結構力學(一)第三版龍馭球第5章 虛功原理及結構的位移計算

1、第第5 5章章虛功原理及結構的位移計算虛功原理及結構的位移計算知識點: 結構位移的概念及類型結構位移的概念及類型 虛功原理及應用虛功原理及應用 結構位移計算的一般公式結構位移計算的一般公式 靜定結構在荷載作用下的位移計算靜定結構在荷載作用下的位移計算 圖乘法圖乘法 靜定結構由于支座移動、溫度改變引靜定結構由于支座移動、溫度改變引 起的位移計算起的位移計算 線彈性結構的互等定理線彈性結構的互等定理教學基本要求教學基本要求: 掌握結構位移計算的一般公式，并能正確應用掌握結構位移計算的一般公式，并能正確應用于各類靜定結構受荷載作用、支座位移、溫度變化于各類靜定結構受荷載作用、支座位移、溫度變化等引起

2、的位移計算。等引起的位移計算。 熟練掌握圖乘法的推導、應用條件、圖乘技巧、熟練掌握圖乘法的推導、應用條件、圖乘技巧、梁和剛架位移計算的圖乘法。梁和剛架位移計算的圖乘法。掌握線彈性結構的互等定理掌握線彈性結構的互等定理掌握剛體系虛功原理與變形體虛功原理內容及其掌握剛體系虛功原理與變形體虛功原理內容及其應用條件，掌握剛體虛功原理的應用，掌握廣義位移應用條件，掌握剛體虛功原理的應用，掌握廣義位移與廣義荷載的概念。與廣義荷載的概念。了解曲桿和拱的位移計算。了解曲桿和拱的位移計算。 虛功原理及應用重點：重點： 圖乘法及應用圖乘法及應用難點：難點： 虛功原理的理論解釋虛功原理的理論解釋 圖乘法的圖乘技巧圖

3、乘法的圖乘技巧1.1.結構的位移結構的位移xyAAFP線位移線位移角位移角位移DC 相對線位移相對線位移CDDCFP 相對角位移相對角位移 5.1 結構位移計算概述荷載作用下荷載作用下還有什么原還有什么原因會使結構產因會使結構產生位移生位移? ?位移：包括線位移，角位移，相對線位移、角位移等稱位移：包括線位移，角位移，相對線位移、角位移等稱廣義位移。廣義位移。引起結構位移的原因：引起結構位移的原因：荷載、溫度改變荷載、溫度改變 T T、支座移動、支座移動 c c、制造誤差、制造誤差 等等t 為什么要計算為什么要計算位移位移? ? 2. 2. 計算位移的目的計算位移的目的 1）剛度要求。如：）剛

4、度要求。如： 在工程上，吊車梁允許的撓度在工程上，吊車梁允許的撓度 1/6001/600 跨度；高層建筑跨度；高層建筑最大位移最大位移 1/10001/1000 高度。最大層間位移高度。最大層間位移 1/8001/800 層高。鐵路層高。鐵路工程技術規(guī)范規(guī)定工程技術規(guī)范規(guī)定:橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度大撓度 1/700 1/700 和和1/9001/900跨度跨度 (3) (3) 理想聯(lián)結理想聯(lián)結 3. 3. 本章位移計算的假定本章位移計算的假定2) 2) 超靜定要求超靜定要求3 3）施工要求）施工要求疊加原理適用疊加原理適用(1) (1)

5、線彈性線彈性(2) (2) 小變形小變形線性變形體系線性變形體系 1 1）一些基本概念：）一些基本概念：廣義力在自身所產生的位移上所作的功廣義力在自身所產生的位移上所作的功力力力方向位移之總和力方向位移之總和功的表達式中，與廣義位移對應的力功的表達式中，與廣義位移對應的力廣義力廣義力廣義位移之總和廣義位移之總和廣義力在對應廣義位移但無關時所作的功廣義力在對應廣義位移但無關時所作的功W=FW=FP1P111 11 ororW=FW=FP2P22222W=FW=FP1P11212ororW=FW=FP2P22121W=FW=FP P力力F FP P功功5.2 虛功原理（理論難點） 1.剛體體系的虛

6、功原理 一個力系作的總虛功一個力系作的總虛功 W=PW=P P-P-廣義力廣義力; ; - -廣義位移廣義位移PFPFW例例: 1): 1)作虛功的力系為一個集中力作虛功的力系為一個集中力2)2)作虛功的力系為一個集中力偶作虛功的力系為一個集中力偶MW MABMM) )作虛功的力系為兩個等值作虛功的力系為兩個等值 反向的集中力偶反向的集中力偶MMMMWBABA)(4)4)作虛功的力系為兩個等值作虛功的力系為兩個等值 反向的集中力反向的集中力PFPFABPBAPBPAPFFFFW)(PF1 PF2 PFW虛功虛功: 虛功虛功: AAMW虛功虛功P: P: 廣義力廣義力: :廣義位移廣義位移兩種狀

