中心極限定理發(fā)展

1、概率論中討論隨機(jī)變量序列部分和的分布漸近于 正態(tài)分布的一類(lèi)定理。1920 年，G.波伊亞稱(chēng)這類(lèi)定理為中心極限定理。它是概率論中最重要的一類(lèi)定理， 有著廣泛的實(shí)際背景。在自然界與生產(chǎn)中，一些現(xiàn)象受到許多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素 的影響，如果每個(gè)因素所產(chǎn)生的影響都很微小時(shí)，總的影響可以看作是服從正態(tài)分布的。中心極限定理就是從數(shù)學(xué)上證明了這一現(xiàn)象。獨(dú)立隨機(jī)變量的中心極限定理歷史上最初的中心極限定理是討論 n重伯努利試驗(yàn)（見(jiàn) 二項(xiàng)分布）中，事 件A出現(xiàn)的次數(shù)卩n漸近于正態(tài)分布的問(wèn)題。若記事件 A出現(xiàn)的概率為P（A）=P， 不出現(xiàn)的概率為q=1-p，1716年前后，A.棣莫弗對(duì)p= 1/2作了討論，隨后，P.

2、-S. 拉普拉斯推廣到一般情形，得到：當(dāng) <a vbvu，有11H1 P0)- 0依),式中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，這就是棣莫弗-拉普拉斯定理。為討論一般形式的中心極 限定理，a . m.李亞普諾夫改進(jìn)了 n.八.切比雪夫創(chuàng)立的矩法，給出了獨(dú)立隨機(jī) 變量序列 Xn服從中心極限定理的李亞普諾夫條件，其結(jié)論稱(chēng)為李亞普諾夫定-C y _2= 2L理：記數(shù)學(xué)期望 宀；:，方差 二 部分和片 另心,S； = £ Xk -（稱(chēng)為Sn的標(biāo)準(zhǔn)化）。若存在正數(shù)S >0，使當(dāng)用用一丑| E +砒工+廳、門(mén)一Q*-' 那么當(dāng)nX，的分布漸近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨著特征函數(shù)(見(jiàn)概率分布)的引入，中

3、心極限定理的研究得到了很快的發(fā) 展。20世紀(jì)20年代，Y.W.林德伯格和P.萊維證明了林德伯格萊維定理：對(duì)于 獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列xn，當(dāng)Exk=a及varxk= Z 2有限時(shí)，部分和S的標(biāo)準(zhǔn)化-的分布漸近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。它在數(shù)理統(tǒng)計(jì)的大樣本理論中有重要的應(yīng)用。1935年，林德伯格和 W費(fèi)勒又進(jìn)一步解決了獨(dú)立隨機(jī)變量hm 尸二 Q&), 序列的中心極限定理的一般情形，即林德伯格-費(fèi)勒定理：(7?Inn max r- = 0且費(fèi)勒條件 成立，當(dāng)且僅當(dāng)林德伯格條件成立，即對(duì)任給正實(shí)數(shù)n，式中Fk(x)=p(xk <x)。這個(gè)結(jié)果使長(zhǎng)期以來(lái)作為概率論中心議題之一的關(guān)于獨(dú)立 隨機(jī)變量

4、序列的中心極限定理得到根本解決。前述諸結(jié)果都是它的推論。此后中心極限定理的研究基本上圍繞幾個(gè)方面進(jìn)行：一是減弱對(duì)隨機(jī)變量獨(dú) 立性的要求，考慮具有某種相依性的隨機(jī)變量；一是討論向標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)收 斂的問(wèn)題；再就是估計(jì)向正態(tài)分布收斂的速度及有關(guān)問(wèn)題。局部極限定理向正態(tài)密度函數(shù)收斂的問(wèn)題雖然在概率論的早期工作中就出現(xiàn)了，但是一般性結(jié)果直至20世紀(jì)中期才得到。在棣莫弗-拉普拉斯定理形成的過(guò)程中，首先 解決的是，在n重伯努利試驗(yàn)中，事件 A出現(xiàn)的次數(shù)卩n等于k的概率pn (k) 二P(卩n= k)漸近于正態(tài)密度的問(wèn)題，即所謂棣莫弗-拉普拉斯局部極限定理：在任給的有限區(qū)間c，d中，對(duì)于滿(mǎn)足的k, 一致地

