對(duì)高考應(yīng)用題的回顧、預(yù)測(cè)與建議

1、對(duì)高考應(yīng)用題的回顧、預(yù)測(cè)與建議大瀝高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)備課組 陳 建 中 對(duì)高考應(yīng)用題的歷史回顧從1977年恢復(fù)全國(guó)統(tǒng)一高考到1993年間,數(shù)學(xué)應(yīng)用題也常出現(xiàn)在高考試題中,只是沒有形成制度,時(shí)考(如79、80、88、93等)時(shí)不考(如78、87、89等).即使考應(yīng)用題,力度也遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠.進(jìn)入九十年代以來,隨著“由應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)軌”的呼聲不斷高漲,一些教育專家、學(xué)者對(duì)高考命題改革進(jìn)行了深入的思考,并提出了一些建設(shè)性的意見,得到了有關(guān)方面的廣泛的認(rèn)可和支持,并被采納.從95年至今,已連續(xù)四年在高考試題中出現(xiàn)了10至12分的數(shù)學(xué)應(yīng)用(解答)題.在今后的高考中,數(shù)學(xué)應(yīng)用題的考查力度在保持穩(wěn)定的基礎(chǔ)上,將會(huì)

2、逐步加強(qiáng),這是時(shí)代的需要,是歷史的必然.筆者對(duì)95至98四年的高考應(yīng)用題加以對(duì)比分析,形成拙見如下:首先請(qǐng)看95至98四年高考應(yīng)用(解答)題的基本情況表:年度題號(hào)情境數(shù)學(xué)模型主要解題障礙難度9524市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)問題函數(shù)、不等式解不等式(組)0.389623人口土地問題方程、不等式建模、近似計(jì)算0.319722汽車運(yùn)費(fèi)問題函數(shù)、最小值求最小值0.539822污水處理問題函數(shù)、最小值建模、求最小值0.45為便于敘述,我們用JMNL表示建模能力,用JMNLD表示考查建模能力的力度,用CSNL表示常規(guī)的數(shù)學(xué)能力和思想方法,用CSNLD表示考查常規(guī)的數(shù)學(xué)能力和思想方法的力度.1.1定位合理從上表不難看出,應(yīng)

3、用題定位在中檔題上,并從95年的(24)題移至97年,98年的(22)題,根據(jù)目前考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力,這一定位是切合實(shí)際的、合理的.特別是95年、96年的應(yīng)用題難度過大,國(guó)家考試中心本著“適當(dāng)控制難度”的原則,進(jìn)行了及時(shí)調(diào)整,使97年、98年應(yīng)用題的難度降了下來,這是實(shí)事求是的明智之舉.1.2考題背景貼近生活近四年高考應(yīng)用題的情境,都是當(dāng)前社會(huì)面臨的熱點(diǎn)問題和具有重大現(xiàn)實(shí)意義的問題,非常貼近百姓的日常生活,沒有牽強(qiáng)、硬扯的痕跡,使考生感到親切、自然又身臨其境.1.3對(duì)于JMNL的要求比較適中近四年的高考應(yīng)用題基本上體現(xiàn)了重點(diǎn)考查JMNL的目的,但對(duì)于JMNL的要求并不過高,比較切合考生的

4、實(shí)際.95年、97年試題(均指應(yīng)用解答題,下同)多數(shù)考生都能完成建模.98年試題對(duì)JMNL要求有所提高,但把握得恰到好處.只有96年試題對(duì)JMNL要求過高.1.4美中不足1考查JMNL不夠突出考查JMNL不夠突出主要表現(xiàn)在:第一,對(duì)JMNL要求偏低,如95年、97年試題.考慮到第一年考應(yīng)用(解答)題,對(duì)JMNL要求放低,以求在穩(wěn)定中逐步加強(qiáng),因而對(duì)于95年試題JMNL要求較低是可以理解的,但是,對(duì)于97年試題JMNL的過低要求卻多少有些令人感到茫然.既使是為了“適當(dāng)控制難度”,是否就一定以過于降低JMNL的要求為代價(jià)呢?實(shí)事求是地說,作為一道普通的數(shù)學(xué)題目,這無疑是一道好題,但是,作為應(yīng)用題考

