèn)題屬于混合模型中無(wú)重復(fù)的兩因素分組交叉分析。 iy jy肥料種類小麥品種不同條件下小區(qū)產(chǎn)量/kg(NH4)2SO4NH4NO3Ca(NO3)2121.118.

9、019.419.5224.022.021.722.57314.213.312.313.27431.531.427.530.1322.721.1820.23變差來(lái)源平方和自由度均方統(tǒng)計(jì)量F小麥品種442.173147.39115.02*肥料種類12.4726.244.87誤差7.6961.28總和462.3311小麥品種間差異極顯著，肥料間無(wú)顯著差異。 v例2：用兩種不同的飼料添加劑A和B，以不同比例搭配飼養(yǎng)大白鼠，每一種飼料添加劑取4個(gè)水平，每一處理設(shè)兩個(gè)重復(fù)。大白鼠增重結(jié)果列于下表。請(qǐng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，并回答下列問(wèn)題。添加劑B添加劑A不同條件下大白鼠增量/g1234132，3628，2218，1

10、623，21226，2429，3327，2317，19333，3930，2433，3723，27439，4331，3528，3236，34v該實(shí)驗(yàn)有可能屬于哪幾種模型？前提是什么？v如果認(rèn)為是隨機(jī)模型，設(shè)置重復(fù)與不設(shè)重復(fù)對(duì)分析結(jié)果有無(wú)影響？v若實(shí)驗(yàn)本身是固定模型，但分析時(shí)誤認(rèn)為隨機(jī)模型，對(duì)結(jié)論有何影響？若不設(shè)重復(fù)，又有何影響？v題解：（1）該實(shí)驗(yàn)可能屬于固定模型、隨機(jī)模型、混合模型。取決于添加劑本身的性質(zhì)，即添加劑的效果能否嚴(yán)格重復(fù)。v（2）分析：固定模型下： iy jy ajaiB123413425172224.522531251824.7533627352530.7544133303534

11、.75342926.752528.69變差來(lái)源平方和自由度均方統(tǒng)計(jì)量FA592.3753197.45824.68*B365.3753121.79215.22*AB425.125947.2365.904*誤差128168總和1510.87531查F分布表：78. 3)16, 9 (;54. 2)16, 9 (;29. 5) 6 , 3 (;24. 3) 6 , 3 (99. 095. 099. 095. 0FFFF所以FA、FB、FC均達(dá)極顯著，所以大白鼠增重與添加劑A、B及其交互作用都有顯著關(guān)系。v隨機(jī)模型下：v查F分布表： vFA顯著但未達(dá)極顯著，F(xiàn)B不顯著，F(xiàn)AB極顯著。v所以大白鼠增重與

12、A、AB的交互作用有顯著關(guān)系。v綜合上面可知，隨機(jī)模型和固定模型對(duì)主效應(yīng)的認(rèn)識(shí)不同；若不設(shè)重復(fù)，對(duì)固定模型，統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)無(wú)法進(jìn)行。*18. 4ABAAMSMSF58. 2ABBBMSMSF*904. 5eABABMSMSF99.6)9 , 3(;86.3)9 , 3(99.095.0FF第三節(jié) 多因素試驗(yàn)的方差分析v一、觀測(cè)值的描述 假設(shè)在一個(gè)試驗(yàn)中，A因素有a個(gè)水平，B因素有b個(gè)水平，C因素有c個(gè)水平，每個(gè)因素有n次重復(fù)，那么觀測(cè)值的線性統(tǒng)計(jì)模型為 n.,21lc.,21kb.,21j.,21iyijklijkikjkijkjiijkl，；，；，；，aA1 A2 A3B1B2B3A1 A2 A3

13、B2B3B1 (a) 無(wú)交互效應(yīng)無(wú)交互效應(yīng) (b) 有交互效應(yīng)有交互效應(yīng) 圖中每條曲線代表圖中每條曲線代表B因素的一個(gè)水平。若各曲線平因素的一個(gè)水平。若各曲線平行或近似平行，可認(rèn)為無(wú)交互效應(yīng)，否則為有交互效應(yīng)。行或近似平行，可認(rèn)為無(wú)交互效應(yīng)，否則為有交互效應(yīng)。以上只是一種直觀的判斷，在多因素方差分析的過(guò)程中，以上只是一種直觀的判斷，在多因素方差分析的過(guò)程中，我們對(duì)交互作用的有無(wú)也可進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。我們對(duì)交互作用的有無(wú)也可進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。 交互效應(yīng)交互效應(yīng)H01: i =0, i=1, 2, aH02:j=0, j=1, 2, bH03:()ijij=0, i=1, 2, =0, i=1, 2, a

14、, j=1, 2, a, j=1, 2, b b備擇假設(shè)為備擇假設(shè)為:H HA A: : 上述各參數(shù)中至少有一個(gè)不為上述各參數(shù)中至少有一個(gè)不為0 0。( (這實(shí)際上是三個(gè)這實(shí)際上是三個(gè)備擇假設(shè)。備擇假設(shè)。) ) 零假設(shè)零假設(shè)方差分析的基本思想仍是總變差分解：方差分析的基本思想仍是總變差分解：即：即： SST = SSA + SSB + SSAB + SSe自由度：自由度：abn-1 a-1 b-1 (a-1) (b-1) ab(n-1)總變差分解總變差分解均方數(shù)學(xué)期望 aiiAAabnaSSEMSE1221)1()(bjjBBbanbSSEMSE1221)1()(aibjijABABbanba

