2022年排列組合知識總結+經典題型,推薦文檔

1、(1)知識梳理1分類計數(shù)原理（加法原理）：完成一件事，有幾類辦法，在第一類中有 m1 種有不同的方法，在第2 類中有 m2 種不同的方法在第 n 類型有 m3 種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法。2分步計數(shù)原理（乘法原理）：完成一件事，需要分成n 個步驟，做第 1 步有 m1 種不同的方法，做第2 步有 m2 種不同的方法，做第 n 步有 mn 種不同的方法；那么完成這件事共有種不同的方法。特別提醒： 分類計數(shù)原理與 “ 分類 ” 有關，要注意 “ 類” 與“ 類” 之間所具有的獨立性和并列性；分步計數(shù)原理與 “ 分步 ” 有關，要注意“ 步” 與“ 步” 之間具有的相依性和連續(xù)性，

2、應用這兩個原理進行正確地分類、分步，做到不重復、不遺漏。3排列：從 n 個不同的元素中任取m(m n)個元素，按照一定順序排成一列，叫做從n 個不同元素中取出m 個元素的一個排列. 4排列數(shù)：從n 個不同元素中取出m(m n)個元素排成一列，稱為從 n 個不同元素中取出m 個元素的一個排列. 從 n 個不同元素中取出 m 個元素的一個排列數(shù)，用符號表示. 5排列數(shù)公式：特別提醒：（1）規(guī)定 0! = 1 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - -

3、- - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -（2）含有可重元素的排列問題. 對含有相同元素求排列個數(shù)的方法是：設重集s有 k 個不同元素 a1，a2, .an其中限重復數(shù)為n1、n2nk ，且 n = n1+n2+ nk , 則 s 的排列個數(shù)等于. 例如：已知數(shù)字3、2、2，求其排列個數(shù)又例如： 數(shù)字 5、5、5、求其排列個數(shù)？其排列個數(shù). 6組合：從 n 個不同的元素中任取m(m n)個元素并成一組，叫做從 n 個不同元素中取出m 個元素的一個組合. 7組合數(shù)公式：8兩個公式：特別提醒：排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別. 聯(lián)系：都是從n 個

4、不同元素中取出m 個元素 . 區(qū)別：前者是 “ 排成一排 ” ， 后者是 “ 并成一組 ” ， 前者有順序關系，后者無順序關系 .(2)典型例題考點一 :排列問題例 1.六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？（1）甲不站兩端；（2）甲、乙必須相鄰；（3）甲、乙不相鄰；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -（4）甲、乙之間間隔兩人；

5、（5）甲、乙站在兩端；（6）甲不站左端，乙不站右端. 考點二 :組合問題例 2. 男運動員 6 名，女運動員 4 名，其中男女隊長各1 人.選派5 人外出比賽 .在下列情形中各有多少種選派方法？（1）男運動員3 名，女運動員2 名；（2）至少有 1 名女運動員；（3）隊長中至少有1 人參加；（4）既要有隊長，又要有女運動員. 考點三 :綜合問題例 3.4 個不同的球， 4 個不同的盒子，把球全部放入盒內. （1）恰有 1 個盒不放球，共有幾種放法？（2）恰有 1 個盒內有 2 個球，共有幾種放法？（3）恰有 2 個盒不放球，共有幾種放法？當堂測試1.從 5 名男醫(yī)生、4 名女醫(yī)生中選3 名醫(yī)生

6、組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有（）a.70 種b.80 種c.100 種d.140 種精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -2.亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，則不同的

7、選派方案共有（）a.48 種b.12 種c.18 種d.36 種3.從 0，1，2，3，4，5 這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為（）a.48 b.12 c.180 d.1624.甲組有 5 名男同學， 3 名女同學；乙組有6 名男同學， 2 名女同學。若從甲、 乙兩組中各選出2 名同學， 則選出的 4 人中恰有1 名女同學的不同選法共有（）a.150 種b.180 種c.300 種d.345 種5.甲、乙兩人從4 門課程中各選修2 門，則甲、乙所選的課程中至少有 1 門不相同的選法共有（）a.6 b.12 c.30 d.366.用 0 到 9 這 10 個

8、數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（）a324 b.328 c.360 d.6487.從 10 名大學畢業(yè)生中選3 人擔任村長助理，則甲、乙至少有1 人入選，而丙沒有入選的不同選法的總數(shù)為（）a.85 b.56 c.49 d.28精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -8.將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名

