考名校系列：高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)梳理附詳細(xì)解析高頻率易錯(cuò)題匯總大匯集

1、高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)點(diǎn)梳理附詳細(xì)解析,高頻率易錯(cuò)題匯總大匯集一、集合與簡(jiǎn)易邏輯易錯(cuò)點(diǎn)1對(duì)集合表示方法理解存在偏差【問(wèn)題】1：己知a = x|x>o,b = y|y>l,求a b。錯(cuò)解：a b =(p剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本質(zhì)。正確結(jié)果：a b = b【問(wèn)題】2:已知 a = y|y = x + 2,b = o,刃 |f+y2=4,求 a b°錯(cuò)解： a 3 = (0,2),(-2,0)正確答案：a b = ®剖析：審題不慎，忽視代表元素，誤認(rèn)為a為點(diǎn)集。反思：對(duì)集合表示法部分學(xué)生只從形式上“掌握”，對(duì)其本質(zhì)的理解存在誤區(qū)，常見(jiàn)的錯(cuò)誤是不理 解集合的表示法，忽

2、視集合的代表元素。易錯(cuò)點(diǎn)2在解含參數(shù)集合問(wèn)題時(shí)忽視空集【問(wèn)題】：己知a = x2a<x<a2,b = x-2<x<l,且agb,求a的取值范圉。錯(cuò)解：卜1, 0)剖析：忽視a = 0的情況。正確答案:-1, 2反思：由于空集是一個(gè)特殊的集合，它是任何集合的子集，因此對(duì)于集合aqb就有可能忽視 ta = 0 ,導(dǎo)致解題結(jié)果錯(cuò)誤。尤其是在解含參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)，更應(yīng)注意到當(dāng)參數(shù)在某個(gè)范 i韋i內(nèi)取值時(shí)，所給的集合可能是空集的情況。考生由于思維定式的原因，往往會(huì)在解題屮遺忘了 這個(gè)集合，導(dǎo)致答案錯(cuò)誤或答案不全面。易錯(cuò)點(diǎn)3在解含參數(shù)問(wèn)題時(shí)忽視元素的互異性【問(wèn)題】：己知1丘。+ 2

3、,(d + l)2, /+3q + 3 ,求實(shí)數(shù)a的值。錯(cuò)解：ci 2,1,0剖析：忽視元素的互異性，其實(shí)當(dāng)a =-2時(shí)，(q+1了 = /+3 + 3 =1 ；當(dāng)心=一1時(shí)，6z + 2 = t72+3a + 3=l；均不符合題意。正確答案：d = 0反思：集合屮的元素具有確定性、互異性、無(wú)序性，集合元素的三性屮的互異性對(duì)解題的影響最 大，特別是含參數(shù)的集合，實(shí)際上就隱含著對(duì)字母參數(shù)的一些要求。解題時(shí)可先求出字母參數(shù)的 值，再代入驗(yàn)證。易錯(cuò)點(diǎn)4命題的否定與否命題關(guān)系不明【問(wèn)題】：寫(xiě)出“若a ma p，則am 嚴(yán)的否命題。錯(cuò)解一：否命題為“若am或則ae m p”剖析：概念模糊，弄錯(cuò)兩類命題的

4、關(guān)系。錯(cuò)解二否命題為“若aem或cwp,則aem p”剖析：知識(shí)不完整，p的否定形式應(yīng)為6/ e ma e p o正確答案：若aw m且aw尸，則aem p反思：命題的否定是命題的非命題，也就是“保持原命題的條件不變，否定原命題的結(jié)論作為結(jié) 論''所得的命題，但否命題是“否定原命題的條件作為條件，否定原命題的結(jié)論作為結(jié)論''所得的 命題。對(duì)此。考生可能會(huì)犯兩類錯(cuò)誤概念不清，不會(huì)對(duì)原命題的條件和結(jié)論作出否定；審題 不夠細(xì)心。易錯(cuò)點(diǎn)5充分必要條件顛倒出錯(cuò)【問(wèn)題】：己知q, “是實(shí)數(shù)，貝f d0且.z? > 0”是“ a + h> 0且ah > 0

5、"的a充分而不必要條件 b必要而不充分條件 c充分必要條件 d既不充分也不必要條件錯(cuò)解：選b剖析：識(shí)記不好，不能真正理解充要條件概念，未能掌握判斷充要條件的方法。正確答案：c反思：對(duì)于兩個(gè)條件如果a=>bf則4是b的充分條件，是a的必要條件，如果則a是b的充要條件。判斷充要條件常用的方法有定義法；集合法；等價(jià)法。 解題時(shí)最容易出錯(cuò)的就是顛倒了充分性與必要性，所以在解決這類問(wèn)題時(shí)，一定要分清條件和結(jié) 論，根據(jù)充要條件的定義，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗ鞒鰷?zhǔn)確的判斷，不充分不必要常借助反例說(shuō)明。 易錯(cuò)點(diǎn)6對(duì)邏輯聯(lián)結(jié)詞及其真值表理解不準(zhǔn)【問(wèn)題】：命題p：若ber,則同+同1是a-b> 1的

6、充分而不必要條件；命題q：函數(shù) y二 j| x_l| -2 的定義域是（一<», 1u3, +<»）,貝ij人“”或曠為假為真 c p真q假d p假q真錯(cuò)解一：選a或b剖析：對(duì)真值表記憶不準(zhǔn)，本題中卩假q真，因此“°或0，為真，而“卩且曠為假。錯(cuò)法二：選c剖析：基礎(chǔ)不牢,在判斷命題從q真假時(shí)出錯(cuò)。正確答案：d反思：含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且"、“非''的命題稱為復(fù)合命題。在判斷復(fù)合命題真假時(shí)，常常因?yàn)?對(duì)概念理解不準(zhǔn)確或真值表記不清而出現(xiàn)錯(cuò)誤。為此準(zhǔn)確理解概念、巧記真值表是解題的關(guān)鍵。 這里介紹一種快速記憶真值表的方法：“0或0

7、， 真則真”且g”有假則假；“非0”真假相反。易錯(cuò)點(diǎn)7否定全稱、特稱命題出錯(cuò)【問(wèn)題】寫(xiě)出下列命題的否定： p：對(duì)任意的正整數(shù)x, x2>x ； q：存在一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和大于180° ; ：三角形只有一個(gè)外接圓。錯(cuò)解：卩：對(duì)任意的正整數(shù)x, x2<x； q：所有的三角形的內(nèi)角和小于180°； 一曠:存在一個(gè)三角形有且只有一個(gè)外接圓。剖析：知識(shí)欠缺，基礎(chǔ)不牢導(dǎo)致出錯(cuò)。正確答案：卩：存在正整數(shù)x,使x2<x； q：所有的三角形的內(nèi)角和都不大于180°: t：存在一個(gè)三角形至少有兩個(gè)外接圓。反思：全稱命題p:/x wm、pg ,它的否定a/,p(x