7、態(tài)兩種狀態(tài)力狀態(tài)力狀態(tài)位移狀態(tài)位移狀態(tài)FPFP /2FP /2力狀態(tài)力狀態(tài)位移狀態(tài)位移狀態(tài)q總結虛功的兩種狀態(tài)：總結虛功的兩種狀態(tài)：注意：兩種狀態(tài)注意：兩種狀態(tài)（3 3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)）位移狀態(tài)與力狀態(tài)相互獨立、完全無關；但相相互獨立、完全無關；但相互對應互對應（2 2）均為可能狀態(tài)。即位移應滿足）均為可能狀態(tài)。即位移應滿足變形協(xié)調條件變形協(xié)調條件（變（變形與位移協(xié)調形與位移協(xié)調: :位移連續(xù)、桿件變形后不斷開、位移連續(xù)、桿件變形后不斷開、不重疊。）；力狀態(tài)應滿足不重疊。）；力狀態(tài)應滿足平衡條件平衡條件。 （1 1）屬）屬同一同一體系；體系；2）剛體體系的虛功原理02120qlxqdWlxe

8、l力狀態(tài)力狀態(tài)lq力狀態(tài)力狀態(tài)位移狀態(tài)位移狀態(tài)位移狀態(tài)位移狀態(tài)0210qlxlqdWlxe外力虛功外力虛功外力虛功外力虛功內力虛功內力虛功內力虛功內力虛功Wi =0Wi =0 xdxxdxqlql2/2ql/2ql/2 按由特殊到一般的推理方法，我們可以總結出剛體體系按由特殊到一般的推理方法，我們可以總結出剛體體系的虛功原理：的虛功原理： 在具有在具有理想約束理想約束的剛體體系上，如果力狀態(tài)下的力系能滿的剛體體系上，如果力狀態(tài)下的力系能滿足足平衡條件平衡條件，位移狀態(tài)的剛體位移能與約束，位移狀態(tài)的剛體位移能與約束幾何相容幾何相容（位移（位移與約束相對應，位移是連續(xù)的桿件變形后不斷開、不重疊），

9、與約束相對應，位移是連續(xù)的桿件變形后不斷開、不重疊），則外力虛功為零。則外力虛功為零。 特別說明：特別說明：對于剛體，力狀態(tài)下有內力，但因位移狀態(tài)下對于剛體，力狀態(tài)下有內力，但因位移狀態(tài)下沒有對應位移，故內力虛功為零，因此對于剛體的虛功原理也沒有對應位移，故內力虛功為零，因此對于剛體的虛功原理也可以這樣理解：可以這樣理解：外力虛功等于內力虛功都等于零。外力虛功等于內力虛功都等于零。 或：設體系上作用任意的平衡力系，又設體系發(fā)生符合或：設體系上作用任意的平衡力系，又設體系發(fā)生符合約束條件的無限小剛體位移，平衡力系在位移上所作的虛功約束條件的無限小剛體位移，平衡力系在位移上所作的虛功為零。為零。3

10、)剛體虛功原理的兩種應用 既然虛功原理中的平衡力系與可能的位移無關，因此既然虛功原理中的平衡力系與可能的位移無關，因此不僅可以把位移看作是虛設的，而且也可以把力看作是虛不僅可以把位移看作是虛設的，而且也可以把力看作是虛設的，根據虛設對象的不同，剛體虛功原理主要有設的，根據虛設對象的不同，剛體虛功原理主要有兩種兩種應應用形式。用形式。（1 1）虛功原理用于）虛功原理用于實際已知的平衡實際已知的平衡力狀態(tài)與虛設的協(xié)調位移狀態(tài)之力狀態(tài)與虛設的協(xié)調位移狀態(tài)之間間虛設位移狀態(tài)求已知力狀態(tài)的虛設位移狀態(tài)求已知力狀態(tài)的未知力未知力虛位移原理虛位移原理. .建立力狀態(tài)建立力狀態(tài) 力狀態(tài)力狀態(tài).建立虛設的位移狀

11、態(tài)建立虛設的位移狀態(tài) 位移狀態(tài)位移狀態(tài)利用虛功原理求解利用虛功原理求解 abFFFPxPPx單位位移狀態(tài)單位位移狀態(tài) 0PPxxFF第一種應用：xX 1單位位移法單位位移法(1)(1)把上式變形即為平衡方程式，實質上是實際受力狀把上式變形即為平衡方程式，實質上是實際受力狀態(tài)的平衡方程，即態(tài)的平衡方程，即0BM幾點說明：幾點說明：(3)(3)求解時關鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位移關系。求解時關鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位移關系。(2)(2)所求力與虛設位移的大小無關所求力與虛設位移的大小無關, ,故可設單位位移故可設單位位移特點特點: : 用幾何法來解靜力平衡問題。用幾何法來解靜力平衡問題。剛體虛位

12、移原理：剛體虛位移原理：BPxMbFaF0已知剛體的力狀態(tài)，虛設位移狀態(tài)求未知力。已知剛體的力狀態(tài)，虛設位移狀態(tài)求未知力。abFFPx例例 求圖示多跨梁求圖示多跨梁B的支座反力、的支座反力、E截面的彎矩截面的彎矩0432211PPBYFFFPPPBYFFFF2462BEACD11/23/4虛設的位移狀態(tài)虛設的位移狀態(tài)2a2a2aaaBEACDFP2FP力狀態(tài)力狀態(tài)BEACDFBYFP2FP0EM0221aFaFMPPEBEACDMEFP2FP力狀態(tài)力狀態(tài)BACDE1aa/2虛設位移狀態(tài)虛設位移狀態(tài)如右圖，已知支座如右圖，已知支座A A向上移向上移動一個已知位移動一個已知位移 , ,現求現求c