15、SSEMSE1122)() 1)(1() 1)(1()(2) 1()(nabSSEMSEee 檢驗(yàn)兩個(gè)主效應(yīng)及一個(gè)交互效應(yīng)的下述三個(gè)統(tǒng)計(jì)量中，檢驗(yàn)兩個(gè)主效應(yīng)及一個(gè)交互效應(yīng)的下述三個(gè)統(tǒng)計(jì)量中，分母全部采用分母全部采用MSe即可。即可。檢驗(yàn)檢驗(yàn)H01，H02，H03的統(tǒng)計(jì)量分別為：的統(tǒng)計(jì)量分別為： 檢驗(yàn)檢驗(yàn)H01，H02，H03的統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量,eAAMSMSF eBBMSMSF eABABMSMSF 從前述的各均方期望可知，只有當(dāng)各從前述的各均方期望可知，只有當(dāng)各H0成立時(shí)，上述三成立時(shí)，上述三個(gè)分子才是個(gè)分子才是 2的無(wú)偏估計(jì)量，此時(shí)各統(tǒng)計(jì)量均服從的無(wú)偏估計(jì)量，此時(shí)各統(tǒng)計(jì)量均服從F分布；若分布

16、；若某個(gè)某個(gè)H0不成立，則相應(yīng)的分子將有偏大的趨勢(shì)，從而使對(duì)應(yīng)不成立，則相應(yīng)的分子將有偏大的趨勢(shì)，從而使對(duì)應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量也有偏大的趨勢(shì)，因此可用的統(tǒng)計(jì)量也有偏大的趨勢(shì)，因此可用F分布上單尾分位數(shù)進(jìn)行分布上單尾分位數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。檢驗(yàn)。 各效應(yīng)的估計(jì)值各效應(yīng)的估計(jì)值 .yy.yiia.yy.jj.)(.xxxxjiijji其中其中i=1, 2 a, j=1, 2, b。計(jì)算公式aibjnkijkTabnSS1112.2yyaiiAabnbnSS12.2.yy1bjjBabnanSS12.2.yy1aibjijSTabnnSS112.2.yy1STTeBASTABSSSSSSSSSSSSSS,計(jì)算排列如下

17、表：計(jì)算排列如下表：表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行表中最下一行是各列的平均，最右一列是各行的平均的平均 .y,y,yjiij計(jì)算步驟變差來(lái)源平方和自由度均方統(tǒng)計(jì)量F主效應(yīng)A主效應(yīng)B交互效應(yīng)AB誤差 總和 方差分析表方差分析表 把計(jì)算所得結(jié)果填入上表后，再根據(jù)各把計(jì)算所得結(jié)果填入上表后，再根據(jù)各F統(tǒng)計(jì)量的自由度統(tǒng)計(jì)量的自由度查出其查出其F0.95及及F0.99分位數(shù)，并將分位數(shù)，并將F計(jì)算值與相應(yīng)分位數(shù)相比，計(jì)算值與相應(yīng)分位數(shù)相比，大于大于F0.95則在統(tǒng)計(jì)量則在統(tǒng)計(jì)量F右上角標(biāo)一個(gè)右上角標(biāo)一個(gè)“*”號(hào)；大于號(hào)；大于F0.99則再加則再加一個(gè)一個(gè)“*”號(hào)。最后用一句話對(duì)上述方差分析的結(jié)

18、果加以總結(jié)，號(hào)。最后用一句話對(duì)上述方差分析的結(jié)果加以總結(jié)，即哪些主效應(yīng)或交互效應(yīng)達(dá)到顯著或極顯著水平，哪些不顯即哪些主效應(yīng)或交互效應(yīng)達(dá)到顯著或極顯著水平，哪些不顯著著 F測(cè)驗(yàn) 如果如果MSAB小于或約等于小于或約等于MSe，即，即FAB小于或約等于小于或約等于1，說(shuō)明此時(shí)交互作用不存在說(shuō)明此時(shí)交互作用不存在，在這種情況下也可把，在這種情況下也可把MSAB和和MSe合并在一起合并在一起(即把平方和和自由度都合并即把平方和和自由度都合并)作為作為2 2的估的估計(jì)量，這樣可以提高檢驗(yàn)的精確度。具體計(jì)算公式如下計(jì)量，這樣可以提高檢驗(yàn)的精確度。具體計(jì)算公式如下 ABeABeedfdfSSSSSM交互作用