8、),特稱命題p:bxm,p(x),它的否定一般來(lái)說(shuō)，全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題。切記對(duì)全稱、特稱命題的否定，不僅要否定結(jié)論p(x),而且還要對(duì)量詞“0和于'進(jìn)行 否定。另外，對(duì)一些省略了量詞的簡(jiǎn)化形式，應(yīng)先將命題寫(xiě)成完整形式，再依據(jù)法則來(lái)寫(xiě)出其否 定形式。二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)8求函數(shù)定義域時(shí)條件考慮不充分【問(wèn)題】：求函數(shù)尸/1= + (無(wú)+ 1)。的定義域。v3-2x-x2錯(cuò)解：-3, 1剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視分母不為零；誤以為(% + 1)° = 1對(duì)任意實(shí)數(shù)成立。正確答案： (-3，-1)(71)反思：函數(shù)定義域是使函數(shù)有意義的口變量的取值范圍，因此

9、求定義域時(shí)就要根據(jù)函數(shù)解析式把 各種情況下的自變量的限制條件找出來(lái)，列成不等式組，不等式組的解集就是該函數(shù)定義域。在 求函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)分式的分母不為零；偶次根式被開(kāi)方式非負(fù)；對(duì)數(shù)的真 數(shù)大于零；零的零次幕沒(méi)有意義；函數(shù)的定義域是非空的數(shù)集。易錯(cuò)點(diǎn)9求復(fù)合函數(shù)定義域時(shí)忽視“內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域”【問(wèn)題】已知函數(shù)/(x) = log3x + 2,xgl,9,求函數(shù)y = /&)+/(/)的值域。錯(cuò) 解：設(shè) t = log3x ,g0,2 ,y = r +6r + 6 ,tg0,2,.函數(shù)的值域是6,22。l<x<91 < x2 < 9剖析：

10、知識(shí)欠缺，求函數(shù) 尸/(%)+/(?)定義域時(shí)，應(yīng)考慮正確答案：函數(shù)的值域是6,13反思：在復(fù)合函數(shù)川，外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域，求復(fù)合函數(shù)定義域類型為：若已知/(兀)的定義域?yàn)閐,列,其復(fù)合函數(shù)/鞏勸的定義域可由不等式a<g(x)<b解出即 可；若已知幾?(勸的定義域?yàn)椤皢?wèn)，求g(x)的定義域，相當(dāng)于xw“,b時(shí)，求g(x)的值域 (即/(%)的定義域)。易錯(cuò)點(diǎn)分析10判斷函數(shù)奇偶性時(shí)忽視定義域【問(wèn)題】1：判斷函數(shù)+1)的奇偶性。x(x -1)x2 +錯(cuò)解：原函數(shù)即y二，為奇函數(shù)剖析：只關(guān)注解析式化簡(jiǎn)，忽略定義域。正確答案：非奇非偶函數(shù)?！締?wèn)題】2:判斷函數(shù)/(x) =

11、w_l+jl-f的奇偶性。錯(cuò)解：/(-x)= /(x), a為偶函數(shù)剖析：不求函數(shù)定義域只看表面解析式，只能得到偶函數(shù)這一結(jié)論，導(dǎo)致錯(cuò)誤。 正確答案：既奇且偶函數(shù)。反思：函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。如果不具備這個(gè)條件，一定是非奇 非偶函數(shù)。在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，如果對(duì)定義域內(nèi)任意x都有f(-x) = -f(x),則/(兀)為奇函數(shù)；如果對(duì)定義域內(nèi)任意x都有f(-x) = /(x)，則/(兀)為偶函數(shù)，如果對(duì)定義域 內(nèi)存在竝使/(/(勺)，則/(x)不是奇函數(shù)；如果對(duì)定義域內(nèi)存在勺使 /(-和工/(兀)，則/(兀)不是偶函數(shù)。易錯(cuò)點(diǎn)11求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)忽視定義域【

12、問(wèn)題】：求函數(shù)y = log05(4 + 3x-x2)的增區(qū)間。錯(cuò)解一：外層函數(shù)為減函數(shù)，內(nèi)層函數(shù)u = 4 + 3x /減區(qū)間為-,+oo),原函數(shù)增區(qū)間為弓,+°°)。剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視定義域問(wèn)題3錯(cuò)解二：4 + 3兀/>o,函數(shù)定義域?yàn)?-1,4),又內(nèi)層函數(shù)“ = 4 + 3兀f在為增3 3函數(shù)，在-,+00)為減函數(shù)，二原函數(shù)增區(qū)間為(一1,一°2 2剖析：識(shí)記不好，對(duì)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性法則不熟練。正確答案：|,4)反思：求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間一般步驟是求函數(shù)的定義域；作出內(nèi)層函數(shù)的圖彖；用“同增 異減"法則寫(xiě)單調(diào)區(qū)間。解此類題通常會(huì)出現(xiàn)以下兩

13、類錯(cuò)誤：一是忽視定義域；二是“同增異減" 法則不會(huì)或法則用錯(cuò)。易錯(cuò)點(diǎn)12解“二次型函數(shù)”問(wèn)題時(shí)忽視對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)的討論【問(wèn)題】：函數(shù)f(x) = (m-l)x2 +2(7n+l)x-l的圖象與兀軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。錯(cuò)解：由 = ()解得m = -3剖析：知識(shí)殘缺，分類討論意識(shí)沒(méi)有，未考慮加-1 = 0的情況。正確答案：-3,0,1反思：在二次型函數(shù)y = cuc+bx+c,當(dāng)qho時(shí)為二次函數(shù)，其圖象為拋物線；當(dāng)a = q,bo時(shí)為一次函數(shù)，其圖象為直線。在處理此類問(wèn)題時(shí)，應(yīng)密切注意/項(xiàng)的系數(shù)是否為o,若不能確定，應(yīng)分類討論，另外有關(guān)三個(gè)“二次"之間的關(guān)系的結(jié)

14、論也是我們應(yīng)關(guān)注的對(duì)象。例如：ax2 +bx+c>0解集為/? o d>0,4<0或a二b二0, c>0ax2 +加 +(?>0解集為0 <=> °<(),<0或a=b=o, c<0易錯(cuò)點(diǎn)13用函數(shù)圖象解題時(shí)作圖不準(zhǔn)【問(wèn)題】:求函數(shù)/(x) = %2的圖象與直線/(%) = 2x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。錯(cuò)解：兩個(gè)剖析：忽視指數(shù)函數(shù)與帚函數(shù)增減速度快慢對(duì)作圖的影響。正確答案：三個(gè)反思：“數(shù)形結(jié)合”是重要思想方法之一，以其準(zhǔn)確、快速、靈活及操作性強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)頗受數(shù)學(xué) 學(xué)習(xí)者的青睞。但我們?cè)诮忸}時(shí)應(yīng)充分利用函數(shù)性質(zhì)，畫(huà)準(zhǔn)圖形，不能主觀臆造，導(dǎo)