13、c點點 豎向位移豎向位移FP位移狀態(tài)位移狀態(tài)力狀態(tài)力狀態(tài) 單位力狀態(tài)單位力狀態(tài) . .利用已知的位移狀態(tài)利用已知的位移狀態(tài) .建立虛設的力狀態(tài)建立虛設的力狀態(tài) 建立虛功方程求解建立虛功方程求解 第二種應用：(2)(2)虛功原理用于實際的協(xié)調位移狀態(tài)與虛設的平衡力狀態(tài)虛功原理用于實際的協(xié)調位移狀態(tài)與虛設的平衡力狀態(tài)之間之間虛設力狀態(tài)求已知位移狀態(tài)下的位移虛設力狀態(tài)求已知位移狀態(tài)下的位移虛力原理虛力原理幾點說明：幾點說明：(1)(1)所建立的虛功方程所建立的虛功方程, ,實質上是幾何方程，是把幾何問題轉實質上是幾何方程，是把幾何問題轉化為平衡問題。化為平衡問題。特點特點: : 是用靜力平衡法來解幾

14、何問題。是用靜力平衡法來解幾何問題。(2)(2)因求出的位移與所設力的大小無關，為了計算的方便，故因求出的位移與所設力的大小無關，為了計算的方便，故 可設單位廣義力可設單位廣義力 P=1P=1，稱為：，稱為：單位荷載法單位荷載法(3)(3)求解時關鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關系。求解時關鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關系。剛體的虛力原理剛體的虛力原理已知剛體的位移狀態(tài)，虛設力狀態(tài)求未知位移已知剛體的位移狀態(tài)，虛設力狀態(tài)求未知位移例題例題（1）C點的豎向位移點的豎向位移c（2）桿）桿CD的轉角的轉角l3l 23lABCDABCD13132ABCD1l 21l2l 23已知位移已知位移Ac求求

15、:cAc 03111AccAcc31 02112AclAcl 21 所得正號表明位所得正號表明位移方向與假設的單移方向與假設的單位力方向一致。位力方向一致。求解步求解步驟驟（1 1）沿所求位移方向加單位力，求出虛反力；）沿所求位移方向加單位力，求出虛反力；（3 3）解方程得）解方程得kRkcF定出方向。定出方向。（2 2）建立虛功方程）建立虛功方程01kRkcF2.變形體的虛功原理 根據剛體的虛功原理，按照從特殊到一般的推理原則，總根據剛體的虛功原理，按照從特殊到一般的推理原則，總結得出變形體的虛功原理：結得出變形體的虛功原理： 在具有在具有理想約束的變形體系理想約束的變形體系上，若力狀態(tài)的力

16、系滿足平衡上，若力狀態(tài)的力系滿足平衡條件（條件（整體平衡、局部平衡整體平衡、局部平衡），位移狀態(tài)下的位移滿足變形協(xié)），位移狀態(tài)下的位移滿足變形協(xié)調條件（調條件（包括變形與應變的協(xié)調：軸向應變對應軸向線位移、包括變形與應變的協(xié)調：軸向應變對應軸向線位移、剪應變對應橫向位移、彎曲應變也就是曲率對應角位移；位移剪應變對應橫向位移、彎曲應變也就是曲率對應角位移；位移與約束的幾何相容：位移連續(xù)、桿件變形后不斷開、不重疊，與約束的幾何相容：位移連續(xù)、桿件變形后不斷開、不重疊，約束和位移是相對應的約束和位移是相對應的），則外力在位移上所作的虛功恒等于），則外力在位移上所作的虛功恒等于各個微段的內力在相應變形

17、上所作的內虛功。即：各個微段的內力在相應變形上所作的內虛功。即：ieWW 1 1）單根變形直桿虛功方程的建立）單根變形直桿虛功方程的建立 力狀態(tài)力狀態(tài)位移狀態(tài)位移狀態(tài)整體平衡、局部平衡整體平衡、局部平衡變形協(xié)調變形協(xié)調 根據微段根據微段d dx x的三類變形，可求得微段兩端截面的三種相對位移的三類變形，可求得微段兩端截面的三種相對位移 ：微段微段d dx x局部變形包括三部分：局部變形包括三部分：xdd0平均剪應變：平均剪應變：軸線曲率：軸線曲率：1kxudd相對軸向位移：相對軸向位移：相對剪切位移：相對剪切位移：xdd0相對轉角位移：相對轉角位移：xxkddd1相對位移相對位移是描述微段變形

18、的三個基是描述微段變形的三個基本參數。本參數。ddduxudd建建立立虛虛功功方方程程外力虛功：外力虛功：內力虛功：內力虛功： 微段上的內力虛功：微段上的內力虛功： 整個變形體的內力虛功為：整個變形體的內力虛功為： 單根變形直桿的虛功方程：單根變形直桿的虛功方程：xxQxNwQuNwiMkddFdFMddFdFd0BAxxQxNBAwiiMkddFdFdw0BAxxQxNxBAMkddFdFdqpu0)(0 xQxNBAxdFdFMkdP 注意注意 ： P P 為廣義力：包括桿端力、桿件受的均布荷載、為廣義力：包括桿端力、桿件受的均布荷載、集中荷載、約束反力等。集中荷載、約束反力等。 也是廣義