5、成立，是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密b+Nk(N=O, 土 1，,)的獨(dú)立隨機(jī)變量1948 年 B . B .50年代'，式中'''-T" ”度函數(shù)。這一結(jié)論的推廣就是討論取值為 序列Xk的相應(yīng)問(wèn)題，即格點(diǎn)極限定理。對(duì)于獨(dú)立同分布情形， 格涅堅(jiān)科給出了相當(dāng)簡(jiǎn)明的充分必要條件；對(duì)于獨(dú)立非同分布情形，于 也給出了充分條件。當(dāng)獨(dú)立隨機(jī)變量序列 xk 的標(biāo)準(zhǔn)化部分和的密度函數(shù)Pn(X)存在時(shí)，討論P(yáng)n(X)向標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)r(X)收斂的問(wèn)題稱(chēng)為局部極限定 理。格涅堅(jiān)科也于1953年對(duì)獨(dú)立同分布情形給出了十分簡(jiǎn)潔的充分必要條件， 即：當(dāng)且僅當(dāng)存在某N,使PN( x)有界時(shí)，成立

6、、一："：1-對(duì)于 獨(dú)立非同分布情形，也在一定假設(shè)下由B. B .彼得羅夫給出了充分必要條件。相依隨機(jī)變量的中心極限定理這一問(wèn)題至今仍是許多概率論學(xué)者所注意的課題，其中討論得較多且獲得實(shí) 際應(yīng)用的有m相依隨機(jī)變量序列、強(qiáng)平穩(wěn)隨機(jī)變量序列、鞅、馬爾可夫過(guò)程及其他泛函，以及各種類(lèi)型的統(tǒng)計(jì)量序列。 對(duì)于這些序列在附加一定條件時(shí)， 中心 極限定理也成立。這便使得許多實(shí)際問(wèn)題中的隨機(jī)變量或隨機(jī)過(guò)程可視為正態(tài) 的。收斂速度的估計(jì)為了討論向正態(tài)分布收斂的速度，20世紀(jì)40年代，先后由A.C.貝里及C.G. 埃森給出了下述著名的埃森不等式：對(duì)于獨(dú)立隨機(jī)變量序列Xn，記其標(biāo)準(zhǔn)化部 分和的分布函數(shù)為Fn

7、(x)，當(dāng)一-丄上八J(k=l，2，,)時(shí)，便有 沙&)-玲淞必其中 a是常數(shù)，幾F召聊小這一不等式給出了向正態(tài)分布收斂時(shí)誤差的精確估計(jì)。這方面的研究已相當(dāng)深入。大偏差定理2 2對(duì)于獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列Xn，若，則對(duì)標(biāo)準(zhǔn)化部分和 E及任意的M>Q當(dāng)0WX< M時(shí)，一致地成立:lim血 s)1(一兀)如果X的上界M隨著n的增大而單調(diào)趨于無(wú)窮，則與上述結(jié)果類(lèi)似的定理稱(chēng)為大偏差定理。這類(lèi)結(jié)果在諸如重對(duì)數(shù)律（見(jiàn)大數(shù)律）的研究中是很重要的。確切地說(shuō),li m A/* = co設(shè)M隨n單調(diào)上升，且“ 如果成立：lim并一sup1-為&)1 = 0,limn->

8、7;sup05%-1 = 0,則稱(chēng)對(duì)Mn大偏差定理成立。1938年，H.克拉默在漸近展開(kāi)的基礎(chǔ)上證明，若存 在正常數(shù)H,使當(dāng)| t | <H時(shí)，亠則對(duì)I、丿11"-大偏差定理成立。a-L1以后，!0 . B .林尼克等又給出了對(duì) - '（其中b）為正常數(shù)，大偏差定理成立的充分必要條件。大偏差定理還有種種重要的推廣，正吸引著一 些概率論學(xué)者的注意。普遍極限定理早在20世紀(jì)30年代，就開(kāi)始注意到如下普遍極限問(wèn)題：考察在每一行內(nèi)獨(dú)（=乞*誕伍=12），立的隨機(jī)變量陣列1? ' '' -的行和*對(duì)于適當(dāng)選取的常數(shù)An,隨機(jī)變量Sn-An的極限分布有哪些？

