2022年排列組合易錯(cuò)題正誤解析

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載排列組合易錯(cuò)題正誤解析排列組合問題類型繁多、方法豐富、富于變化，稍不注意，極易出錯(cuò).本文選擇一些在教學(xué)中學(xué)生常見的錯(cuò)誤進(jìn)行正誤解析，以饗讀者.1 沒有理解兩個(gè)基本原理出錯(cuò)排列組合問題基于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問題的前提.例1（1995 年上海高考題）從 6 臺原裝計(jì)算機(jī)和5 臺組裝計(jì)算機(jī)中任意選取5 臺, 其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺, 則不同的取法有種.誤解：因?yàn)榭梢匀? 臺原裝與3 臺組裝計(jì)算機(jī)或是3 臺原裝與2 臺組裝計(jì)算機(jī)，所以只有2 種取法 .錯(cuò)因分析： 誤解的原因在于沒有意識到“選取 2 臺原裝與3

2、 臺組裝計(jì)算機(jī)或是3 臺原裝與2 臺組裝計(jì)算機(jī)”是完成任務(wù)的兩“類”辦法，每類辦法中都還有不同的取法.正解： 由分析，完成第一類辦法還可以分成兩步：第一步在原裝計(jì)算機(jī)中任意選取2 臺，有26c 種方法；第二步是在組裝計(jì)算機(jī)任意選取3 臺，有35c 種方法，據(jù)乘法原理共有3526cc種方法 . 同理，完成第二類辦法中有2536cc種方法 . 據(jù)加法原理完成全部的選取過程共有3526cc3502536cc種方法 .例 2 在一次運(yùn)動會上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（）種 .（a）34a（b）34（c）43（d）34c誤解：把四個(gè)冠軍，排在甲、乙、丙三個(gè)位置上，選a

3、.錯(cuò)因分析：誤解是沒有理解乘法原理的概念，盲目地套用公式.正解： 四項(xiàng)比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項(xiàng)冠軍都有3 種選取方法，由乘法原理共有433333種 .說明：本題還有同學(xué)這樣誤解，甲乙丙奪冠均有四種情況，由乘法原理得34.這是由于沒有考慮到某項(xiàng)冠軍一旦被一人奪得后，其他人就不再有4 種奪冠可能 .2 判斷不出是排列還是組合出錯(cuò)在判斷一個(gè)問題是排列還是組合問題時(shí)，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的是組合 .例 3 有大小形狀相同的3 個(gè)紅色小球和5 個(gè)白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？誤解：因?yàn)槭? 個(gè)小球的全排列，所以共有88a 種方法 .錯(cuò)因分

4、析：誤解中沒有考慮3 個(gè)紅色小球是完全相同的，5 個(gè)白色小球也是完全相同的，同色球之間互換位置是同一種排法.正解： 8 個(gè)小球排好后對應(yīng)著8 個(gè)位置，題中的排法相當(dāng)于在8 個(gè)位置中選出3 個(gè)位置給紅球，剩下的位置給白球，由于這3 個(gè)紅球完全相同，所以沒有順序，是組合問題.這樣共有：5638c排法 .3 重復(fù)計(jì)算出錯(cuò)在排列組合中常會遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意避免重復(fù)計(jì)數(shù)，產(chǎn)生錯(cuò)誤。例 4（20xx 年北京文科高考題）5 本不同的書全部分給4 個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - -

5、第 1 頁，共 4 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載（ a） 480 種（b） 240 種（c）120 種（d）96 種誤解：先從5本書中取4 本分給 4 個(gè)人，有45a 種方法，剩下的1 本書可以給任意一個(gè)人有4 種分法，共有480445a種不同的分法，選a.錯(cuò)因分析：設(shè)5 本書為a、b 、c、 d 、e，四個(gè)人為甲、乙、丙、丁.按照上述分法可能如下的表1 和表 2：表 1 是甲首先分得a、乙分得 b 、丙分得c、丁分得 d ，最后一本書e給甲的情況；表2 是甲首先分得e、乙分得 b、丙分得c、丁分得 d ，最后一本書a給甲的情況 .這兩種情況是完全相同的，而在誤解

6、中計(jì)算成了不同的情況。正好重復(fù)了一次.正解： 首先把 5 本書轉(zhuǎn)化成4 本書，然后分給4 個(gè)人 .第一步：從5 本書中任意取出2 本捆綁成一本書，有25c 種方法；第二步：再把4 本書分給4個(gè)學(xué)生，有44a 種方法 .由乘法原理，共有25c24044a種方法，故選b.例 5 某交通崗共有3 人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2 天，其不同的排法共有（）種.（ a） 5040 （b）1260 （c）210 （d）630 誤解：第一個(gè)人先挑選2 天，第二個(gè)人再挑選2 天，剩下的 3 天給第三個(gè)人， 這三個(gè)人再進(jìn)行全排列.共有：1260332527acc，選 b.錯(cuò)因分析：這里是

7、均勻分組問題.比如：第一人挑選的是周一、周二，第二人挑選的是周三、周四；也可能是第一個(gè)人挑選的是周三、周四，第二人挑選的是周一、周二，所以在全排列的過程中就重復(fù)計(jì)算了.正解：6302332527acc種.4 遺漏計(jì)算出錯(cuò)在排列組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，因?yàn)檫z漏某些情況，而出錯(cuò)。例 6 用數(shù)字 0，1，2，3，4 組成沒有重復(fù)數(shù)字的比1000 大的奇數(shù)共有（）（ a） 36 個(gè)（b）48 個(gè)（c）66 個(gè)（d）72 個(gè)誤解：如右圖，最后一位只能是1 或 3 有兩種取法，又因?yàn)榈? 位不能是0，在最后一位取定后只有3 種取法，剩下3 個(gè)數(shù)排中間兩個(gè)位置有23a 種排法，共有363223