5、查考生JMNL,筆者以為這是強(qiáng)其所難了.第二,JMNLD與CSNLD比例失調(diào),甚至CSNLD遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于JMNLD,“建?！背蔀榈囊还P而被一帶而過,因而應(yīng)用題形同虛設(shè).2對(duì)于CSNL要求過高95年、96年試題難度分別為0.38和0.31,偏難.97年試題難度雖然達(dá)到了0.53,但這是得益于對(duì)JMNL的要求過低.應(yīng)用題難度大,主要原因是對(duì)于CSNL的要求過高.如95年試題的解方程、解不等式,96年試題的近似計(jì)算,97年試題的求最小值,這些都不低于甚至遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了對(duì)JMNL的要求,有喧賓奪主之嫌.特別是97年試題的求最小值,需要分類討論,并且當(dāng)ab>c時(shí),涉及了函數(shù)y=s(av+bv)在(0,

6、ab上的單調(diào)性,或當(dāng)0<vc<ab時(shí),證明不等式s(av+bv)s(ac+bc).可見,僅就這一問題便可至少占其“半壁江山”了.實(shí)際上把應(yīng)用題“一般化”了,與其它試題混為一談,難以發(fā)揮出應(yīng)用題特有的功能,因而也就失去了考應(yīng)用題的意義了.2對(duì)高考應(yīng)用題的前景預(yù)測(cè)與建議2.1保持穩(wěn)定循序漸進(jìn)雖然高考命題范圍已經(jīng)作了調(diào)整,但在近幾年內(nèi),特別是近兩年內(nèi),高考試題還將基本保持穩(wěn)定.解答題中的應(yīng)用題,還將穩(wěn)定在序號(hào)為(22)號(hào)左右的位置和10至12分的力度上.進(jìn)入21世紀(jì),隨著教育改革的不斷深入和新教材的使用,無論高考采取何種模式,應(yīng)用題的考查力度都會(huì)逐步加大,這是不可逆轉(zhuǎn)的必然趨勢(shì).美國(guó)頗具

7、影響的GRE(GraduateRecordExamination)測(cè)試(攻讀學(xué)位的留學(xué)生,無論學(xué)文學(xué)理都必須通過GRE考試)的數(shù)學(xué)試題中,應(yīng)用題占25,一卷多(應(yīng)用)題,易、中、難齊全.情境除了傳統(tǒng)的路程問題、工程問題、濃度問題等等以外,幾乎涉及現(xiàn)代生活的各個(gè)方面.如人口問題、工資問題、犯罪問題、法律事務(wù)、貨幣換算、學(xué)校經(jīng)費(fèi)、就業(yè)與失業(yè)、廣告與稅款、利息與折扣等等.我國(guó)的數(shù)學(xué)教育要適應(yīng)時(shí)代的需要,要與國(guó)際數(shù)學(xué)教育接軌,不會(huì)照搬外國(guó)的模式,但是,國(guó)外的成功經(jīng)驗(yàn)和優(yōu)秀成果值得我們借鑒.2.2突出JMNL從總體上看,四年來高考應(yīng)用題的現(xiàn)狀是JMNLDCSNLD,而且二者比例失調(diào),給人以頭過輕腳過重的

8、感覺.98年試題大有改觀,JMNLD與CSNLD接近,比例比較和諧.今后兩年的高考將會(huì)穩(wěn)定在98年試題這個(gè)相對(duì)力度上,且會(huì)更突出JMNL.而對(duì)于CSNL的考查完全可以在其余的130多分的試題中得以充分的體現(xiàn).進(jìn)入21世紀(jì)以后,應(yīng)用題的數(shù)量和分值都將會(huì)逐步增加,高、中、低檔題目逐漸齊全,JMNLDCSNLD型與JMNLDCSNLD型將同卷共存.但從總體上講將趨向于JMNLD=CSNLD,不排除應(yīng)用題作為壓軸的可能.2.3建模條件具有適度的隱蔽性應(yīng)用題建模條件具有適度的隱蔽性是考查學(xué)生建模能力的一個(gè)重要方面.96年試題雖然給出了“糧食單產(chǎn)”和“人均糧食占有量”的計(jì)算提示,但是,建模條件的隱蔽性仍顯

9、過強(qiáng),而97年試題建模條件的隱蔽性過弱,因而都沒有充分發(fā)揮應(yīng)用題特有的功能.今后高考應(yīng)用題的命題將會(huì)充分注意建模條件要具有適度的隱蔽性.例1以汽船拖載重相等的小船若干只,在兩港之間來回運(yùn)送貨物.已知每只汽船拖4只小船一日能往返16次,每只汽船拖7只小船則一日能往返10次,如果小船增多的只數(shù)與往返減少的次數(shù)成正比,問每日往返多少次,每只汽船拖多少只小船能使運(yùn)貨總量達(dá)到最大?解設(shè)每只汽船拖m只小船時(shí),每日能往返n次,每次每只小船載重量為t,日運(yùn)貨總量為W.則小船增加的只數(shù)為m-4,每日往返減少的次數(shù)為16-n,依題意有m-4=k(16-n),且當(dāng)m=7時(shí),n=10,易得k=12,故有n=24-2m

