第3章平均數(shù)、標準差與變異系數(shù)

1、第三章第三章 資料的特征數(shù)資料的特征數(shù) 平均數(shù)、標準差與變異系數(shù)平均數(shù)、標準差與變異系數(shù)本章內(nèi)容n第一節(jié)第一節(jié) 平均數(shù)平均數(shù)n第二節(jié)第二節(jié) 標準差標準差n第三節(jié)第三節(jié) 變異系數(shù)變異系數(shù) 平均數(shù)是統(tǒng)計學(xué)中最常用的統(tǒng)計量，用來平均數(shù)是統(tǒng)計學(xué)中最常用的統(tǒng)計量，用來表明資表明資料中各觀測值相對集中的中心位置料中各觀測值相對集中的中心位置。平均數(shù)包括：。平均數(shù)包括： 算術(shù)平均數(shù)（算術(shù)平均數(shù)（arithmetic mean） 中位數(shù)（中位數(shù)（median） 眾數(shù)（眾數(shù)（mode） 幾何平均數(shù)（幾何平均數(shù)（geometric mean） 調(diào)和平均數(shù)（調(diào)和平均數(shù)（harmonic mean） 第一節(jié)第一節(jié) 平

2、均數(shù)平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)q指指資料中各觀測值的總和除以觀測值個數(shù)所得的商資料中各觀測值的總和除以觀測值個數(shù)所得的商，簡稱平均數(shù)或均數(shù)。簡稱平均數(shù)或均數(shù)。 x 設(shè)某一資料包含設(shè)某一資料包含n個觀測值：個觀測值： x1、x2、xn， 則樣本平均數(shù)可通過下式計算：則樣本平均數(shù)可通過下式計算：nxx其中，其中，為總和符號；為總和符號； 表示從第一個觀測值表示從第一個觀測值x1累加到第累加到第n個觀測值個觀測值xn。當(dāng)在意義上已明確時，可簡。當(dāng)在意義上已明確時，可簡寫為寫為x，上式可改寫為：，上式可改寫為： niix1nxnxxxxniin121342.1340.7348.4346.0343.4

3、342.7346.0341.1344.0348.0344.2342.5350.0343. 5346.3346.0340.3344.2342.2344.1345.0340.5344.2344.0341.1345.6345.0348.6343.5344.2342.6343.7345.5339.3350.2337.3345.3358.2341.0346.8344.3347.2344.2345.8331.2342.1342.4340.5350.0343.2347.0340.2343.3350.2346.2339.8344.0353.3340.2336.3348.9340.2356.1346.0345.

4、6346.2342.3339.9338.0344.4346.6339.7342.3352.8342.6350.3348.5344.0350.0335.1339.5346.6341.1347.2340.3338.2345.5345.6349.0336.7342.0338.4343.9343.7343.0339.9347.3341.0341.1347.1100100頭牛胴體凈重（頭牛胴體凈重（kgkg）【例】【例】 已知已知100頭牛胴體凈重，求其平均數(shù)。頭牛胴體凈重，求其平均數(shù)。 342.1 340.7348.4347.1344.0(g)100 xxn關(guān)于平均數(shù)的統(tǒng)計分析n平行平行n同一個處理測

5、定多次，且測試對象來自于同一個個體，同一個處理測定多次，且測試對象來自于同一個個體，稱之為平行（稱之為平行（一瓶礦泉水中礦物質(zhì)含量測定三次的結(jié)果一瓶礦泉水中礦物質(zhì)含量測定三次的結(jié)果）n重復(fù)重復(fù)n同一個處理測定多次，但測試對象來自不同個體，稱之同一個處理測定多次，但測試對象來自不同個體，稱之為重復(fù)（為重復(fù)（五瓶礦泉水中礦物質(zhì)含量測定的結(jié)果五瓶礦泉水中礦物質(zhì)含量測定的結(jié)果）n統(tǒng)計意義上的平均數(shù)只能來自重復(fù)，而不是平行。統(tǒng)計意義上的平均數(shù)只能來自重復(fù)，而不是平行。平均數(shù)的基本性質(zhì)平均數(shù)的基本性質(zhì)1、樣本各觀測值與平均數(shù)之差的和為零，即離均、樣本各觀測值與平均數(shù)之差的和為零，即離均差之和等于零。差之和