19、不存在交互作用不存在 然后可用作統(tǒng)計(jì)量然后可用作統(tǒng)計(jì)量FA和和FB的分母，對(duì)兩個(gè)主效應(yīng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)的分母，對(duì)兩個(gè)主效應(yīng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。注意查表時(shí)分母自由度要相應(yīng)改變。檢驗(yàn)。注意查表時(shí)分母自由度要相應(yīng)改變。 原料種類(A)溫 度（B）3035401414923251113252462226182475950404338333682214183355350433847445533262930例3 選擇最適發(fā)酵條件 本題中顯然溫度是一個(gè)因素，原料種類是另一個(gè)本題中顯然溫度是一個(gè)因素，原料種類是另一個(gè)因素。這兩個(gè)因素各有三個(gè)水平。由于它們的影響都因素。這兩個(gè)因素各有三個(gè)水平。由于它們的影響都是可控制、可重復(fù)

20、的，因此都是是可控制、可重復(fù)的，因此都是固定因素。固定因素。在同樣溫在同樣溫度、原料下所做的幾次實(shí)驗(yàn)應(yīng)視為度、原料下所做的幾次實(shí)驗(yàn)應(yīng)視為重復(fù)重復(fù)，它們之間的，它們之間的差異是由隨機(jī)誤差所造成的差異是由隨機(jī)誤差所造成的 。固定因素固定因素.yi j i123 134.518.251823.58 24937.515.534 345.25462739.42 42.9233.9220.12 .yj各處理平均數(shù) 發(fā)酵實(shí)驗(yàn)方差分析表 變差來(lái)源平方和自由度均方F原料A溫度BAB誤差1554.183150.50808.821656.5022427777.091575.25202.2161.3512.67*25

21、.68*3.30*總和7170.0035 查查F分布表，得：分布表，得：F0.95(2,27)F0.95(2,30)=3.316, F0.99(2,27)F0.99(2,30)=5.390,F0 . 9 5( 4 , 2 7 ) F0 . 9 5( 4 , 3 0 ) = 2 . 6 9 0 , F0.99(4,27)F0.99(4,30)=4.018,FFA A,F,FB B均達(dá)極顯著，標(biāo)上均達(dá)極顯著，標(biāo)上“* * * *”，F(xiàn) FABAB只達(dá)顯著，標(biāo)上只達(dá)顯著，標(biāo)上“* *”。因此酒精產(chǎn)量不僅與原料和溫度的關(guān)系極顯著，與它。因此酒精產(chǎn)量不僅與原料和溫度的關(guān)系極顯著，與它們的交互作用也有顯著

22、關(guān)系。即對(duì)不同原料應(yīng)選用不同的發(fā)酵們的交互作用也有顯著關(guān)系。即對(duì)不同原料應(yīng)選用不同的發(fā)酵溫度。溫度。 F測(cè)驗(yàn) 在固定效應(yīng)模型中，若各在固定效應(yīng)模型中，若各F F統(tǒng)計(jì)量有達(dá)到顯著統(tǒng)計(jì)量有達(dá)到顯著或極顯著水平時(shí)，常常還需要在各處理間進(jìn)行多重或極顯著水平時(shí)，常常還需要在各處理間進(jìn)行多重比較，以選出所需要的條件組合。比較，以選出所需要的條件組合。各處理間進(jìn)行多重比較各處理間進(jìn)行多重比較 如果有交互作用存在，則一般需要把所有如果有交互作用存在，則一般需要把所有abab個(gè)個(gè)水平組合放在一起比。比較的方法仍與單因素方水平組合放在一起比。比較的方法仍與單因素方差分析相同，最常用差分析相同，最常用Duncan法

23、。法。 當(dāng)交互作用存在時(shí)，對(duì)固定模型若不設(shè)置重復(fù)，則無(wú)法當(dāng)交互作用存在時(shí)，對(duì)固定模型若不設(shè)置重復(fù)，則無(wú)法把把SSAB與與SSe分開(kāi)，這樣將無(wú)法進(jìn)行任何統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。因此在固分開(kāi)，這樣將無(wú)法進(jìn)行任何統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)。因此在固定模型中有交互作用時(shí)，不設(shè)置重復(fù)的試驗(yàn)是無(wú)意義時(shí)。定模型中有交互作用時(shí)，不設(shè)置重復(fù)的試驗(yàn)是無(wú)意義時(shí)。 對(duì)固定模型來(lái)說(shuō)，結(jié)論只能適用于參加實(shí)驗(yàn)的幾個(gè)水平對(duì)固定模型來(lái)說(shuō)，結(jié)論只能適用于參加實(shí)驗(yàn)的幾個(gè)水平，不能任意推廣到其他水平上去。，不能任意推廣到其他水平上去。 幾點(diǎn)注意事項(xiàng)：幾點(diǎn)注意事項(xiàng)：二、平方和與自由度的分解（P179）三、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算 在各種模型中，要特別注意統(tǒng)計(jì)量F的計(jì)算一定要根據(jù)因素的性質(zhì)來(lái)決定。 對(duì)于固定因素主效應(yīng)做檢驗(yàn)時(shí)用隨機(jī)模型，對(duì)隨機(jī)因素主效應(yīng)做檢驗(yàn)時(shí)用固定模型。四、各均方的數(shù)學(xué)期望v由于由于FAB F0.99(2, 22), FB = 14.21 F0.99(2, 22), 因此兩因素（飲料與窩別）的主效應(yīng)均達(dá)因