9、學生， 且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的總數(shù)為（）a.18 b.24 c.30 d.309.3 位男生和 3 位女生共 6 位同學站成一排， 若男生甲不站兩端，3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）a.360 b.288 c.216 d.96 參考答案：例 1 解：（ 1）方法一：要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個位置上任選1 個，有種站法， 然后其余 5 人在另外 5 個位置上作全排列有種站法，根據分步乘法計數(shù)原理，共有站法：方法二：由于甲不站兩端，這兩個位置只能從其余5 個人中選 2個人站，有種站法，然后中間4 人有種站法，根據分步乘法計數(shù)原理，共有站法：

10、方法三：若對甲沒有限制條件共有種站法，甲在兩端共有種站法，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)，即共有站法：（2）方法一：先把甲、乙作為一個“ 整體” ，看作一個人，和其余 4 人進行全排列有種站法，再把甲、乙進行全排列，有種站法，根據分步乘法計數(shù)原理，共有精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -方法二：先把甲、乙以外的4 個人作全排列，有種站法，

11、再在5 個空檔中選出一個供甲、乙放入，有種方法，最后讓甲、乙全排列，有種方法，共有（3）因為甲、乙不相鄰，中間有隔檔，可用“ 插空法 ” ，第一步先讓甲、乙以外的4 個人站隊，有種站法；第二步再將甲、乙排在 4 人形成的 5 個空檔（含兩端）中，有種站法，故共有站法為也可用 “ 間接法 ” ，6 個人全排列有種站法，由（ 2）知甲、乙相鄰有種站法，所以不相鄰的站法有. （4）方法一：先將甲、乙以外的4 個人作全排列，有種，然后將甲、 乙按條件插入站隊， 有種，故共有站法. 方法二： 先從甲、 乙以外的 4 個人中任選2 人排在甲、 乙之間的兩個位置上，有種，然后把甲、乙及中間2 人看作一個 “

12、 大” 元素與余下 2 人作全排列有種方法，最后對甲、乙進行排列，有種方法，故共有站法 . （5）方法一：首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有種，再讓其他 4 人在中間位置作全排列，有種，根據分步乘法計數(shù)原理，共有站法. 方法二：首先考慮兩端兩個特殊位置，甲、乙去站有種站法，然后考慮中間4 個位置，由剩下的4 人去站，有種站法，由分精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 14 頁 -

13、- - - - - - - -步乘法計數(shù)原理共有站法. （6）方法一： 甲在左端的站法有種，乙在右端的站法有種，且甲在左端而乙在右端的站法有a種，共有站法. 方法二：以元素甲分類可分為兩類：甲站右端有種站法，甲在中間 4 個位置之一，而乙不在右端有種，故共有站法. 例 2 解（1）第一步：選3 名男運動員，有種選法 . 第二步：選2 名女運動員，有種選法 . 共有種選法 . （2）方法一至少 1 名女運動員包括以下幾種情況：1 女 4 男， 2 女 3 男， 3 女 2 男，4 女 1 男. 由分類加法計數(shù)原理可得總選法數(shù)為. 方法二“ 至少 1名女運動員 ” 的反面為 “ 全是男運動員 ”

14、可用間接法求解 . 從 10人中任選 5 人有種選法，其中全是男運動員的選法有種. 所以“ 至少有 1 名女運動員 ” 的選法為. （3）方法一：可分類求解：“ 只有男隊長 ” 的選法為；“ 只有女隊長 ” 的選法為；精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -“ 男、女隊長都入選 ” 的選法為；所以共有種選法 . 9分方法二：間接法：從 10

15、人中任選 5 人有種選法 . 其中不選隊長的方法有種.所以 “ 至少 1 名隊長 ” 的選法為種. 9 分（4）當有女隊長時，其他人任意選，共有種選法 .不選女隊長時， 必選男隊長，共有種選法 .其中不含女運動員的選法有種，所以不選女隊長時的選法共有種選法 . 所以既有隊長又有女運動員的選法共有種. 例 3 解（1）為保證 “ 恰有 1 個盒不放球 ” ，先從 4 個盒子中任意取出去一個， 問題轉化為 “4個球，3 個盒子， 每個盒子都要放入球，共有幾種放法？” 即把 4 個球分成 2，1，1 的三組，然后再從 3 個盒子中選1 個放 2 個球，其余 2 個球放在另外 2 個盒子內，由分步乘法

16、計數(shù)原理，共有（2）“ 恰有 1 個盒內有 2 個球 ” ，即另外 3 個盒子放 2 個球，每個盒子至多放1 個球， 也即另外 3 個盒子中恰有一個空盒， 因此，“ 恰有 1 個盒內有 2 個球 ” 與“ 恰有 1 個盒不放球 ” 是同一件事，所以共有 144種放法 . （3）確定 2 個空盒有種方法 . 4 個球放進 2 個盒子可分成（ 3，1）、（ 2，2）兩類，第一類有序不均勻分組有種方法；第二類有序均勻分組有種精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f