6、等于零。 0)(1xxnii0)(xx 2、樣本各觀測值與平均數(shù)之差的平方和為最小，、樣本各觀測值與平均數(shù)之差的平方和為最小，即即離均差平方和為最小離均差平方和為最小。 (xi- )2 (xi- a)2 （常數(shù)（常數(shù)a ） 或簡寫為：或簡寫為： 對于總體而言，通常用對于總體而言，通常用表示總體平均數(shù)，有限表示總體平均數(shù)，有限總體的平均數(shù)為：總體的平均數(shù)為： ni 1xni 12)(xx2)(xNxNii1x 式中，式中，N表示總體所包含的個體數(shù)。表示總體所包含的個體數(shù)。 當(dāng)一個統(tǒng)計量的數(shù)學(xué)期望等于所估計的總體參數(shù)當(dāng)一個統(tǒng)計量的數(shù)學(xué)期望等于所估計的總體參數(shù)時，則稱此統(tǒng)計量為該總體參數(shù)的時，則稱此

7、統(tǒng)計量為該總體參數(shù)的無偏估計量無偏估計量。 統(tǒng)計學(xué)中常用樣本平均數(shù)（統(tǒng)計學(xué)中常用樣本平均數(shù)（ ）作為總體平均數(shù)）作為總體平均數(shù)（）的估計量，并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)）的估計量，并已證明樣本平均數(shù)是總體平均數(shù)的無偏估計量。的無偏估計量。 x第二節(jié)第二節(jié) 標準差標準差 一、標準差的意義一、標準差的意義Standard Deviation (SD) 用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強弱受樣本用平均數(shù)作為樣本的代表，其代表性的強弱受樣本資料中各觀測值變異程度的影響。僅用平均數(shù)對資料中各觀測值變異程度的影響。僅用平均數(shù)對一個資料的特征作統(tǒng)計描述是不全面的，還需引一個資料的特征作統(tǒng)計描述是不全面的

8、，還需引入一個表示資料中觀測值變異程度大小的統(tǒng)計量。入一個表示資料中觀測值變異程度大小的統(tǒng)計量。 全距（極差）全距（極差）是表示資料中各觀測值變異程度大小最簡便是表示資料中各觀測值變異程度大小最簡便的統(tǒng)計量。但是全距只利用了資料中的最大值和最小值，并的統(tǒng)計量。但是全距只利用了資料中的最大值和最小值，并不能準確表達資料中各觀測值的變異程度，比較粗略。不能準確表達資料中各觀測值的變異程度，比較粗略。 離均差離均差:各個觀測值與平均數(shù)的離差（各個觀測值與平均數(shù)的離差（ ）。）。 離均差能表示一個觀測值偏離平均數(shù)的性質(zhì)和程度，但因離均差能表示一個觀測值偏離平均數(shù)的性質(zhì)和程度，但因為離均差有正、有負為離

9、均差有正、有負 ，離均差之和為零，即，離均差之和為零，即（ ）= 0 ，因而不能用離均差之和因而不能用離均差之和（ ）來表示資料中所有觀測值）來表示資料中所有觀測值的總偏離程度。的總偏離程度。xxxxxx 我們還可以采用將離均差平方的辦法來解決離均差有正、有我們還可以采用將離均差平方的辦法來解決離均差有正、有負，離均差之和為零的問題。負，離均差之和為零的問題。 先將各個離均差平方，即先將各個離均差平方，即( )2 ，再求，再求 離均差平方和離均差平方和 ， 即即 ，簡稱，簡稱平方和平方和，記為，記為SS； 由于離差平方和常隨樣由于離差平方和常隨樣 本本大小而改變大小而改變 ，為了消除樣本大小的

10、影響，用平方和除以樣本，為了消除樣本大小的影響，用平方和除以樣本 大大小，即小，即 ，求出，求出離均差平方和的平均數(shù)離均差平方和的平均數(shù)。xx2)(xx nxx/)(2 用觀測值的個數(shù)除離均差平方和得到的平均平方和，用觀測值的個數(shù)除離均差平方和得到的平均平方和，簡稱為簡稱為均方（均方（mean square, MS）或方差）或方差。 相應(yīng)的總體參數(shù)叫相應(yīng)的總體參數(shù)叫 總體方差總體方差 ，記為，記為2。對于有限總。對于有限總體而言，體而言，2的計算公式為：的計算公式為：22() /xN 為了使所得的統(tǒng)計量是相應(yīng)總體參數(shù)的無偏估計量，統(tǒng)計為了使所得的統(tǒng)計量是相應(yīng)總體參數(shù)的無偏估計量，統(tǒng)計學(xué)證明，在

