第三節(jié)---非參數(shù)假設(shè)檢驗推薦課件

1、12021/8/22我們已討論的假設(shè)檢驗是建立在假定樣本來自的總體是正態(tài)分布的。當(dāng)沒有這個假定或不成立時，這些檢驗的結(jié)論就可能被質(zhì)疑。為了解決該問題，統(tǒng)計學(xué)家發(fā)展了無需上述假定的非參數(shù)檢驗。22021/8/221.定義：它泛指參數(shù)假設(shè)檢驗以外的各種檢驗。2.特點:(1)非參數(shù)檢驗不依賴于總體分布。(2)非參數(shù)假設(shè)檢驗適用于較低的計量水平，如等級、順序的計量等。 (3)常常用于參數(shù)以外的檢驗，如隨機變量是否服從某種規(guī)律、某種分布的擬合優(yōu)度檢驗，數(shù)據(jù)是否隨機的游程檢驗等。32021/8/221.如何探討數(shù)據(jù)規(guī)律（一）分類（一）分類數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度檢驗的擬合優(yōu)度檢驗2二、檢驗 顯示數(shù)據(jù)規(guī)律性的方法

2、：頻數(shù)分布表，能否了解數(shù)據(jù)來自某一分布或與某一理論分布相一致的程度如何？2-檢 驗 直方圖和統(tǒng)計量的檢測可能給出了一些探索性的假設(shè)。然而，這些應(yīng)該用一些較為正規(guī)的方式來加以論證。擬合優(yōu)度檢驗給出了統(tǒng)計意義上的證據(jù)來檢驗有關(guān)分布的假設(shè)。最為通用的擬合優(yōu)度檢驗是卡方卡方檢驗檢驗。42021/8/22擬合優(yōu)度的卡方檢驗的假設(shè)為：抽樣數(shù)據(jù)來自于一個特殊的分布（如正態(tài)分布）0H：抽樣數(shù)據(jù)不是來自于這個特殊的分布1H52021/8/222.利用 進行擬合優(yōu)度檢驗的步驟：2,(1,2,)iuim第一步：先將觀測到的數(shù)據(jù)分類，假設(shè)分成m類， 每類中的頻數(shù)為第二步：根據(jù)觀測結(jié)果似乎服從某一理論分布的 規(guī)律，需要

3、進一步檢驗。按照理論分布， 各類的頻數(shù)應(yīng)為(1,2,)iienP im：根據(jù)理論分布，觀測發(fā)生在第i類的概率。iP第三步：計算統(tǒng)計量221()miiiiuee62021/8/22 如果理論分布的參數(shù)是預(yù)先給定的（已知的），則 統(tǒng)計量服從自由度為m-1的 分布。若理論分布的參數(shù)是未知的，需要用樣本觀測值來估計時， 統(tǒng)計量服從自由度為m-r-1的 分布，其中r為需要估計的參數(shù)的個數(shù)。222272021/8/2222a第四步：根據(jù)顯著性水平a查 分布表求相應(yīng)的 臨界值 22a 時，拒絕原假設(shè)，說明樣本觀測并非來自該理論分布。82021/8/22【例6.10】某百貨公司的電器部下半年各月洗衣機 的銷售

4、數(shù)量如下： 該電器部經(jīng)理想了解洗衣機的銷售數(shù)量是否在各月是均勻分布的，也就是說各月中銷售數(shù)量的差別可以歸結(jié)為隨機原因，這樣可以為以后的進貨提供依據(jù)。要求以a=0.05 的顯著性水平進行檢驗。92021/8/22解：本例中的觀測值以月為組，共分為m=6組，每 月的銷售臺數(shù)即為觀測的頻數(shù) ，觀測的總次數(shù)為n=150?，F(xiàn)欲檢驗是否服從（離散的）均勻分布，即每月的銷售量是否為iv15025(),6iienP臺1,1,66iPi為此，設(shè)0H1H：洗衣機銷售量服從均勻分布；：并不服從均勻分布；102021/8/22計算 統(tǒng)計量的值：22621222222()(2725)(1825)(1525)(2425)

5、25252525(3625)(3025)122525iiiiuee ，說明下半年各月銷售量與均勻分布有差別，這些差別尚不能完全歸結(jié)為隨機原因。0H所以拒絕 在本例的情況下， 統(tǒng)計量的自由度為m-1=6-1=5。查表得知，20.05(5)11.072,1211.07由于2112021/8/22【例6.11】在高速公路收費站100分鐘內(nèi)觀測到通過 收費站的汽車共190輛，每分鐘通過的汽車輛 數(shù)分布如下表：用顯著性水平a=0.05檢驗這些數(shù)據(jù)是否來自泊松分布。解：設(shè) ：汽車通過收費站的輛數(shù)服從泊松分布； ：不服從泊松分布。0H1H觀測值分為5組，且有012410,26,35,5uuuu122021/