15、致圖形“失 真"，從而得出錯(cuò)誤的答案。易錯(cuò)點(diǎn)14忽視轉(zhuǎn)化的等價(jià)性【問(wèn)題】1:已知方程/nr2-3x4-1 = 0有且只有一個(gè)根在區(qū)間(0, 1)內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。錯(cuò)解：方程/nr?-3兀+ 1 = 0有且只有一個(gè)根在區(qū)間(0, 1)內(nèi)，.函數(shù)丿=皿2_3尢+ 1的圖彖與兀軸在(0, 1)內(nèi)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，/(0)/(1)<0,解得m<2剖析：知識(shí)殘缺，在將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)時(shí)，應(yīng)考慮到=（）情況。 正確答案：m<2且m=9/4剖析：在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，去絕對(duì)值時(shí)出錯(cuò)，從而得到錯(cuò)誤的圖象。在圖象變換過(guò)程中出錯(cuò)，搞錯(cuò)平移方向。正確答案：d反思：等價(jià)轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)的重要思想方法

16、之一，處理得當(dāng)會(huì)起到意想不到的效果，但等價(jià)轉(zhuǎn)化的前 提是轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，反之會(huì)出現(xiàn)各種離奇的錯(cuò)誤。易錯(cuò)點(diǎn)15分段函數(shù)問(wèn)題【問(wèn)題】1: 已知/（朗（2 兀+ 1是尺上的增函數(shù)，求a的収值范圍。axx>錯(cuò)解:（1,2） 剖析：知識(shí)殘缺，只考慮到各段函數(shù)在相應(yīng)定義域內(nèi)為增函數(shù)，忽視/（q在分界點(diǎn)附近函數(shù)值 大小關(guān)系。正確答案：|,2）【問(wèn)題】2:設(shè)函數(shù)/（朗=疋+處+<0,*0,若/（_4）=/（o）,/f 2a，求關(guān)于x的方程2, x > 0./（x）= x解的個(gè)數(shù)。錯(cuò)解：兩個(gè) 剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，分類討論意識(shí)沒(méi)有，未能將方程/（x）= x分兩種情況來(lái)解。正確答案：三個(gè)反思：與分段函數(shù)

17、相關(guān)的問(wèn)題有作圖、求值、求值域、解方程、解不等式、研究單調(diào)性及討論奇 偶性等等。在解決此類問(wèn)題時(shí)，要注意分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)，如果自變量収值不 能確定，要對(duì)自變量取值進(jìn)行分類討論，同時(shí)還要關(guān)注分界點(diǎn)附近函數(shù)值變化情況。易錯(cuò)點(diǎn)16函數(shù)零點(diǎn)定理使用不當(dāng)【問(wèn)題】若函數(shù)/（兀）在區(qū)1'可卜2,2上的圖彖是連續(xù)不斷的曲線，且/（兀）在（-2,2）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn),則 f（-2）/（2）的值 （）a 大于0 b小于0 c等于0 d不能確定錯(cuò)解：由函數(shù)零點(diǎn)存在定理知，推2對(duì)(2)<0,故選b剖析：沒(méi)有正確理解函數(shù)零點(diǎn)的含義及存在性，若函數(shù)/(兀)在(2,2)內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，且該零點(diǎn)為“變

18、號(hào)零點(diǎn)”，則f(-2yf(2)<0,否則f(-2)：f(2)>0.正確答案：d反思：函數(shù)零點(diǎn)定理是指如果函數(shù)/(兀)在區(qū)間上的圖彖是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有/w0)<o,那么函數(shù)/(兀)在區(qū)間小)內(nèi)有零點(diǎn)。解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題常用方法有定理法、 圖象法和方程法。函數(shù)零點(diǎn)又分為“變號(hào)零點(diǎn)'和“不變號(hào)零點(diǎn)"，函數(shù)零點(diǎn)定理僅適用于“變號(hào)零 點(diǎn)”，對(duì)“不變號(hào)零點(diǎn)"無(wú)能為力。易錯(cuò)點(diǎn)17混淆兩類切線的概念【問(wèn)題】：若直線y二kx與曲線y =3f+2兀相切試求k的值。(提示y二kx即過(guò)原點(diǎn)的切線)錯(cuò)解：# = 6兀+2 ,斜率r = 2 ,剖析：知識(shí)殘缺，過(guò)某點(diǎn)的

19、切線并非在某點(diǎn)處的切線。正確答案：k = 2k = 一丄4反思：曲線在點(diǎn)p處的切線”p為切點(diǎn)且p在曲線上，而“過(guò)點(diǎn)p的切線"僅能說(shuō)明點(diǎn)p在曲線的 切線上。易錯(cuò)點(diǎn)18誤解“導(dǎo)數(shù)為0”與“有極值”的邏輯關(guān)系【問(wèn)題】：函數(shù)f(x) = x3 -ax2 -bx + a2在x=l處有極值10,求d,/?的值。錯(cuò)解：由 /(i) = 10,/'(i) = 0解得 a = 40 = -11或d = -3,/? = 3剖析：對(duì)“導(dǎo)數(shù)為0”與“有極值”邏輯關(guān)系分辨不清，錯(cuò)把/(如)為極值的必要條件當(dāng)作充要條件。 正確答案：a=4,b=-11反思：在使用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值時(shí)，很容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是求出使

20、導(dǎo)函數(shù)等于0的點(diǎn)，而沒(méi)有 對(duì)這些點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)進(jìn)行判斷，誤以為使導(dǎo)函數(shù)等于0的點(diǎn)就是函數(shù)的極值點(diǎn)。出現(xiàn) 這種錯(cuò)誤的原因就是對(duì)導(dǎo)數(shù)與極值關(guān)系不清?？蓪?dǎo)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值為0只是這個(gè)函數(shù)在 此點(diǎn)取到極值的必要條件，充要條件是廣(兀)=()且廠(x)在¥()兩側(cè)異號(hào)。易錯(cuò)點(diǎn)19對(duì)“導(dǎo)數(shù)值符號(hào)”與“函數(shù)單調(diào)性”關(guān)系理解不透徹【問(wèn)題】：若函數(shù)f(x) = ax3-x在/?上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的収值范圍。°f a <0錯(cuò)解：由ff(x)=3ax2 -1<0在/?上恒成立，2,解得a<0a = 12d v 0剖析：概念模糊，錯(cuò)把/（兀）在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增（