11、求離均差平方和的平均數(shù)時，分母不用樣本含量學(xué)證明，在求離均差平方和的平均數(shù)時，分母不用樣本含量n，而用自由度，而用自由度 n-1， 于是，我們于是，我們 采采 用統(tǒng)計量用統(tǒng)計量 表示資料的變異程度。表示資料的變異程度。 統(tǒng)計量統(tǒng)計量 稱稱 為為 均均 方方 （ mean square縮寫為縮寫為MS）,又稱又稱樣本方差樣本方差，記為，記為S2，即，即 S2=1/)(2nxx1/)(2nxx1/)(2nxx 由于樣本方差帶有原觀測單位的平方單位，在僅表示一由于樣本方差帶有原觀測單位的平方單位，在僅表示一個資料中各觀測值的變異程度而不作其它分析時，常需要與個資料中各觀測值的變異程度而不作其它分析時

12、，常需要與平均數(shù)配合使用，這時應(yīng)將平方單位還原，即應(yīng)求出樣本方平均數(shù)配合使用，這時應(yīng)將平方單位還原，即應(yīng)求出樣本方差的平方根。統(tǒng)計學(xué)上把樣本方差差的平方根。統(tǒng)計學(xué)上把樣本方差S2 的平方根叫做的平方根叫做樣本標樣本標準差準差，記為，記為S，即：，即： 1)(2nxxS 相應(yīng)的總體參數(shù)叫相應(yīng)的總體參數(shù)叫總體標準差總體標準差，記為，記為。對于有限總體而。對于有限總體而言，言，的計算公式為：的計算公式為： 在統(tǒng)計學(xué)中，常用樣本標準差在統(tǒng)計學(xué)中，常用樣本標準差S估計總體標準差估計總體標準差。 Nx/)(2 二二、標準差的特性、標準差的特性 q 標準差的大小，受資料中每個觀測值的影響，如觀測值間標準差的

13、大小，受資料中每個觀測值的影響，如觀測值間變異大，求得的標準差也大，反之則小。變異大，求得的標準差也大，反之則小。q 在計算標準差時，在各觀測值加上或減去一個常數(shù)，其數(shù)在計算標準差時，在各觀測值加上或減去一個常數(shù)，其數(shù)值不變。值不變。q 當(dāng)每個觀測值乘以或除以一個常數(shù)當(dāng)每個觀測值乘以或除以一個常數(shù)a a，則所得的標準差是原，則所得的標準差是原來標準差的來標準差的a a倍或倍或1 1/a/a倍。倍。 q 在資料服從正態(tài)分布的條件下，資料中約有在資料服從正態(tài)分布的條件下，資料中約有68.26%68.26%的觀測值的觀測值在平均數(shù)左右一倍標準差（在平均數(shù)左右一倍標準差（ S S）范圍內(nèi)；約有）范圍內(nèi)

14、；約有95.43%95.43%的的觀測值在平均數(shù)左右兩倍標準差（觀測值在平均數(shù)左右兩倍標準差（ 2S2S）范圍內(nèi)；約有）范圍內(nèi)；約有99.73%99.73%的觀測值在平均數(shù)左右三倍標準差（的觀測值在平均數(shù)左右三倍標準差（ 3S3S） 范范圍內(nèi)。也就是說全距近似地等于圍內(nèi)。也就是說全距近似地等于6 6倍標準差，可用（全距倍標準差，可用（全距/6/6）來粗略估計標準差來粗略估計標準差 xxx總體（, ）樣本1（ 1）樣本2（ 2）樣本3（ 3）xxx1, 2, 34, .xxxx新總體新總體誤差如何去誤差如何去估計？估計？三、標準誤（三、標準誤（standard error, SE, SEM） 標

15、準誤標準誤(平均數(shù)抽樣總體的標準差平均數(shù)抽樣總體的標準差) 的大小反映的大小反映樣本平均數(shù)樣本平均數(shù) 的抽樣誤差的大小，即精確性的高低的抽樣誤差的大小，即精確性的高低 。 標準誤標準誤大，說明各樣本平均數(shù)大，說明各樣本平均數(shù) 間差異程度大，樣本平均數(shù)的精確性間差異程度大，樣本平均數(shù)的精確性低。反之，低。反之， 小，說明小，說明 間的差異程度小間的差異程度小 ， 樣本平均數(shù)的精樣本平均數(shù)的精確性高。確性高。 的大小與原總體的標準差的大小與原總體的標準差成正比，與樣本含量成正比，與樣本含量n的的平方根成反比。從某特定總體抽樣平方根成反比。從某特定總體抽樣 ，因為，因為是一常數(shù)是一常數(shù) ，所以只，所