19、位移，包括角位移、線也是廣義位移，包括角位移、線位移等。位移等。 2 2）桿系結構虛功方程的建立）桿系結構虛功方程的建立)(0sQsNBAsdFdFMkdP變形體虛功原理的注意點：變形體虛功原理的注意點：. .虛功方程實際上是平衡方程和協(xié)調方程的總和，反過來虛功虛功方程實際上是平衡方程和協(xié)調方程的總和，反過來虛功方程既可以用來代替平衡方程也可以用來代替幾何方程。方程既可以用來代替平衡方程也可以用來代替幾何方程。 .以上結論與材料物理性質及具體結構無關，因此，虛功原理以上結論與材料物理性質及具體結構無關，因此，虛功原理虛功方程既適用于一切線性、非線性、靜定、超靜定結構。虛功方程既適用于一切線性、

20、非線性、靜定、超靜定結構。 虛功原理里存在兩個狀態(tài)：虛功原理里存在兩個狀態(tài)： 力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調條件。因此原理僅是條件。因此原理僅是必要性命題必要性命題。.剛體的虛功原理是變形體虛功方程的特殊形式剛體的虛功原理是變形體虛功方程的特殊形式 3 3）變形體虛功方程的應用）變形體虛功方程的應用虛力原理虛力原理虛位移原理虛位移原理)(0sQsNBAsdFdFMkdP 將虛功原理用于實際協(xié)調位移和虛設平衡力狀態(tài)間已介將虛功原理用于實際協(xié)調位移和虛設平衡力狀態(tài)間已介紹過紹過單位荷載法。單位荷載法。 下面從虛功方程入手，討論桿系結構位移計

21、算的一般公下面從虛功方程入手，討論桿系結構位移計算的一般公式。桿系結構虛功方程為式。桿系結構虛功方程為: : 5.3 計算結構位移的一般公式 單位荷載法 )(0sQsNBAsdFdFMkdP設待求的實際廣義設待求的實際廣義位移為位移為, 與與對應的廣義力為對應的廣義力為P P。 設僅在廣義力設僅在廣義力P=1P=1作用下，任意橫截面上與之對應的軸作用下，任意橫截面上與之對應的軸力、剪力和彎矩分別為力、剪力和彎矩分別為F FN N 、 F FQ Q、和、和M M。 又設與內力又設與內力F FN N 、 F FQ Q 和和 M M 對應的微段實際變形分別對應的微段實際變形分別為為 、uddd和和實

22、際位移狀態(tài)實際位移狀態(tài)虛設的力狀態(tài)虛設的力狀態(tài)FN 、 FQ、Mdsuddd 則桿系結構虛功方程為則桿系結構虛功方程為: : 則桿系結構虛功方程改寫為：則桿系結構虛功方程改寫為：位移計算的一般公式位移計算的一般公式 iRisssNcFkdMdFdF 0dMdFdFCFCFCFFuNRRRKPK332211一般公式的普遍性表現在：一般公式的普遍性表現在：2. 2. 結構類型：梁、剛架、桁架、拱、組合結構；靜定和超靜定結構類型：梁、剛架、桁架、拱、組合結構；靜定和超靜定 結構；結構； 1. 1. 位移原因：荷載、溫度改變、支座移動等；位移原因：荷載、溫度改變、支座移動等；3. 3. 材料性質：線性

23、、非線性；材料性質：線性、非線性；4. 4. 變形類型：彎曲變形、拉變形類型：彎曲變形、拉( (壓壓) )變形、剪切變形；變形、剪切變形； 5. 5. 位移種類：線位移、角位移；相對線位移和相對角位移。位移種類：線位移、角位移；相對線位移和相對角位移。 BA?AB(b)試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。A?A(a)P=1P=1P=1ABCd?BC(c)ABC2d1d(d)?ACAB11d11d21d21ddP1dP1AB?AB(e)C(f)C左右=？P=1P=1P=1P=1?A(g)A?AB(h)ABP=1P=1P=1iissscFkdMdrFdFR0QN

24、僅在荷載作用時的位移計算一般公式僅在荷載作用時的位移計算一般公式對于由對于由線彈性直桿線彈性直桿組成的結構，有：組成的結構，有：EIMkGAkFEAFPPPPPP1 , ,Q0NspsPsPdkMdrFdF0QN5.4靜定結構在荷載作用下的位移計算式中：式中：E E 彈性模量；彈性模量； G G 剪切模量；剪切模量；A A 橫截面積；橫截面積； I I 截面慣性矩；截面慣性矩；k k 截面形狀系數。如：對矩形截面截面形狀系數。如：對矩形截面k=k=6/5;6/5;圓形截面圓形截面k k=10/9=10/9。 dQQNNPsEIMMGAFFkEAFFPPP軸向軸向剪切剪切彎曲彎曲公式的適用范圍：