8、a個(gè).錯(cuò)因分析：誤解只考慮了四位數(shù)的情況，而比1000 大的奇數(shù)還可能是五位數(shù).正解： 任一個(gè)五位的奇數(shù)都符合要求，共有363233a個(gè)，再由前面分析四位數(shù)個(gè)數(shù)和五位數(shù)個(gè)數(shù)之和共有 72 個(gè)，選 d.5 忽視題設(shè)條件出錯(cuò)在解決排列組合問題時(shí)一定要注意題目中的每一句話甚至每一個(gè)字和符號，不然就可能多解或者漏解.例 7 (2003 全國高考題 )如圖，一個(gè)地區(qū)分為5 個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，1 3 2 5 4 乙丙丁a甲edcb表 1 乙丙丁a甲edcb表 2 0 1， 3 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 4 頁 - - -

9、 - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4 種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種.（以數(shù)字作答）誤解：先著色第一區(qū)域，有4 種方法，剩下3 種顏色涂四個(gè)區(qū)域，即有一種顏色涂相對的兩塊區(qū)域，有1222213ac種，由乘法原理共有：48124種.錯(cuò)因分析：據(jù)報(bào)導(dǎo)，在高考中有很多考生填了48 種.這主要是沒有看清題設(shè)“有4 種顏色可供選擇” ，不一定需要 4 種顏色全部使用，用3 種也可以完成任務(wù).正解： 當(dāng)使用四種顏色時(shí)，由前面的誤解知有48 種著色方法；當(dāng)僅使用三種顏色時(shí)：從4 種顏色中選取3種有34c 種方法，先著色第一區(qū)域，有3 種方法，剩下2 種顏色

10、涂四個(gè)區(qū)域，只能是一種顏色涂第2、4 區(qū)域，另一種顏色涂第3、5 區(qū)域，有2 種著色方法，由乘法原理有242334c種.綜上共有：722448種.例 8 已知02bax是關(guān)于x的一元二次方程，其中a、4, 3 ,2, 1b，求解集不同的一元二次方程的個(gè)數(shù).誤解：從集合4, 3, 2, 1中任意取兩個(gè)元素作為a、b，方程有24a 個(gè)，當(dāng) a 、b取同一個(gè)數(shù)時(shí)方程有1 個(gè)，共有13124a個(gè).錯(cuò)因分析：誤解中沒有注意到題設(shè)中：“求解集不同的”所以在上述解法中要去掉同解情況，由于4221baba和同解、2412baba和同解，故要減去2 個(gè)。正解： 由分析，共有11213個(gè)解集不同的一元二次方程.6

11、 未考慮特殊情況出錯(cuò)在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會出錯(cuò).例9 現(xiàn)有 1角、 2角、5角、 1元、2元、5元、 10元、50元人民幣各一張，100元人民幣 2張，從中至少取一張，共可組成不同的幣值種數(shù)是（）(a)1024 種(b)1023種(c)1536種(d)1535 種誤解：因?yàn)楣灿腥嗣駧?0張，每張人民幣都有取和不取2種情況， 減去全不取的1種情況， 共有10231210種 .錯(cuò)因分析：這里 100元面值比較特殊有兩張，在誤解中被計(jì)算成4 種情況，實(shí)際上只有不取、取一張和取二張 3種情況 .正解： 除100元人民幣以外每張均有取和不取2種情況， 100元人民幣的取法有3種

12、情況，再減去全不取的1種情況，所以共有15351329種.7 題意的理解偏差出錯(cuò)例 10 現(xiàn)有 8 個(gè)人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（）種 .（ a）5536aa（b）336688aaa（c）3335aa（d）4688aa誤解：除了甲、乙、丙三人以外的5 人先排，有55a 種排法， 5 人排好后產(chǎn)生6 個(gè)空檔，插入甲、乙、丙三人有36a 種方法，這樣共有5536aa種排法，選a.錯(cuò)因分析：誤解中沒有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的情況 . “甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時(shí)相鄰，但允許其中有兩人相鄰.精品學(xué)習(xí)

13、資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 4 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載正解：在 8 個(gè)人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即336688aaa，故選 b.8 解題策略的選擇不當(dāng)出錯(cuò)有些排列組合問題用直接法或分類討論比較困難，要采取適當(dāng)?shù)慕鉀Q策略，如間接法、插入法、捆綁法、概率法等，有助于問題的解決.例 10 高三年級的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（）.（ a） 16 種（b）18 種（c）37 種（d）48 種誤解：甲工廠先派一個(gè)班去，有 3 種選派方法， 剩下的 2 個(gè)班均有4 種選擇，這樣共有48443種方案 .錯(cuò)因分析：顯然這里有重復(fù)計(jì)算.如： a班先派去了甲工廠，b班選擇時(shí)也去了甲工廠，這與b班先派去了甲工廠， a 班選擇時(shí)也去了甲工廠是同一種情況，而在上述解法中當(dāng)作了不一樣的情況，并且這種重復(fù)很難排除 .正 解 ： 用 間 接 法 .先 計(jì)算3 個(gè) 班 自