21、減）函數(shù)的充分條件當(dāng)成充要條件。事實(shí)±.a = q時(shí)滿足題意。正確答案：a0反思：一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)增（減）的充要條件是這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上恒大（小） 于等于0,且導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒為0。切記導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上恒大（?。┯?0僅為該函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)增（減）的充分條件。易錯(cuò)點(diǎn)20對(duì)“導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)”與“原函數(shù)圖象升降”關(guān)系不清楚【問(wèn)題】：已知函數(shù)夬兀）的導(dǎo)函數(shù)/（兀）的圖象如圖所示，則y二滄）的圖象最有可能的是.錯(cuò)解：選a,b,d剖析：概念不清，憑空亂猜，正確解法是由于f（o） = f=0,且兩邊值符號(hào)相反，故0和2為極值點(diǎn)；又因?yàn)楫?dāng)兀0和x2時(shí)，廣（x）0,

22、當(dāng)0兀2時(shí)，廣（x）0,所以函數(shù)/（x）在（-8,0）和（2, +s）上為增函數(shù)，在（0,2）上為減函數(shù)。正確答案：c反思：解答此類題的關(guān)鍵是抓住導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與原函數(shù)的極值點(diǎn)關(guān)系極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為 0;導(dǎo)函數(shù)值的符號(hào)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系原函數(shù)看增減，導(dǎo)函數(shù)看正負(fù)。易錯(cuò)點(diǎn)21悚解函數(shù)的反函數(shù)易漏掉確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域。例/（兀）二竿 二是r上的奇函數(shù)，（1）求a的值（2）求的反函數(shù)f（x）1 i剖析：求解已知函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，易忽略求解反函數(shù)的定義域即原函數(shù)的值域而出錯(cuò)。 解析:（1）利用/（%） + /（-x）= 0 （或/（0）= 0）求得a=l.(2)由 a = 1 即 /(x)=

23、2x-l2r + l設(shè) y = f(x)，則 2a (1 一 y) = 1 + y 由于 y 工 1 故 2v1±21 yliz2” 一 2x = log- ,而/（x） =尹打=1-yw（ j，l）所以廠（x） = log2i（-lvxl）i反恩、：（1）在求解函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，一定耍通過(guò)確定原函數(shù)的值域即反函數(shù)的定義域在反函數(shù)的解析式后表明 （若反函數(shù)的定義域?yàn)閞可省略）。（2）應(yīng)用/ l（b） = af（a）=b可省略求反函數(shù)的步曝 直接利用原函數(shù)求解但應(yīng)注意英自變量和函數(shù)值i要互換?！揪?】函數(shù)/（x）= vx1+1（x>1）的反函數(shù)是（）a、y =-2x+2（x<

24、l） b、y = jc -2x4-2（x>1）c、y = x2 -2x（x<l）d、y = -2x（x>l）答案：b三、數(shù)列易錯(cuò)點(diǎn)22由sn求an時(shí)忽略對(duì)“ n = 1 ”檢驗(yàn)【問(wèn)題】：已知數(shù)列arl 的前n項(xiàng)和sz/=n2-/? + l,求綣。錯(cuò)解：由 an =sn 一 s_解得 an =2n - 2剖析：考慮不全面，錯(cuò)誤原因是忽略了劣二sn-s”成立的條件nn2,實(shí)際上當(dāng)n=l時(shí)就出現(xiàn)了 so,而so是無(wú)意義的，所以使用色二sn-s門(mén)求,只能表示第二項(xiàng)以后的各項(xiàng)，而第一項(xiàng)能 否用這個(gè)表示，尚需檢驗(yàn)。正確答案： j（，? = ?"2/7 - 2（/? > 2

25、, /? g 7v ）反思：在數(shù)列問(wèn)題中，數(shù)列的通項(xiàng)暫與其前n項(xiàng)和s” z間關(guān)系如下 =is,在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)，要牢牢記住其分段的特點(diǎn)。當(dāng)題中給出數(shù)*s“-s”tg2,/7s ）列an 的色與s”關(guān)系時(shí)，先令刃=1求出首項(xiàng)“然后令n>2求出通項(xiàng)色=二一&_,最 后代入驗(yàn)證。解答此類題常見(jiàn)錯(cuò)誤為直接令n>2求出通項(xiàng)q”=s-st，也不對(duì) =1進(jìn)行檢驗(yàn)。易錯(cuò)點(diǎn)23忽視兩個(gè)“中項(xiàng)”的區(qū)別【問(wèn)題】：x二ac是abc成等比數(shù)列的（）a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分有不必要條件錯(cuò)解：c剖析：思維不縝密，沒(méi)有注意到當(dāng)v=ac時(shí)，a,b,c可能為0。正確答案：b反思：

26、若cl、b,c成等比數(shù)列，貝仏為d和c的等比中項(xiàng)。由定義可知只有同號(hào)的兩數(shù)才有等比中 項(xiàng)，-b2 = 6zc -僅是“方為g和c的等比中項(xiàng)"的必要不充分條件，在解題時(shí)務(wù)必要注意此點(diǎn)。易錯(cuò)點(diǎn)24在數(shù)列求和中對(duì)求一等差數(shù)列與一等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列的前n項(xiàng)和不會(huì)采用錯(cuò)項(xiàng)相減法或解答 結(jié)果不到位。【問(wèn)題】己知數(shù)列勺是等差數(shù)列，且q =2,嗎+6?2+他=12（1）求數(shù)列%的通項(xiàng)公式（2）令仇=anxn （x g 7?）求數(shù)列/?前項(xiàng)和的公式。剖析：本題根據(jù)條件確定數(shù)列cin的通項(xiàng)公式再由數(shù)列bn的通項(xiàng)公式分析可知數(shù)列$是一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列構(gòu)成的"差比數(shù)列”，可用錯(cuò)項(xiàng)相減的

27、方法求和。解析：（1）易求得an = 2/2(2)由(1)得仇=2nxn 令兀=2x + 4x2 +6x3 +2nx" ( i )則xvzz =2x2 +4jj +2（比一1）兀 + 2nx （ii）用（i ）減去（ii）（注意錯(cuò)過(guò)一位再相減）得sn =2 + 4 + 6 + 2n = n(n + l)+ 2疋一2卅當(dāng)"1當(dāng)x = 1吋(1 x) sfj =2兀 + 2 + 2疋 +綜上可得:x(l-xn)1“ 一當(dāng)嘰=2+4+6+ 2比=比(比+ 1)反思：一般情況下對(duì)于數(shù)列c“有c” = anbn其中數(shù)列色和$分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則其前n項(xiàng)和可通過(guò)在原數(shù)列的每-項(xiàng)