25、只適用于線彈性結構。公式的適用范圍：只適用于線彈性結構。 這些公式的適這些公式的適用條件是什么用條件是什么? ?內力的正負號規(guī)定如下：內力的正負號規(guī)定如下：軸力軸力 以拉力為正；以拉力為正；NN,FFP剪力剪力 使微段順時針轉動者為正；使微段順時針轉動者為正；QQ,FFP彎矩彎矩 只規(guī)定乘積的正負號。使桿件同側纖維只規(guī)定乘積的正負號。使桿件同側纖維受拉時，其乘積取為正。受拉時，其乘積取為正。MMP,例例 ：求剛架：求剛架A A點的豎向位移。點的豎向位移。解：構造虛設力狀態(tài)解：構造虛設力狀態(tài)（實際位移狀態(tài)）（實際位移狀態(tài)） 分別列出實際狀態(tài)和虛擬狀態(tài)中各桿的內力方程（或畫分別列出實際狀態(tài)和虛擬狀

26、態(tài)中各桿的內力方程（或畫出內力圖），如：出內力圖），如：（虛擬力狀態(tài)）（虛擬力狀態(tài)）qxxPFQqlqlPFN荷載內力圖荷載內力圖xxlMx1PFQ1PFN單位內力圖單位內力圖x221qxPM221ql將內力方程代入公式：將內力方程代入公式：討論：討論：2254)(,58)(,1)(GAlkEIAlIQAyNAyMAy 軸向軸向剪切剪切彎曲彎曲 GAsFFkEAsFFEIsMMPPPAydddQQNN )54581(85224GAlkEIAlIEIql 引入符號引入符號56,12,3kbhIbhA22)(252)(,)(152)(lhGElhQAyNAy 問題：問題： 的取值范圍是什么？的取值

27、范圍是什么？GE)1(2 EG5.00 32GE設桿件設桿件截面截面為為 b b h h 的矩形截面桿，有：的矩形截面桿，有：%13. 0)()(,%2 . 0)()(MAyNAyMAyQAy 因此因此, ,對受彎細長桿件對受彎細長桿件, ,通常略去通常略去F FN N, , F FQ Q的影響。的影響。?。喝。?， 有：有：101lh5.2GE5001)(,7501)(QAyNAy )500175011(854EIqlAy 即：即：幾點討論（只有荷載作用）：幾點討論（只有荷載作用）：GAsFFkEAsFFEIsMMPPPPdddQQNN 一般來說，剪切變形影響很小，通常忽略不計。一般來說，剪

28、切變形影響很小，通常忽略不計。1. 1. 對梁和剛架：對梁和剛架：EIsMMPPd 2. 2. 對桁架：對桁架： EAlFFEAsFFPPPNNNNd 3. 3. 對組合結構：對組合結構： EAlFFEIsMMPPPNNd 已知：各桿已知：各桿EA相同，相同，求：求：CVCH、ABCD1P圖1NF1FPaaABCD圖PNFPF2PFPFABCD1P圖2NF21EAaFPCH aFEAPCV221求求DVDVFPFPFP4m3=12m3mABDC5FP8FP5/34/30000000000EAFFFFEAPPPPDV328043485355313113FPFP=1121212MxMqxMP已知：

29、已知：EI為常數。求：為常數。求：AAV、x1P1M解：解： EIqldxxqxEIdxMMEIllPAV821114020EIqldxqxEIlA61211402qlA已知位移狀態(tài)已知位移狀態(tài)虛設力狀態(tài)虛設力狀態(tài)例例 ：求曲梁：求曲梁B B點的豎向位移點的豎向位移 和水和水 平位移平位移 。( (EIEI、EAEA、GAGA已知已知) )Bx By ROBAFP解：構造虛設的力狀態(tài)如圖示解：構造虛設的力狀態(tài)如圖示FPRPM sinPRFMPFP=1R sinRMyFP =1R)cos1 ( RMxlPPPByEIRFREIMMsEIMM0203)(4dd)(23EIRFPBx同理有：同理有：

30、將內力方程代入位移計算公式將內力方程代入位移計算公式, ,可得：可得：三鉸拱的分析同此類似，但一般要考慮軸力對位三鉸拱的分析同此類似，但一般要考慮軸力對位移的貢獻，也即移的貢獻，也即EAsFFEIsMMPPPddNN 已有基礎：已有基礎：1. 1. 靜定結構的內力計算；靜定結構的內力計算；2. 2. 桿件結構在荷載作用下的位移計算公式桿件結構在荷載作用下的位移計算公式, ,即即: :GAsFFkEAsFFEIsMMPKPdddQQNN5.5 圖乘法及其應用 這一節(jié)主要內容：這一節(jié)主要內容：2. 2. 幾種常見圖形的面積和形心位置；幾種常見圖形的面積和形心位置；3. 3. 圖乘法注意事項；圖乘法

31、注意事項；4. 4. 應用舉例。應用舉例。1. 1. 圖乘法；圖乘法； 在桿件數量多的情況下在桿件數量多的情況下, ,不方便不方便. . 下面介紹梁和下面介紹梁和剛架在荷剛架在荷載作用下計算位移的圖乘法載作用下計算位移的圖乘法. .EIsMMPKPd剛架與梁的位移計算公式為：剛架與梁的位移計算公式為：sEIMMPpkdsMMEIPd1xMxEIPdtan1 xxMEIPdtan ccyEIxEI 1tan( (對于等截面桿對于等截面桿) )( (對于直桿對于直桿) ) xMMEIPd1)tan( xM 圖乘法求位移公式為圖乘法求位移公式為: :EIycpk圖乘法是圖乘法是VereshaginV