17、 - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -方法 . 故共有種. 當堂檢測答案1.從 5 名男醫(yī)生、4 名女醫(yī)生中選3 名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有（）a.70 種b.80 種c.100 種d.140 種解析：分為 2 男 1 女，和 1 男 2 女兩大類，共有=70種，解題策略：合理分類與準確分步的策略。2.亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事這四項工作，

18、則不同的選派方案共有（）a.48 種b.12 種c.18 種d.36 種解析：合理分類，通過分析分為（1）小張和小王恰有1 人入選，先從兩人中選1 人，然后把這個人在前兩項工作中安排一個，最后剩余的三人進行全排列有種選法。（ 2）小張和小趙都入選，首先安排這兩個人，然后再剩余的3 人中選 2 人排列有種方法。共有 24+12=36 種選法。解題策略： 1.特殊元素優(yōu)先安排的策略。2.合理分類與準確分步的策略。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - -

19、- - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -3.排列、組合混合問題先選后排的策略。3.從 0，1，2，3，4，5 這六個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為（）a.48 b.12 c.180 d.162 解析：分為兩大類： （1）含有 0，分步 1，從另外兩個偶數(shù)中選一個，種方法， 2.從 3 個奇數(shù)中選兩個，有種方法； 3.給 0安排一個位置，只能在個、十、百位上選，有種方法； 4.其他的 3 個數(shù)字進行全排列， 有種排法，根據乘法原理共種方法。（ 2）不含 0，分步，偶數(shù)必然是2，4 ；奇數(shù)有種不同的

20、選法，然后把4 個元素全排列，共種排法，不含0 的排法有種。根據加法原理把兩部分加一塊得解題策略： 1.特殊元素優(yōu)先安排的策略。2.合理分類與準確分步的策略。3.排列、組合混合問題先選后排的策略。4.甲組有 5 名男同學， 3 名女同學；乙組有6 名男同學， 2 名女同學。若從甲、 乙兩組中各選出2 名同學， 則選出的 4 人中恰有1 名女同學的不同選法共有（）a.150 種b.180 種c.300 種d.345 種解析： 4 人中恰有 1 名女同學的情況分為兩種，即這1 名女同學或來自甲組，或來自乙組，則所有不同的選法共有種選法。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - -

21、 - - - - - - 第 10 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -解題策略：合理分類與準確分步的策略。5.甲、乙兩人從4 門課程中各選修2 門，則甲、乙所選的課程中至少有 1 門不相同的選法共有（）a.6 b.12 c.30 d.36 解析：可以先讓甲、乙任意選擇兩門，有種選擇方法，然后再把兩個人全不相同的情況去掉，兩個人全不相同， 可以讓甲選兩門有種選法，然后乙從剩余的兩門選，有種不同的選法，全不相同的選法是種方法， 所以

22、至少有一門不相同的選法為種不同的選法。解題策略：正難則反，等價轉化的策略。6.用 0 到 9 這 10 個 數(shù)字，可以組成沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為（）a.324 b.328 c.360 d.648解析：第一類個位是零，共種不同的排法。第二類個位不是零，共種不同的解法。解題策略：合理分類與準確分步的策略. 7.從 10 名大學畢業(yè)生中選3 人擔任村長助理，則甲、乙至少有1 人入選，而丙沒有入選的不同選法的總數(shù)為（）a.85 b.56 c.49 d.28 解析：合理分類，甲乙全被選中，有種 選 法，甲乙有一個被選中，有種不同的選法，共+=49 種不同精品學習資料 可選擇p d f - - -

23、 - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -的選法。解題策略：（1）特殊元素優(yōu)先安排的策略，（2）合理分類與準確分步的策略. 8.將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班，每個班至少分到一名學生， 且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同分法的總數(shù)為（）a.18 b.24 c.30 d.30 將甲、乙、丙、丁四名學生分成三組，則共有種不同的分法，然后三組進行全排列共種不同的方法；然后

24、再把甲、乙分到一個班的情況排除掉，共種不同的排法。所以總的排法為種注意 : 這里有一個分組的問題， 即四個元素分成三組有幾種不同的分法的問題。這里分為有序分組和無序分組，有興趣的同學可以繼續(xù)研究，這里不再詳述。解題策略：1.正難則反、等價轉化的策略2.相鄰問題捆綁處理的策略3.排列、組合混合問題先選后排的策略；9.3 位男生和 3 位女生共 6 位同學站成一排， 若男生甲不站兩端，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 14 頁 - - - - - - - - -3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（）a.360 b.288 c.216 d.96 解析：分析排列組合的問題第一要遵循特殊元素優(yōu)先考慮的原則，先考慮女生的問題