28、的叢礎(chǔ)上都乘上等比數(shù)列的公比再錯(cuò)過(guò)-項(xiàng)相減的方法來(lái)求解，實(shí)際上課本上等比 數(shù)列的求和公式就是這種情況的特例?！揪殹考褐?an + an'lb + an2h2 + ahnx +hn (n e na > o.b > 0)當(dāng) a = h 時(shí)，求數(shù)列%的前n項(xiàng)和片答案:a豐時(shí)為=（卄1）八一+ 20"2 + 2。當(dāng)“時(shí)=也巴（1-6z）22易錯(cuò)點(diǎn)25:不能根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)的特點(diǎn)尋找相應(yīng)的求和方法，在應(yīng)用裂項(xiàng)求和方法時(shí)對(duì)裂項(xiàng)后抵消項(xiàng)的規(guī)律不 清，導(dǎo)致多項(xiàng)或少項(xiàng)。c1111例、求 s” = _ -1111."1 1+2 1+2+31+2+3+h剖析：本題解答時(shí)-方而

29、若不從通項(xiàng)入手分析各項(xiàng)的特點(diǎn)就很難找到解題突破口，其次在裂項(xiàng)抵消中間項(xiàng)的過(guò) 程中，對(duì)消去哪些項(xiàng)剩余哪些項(xiàng)規(guī)律不淸而導(dǎo)致解題失誤。n(n + 1)解：由等差數(shù)列的前比項(xiàng)和公式得1 + 2 + 3 +川=，2!= - = 2(丄一一 )，刃取1, 2, 3,，就分別得到1,丄,一i,1 + 2 + 3+ + n(n +1) n n + i11 + 21 + 2 + 32（1弓+ 2（*冷） + 2（卜扣+ 2（卜占）反思、：“裂項(xiàng)法”有兩個(gè)特點(diǎn)，一是每個(gè)分式的分子相同；二是每項(xiàng)的分母都是兩個(gè)數(shù)(也可三個(gè)或更多)相乘, 口這兩個(gè)數(shù)的第一個(gè)數(shù)是前一項(xiàng)的第二個(gè)數(shù)，如果不具備這些特點(diǎn)，就要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。同是要

30、明確消項(xiàng)的規(guī)律-般 情況下剩余項(xiàng)是前后對(duì)稱的。常見(jiàn)的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求1 1 1 1+ +，方法還是抓通項(xiàng)，即12 +222 +432 +6 n2 + 2n1 1 1/11、r= 一()，問(wèn)題會(huì)很容易解決。另外還冇一些類似“裂項(xiàng)法”的題目，如：n +2n/?(/? +2)2 n 兄+ 2yfn + jn + 1,求其前n項(xiàng)和，可通過(guò)分母有理化的方法解決。數(shù)列求利的常用方法：公式法、裂項(xiàng)相【練】求和消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等。22 -142 -162 -1（2/1）2 -1占八 c 1111111111112n答案：sn = 111+ 1= ft1 33 55 72n -

31、1 2n +12斤 +1易錯(cuò)點(diǎn)26等比數(shù)列求和時(shí)忽視對(duì)q討論【問(wèn)題】：在等比數(shù)列an 中，s”為其前n項(xiàng)和，且sm®，求它的公比q。錯(cuò)解： $3=4(1)=303,解得q二丄1 一q2剖析：知識(shí)殘缺，直接用等比數(shù)列的求和公式，沒(méi)有對(duì)公比q是否等于1進(jìn)行討論，導(dǎo)致失誤。正確答案：q二丄或q=l2反思：與等差數(shù)列相比，等比數(shù)列有一些特殊性質(zhì)，如等比數(shù)列的每一項(xiàng)包括公比均不為0,等 比數(shù)列的其前n項(xiàng)和s”為分段函數(shù)，其屮當(dāng)q=l時(shí)，sn=nci。而這一點(diǎn)正是我們解題屮被忽 略的。易錯(cuò)點(diǎn)27用錯(cuò)了等差、等比數(shù)列的相關(guān)公式與性質(zhì)【問(wèn)題】：已知等差數(shù)列陽(yáng)的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,求它

32、的前3m項(xiàng)和錯(cuò)解一:170 剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，記錯(cuò)性質(zhì)，誤以為sgsys和成等差數(shù)列。錯(cuò)解二：130 剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，誤以為sgs?沖s,滿足s3w = s/w4-s2wo正確答案：210反思：等差、等比數(shù)列各自有一些重要公式和性質(zhì)(略)，這些公式和性質(zhì)是解題的根本，用錯(cuò) 了公式和性質(zhì)，自然就失去了方向。解決這類問(wèn)題的一個(gè)基本出發(fā)點(diǎn)就是考慮問(wèn)題要全面，把各 種可能性都考慮進(jìn)去，認(rèn)為正確的命題給予證明，認(rèn)為不正確的命題舉出反例予以說(shuō)明。易錯(cuò)點(diǎn)28用錯(cuò)位相減法求和時(shí)項(xiàng)數(shù)處理不當(dāng)【問(wèn)題】：求和=1+30 + 5/+(2比一1加心。剖析：考慮不全面，未對(duì)a進(jìn)行討論，丟掉時(shí)的情形。 將兩個(gè)和式錯(cuò)位相減后，

33、成等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)弄錯(cuò)。 將兩個(gè)和式錯(cuò)位相減后，丟掉最后一項(xiàng)。n2(d = 1)正確答案：sn= 12曲-的)2/?-1,、+ +d (心1) -a(1-<7)2-a反思：如果一個(gè)數(shù)列為一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積所得到的，那么該數(shù)列可用錯(cuò)位相 減法求和?；痉椒ㄊ窃O(shè)這個(gè)和式為sn，在這個(gè)和式的兩端同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比得到另一 個(gè)和式，將這兩個(gè)和式錯(cuò)位相減，得到一個(gè)新的和式，該式分三部分原來(lái)數(shù)列的第一項(xiàng)；一 個(gè)等比數(shù)列的前ml項(xiàng)和；原來(lái)數(shù)列的第n項(xiàng)乘以公比的相反數(shù)。在用錯(cuò)位相減法求和時(shí)務(wù)必 要處理好這三個(gè)部分，特別是等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，有時(shí)含原來(lái)數(shù)列的第一項(xiàng)共斤項(xiàng)，有時(shí)只有斤-1 項(xiàng)。