32、ereshagin于于19251925年提出的，他當時年提出的，他當時為莫斯科鐵路運輸學院為莫斯科鐵路運輸學院的學生。的學生。1.圖乘法的推證(a+l)/3(b+l)/3=hlhl/2/2labhl/2l/2h二次拋物線二次拋物線=2=2hlhl/3/3h3l/4l/45l/83l/8二次拋物線二次拋物線=hlhl/3/3二次拋物線二次拋物線=2=2hlhl/3/34l/5l/5hh三次拋物線三次拋物線=hlhl/4/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn n次拋物線次拋物線=hlhl/(n+1)/(n+1)頂點頂點頂點頂點頂點頂點頂點頂點頂點頂點2.幾種常見圖形的面積和形心的位置：頂點

33、指曲線切線與頂點指曲線切線與桿軸重合或平行桿軸重合或平行圖乘法的圖乘法的適用條件是適用條件是什么什么? ?1) 1) 圖乘法的應用條件：圖乘法的應用條件：（1 1）等截面直桿，）等截面直桿，EIEI為常數；為常數；（2 2）兩個）兩個M M圖中應有一個是直線；圖中應有一個是直線；（3 3） 應取自直線圖中。應取自直線圖中。cy2)2)若若 與與 在桿件的同側，在桿件的同側， 取正值；反之，取正值；反之，取負值。取負值。cycy4) 4) 圖乘時注意應用圖乘技巧圖乘時注意應用圖乘技巧3.公式應用注意事項：3)3)表示對各桿和各桿段分別圖乘再相加。表示對各桿和各桿段分別圖乘再相加。EIycpk復雜

34、圖形，可分解為簡單圖形圖乘復雜圖形，可分解為簡單圖形圖乘. .a a）直線形乘直線形）直線形乘直線形l/3l/3l/312y1y2bcadbdacl226dc323bl2dc332al2 各種直線形乘直線形，都可以用該公式處理。如豎標在各種直線形乘直線形，都可以用該公式處理。如豎標在基線同側乘積取正，否則取負?；€同側乘積取正，否則取負。S = 9/6（262 +2 43+6 3+42） =111（1）32649yydxMMP2211abdclS = 9/6（262+203+6302） = 9S=9/6（262243+6342） =15S = 9/6（262+2436342） = 332364

35、（3）9（2）32649（4）2369labdch+bah232dchl226bcadbdaclSb) b) 非標準拋物線乘直線形非標準拋物線乘直線形c) c) 階梯形截面桿階梯形截面桿jjjjKiIEyIEyIEyIEyxEIMM 333322221111dql2/2MPFP=1lqABEIqlllqlEIB843231142例：求梁例：求梁B B點豎向線位移。點豎向線位移。3l/4lMFPFPaaa例：求圖示梁中點的撓度。例：求圖示梁中點的撓度。FPaFPaMP3a/4MEIaFaFaaaaFEIPPaaP24232222232213432a/2a/2aFaaEIP343211？FP=1F

36、Pl/2l/2C例：求圖示梁例：求圖示梁C C點的撓度。點的撓度。MPFPll/2Ml/6l6EIFPl123=FPlEIC212=DEIFPl4853FPl65llEIyC222105Pl/6？取面積的范圍內，另外一個圖形必須是直線。取面積的范圍內，另外一個圖形必須是直線。CFP=1例例: : 設設 EIEI 為常數，求為常數，求 Cy 2l2l解：作荷載內力圖和單位荷載內力圖解：作荷載內力圖和單位荷載內力圖B BA Aq q281qlPM圖圖)(38452)485()81232(142EIqllqllEICy 對嗎？對嗎？C CA AB BF FP P=1=1M圖圖4l例例 試求圖所示結構

37、試求圖所示結構C C 點的豎向位移點的豎向位移 。 yC解解 （1 1）作實際狀態(tài)的）作實際狀態(tài)的PM8ql28ql2（2 2）建立虛擬狀態(tài)，并作）建立虛擬狀態(tài)，并作 圖。圖。M（3 3）進行圖形相乘，求）進行圖形相乘，求C C點豎向位移點豎向位移 。 yC1l/2 cCEIyy )( 128 4)832( 232)821( 83)2831( 14222EIqlllqlllqlllqlEI8ql28ql21l/21 y12 y23y34kN4kN.m 2kN/m12kN.m4m4mEIAB求求B B5kN12844MPkN.m1MkN.m5 . 04181425 . 082645 . 0125

38、 . 082641EIB33125 . 014432 MPql2/2 ll/2A B2EIEIl/2M求求B B點的豎向位移。點的豎向位移。EIql256174lllqlEI25 .023232212lqllqllqllqllEI8222822265 .0212222lqlEIlB432831122EIqlllqlEIB843231142ylqlEIB283312102Lq？ql2/8l/2？ql2/32y0FP=1例例: : 圖示變截面桿圖示變截面桿AB AB 段的彎曲剛度為段的彎曲剛度為4 4EIEI，BCBC段的彎曲剛段的彎曲剛度為度為EIEI，試求，試求C C點點 的豎向位移的豎向位移