10、(0<m<12),W=n.mt=2(12-m)mt72t.當(dāng)且僅當(dāng)m=6時(shí)取等號(hào),此時(shí)n=12.故每日往返12次,每次拖6只小船能使運(yùn)貨總量最大.本題建模涉及的數(shù)量較多,且它們之間的關(guān)系具有一定的隱蔽性,因而需要有較強(qiáng)的建模能力,才能完成建模.但從建模的過程看,難度并不大.因此,本題建模條件具有適度的隱蔽性.2.4所給材料具有原始性人們?cè)谌粘Ｉ詈蜕鐣?huì)活動(dòng)中所遇到的問題,一般都具有“原始性”,需要自己去觀察、分析、整理和發(fā)現(xiàn)解決問題的有效因素,這本身就是一種能力的體現(xiàn).高考應(yīng)用題也可以提供原始材料,要求考生解答某些(個(gè))問題,這樣更能體現(xiàn)“應(yīng)用”的特點(diǎn).例2據(jù)經(jīng)濟(jì)日?qǐng)?bào)1995年8月

11、24日?qǐng)?bào)道,記者采訪建設(shè)部部長(zhǎng)候捷,談工薪階層購(gòu)房問題,候部長(zhǎng)說“造價(jià)每平方米1000元左右,還可以采取個(gè)人購(gòu)房抵押貸款的方式,解決一次性付款有困難的問題,比如首先支付40的房款,剩下的分10年還清”.請(qǐng)根據(jù)上面提供的材料解答下面的問題:若職工小李將全部積蓄的本息13334元恰好付掉了40的購(gòu)房款,其余部分向銀行貸款支付.(1)小李應(yīng)向銀行貸款多少元(保留三位有效數(shù)字)?(2)若購(gòu)房貸款年利率為10,按復(fù)利計(jì)算,這筆貸款需從貸款之日起,每年等額歸還一次,問小李每年應(yīng)還多少元(精確到1元)?解(1)由題意得,小李的這筆貸款額為13334÷40-13334=2000120000(元).(

12、2)設(shè)小李每年應(yīng)歸還x元,由題設(shè)知需10年還清,因而由題意有,一年后貸款余額為20000(1+10)-x,二年后貸款余額為20000(1+10)-x(1+10)-x=20000(1+10)2-x1+(1+10),十年后貸款余額為20000(1+10)10-x1+(1+10)+(1+10)2+(1+10)9=0.解得x=20000×0.1×1.1101.110-13261(元).即每年應(yīng)歸還3261元.來自廣播電視、報(bào)刊雜志的信息以及政府機(jī)關(guān)、企事業(yè)單位的報(bào)告、計(jì)劃、統(tǒng)計(jì)資料等等,都是應(yīng)用題原始資料的重要來源.2.5一題多模一題多模是突出JMNL的一種有效途徑.95年試題就是

13、一題雙模,即(1)建立政府補(bǔ)貼函數(shù),(2)建立平衡價(jià)格不等式.請(qǐng)?jiān)倏匆焕? 例3在對(duì)口扶貧活動(dòng)中,為了盡快脫貧(無債務(wù))致富,企業(yè)甲將經(jīng)營(yíng)狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店以5.8萬(wàn)元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬(wàn)元無息貸款沒有償還的小型殘疾人企業(yè)乙,并約定從該店經(jīng)營(yíng)的利潤(rùn)中,首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費(fèi)的開支3600元后,逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)(不計(jì)息).在甲提供的資料中有:1這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)每件14元;2該店月銷量Q(百件)與銷售價(jià)格P(元)的關(guān)系如圖;3每月需各種開支2000元(1)試問為使該店至少能夠維持職工生活,商品價(jià)格應(yīng)控制在何范圍內(nèi)?(2)當(dāng)商品的價(jià)格為每件多少元時(shí),月利潤(rùn)扣除職工最低生活