16、以只有增大樣本含量才能降低樣本平均數(shù)有增大樣本含量才能降低樣本平均數(shù) 的抽樣誤差。的抽樣誤差。 nx/xxxxxx 在實際工作中，總體標準差在實際工作中，總體標準差往往是未知的，因而無法往往是未知的，因而無法求得求得 。此時，可用樣本標準差。此時，可用樣本標準差S估計估計。于是，以。于是，以 估估計計 。記。記 為為 ，稱作，稱作樣本標準誤或均數(shù)標準誤樣本標準誤或均數(shù)標準誤。樣。樣本標準誤本標準誤 是平均數(shù)抽樣誤差的估計值是平均數(shù)抽樣誤差的估計值。若樣本中各觀測。若樣本中各觀測值為值為 ， ， ，則，則 xnSxxSxS1x2xnx) 1(/)() 1()(222nnnxxnnxxnSSxxS

17、 樣本標準差與樣本標準誤是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩個統(tǒng)計樣本標準差與樣本標準誤是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩個統(tǒng)計量，二者的區(qū)別在于：量，二者的區(qū)別在于： 樣樣 本本 標標 準準 差差 S 是是 反反 映映 樣樣 本中各本中各 觀測值觀測值 ， ， 變變 異異 程程 度大小的一個指標，度大小的一個指標，它的大小說明了它的大小說明了 對該樣本代對該樣本代表性的強弱表性的強弱。 樣本標準誤是樣本平均數(shù)樣本標準誤是樣本平均數(shù) 的標準差，它是抽的標準差，它是抽樣誤差的估計值，樣誤差的估計值， 其大小說明了樣本間變異程度的大小及精確其大小說明了樣本間變異程度的大小及精確性的高低。性的高低。kxxx,.,211x2x

18、nxx 對于大樣本資料，常將樣本標準差對于大樣本資料，常將樣本標準差S與樣本平均數(shù)與樣本平均數(shù) 配合使配合使用用，記為，記為 S，用以說明所考察性狀或指標的優(yōu)良性與穩(wěn)定，用以說明所考察性狀或指標的優(yōu)良性與穩(wěn)定性。性。 對于小樣本資料，常將樣本標準誤對于小樣本資料，常將樣本標準誤 與樣本平均數(shù)與樣本平均數(shù) 配合配合使用，使用，記為記為 ， 用用 以表示以表示 所考察性狀或指標的優(yōu)良性與所考察性狀或指標的優(yōu)良性與 抽樣誤差的大小。抽樣誤差的大小。 xxxSxxxS論文寫作過程中論文寫作過程中SD和和SE(M)的用法的用法ABCDV1a1SD11b1SD21c1SD31d1SD41V2a2SD12b

19、2SD22c2SD32d2SD42V3a3SD13b3SD23c3SD33d3SD43.ABCDSEV1a1b1c1d1se1V2a2b2c2d2se2V3a3b3c3d3se3.3.5, 3.6, 3.4, 4.2, 3.0, 3.8, 3.7, 3.0, 3.3, 4.14.5, 5.3, 4.4, 4.2, 5.0, 5.8, 4.7, 4.0, 5.3, 5.15.4, 5.7, 4.8, 4.7, 5.3, 5.6, 5.7, 6.0, 6.3, 6.1標準差和標準誤標準差和標準誤平均數(shù)：平均數(shù)：3.55標準差：標準差：0.41平均數(shù)：平均數(shù)：4.83標準差：標準差：0.57平均數(shù)：

20、平均數(shù)：5.56標準差：標準差：0.53標準誤：標準誤：0.18剪切力(kg)3.550.414.830.575.560.53.SE剪切力(kg)3.554.835.560.18.第三節(jié)第三節(jié) 變異系數(shù)變異系數(shù) 變異系數(shù)是衡量資料中各觀測值變異程度的另一變異系數(shù)是衡量資料中各觀測值變異程度的另一個統(tǒng)計量個統(tǒng)計量 。 標準差與平均數(shù)的比值稱為標準差與平均數(shù)的比值稱為 變異系數(shù)變異系數(shù)，記為，記為CV。 變異系數(shù)可以消除單位和（或）平均數(shù)不同對兩個變異系數(shù)可以消除單位和（或）平均數(shù)不同對兩個或多個資料變異程度比較的影響?；蚨鄠€資料變異程度比較的影響。 變異系數(shù)的計算公式為：變異系數(shù)的計算公式為： （315）%100 xSVCq變異系數(shù)的大小，同時受平均數(shù)和標準差兩個統(tǒng)計變異系數(shù)的大小，同時受平均數(shù)和標準差兩個統(tǒng)計量的影響，因而在利用變異系數(shù)表示資料的變異程量的影響，因而在利用變異系數(shù)表示資料的變異程度時，最好