第三章 矩陣力學(xué)基礎(chǔ)——力學(xué)量和算符

1、第三章 矩陣力學(xué)基礎(chǔ)力學(xué)量和算符復(fù)旦大學(xué) 蘇汝鏗第三章 矩陣力學(xué)基礎(chǔ)力學(xué)量和算符本章目的： 建立另外一套量子化的方案，即通過算符的對易關(guān)系進(jìn)行正則量子化的方案 研究量子力學(xué)中的算符的性質(zhì)，特別是線性厄米算符 討論力學(xué)量的測量，特別是不確定性原理；以及力學(xué)量隨時間的變化 守恒律3.1 力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值問題： 何謂波函數(shù)完全地描述了一個量子態(tài)？ 力學(xué)量用算符表示的實(shí)質(zhì)是什么？為什么力學(xué)量可用算符表示？3.1 力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值坐標(biāo)函數(shù)的平均值：3.1 力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值3.1 力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值3.1 力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值3.1 力學(xué)量的平均值力學(xué)

2、量的平均值3.1 力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值3.1 力學(xué)量的平均值力學(xué)量的平均值結(jié)論：平均值公式3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則定義3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則算符運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算

3、規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則算符的矩陣形式二維矢量空間二維矢量空間3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則3.2 算符的運(yùn)算規(guī)則算符的運(yùn)算規(guī)則結(jié)論： 體系的一個量子態(tài)希爾伯特空間中一個向量 給定一組基矢，即給定一個表象，量子態(tài)波函數(shù) 一個算符一個矩陣3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的引入3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值

4、和本征函數(shù)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的性質(zhì) 厄米算符的平均值是實(shí)數(shù)(充分性)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù) 厄米算符的平均值是實(shí)數(shù)(必要性)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù) 厄米算符的平均值是實(shí)數(shù)(必要性)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù) 厄米算符的本征值為實(shí)數(shù)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù) 厄米算符屬于不同本征值的本征

5、函數(shù)正交3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù) 厄米算符的簡并本征函數(shù)經(jīng)重新組合后可以正交歸一3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù) 厄米算符的本征函數(shù)有完備性3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù) 厄米算符的本征函數(shù)有封閉性3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù)3.3 厄米算符的本征值和本征函數(shù)厄米算符的本征值和本征函數(shù)結(jié)論 厄米算符的本征函數(shù)系：正交、歸一、完備、封閉 厄米算符的本征值

6、、平均值均為實(shí)數(shù) 量子力學(xué)中的力學(xué)量對應(yīng)線性厄米算符3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)線性厄米算符的本征函數(shù)示例3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)歸一化 無窮空間：歸delta函數(shù)，連續(xù)譜 箱歸一化：引入周期性邊界條件，分立譜3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù) 周期性邊界條件3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)3.4 連續(xù)譜本征函數(shù)連續(xù)譜本征函數(shù)3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測量值量子力學(xué)中力學(xué)量的測

7、量值在f的本征態(tài)中測量f有準(zhǔn)確值3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測量值量子力學(xué)中力學(xué)量的測量值3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測量值量子力學(xué)中力學(xué)量的測量值在非f的本征態(tài)中測量f，有可能值及平均值3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測量值量子力學(xué)中力學(xué)量的測量值不同力學(xué)量同時有確定值的條件若f, g = 0 必有共同本征函數(shù)系 充要條件 有簡并時可重新組合3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測量值量子力學(xué)中力學(xué)量的測量值 注意：如果f和g不對易，必?zé)o共同本征函數(shù)系，但不排除在某些特殊態(tài)中測量時有確定值，例如lx和ly不對易，但在 中測量lx,ly均得到零3.5 量子力學(xué)中力學(xué)量的測量值量子力學(xué)中力學(xué)量的測量值完全集如px,

8、py, pz, h, l2, lz等等簡并來自不完全測量3.6 不確定性原理不確定性原理問題： 若算符a, b不對易，在a本征態(tài)中測a有確定值，測b如何? 在非a，非b的本征態(tài)中測a及b，結(jié)果如何?3.6 不確定性原理不確定性原理3.6 不確定性原理不確定性原理3.6 不確定性原理不確定性原理3.6 不確定性原理不確定性原理3.6 不確定性原理不確定性原理討論： 不確定性原理是波粒二象性的反映，與是否測量無關(guān) 單縫衍射實(shí)驗(yàn) 零點(diǎn)能3.6 不確定性原理不確定性原理3.6 不確定性原理不確定性原理3.6 不確定性原理不確定性原理3.6 不確定性原理不確定性原理 角動量算符3.6 不確定性原理不確定

9、性原理 互補(bǔ)原理及其哲學(xué)探討3.7 力學(xué)量隨時間的變化、守恒量力學(xué)量隨時間的變化、守恒量和運(yùn)動積分和運(yùn)動積分算符的運(yùn)動方程式3.7 力學(xué)量隨時間的變化、守恒量力學(xué)量隨時間的變化、守恒量和運(yùn)動積分和運(yùn)動積分3.7 力學(xué)量隨時間的變化、守恒量力學(xué)量隨時間的變化、守恒量和運(yùn)動積分和運(yùn)動積分3.7 力學(xué)量隨時間的變化、守恒量力學(xué)量隨時間的變化、守恒量和運(yùn)動積分和運(yùn)動積分3.7 力學(xué)量隨時間的變化、守恒量力學(xué)量隨時間的變化、守恒量和運(yùn)動積分和運(yùn)動積分若f不顯含t， 且f, h0，則f守恒 守恒量在任何態(tài)下的平均值與t無關(guān) 在任何態(tài)下，測f可能值，出現(xiàn)各種可能值的幾率分布與t無關(guān) 若t0時，f有確定值tt

10、時也有確定值 若t0時，f無確定值tt時也無確定值 守恒量對應(yīng)好量子數(shù) 若f與g不對易，且f、g均為守恒量能級簡并3.7 力學(xué)量隨時間的變化、守恒量力學(xué)量隨時間的變化、守恒量和運(yùn)動積分和運(yùn)動積分宇稱算符p 直角坐標(biāo) x-x, y-y, z-z 球坐標(biāo) r不變, -, - 宇稱算符既是厄米的，又是么正的3.7 力學(xué)量隨時間的變化、守恒量力學(xué)量隨時間的變化、守恒量和運(yùn)動積分和運(yùn)動積分宇稱算符p 本征值為+1或-1 若體系的哈密頓量h在空間反演下不變，則宇稱算符p與h對易：p，h0 宇稱守恒：若初態(tài)有確定宇稱，則以后任何時刻，體系的狀態(tài)均有相同宇稱3.7 力學(xué)量隨時間的變化、守恒量力學(xué)量隨時間的變化、守恒量和運(yùn)動積分和運(yùn)動積分宇稱算符p 3.7 力學(xué)量隨時間的變化、守恒量力學(xué)量隨時間的變化、守恒量和運(yùn)動積分和運(yùn)動積分宇稱算符p 偶宇稱算符 奇宇稱算符