34、另外，如果公比為字母需分類討論。易錯(cuò)點(diǎn)29利用函數(shù)知識(shí)求解數(shù)列的最大項(xiàng)及前n項(xiàng)和最大值時(shí)易忽略其定義域限制是正整數(shù)集或其子集(從 1開(kāi)始【問(wèn)題】等差數(shù)列an的首項(xiàng)q > 0,前n項(xiàng)和片,當(dāng)i羊m時(shí)，必=耳。問(wèn)n為何值時(shí)片最大?剖析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次前數(shù)，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次兩數(shù)的最人值，但易忘記 此二次兩數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件。z、n(n-l d解析：由題意= /(/?) = nax + 112 2dd、d=n2 + a,刃'此函數(shù)是以n為變量的二次函數(shù)，因2 i 2)/ + itl為馬>0,當(dāng)/ m吋，5z?j = st故 v 0即此二

35、次函數(shù)開(kāi)口向下，故由=得當(dāng)x =吋+ 2/(x)取得最大值，但由于,故若/ +加為偶數(shù)，當(dāng)二時(shí)，最大。.i + m±當(dāng)i + m為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)=時(shí)片最大。2 :|反思、：數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集或其了集（從1開(kāi)始）上的函數(shù)，因此在解 :題過(guò)程小要樹(shù)立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題。特別的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次兩數(shù)且 ii|沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，反z滿足形如» =air +飭2所對(duì)應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和。此時(shí)由江= cm + b兀知數(shù)列屮的點(diǎn)n. 是同一直線上，這也是一個(gè)很巫要的結(jié)論。此外形如前n項(xiàng)和» =can c所對(duì)

36、應(yīng)的數(shù) ：i 丿i列必為一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和。 i【練】設(shè)%是等差數(shù)列，片是前n項(xiàng)和，且55 <56，»=»>必，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）a、d<0 b、嗎=° c、sg > s5 d、$6和$7均為匚的最大值。答案：c （提示利用二次苗數(shù)的知識(shí)得等差數(shù)列前n項(xiàng)和關(guān)于n的二次函數(shù)的對(duì)稱軸再結(jié)合單調(diào)性解答） 易錯(cuò)點(diǎn)30解答數(shù)列問(wèn)題時(shí)沒(méi)有結(jié)合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解答使解題思維受阻或解答過(guò)程繁瑣。3【問(wèn)題】已知關(guān)于的方程x2-3x + a = 0和x2 -3x + /? = 0的四個(gè)根組成首項(xiàng)為一的等差數(shù)列，求a + b4的值。剖析：注意到兩方程的

37、兩根z和相等這個(gè)隱含條件，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)明確等差數(shù)列中的項(xiàng)是如何排列的。3 9解析：不妨設(shè)一是方程對(duì)一3x + a = 0的根，由于兩方程的兩根之和相等故山等差數(shù)列的性質(zhì)知方程4x2-3x + a = 0的另一根是此等差數(shù)列的第四項(xiàng)，而方程兀2 3x + b = 0的兩根是等差數(shù)列的中間兩項(xiàng)，3 5 7 9273531根據(jù)等差數(shù)列知識(shí)易知此等差數(shù)列為盲，喬，才故“応"冷從而沖反思、：等羌數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)是數(shù)列知識(shí)的個(gè)重要方而，有解題屮充分運(yùn)用數(shù)列的性質(zhì)往往起到事半功 倍的效果。例如對(duì)丁等秀數(shù)列色，若n + m = p + q ,則an + am =+伽；對(duì)于箋比數(shù)列an,若n

38、+m=u + v.則an - atn = au -av ；若數(shù)列伉是等比數(shù)列，s”是其前n項(xiàng)的和，ken'那么去， s2k-s“ s3k - s2k成等垃數(shù)列；若數(shù)列 血是等差數(shù)列，s”是英前n項(xiàng)的和，k g n ' ,那么s s2k 一 sk, s3k - s2k成等差數(shù)列等性質(zhì)要熟練和靈活應(yīng)用?！揪?4己知方程x2-2x + m = 0和x2 -2x4-77 = 0的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為丄的等差數(shù)列，則4313m-n=（）a、1 b、一 c、d、-428答案:c易錯(cuò)點(diǎn)31數(shù)列中的最值錯(cuò)誤【問(wèn)題】：在等差數(shù)列陽(yáng)中，q=25, s9=516,求此數(shù)列的前兒項(xiàng)和最大。剖析：解題不

39、細(xì)心，在用等差數(shù)列前n和求解吋，解得n二12.5,誤認(rèn)為n二12.5?？紤]不全面，在用等差數(shù)列性質(zhì)求解得出坷3二0時(shí)，誤認(rèn)為只有§3最大。正確答案：即或如 反思：數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式都是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，要善于用函數(shù)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)和理 解數(shù)列問(wèn)題。但是考生很容易忽視n為正整數(shù)的特點(diǎn)，有時(shí)即使考慮了 n為正整數(shù)，但對(duì)于n 為何值時(shí)，能夠取到最值求解出錯(cuò)。在關(guān)于正整數(shù)n的二次函數(shù)中其取最值的點(diǎn)要根據(jù)正整數(shù)距 離二次函數(shù)的對(duì)稱軸遠(yuǎn)近而定。四、三角函數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)32求解時(shí)忽略角的范圍3 5【問(wèn)題】1:在 aabc中，sin a=-,cosb = 一 ,求cosa , sin b 的值。51

40、34 12錯(cuò)解：cosa=± , sinb=±一5 13剖析：基礎(chǔ)不實(shí)，忽視開(kāi)方時(shí)符號(hào)的選取。4 12正確答案：cosa= , sinb=5 13【問(wèn)題】2:在abc中，a、b為銳角，且sina =也,sinb =迥,510求a + b的值。錯(cuò)解：先求出 sin( a + b )= , v a + 5 g (0,兀)，a 4- b或 244剖析：知識(shí)殘缺，由于a、b為銳角，所以a+be(0,龍)。又由于正弦函數(shù)在(0,龍)上不是單調(diào)函數(shù)，所以本題不宜求sin(a + b),宜改求cos( a + b )或tan(a + b)。tt正確答案：a + b=4【問(wèn)題】1:在abc

41、中，己知a=v2,b=v3,b=-,«角a3錯(cuò)解：用正弦定理求得sin/l = , :.a=- 2 44剖析：基礎(chǔ)不牢，忽視隱含條件b>ah錯(cuò)。71正確答案：4反思：三角函數(shù)中的平方關(guān)系是三角變換的核心，也是易錯(cuò)點(diǎn)之一。解題時(shí)，務(wù)必重視“根據(jù)已 知角的范圍和三角函數(shù)的取值，精確確定未知角的范圍，并進(jìn)行定號(hào)易錯(cuò)點(diǎn)33求關(guān)于sin x,cosx最值時(shí)忽視正、余弦函數(shù)值域【問(wèn)題】：已知sinx + siny = -,求sin y-cos2 x的最大值。32錯(cuò)解：令t = sinx,得sin y -cos2 x = t2 -t (-1 < / < 1),通過(guò)配方、作圖解得s