9、收斂的充分必要條件是什么？ 這是獨(dú)立隨機(jī)變量和的極限定理的最一般提法，到40年代中期，已獲得較完滿(mǎn)的解決?？梢宰C明，在適當(dāng)條件下，這一類(lèi)極限分布是無(wú)窮可分分布。記分布函數(shù)F（x）的特征函數(shù)為？（t），若對(duì)任一正整數(shù)n，有特征函數(shù)？ n（x）使得？ （t）= ? n（t）n ，就稱(chēng)分布函數(shù)F（x）（對(duì)應(yīng)地，特征函數(shù)？）為無(wú)窮可分的。單點(diǎn)分布、 泊松分布、正態(tài)分布、柯西分布（見(jiàn) 概率分布）等都是無(wú)窮可分分布。無(wú)窮可分 的特征函數(shù)？（t）有著名的萊維一辛欽表示式中參數(shù)y是實(shí)數(shù)，G(u)是滿(mǎn)足G(- s)=0的有界非降函數(shù)，稱(chēng)為？(t)的萊維- 辛欽譜函數(shù)。？(t)的另一表示是2此公式稱(chēng)為萊維表示若對(duì)

10、隨機(jī)變量xnk不加任何限制，則任一分布都可作為某個(gè)陣列的行和Sn的極限分布。按照物理學(xué)的啟示，在 30年代就提出了無(wú)窮小條件的概念，這一 條件要求S的每一個(gè)別加項(xiàng)xnk，當(dāng)n很大時(shí)，所起的作用都很微?。杭磳?duì)任何£ > 0, limmax1“隔刃.辛欽于1937年證明，滿(mǎn)足無(wú)窮小條件的獨(dú)立隨機(jī)變量陣列xnk的行和Sn,對(duì)于適當(dāng)?shù)某?shù)A, S-An的可能的極限分布 的全體，就是無(wú)窮可分分布族。隨后，1944年格涅堅(jiān)科利用萊維-辛欽表示，給 出了 Sn的分布函數(shù)收斂于無(wú)窮可分分布函數(shù) F(x)的充分必要條件是：百匚歆曲叫亠曲嘆二葉嚴(yán)込耳丘)二尸(AeW尤)n是任給的常數(shù);y及G (x

11、)分別是F(x)的特征函數(shù)的萊維一辛欽表示式中的參數(shù)及譜函數(shù), 是指在 G(x)的一切連續(xù)點(diǎn)上 Fn(x) -G (x)，且 Fn( + s) - G(+s)，F(xiàn)n( s) f G(s) o 1947獨(dú)立隨機(jī)變量陣列的行和依分布收斂于某無(wú)窮可分分布的充分必要條件。由普遍極限定理，可列出向正態(tài)分布、泊松分布及退化分布收斂的最一般條 件。例如，滿(mǎn)足無(wú)窮小條件的獨(dú)立陣列的行和向正態(tài)分布N( a，Z 2)收斂的充分必要條件是：對(duì)任給£>0, lim|>r)= 0,2=1存在£ >0,使lim左*k=lM誡|半瓷怒存在£ >0,使這是中心極限定理的最

12、一般結(jié)果。林德伯格-費(fèi)勒定理等都可由它推出。在討論普遍極限定理的同時(shí)，辛欽于 1936年考慮了限于獨(dú)立隨機(jī)變量序列 xn的“普遍極限問(wèn)題”，就是討論對(duì)適當(dāng)選取的常數(shù)B>0與A,S：二丄E耳-心的極限分布族及依分布收斂的條件。在無(wú)窮小條件的限制下，這類(lèi)'的極限分布族是無(wú)窮可分分布族的一個(gè)子族，叫做L族。萊維在1946年運(yùn)用無(wú)窮可分特征函數(shù)的萊維表示給出了F(x)屬于L族的充分必要條件。隨后，格涅堅(jiān)科等又給出了'的分布向L族某分布收斂的充分必要條件。當(dāng)隨機(jī)變量序列Xn限于獨(dú)立且同分布時(shí)，的極限分布族就稱(chēng)為穩(wěn)定律 族B,顯然9是L族的子族。萊維與辛欽于1936年通過(guò)特征函數(shù)的另一種特定 的表示給出了分布函數(shù)F (X)為穩(wěn)定律的充分必要