6、8/22回憶泊松分布,0,1,2,!xeP Xxxx 其中 為泊松分布的期望值，是未知的，需要用樣本觀測值來估計。由于100分鐘內(nèi)觀測到190輛汽車，所以平均每分鐘觀測到190/100=1.9輛汽車，故取 。據(jù)此，我們可以用參數(shù) 的泊松分布來計算每分鐘內(nèi)通過收費站的汽車為0輛、1輛、2輛、3輛、4輛或更多的概率。1.91.9132021/8/22ie計算 統(tǒng)計量的值：2222222(14.96 10)(28.4226)(27.035)14.9614.9614.96(17.124)(12.525)11.5214.9614.96自由度為m-1-1=5-1-1=3，臨界值20.05(3)7.185

7、，說明每分鐘通過收費站的汽車輛數(shù)不服從泊松分布。0H所以拒絕各概率乘以觀測總數(shù)n=100，便得到理論頻數(shù) ，具體結(jié)果見下表：ie142021/8/22 在應(yīng)用 分布擬合優(yōu)度檢驗時，應(yīng)注意每一類中理論頻數(shù)不宜過小，通常應(yīng)不小于5。如果出現(xiàn)理論頻數(shù)太低，就應(yīng)當(dāng)與鄰近的類進行合并。2152021/8/22（二（二） 分布分布的獨立性檢驗的獨立性檢驗2 擬合優(yōu)度檢驗是根據(jù)樣本觀測值與一個理論值進行比較來檢驗的，但是有些數(shù)值并不知道服從何種理論分布。因此在雙邊量的分布中，有時想了解兩個變量是相依的還是獨立的?？ǚ綑z驗可用于這樣的檢驗，稱作卡方的獨立性檢驗。 這種情況下可以使用列連表進行分析，并用卡方進行

8、獨立性檢驗。列連表是一個表示兩個分類變量的r行c列的矩陣。162021/8/221.如何探討兩個變量是相依的還是獨立的 的 獨立性檢驗2.檢驗的基礎(chǔ)列聯(lián)表列聯(lián)表的構(gòu)成理論頻數(shù)的計算獨立性檢驗的統(tǒng)計量2172021/8/22P187表6.2 表6.2是最簡單的2行2列的列聯(lián)表，它可以擴展到rc列聯(lián)表。 代表行的第1類和列的第1類所出現(xiàn)的實際頻數(shù)，依次類推。那么相應(yīng)于 理論值如何計算呢？因為 位于第1行，整個樣本量為n，落入第1行的概率根據(jù)樣本估計應(yīng)該是 ， 又同時位于第1列，落入第1列的概率根據(jù)樣本計算應(yīng)該是11f11f11f1(/ )rn11f1(/ )cn182021/8/22根據(jù)概率論的原

9、理，如果行和列的變量是獨立的，那么落入第1行和第1列的概率應(yīng)該是 ， 由于樣本量為n，則落入第1行第1列的理論頻數(shù)應(yīng)該是11(/ )(/ )rn cn111 111( )()rcrcennnn( )()jijiijcrcrennnn由此可以推廣到在獨立性檢驗中的 統(tǒng)計量為22211()rcijijijijfee192021/8/22【例6.12】某副食品商店欲研究顧客的性別與購物金額大小之間 是有關(guān)系，還是沒有關(guān)系（意味著相互獨立）。在該商店內(nèi) 隨機調(diào)查了548位顧客，按金額大小和性別進行分類，取得 如下數(shù)據(jù)（見表6.3）：表6.3顧客的性別與購買金額列聯(lián)表（括號內(nèi)是理論頻數(shù) ）ije要求用a

10、=0.05的顯著性水平檢驗顧客的性別和購買金額是否獨立。解： ：購物的金額大小與性別無關(guān)（獨立）； ：購物的金額大小與性別有關(guān)。0H1H202021/8/22計算列聯(lián)表各格的理論值：111213212223(106)(260)(210)(260)50.2999.46548548(232)(260)(106)(288)110.0755.71548548(210)(288)(232)(288)110.36121.93548548ijijrceneeeeee212021/8/222222222(40 50.29)(90 99.64)(130 110.07)50.2999.64110.07(66 55