42、incos2 %4的最大值為一3剖析：本題雖注意到5inx的值域，但未考慮到5inx與siny相互制約，即由-l<siny<l,-l<sinx<l5 in x必須同時(shí)滿足<1。-1 < sinx< 134正確答案：一9反思：求關(guān)于sinx,cos最值的常規(guī)方法是通過(guò)令/ = $inx (或cosx)將三角函數(shù)的最值問(wèn)題 轉(zhuǎn)化為關(guān)于(的二次函數(shù)問(wèn)題求解。但由于正、余弦函數(shù)值域限制，t只能在某一特定范圍內(nèi)取 值，解題時(shí)務(wù)必要注意此點(diǎn)。易錯(cuò)點(diǎn)34三角函數(shù)單調(diào)性判斷錯(cuò)誤【問(wèn)題】：己知函數(shù)y=cos(-2x),求它的單調(diào)減區(qū)間。4錯(cuò)解：2k7r< -2x&

43、lt; 2k7t + 714剖析：概念混淆，錯(cuò)因在于把復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與基本函數(shù)的單調(diào)性概念相混淆。應(yīng)化成 y=cos(2x-)求解正確答案：(熾+蘭，熾+也)伙g z)4 88反思：對(duì)于函數(shù)y = asin(r + 0)來(lái)說(shuō)，當(dāng)0>0時(shí)，由于內(nèi)層函數(shù)u = a)x +(p是單調(diào)遞增的, 所以函數(shù)y = asin(妙+ 0)的單調(diào)性與函數(shù)y = sin兀的單調(diào)性相同，故可完全按照函數(shù) y = snx的單調(diào)性來(lái)解決；但當(dāng)力<0時(shí)，內(nèi)層函數(shù)u = cox(p是單調(diào)遞減的，所以函數(shù) y = asin(血r + 0)的單調(diào)性與函數(shù)y = sin兀的單調(diào)性正好相反，就不能按照函數(shù)y = si

44、n a*的單 調(diào)性來(lái)解決。一般來(lái)說(shuō)，應(yīng)根據(jù)誘導(dǎo)公式將兀的系數(shù)化為正數(shù)加以解決，對(duì)于帶有絕對(duì)值的三角 函數(shù)宜根據(jù)圖彖從直觀上加以解決。易錯(cuò)點(diǎn)35圖象變換的方向把握不準(zhǔn)( 打【問(wèn)題】：要得到函數(shù)y = sinx的圖象，只需將函數(shù)y = cos x一一的圖象()3丿tttttttta向右平移：個(gè)單位 b向右平移丁個(gè)單位c向左平移丁個(gè)單位 d向左平移一個(gè)單位6 336錯(cuò)解一：c剖析：知識(shí)殘缺，未將函數(shù)化成同名函數(shù)。錯(cuò)解二：d剖析：基礎(chǔ)不牢，弄錯(cuò)了平移方向。正確答案：a反思：圖像的平移變換，伸縮變換因先后順序不同平移的量不同，= sin x = sin(x +(p)(w > 0)平移的量為(p，y

45、 = sin 兀 t y = sin vet t y=sin(wx + 0)(w> 0)平移的量為尬。 w易錯(cuò)點(diǎn)36沒(méi)有挖掘題目中的確隱含條件，忽視對(duì)角的范圍的限制而造成增解現(xiàn)象。.7sina + cos& =求tana 的值。13剖析本題可依據(jù)條件si叱+ 亍利用sin ±42sizcw可解得sina cosg的值，再通過(guò)解方程紐.的方法即可解得sincr. cosa的值。但在解題過(guò)程中易忽視sin a cos a < 0這個(gè)隱含條件來(lái)確定角a范闈，主觀認(rèn)為sin a-cosa的值可正可負(fù)從而造成增解。解析：據(jù)己知sina + cosq =13(1)有 2 si

46、n cr cos a = 一120169< 0 ,又由 t (2 g(0?7t),故有; 17sin a >0, cos a <09 從而sin a-cos >0 即sina-cosa = jl-2sinacosa = (2)聯(lián)立 1312 512(1) (2)可得sincr =,cosa =一 , 口j得 tanz =。13 135!艮思:在三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值過(guò)程中，角的范圉的確定一直是其重點(diǎn)和難點(diǎn)，在解題過(guò)程屮要注意在已有條件ii的加礎(chǔ)上挖掘隱含條件如：結(jié)合角的二角函數(shù)值的符號(hào)、二角形中各內(nèi)角均在(0,兀)區(qū)間內(nèi)、與已知角的二角i函數(shù)值的大小比較結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性

47、等。木題中實(shí)際上由單位圓中的三角函數(shù)線可知若crel 0,則必i 2丿兀有sina + cosa > 1，故必有a g 【練】已知sin& + cos& = -,&丘(0,兀)，貝ijcot0的值是3答案：一一4易錯(cuò)點(diǎn)37由圖象求函數(shù)解析式忽略細(xì)節(jié)【問(wèn)題】：如圖，某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y = asin(0x + 0)+3(4 >0,q >0).(1) 求這段時(shí)間的最大溫差.(2) 寫(xiě)出這段曲線的函數(shù)解析式。剖析：解此類題前兩步一般不會(huì)錯(cuò)。但在求0時(shí)，多數(shù)學(xué)生由于點(diǎn)的位置取得不當(dāng)，致使求得的 0值不好取舍。7t3兀正確答案：(1

48、) 20 c (2) y = 10sin(xh) + 2084反思：由三角函數(shù)圖象求y = asin(mr + ) ( a>0,>0)的解析式一般分三個(gè)步驟：由函數(shù)的最大(小)值求振幅4；由函數(shù)的周期求血；由曲線上的最高(最低)點(diǎn)求初相卩的 一般解，但/有范圍限制時(shí)一定要注意在指定的范圍內(nèi)求解。易錯(cuò)點(diǎn)38：對(duì)正弦型函數(shù)y = asin(oa +及余弦型函數(shù)y = acos(<uv + 0)的性質(zhì):如圖象、對(duì)稱軸、 對(duì)稱中心易遺忘或沒(méi)有深刻理解其意義。例、如果窗數(shù)y = sin2x + dcos2x的圖象關(guān)于直線兀=一彳對(duì)稱，那么a等于()a. b. *2 c. 1 d. 1剖