14、費(fèi)的余額最大?并求最大余額(3)企業(yè)乙只依靠該店,最早可望在幾年后脫貧?解設(shè)該店月利潤(rùn)余額為L(zhǎng),則由題設(shè)得L=Q(P-14)×100-3600-20001由銷量圖易得Q=-2P+50(14P20)-32P+40(20<P26)代入1式得L=(-2P+50)(P-14)×100-5600(14P20)(-32P+40)(P-14)×100-5600(20<P26).(1)當(dāng)14P20時(shí),由L0得18P20,當(dāng)20<P26時(shí),由L0得20<P22.故商品銷售價(jià)應(yīng)控制在18P22的范圍內(nèi).(2)當(dāng)14P20時(shí),L最大=1800,這時(shí)P=19.5元

15、,當(dāng)20<P22時(shí),L最大=1250(元),故當(dāng)P=19.5元時(shí),月利潤(rùn)余額最大為1800元.(3)設(shè)可在n年內(nèi)脫貧,依題意有12n×1800-50000-580000,解得n5.即最早可望在5年后脫貧.本題經(jīng)過了三次建模:1根據(jù)月銷量圖建立Q與P的函數(shù)關(guān)系;2建立利潤(rùn)余額函數(shù);3建立脫貧不等式.2.6重視統(tǒng)計(jì)圖表“當(dāng)今社會(huì),閱讀統(tǒng)計(jì)圖表已成為人們了解社會(huì)、獲取信息的重要手段”2.然而,在國(guó)際數(shù)學(xué)測(cè)試中,我國(guó)的學(xué)生閱讀、分析圖表的能力低于韓國(guó)、臺(tái)灣、前蘇聯(lián)、美國(guó)、瑞士和加拿大等國(guó)家和地區(qū).特別是發(fā)達(dá)的國(guó)家和地區(qū),非常重視閱讀和分析統(tǒng)計(jì)圖表,這應(yīng)該引起我國(guó)數(shù)學(xué)教育界和有關(guān)方面的高

16、度重視.我們相信在不遠(yuǎn)的將來,統(tǒng)計(jì)圖表問題一定會(huì)走進(jìn)中國(guó)的高考試題中,因而它也將成為我們進(jìn)行應(yīng)用題教學(xué)的一項(xiàng)新內(nèi)容.請(qǐng)看一例GRE試題:例4根據(jù)下圖回答問題(1)在1946年,危害國(guó)家安全罪(National-SecurityOffenses)犯大約占法院判決的聯(lián)邦囚犯的百分?jǐn)?shù)是多少?(A)15(B)20(C)25(D)30(E)35(2)在1947年到1950年四年中,哪一類罪犯的總數(shù)最大?(A)危害國(guó)家安全罪(B)其它罪(OtherOffenses)(C)販賣毒品罪(Drugs)(D)非法移民罪(Immigration)(E)非法釀酒罪(Liquor)(3)下面的哪一個(gè)陳述能從圖中推測(cè)出來

17、? .法院判決的聯(lián)邦罪犯數(shù)從1946年到1948年是逐年遞減的. .19441952年間的其它罪的數(shù)目超過了犯罪數(shù)的40. .1952年因販賣毒品罪被判刑的罪犯數(shù)是聯(lián)邦囚犯的2.(A)僅僅是 (B)僅僅是 (C)僅是 和 (D)僅是 和 (E) 、 、 全是在GRE數(shù)學(xué)試題中,統(tǒng)計(jì)圖表問題約占20,美國(guó)數(shù)學(xué)教育重視統(tǒng)計(jì)圖表的程度,由此可見一斑.3對(duì)應(yīng)用題的教學(xué)建議具有一定的應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力,是現(xiàn)代人綜合素質(zhì)的一個(gè)重要方面,也將是在新世紀(jì)的激烈競(jìng)爭(zhēng)中人們賴以生存的本領(lǐng)之一.因此,培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力,使學(xué)生“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”是時(shí)代賦予我們數(shù)學(xué)教師的新的歷史使命.而數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)是實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)的重要途徑,所以,我們要抓早、抓實(shí)、抓好應(yīng)用題的教學(xué).首先,要統(tǒng)籌安排,根據(jù)教學(xué)大綱和教材內(nèi)容,有計(jì)劃、有目的地適時(shí)切入應(yīng)用題教學(xué),切實(shí)克服應(yīng)用題教學(xué)的盲目性和隨意性,要求精忌濫,不搞題海戰(zhàn)術(shù).其次,要堅(jiān)持理論聯(lián)系實(shí)際的原則,經(jīng)常地、有意識(shí)地把有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系起來,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的立場(chǎng)、觀點(diǎn)、思想和方法,去觀察和分析各種社會(huì)現(xiàn)象,從中抽象、概括、