39、 。yCCy解解 繪出實際狀態(tài)及虛擬狀態(tài)的繪出實際狀態(tài)及虛擬狀態(tài)的 、 圖。圖。PMMy1y2y3y4y572481624816220MP圖圖 CEIycy )421)(4432() 432)(20421(1EI)248)(4432() 431832)(72421() 831432)(20421(41 EI)( 31088EIqllEIB1ql2/83ql2/2MPlM求求B點豎向位移。點豎向位移。EIqllqllllqlEIBV24112832322321142275. 04432EI320例例: : 已知已知 EIEI 為常數，求為常數，求 。Cy ABCq2l2l解：作荷載內力圖和單位荷

40、載內力圖解：作荷載內力圖和單位荷載內力圖解法一、解法一、Aq2QqlF 82qlM A82ql82ql42ql)(38417)2438231()34221()482(14222EIqllqlllqlllqllEICy A22ql82qlBCPM圖圖qABC2l2l解法二、解法二、A12lM圖圖A82ql22ql322ql)(38417)432232()68221()32221(14222EIqllqlllqlllqllEICy 22ql82ql例例:C求求C截面豎向位移截面豎向位移MP)(404819)16332323421163218)4/(432163323234321163218)4/3

41、(4332(142222EIqllqllllqllqllllqlEIB16/3l8/2ql4/3l4/ lABEIqC1PF32/32qlq32/32ql4/3lq32/32qlq32/32ql4/ lq32/32ql8/) 4/3 (2lq8/) 4/(2lqM例例: : 已知已知 EI EI 為常數，求剛架為常數，求剛架A A點的豎向位移點的豎向位移 ，并繪，并繪 出剛架的變形曲線。出剛架的變形曲線。Ay FP解：作荷載內力圖和單位荷載內力圖解：作荷載內力圖和單位荷載內力圖在在 圖求面積，在圖求面積，在 圖取豎標，有：圖取豎標，有：MPM)(16423212213PPPEIlFlFllEI

42、lFllEIEIycAy M圖圖EI2EIPM圖圖FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4 繪制變形圖時，應根據彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，繪制變形圖時，應根據彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點的利用。如：注意反彎點的利用。如：PM圖圖FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4FP已知已知 EIEI 為常數，求為常數，求A A、B B兩點相對水平位移兩點相對水平位移ABAlqBhq8/2qlh11hMPiM)(12832132EIqhlhlqlEIEIycAB解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖已知已知 EIEI 為常數，求鉸為常數，求鉸C

43、 C兩側截面相對轉角兩側截面相對轉角 。C解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖AlqBlClq4/ql4/qlMP110l /11iM)(2421832132EIqlqlEIEIycCD4/2ql4/2ql11M=1M=1M圖圖)(64121883231832211radEIEIBA解：解：已知：各桿已知：各桿EI=EI=常數，求常數，求A A、B B兩點之間的相對轉角。兩點之間的相對轉角。328MP圖圖(kNm)8m8m1kNmABCDAlFPBlFPl)(310)243221(13EIPllPlllPllEIEIycABY圖示結構圖示結構 EIEI 為常數，求為

44、常數，求ABAB兩點兩點(1)(1)相對豎向位相對豎向位移移,(2),(2)相對水平位移相對水平位移,(3),(3)相對轉角相對轉角 。iMMP11lFPl11lliM0EIycABX0EIycAB對稱彎矩圖對稱彎矩圖反對稱彎矩圖反對稱彎矩圖 對稱結構的對稱彎矩圖與對稱結構的對稱彎矩圖與其反對稱彎矩圖圖乘其反對稱彎矩圖圖乘,結果結果為零為零.1111iM作變形草圖作變形草圖F FP PF FP PlFP1 11 111繪制變形圖時，應根據彎矩圖判斷桿件的繪制變形圖時，應根據彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點的利用。如：凹凸方向，注意反彎點的利用。如：例例: : 已知：已知： E E、I I、

45、A A為常數，求為常數，求 。Cy A AB BC CF FP P2l2la aD D解：作荷載內力圖和單位荷載內力圖解：作荷載內力圖和單位荷載內力圖EAaFEIlFaFEAllFlEIsEAFFsEIMMlaPPCy4482211432)4221(2ddP3PPP00NN 請對計算結果請對計算結果進行適當討論！進行適當討論！A AB BC CF FP P2la aD D4PlFPM2PNFFP2lA AB BC C1 12la aD D4lM21NF2l)121(4833PAlaIEIlFCy 討論討論: :如果如果B B支座處為剛度支座處為剛度k k的彈簧，該如何計算？的彈簧，該如何計算？

46、4PlFPM2PPFFB 4lMABC2lk21 BF2lFP=1ABCFP2lk2l顯然，按彈簧剛度定義，荷載下彈簧變形為顯然，按彈簧剛度定義，荷載下彈簧變形為: kF2P因此，彈簧對位移的貢獻為因此，彈簧對位移的貢獻為: kFkFFB42PP 由此可得有彈簧支座的一般情況位移公式為由此可得有彈簧支座的一般情況位移公式為: kFFsEIMMkkPPdF FN N和彈簧的位移方向相同為正，反之為負和彈簧的位移方向相同為正，反之為負解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖)(434)2)(2(14322113EAlFEIlFlFEAlllFEIEAlFFEIyPPPPNN