49、析：數(shù)y = asin(qx + 0)的對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖象的波峰頂或波谷底，且與y軸平行，而對(duì)稱中心是圖象71與x軸的交點(diǎn)，學(xué)生對(duì)函數(shù)的對(duì)稱性不理解誤認(rèn)為當(dāng)"飛時(shí)"。，導(dǎo)致解答出錯(cuò)。/ / 、7171sin+ gcos< 4丿j 4丿則它通過(guò)函數(shù)的最人值或最小值點(diǎn)即解析：(法一)函數(shù)的解析式可化為y = 如 + lsin(2x + 0),故y的最大值為ja2 +1 ,依題意，直線71x =是函數(shù)的對(duì)稱軸,8+i ,解得a = -.故選d（法二）依題意函數(shù)為y =+1 sin（2兀+ arctan a），直線x = 一彳是函數(shù)的對(duì)稱軸，故冇龍）- 7t .371（兀兀、

50、 +arctana = k/r+ w z ,即：arctan a = kzr + ,而 arctan a g 8）24i 2 2丿故arctan a =,從而q = 1故選d.71一（法三）若兩數(shù)關(guān)于直線 =兀兀一一是函數(shù)的對(duì)稱則必冇/（0） = / -8< 4,代入即得a = -反思、:對(duì)于正弦型函數(shù)y = asin（0x + 0）及余弦型兩數(shù)y = acos（ur + 0）它們有無(wú)窮多條對(duì)稱軸及無(wú) 數(shù)多個(gè)對(duì)稱屮心，它們的意義是分別使得函數(shù)取得最值的x值利使得函數(shù)值為零的x值，這是它們的兒何和代數(shù) 特征。希望同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí)本題的三種解法根據(jù)具體問(wèn)題的不同靈活處理。3/7【練】（1）已知

51、函數(shù)f（x） = sin（6ut +（p）（co > 0,0 < ? < ）上r上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)m（,0）對(duì)稱,471 且在區(qū)間0,上是單調(diào)函數(shù)，求0和3的值.2712答案：（/）= ,co = 一或2。2 3（2設(shè)函數(shù)的/（x）= sin（2x + 0）（兀v 0 v兀），v = /（兀）圖彖的一條對(duì)稱軸是直線兀=，8求0 答案：0二4易錯(cuò)點(diǎn)39利用正弦定理解三角形時(shí)，若己知三角形的兩邊及其一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，易忽視三角形解的個(gè) 數(shù)。例、在 aabc中，b = 30 , ab = 2y/3,ac = 2 <.求 aabc的面積剖析：【易錯(cuò)點(diǎn)分析】根據(jù)三角形而

52、積公式，只需利用正弦定理確定三角形的內(nèi)角c,則相應(yīng)的三角形內(nèi)角a即 可確定再利用氐=|/?csina即可求得。但由于正弦兩數(shù)在區(qū)間（0,兀）內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)所以滿足條件的角可 能不唯一，這時(shí)要借助已知條件加以檢驗(yàn)，務(wù)必做到不漏解、不多解。ab ac 2遲 2.廠乜解析：根據(jù)正弦定理知： =即= 得sinc = ,由于sinc sin b sinc sin 302ab sin 30° < ac < ab即滿足條件的三角形冇兩個(gè)故c = 60或120°.則a = 30或90故相應(yīng)的三角形面積為 5 = x 2/3 x 2 x sin 30 = >/3 或丄 x

53、2/3 x 2 = 2.2 2反思、：正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個(gè)重要工具，它溝通了三角形中的邊角之間的內(nèi)在聯(lián)系，正弦定理 能夠解決兩類問(wèn)題（1）己知兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時(shí)有且只有一解。（2）已知兩邊和其中一邊的 對(duì)角，求其它的邊和角，這是山于正弦函數(shù)在在區(qū)間（0,兀）內(nèi)不嚴(yán)格格單調(diào)，此吋二角形解的情況可能是無(wú)解、 一解、兩解，可通過(guò)兒何法來(lái)作出判斷三角形解的個(gè)數(shù)。如：在aabc中，已知* b和a解的情況如下：（1） 當(dāng)a為銳角bsin a<a<b 網(wǎng)解6z=bsin a一解a> b 一解（2）若a為直角或鈍角a>b 解【練】如果滿足zabc = 60

54、 , ac = 2f bc = k的三角表恰有一個(gè)那么k的取值范圍是（）a、8a/3 b、g<k<2 c、k>2 d、0<z:<12或k = m答案：d五、平面向量易錯(cuò)點(diǎn)40概念模糊【問(wèn)題】：下列五個(gè)命題： 向量斥鬥與oa共線，則比、p2、0、a必在同一條直線上； 如果向量d與久平行，則a與a方向相同或相反； 四邊形p|p2oa是平行四邊形的充要條件是pp2=oa. 若丨：丨=丨丨，則：、久的長(zhǎng)度相等且方向相同或相反. 由于零向量方向不確定，故零向量與任何向量不平行。其中正確的命題有個(gè)。錯(cuò)解：選錯(cuò)，向量與oa共線，貝i直線pr與直線oa可能平行；選錯(cuò)，若2為零向

55、量，則命題不正確；選錯(cuò)，p=oa則四點(diǎn)ph p2. o, a可能共線；選錯(cuò)，丨：丨二"| , 只能說(shuō)明;、a的長(zhǎng)度相等但確定不了方向；選錯(cuò)；零向量與任何向量平行。正確答案：0反思：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相 反向量、向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、向量的模、夾角等等。在復(fù)習(xí)時(shí)不僅要理解這些概 念，而且還要掌握向量與實(shí)數(shù)、向量運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算異同點(diǎn)。易錯(cuò)點(diǎn)41忽視平面向量基本定理的成立條件【問(wèn)題】：下列各組向量中，可以作為基底的是 ®a= (0, 0), b= (1, -2);a 二(-1, 2), b= (5, 7);(3,

56、 5), b - (6, 10) ;(2, -3), b - (4, -6);錯(cuò)解：選或或正確答案：剖析：概念模糊，根據(jù)基底的定義，只有非零且不共線的向量才可以作為平面內(nèi)的基底。反思：如果:、&是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量7,有且只有一ftf對(duì)實(shí)數(shù)和，農(nóng)，使cfclg。在平面向量知識(shí)體系中，基本定理是基石，共線向量定理是重 要工具?？忌趯W(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)，務(wù)必要注意這兩個(gè)定理的作用和成立條件。易錯(cuò)點(diǎn)42向量與解三角形的交匯。例、aabc內(nèi)接于以0為圓心，1為半徑的圓，且30a+40b + 50c='0。求數(shù)量積，0a ob , 0b 0c ,oc oa ；求 abc的面積。剖析：第1由題意可知3oa、4ob、5oc三向量的模，故