11、.71)(120 110.36)(102 121.93)55.71110.3650.292.105 0.933 3.609 1.901 0.842 3.25812.648并列入列聯(lián)表各格的括號內(nèi)。計算 值2222021/8/2223列聯(lián)表的自由度為(r-1)(c-1)=2,當(dāng)a=0.05時,20.055.991220.05 ,拒絕 ，接受 ，即購物的金額大小與性別有關(guān)。0H1H22列聯(lián)表的2值計算還可以簡化，為了說明方便，將列聯(lián)表每格的數(shù)字用字母表示22()()()()()n adbcac bd ab cd232021/8/22【例6.13】某市場調(diào)研機構(gòu)，調(diào)查某種光盤的購買者和性別 之間是否

12、有關(guān)系取得如下數(shù)據(jù)：令a=0.05，用 獨立性檢驗推斷購買某種光盤與性別是否有關(guān)？2解： ：購買與性別無關(guān)， ：購買與性別有關(guān)。 現(xiàn)采用兩種方法計算 值。0H1H2222222()(3226)(118124)26124(2026)(130125)261241.38460.29031.38460.29033.3498fee242021/8/22222()()()()()300(32)(130)(118)(20)(52)(248)(150)(150)3.3498n adbcac bd ab cd兩種方法的計算結(jié)果相同當(dāng)a=0.05， ，接受 ，說明買該光盤與性別的關(guān)系不顯著。220.05(1)3.

13、841,3,8410H252021/8/22三、秩和檢驗（等級和檢驗）三、秩和檢驗（等級和檢驗） 參數(shù)中均值檢驗在小樣本時是如何處理的要求總體服從正態(tài)分布，當(dāng)總體不符合正態(tài)分布時如何處理？轉(zhuǎn)換成等級，然后檢驗，這一類的檢驗統(tǒng)稱為秩和檢驗。（一）曼（一）曼- -惠特尼惠特尼U U檢驗檢驗1.什么是曼-惠特尼U檢驗。它假設(shè)兩個樣本分別來自兩個總 體，目的是檢驗這兩個總體的均值是否有顯著的差別。2.具體步驟。第一步：把兩組數(shù)據(jù)混和在一起，按照大小順序編排等級。 最小的為1，其次為2等等，兩個數(shù)據(jù)和三個數(shù)據(jù)相等如 何處理?262021/8/22 若有兩個數(shù)據(jù)相等，且它們在按大小順序編排好的數(shù)列里是第m

14、和第m+1個數(shù)據(jù)，則它們的等級（也稱作秩）都是m+（m+1）/2=2m+1/2。同理，若有3個數(shù)據(jù)相等，且它們在按大小順序編排好的數(shù)據(jù)列里第m，第m+1和第m+2位數(shù)據(jù)，則它們的等級都是3m+3/3=m+1。第二步：分別求兩個樣本的等級和。設(shè)第一個樣本的等級和 為 ，第二個樣本的等級和為 ，則有 1W2W12(1)/ 2WWn n第三步：計算曼-惠特尼U檢驗統(tǒng)計量111121222122(1)2(1)2n nUn nWn nUn nW從 和 中選擇較小者并稱其為 。1U2UU272021/8/22第四步：作出判斷 對于 都比較小的情形，可以查附表6得到臨界值 ，在 時,拒絕 。在原假設(shè)為真的情

15、況下,可以證明隨機變量U的均值和方差分別為12,n naUU012:HaU121212()2(1)()12n nE Un nnnD U并且當(dāng) 和 都不小于10時，隨機變量1n2n( )( )UE UZD U近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。282021/8/22012112001211200121120:,:,:,HHZZHHHZZHHHZZH 如果則拒絕；對于如果則拒絕；對于如果則拒絕 設(shè)第一個總體的均值為 ，第二總體的均值為 ，則對于12292021/8/22【例6.14】為了比較兩個小學(xué)貫徹素質(zhì)教育的情況，現(xiàn)從甲學(xué) 校抽15名學(xué)生，乙學(xué)校抽25名學(xué)生，按素質(zhì)教育的要求進 行測試并評分，按評分高低順