47、cBPi求求C、D兩點相對水平位移兩點相對水平位移 。CD ABllEAEICDPFPFEIlMPlFPlFP11iMll解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖)(421212)2322212223122142(13kFEIlFkFllFlllFlllFlllFlEIEIyPPPPPPPcB求求A A點豎向位移點豎向位移,EI=,EI=常數常數 。1/2iMMPlFP2/ lFP2/PFl ll lPFl lA Ak k1k兩個懸臂剛架，在懸臂端插入一個長度為兩個懸臂剛架，在懸臂端插入一個長度為e e的墊塊，問需的墊塊，問需要多大的兩個力。要多大的兩個力。a圖M1PF

48、1PFaa解：解：3321aFEIeP323aEIeFP已知位移求荷載已知位移求荷載其它其它eEIaFPFP圖PMPaPaFPFPiRiQuNcFdMdFdF 一般公式一般公式5.6 5.6 靜定結構由于溫度變化、支座位靜定結構由于溫度變化、支座位 移引起的位移計算移引起的位移計算 1.1.由于溫度改變引起的位移計算由于溫度改變引起的位移計算荷載位移公式荷載位移公式ppupdMdFdFQN溫度位移公式溫度位移公式ttuttdMdFdFQN為了推導公式的方便，特作一下假設：為了推導公式的方便，特作一下假設： 1 1）溫）溫 度沿桿長不變度沿桿長不變 2 2）溫度沿桿截面高度）溫度沿桿截面高度h

49、h為直線變化為直線變化 3 3）溫度變化的前、后桿截面仍保持平面）溫度變化的前、后桿截面仍保持平面 4 4）以桿軸線處的變形代表整個桿件的變形。）以桿軸線處的變形代表整個桿件的變形。 圖示結構，設外側溫度升高圖示結構，設外側溫度升高 ，內側溫度升高，內側溫度升高 ，求，求K K點的豎向位移點的豎向位移 。tk2t1t桿軸溫度桿軸溫度 : :0t12ttthththtthhtt211212110)(線線膨膨脹脹系系數數 td對稱截面對稱截面2120tttt 上、下邊緣的溫差上、下邊緣的溫差 為：為：stutdd0線線膨膨脹脹系系數數 另外，溫度變化時，桿件不引起剪應變，微段軸向伸長和另外，溫度變

50、化時，桿件不引起剪應變，微段軸向伸長和截面轉角為：截面轉角為：hsttddtdFNFNtdFP=1MtttutkMFFdddQN對等截面直桿對等截面直桿MFhttN0NF將溫度引起的變形代入公式，可得將溫度引起的變形代入公式，可得: 沿桿長溫度不變沿桿長溫度不變hsMtsFtddN0hstMstFdd0N上式中的正、負號：原則：上式中的正、負號：原則：變形一致為正，反之為負。變形一致為正，反之為負。 由由溫度引起溫度引起的的彎曲變形彎曲變形與由與由單位力引起的彎曲變形單位力引起的彎曲變形一一致，取致，取“正正”號。即號。即 和和 使桿件的同一邊產生拉伸變使桿件的同一邊產生拉伸變形，其乘積為正。

51、形，其乘積為正。 由溫度引起的軸向變形與由單位力引起的軸變變形一由溫度引起的軸向變形與由單位力引起的軸變變形一 致，取致，取“正正”號。即號。即 溫度以升高為正，則軸力以拉為正。溫度以升高為正，則軸力以拉為正。 3 3 其余符號均取絕對值。其余符號均取絕對值。Mt0tMFkthttN0注意：注意：一側溫度為一側溫度為t t1 1; ;另一側另一側 溫度為溫度為t t2 2對梁和剛架：對梁和剛架：對對 桁桁 架：架：MFtkhttN0lFttNFtkN00幾種情況：幾種情況：溫度引起的軸向溫度引起的軸向變形影響不能少。變形影響不能少。實際狀態(tài)實際狀態(tài)解：構造虛擬狀態(tài)解：構造虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)虛擬狀

52、態(tài)例：例： 剛架施工時溫度為剛架施工時溫度為20 20 ，試求冬季外側溫度為，試求冬季外側溫度為 - -10 10 ，內側溫度為，內側溫度為 0 0 時時A A點的豎向位移點的豎向位移 。已知。已知 l=4 m, ,=4 m, ,各桿均為矩形截面桿，高度各桿均為矩形截面桿，高度 h=0.4 m=0.4 mC0C0Ay 510 C0單位荷載內力圖為：單位荷載內力圖為：M圖圖NF圖圖CtCt00010)30(20,252)200()2010( )(005. 0210125220mllhlhttMFAyN例：圖示結構溫度變化如圖。各桿截面相同為例：圖示結構溫度變化如圖。各桿截面相同為h，且對稱于形心。，且對稱于形心。求：求：E點的水平位移。點的水平位移。解：解：M圖圖1PFl-200C200C100C-200ClllE-200C-200C1PF1FN圖圖1附屬部分：附屬部分：CtCtCtCt000020130,5,10,20基本部分：基本部分：CtCtCtCtCtCtCt00000002010110,4015,0,2010,20，hlllhlhllhttMFEHN222025202140211011515M M圖圖1PFl1