16、序排隊并編上等級，其結(jié)果 如下：要求以顯著性水平a=0.05檢驗兩學(xué)校的素質(zhì)教育有沒有差別。解：解：我們假設(shè)兩個學(xué)校的素質(zhì)教育除了平均水平以外在 其他方面沒有差異。我們需要檢驗 ：兩校素質(zhì)教育水平無差異。 ：兩校素質(zhì)教育水平有差異。0H1H302021/8/22計算U值：(15)(16)15 253331622U U的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為121212( )187.52(1)( )35.812( )162 187.50.7135.8( )n nE Un n nnD UUE UZD U 因此，0.052=0.711.96ZZ因為 ，所以我們不能拒絕 ，說明兩個學(xué)校素質(zhì)教育的水平?jīng)]有顯著性的差異。0H

17、312021/8/22（二）威爾科克森帶符號的秩檢驗（二）威爾科克森帶符號的秩檢驗1.什么是威爾科克森帶符號的秩檢驗？它只要求數(shù)據(jù)之差所 服從的分布是對稱分布。目的是檢驗成對觀測的數(shù)據(jù)之差 是否來自均值為0的總體，或產(chǎn)生數(shù)據(jù)的兩個總體是否具 有相同的均值。2.具體步驟。第一步：求出成對觀測數(shù)據(jù)的差 ，并將其絕對值按 照大小順序編排等級。最小的為1，其次為2等等。 兩個數(shù)據(jù)和三個數(shù)據(jù)相等如何處理?同曼-惠特 尼U檢驗。id322021/8/22第三步：作出判斷對于小樣本，根據(jù)顯著性水平a查數(shù)表7，得到臨界值 ，若 則拒絕 ；對于大樣本（觀測不少于20對），可以證明統(tǒng)計量T的均值和方差分別為aTa

18、TT0H(1)( )4(1)(21)( )24n nE Tn nnD T其中n為成對觀測的個數(shù)，并且( )( )TE TZD T近似地服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 因此，對于單側(cè)檢驗，若 ，則拒絕 ；對于雙側(cè)檢驗，若 ,則拒絕 。aZZ 0H0H/2aZZ 第二步：編碼等級后再恢復(fù)其正負(fù)號，并將正號的等級與負(fù)號的 等級分別相加，分別用 表示。取較小的一個為威爾科 克森檢驗統(tǒng)計量。TT和332021/8/22【例6.15】為比較兩種輪胎的平均使用里程，在6輛汽車的后輪分 別用兩種不同的牌號的輪胎，直到用壞后加以記錄里程， 取得的數(shù)據(jù)如表6.5。要求a=0.05，檢驗兩種輪胎的平均行駛里程是否有顯著差別。34

19、2021/8/22解：解： ：兩種輪胎的平均行駛里程無顯著差別， ：兩種輪胎的平均使用里程有差別。0H1H將成對的差列于表6.5的第4列（ ），根據(jù) 的絕對值由小到大順序編號，然后恢復(fù)正負(fù)號，再將不同符號的等級分別相加，見表6.5最后一列。計算得到正負(fù)號的等級和， ，用較小的T與臨界值Ta相比較，由附表7得到：對于a=0.05的雙側(cè)檢驗，n=6時， ，T已超過臨界值，因此不能推翻 ，可認(rèn)為兩種輪胎的行駛里程無顯著差別。idid9,12TT0.0251T0H352021/8/22【例6.16】某飲料商用兩種不同的配料方法推出了兩種新的飲料， 現(xiàn)抽取了20個消費者，讓其分別品嘗兩種飲料并加以評分，

20、 從不喜歡到喜歡，評分由110，其評分結(jié)果如下：要求以a=0.05的顯著性水平檢驗對兩種飲料的評分是否有顯著差別。解：應(yīng)用威爾科克森帶符號的成對檢驗，將評分之差變換為等級， 再恢復(fù)正負(fù)號，其計算過程見計算表6.6。將評分相同的樣本 加以剔除，因此樣本量就由20變?yōu)?8。362021/8/22最后得到 ，取其中較小的 來檢驗，在大樣本的情況下T近似正態(tài)分布表6.6154,17TT17T372021/8/22(1)(18)(19)( )85.544(1)(21)(18)(19)(37)( )527.252424( )1785.52.98( )527.25n nE Tn nnV TTE TZV T 當(dāng)a=0.05時雙側(cè)檢驗，因此拒絕 接受 ，說明兩種飲料的評分有差別。0H1H382021/8/22四、等級相關(guān)系數(shù)及其檢驗四、等級相關(guān)系數(shù)及其檢驗主要用于測量兩組變量之間是否存在相關(guān)以及相關(guān)程度數(shù)值型和非數(shù)值型：（一）測定兩組等級變量之間的相關(guān)系數(shù)1.斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)2261(1)iS