大學(xué)物理習(xí)題解答8振動(dòng)及波動(dòng)(I)

1、第七章 電磁感應(yīng)本章提要1. 法拉第電磁感應(yīng)定律· 當(dāng)穿過閉合導(dǎo)體回路所包圍面積的磁通量發(fā)生變化時(shí)，導(dǎo)體回路中就將產(chǎn)生電流，這種現(xiàn)象稱為電磁感應(yīng)現(xiàn)象，此時(shí)產(chǎn)生的電流稱為感應(yīng)電流。· 法拉第電磁感應(yīng)定律表述為：通過導(dǎo)體回路所包圍面積的磁通量發(fā)生變化石，回路中產(chǎn)生地感應(yīng)電動(dòng)勢與磁通量變化率的關(guān)系為其中為磁鏈，負(fù)號表示感應(yīng)電動(dòng)勢的方向。對螺線管有N匝線圈，可以有。2. 楞次定律· 楞次定律可直接判斷感應(yīng)電流方向，其表述為：閉合回路中感應(yīng)電流的方向總是要用自己激發(fā)的磁場來阻礙引起感應(yīng)電流的磁通量的變化。3. 動(dòng)生電動(dòng)勢· 磁感應(yīng)強(qiáng)度不變，回路或回路的一部分相對于

2、磁場運(yùn)動(dòng)，這樣產(chǎn)生的電動(dòng)勢稱為動(dòng)生電動(dòng)勢。動(dòng)生電動(dòng)勢可以看成是洛侖茲力引起的。· 由動(dòng)生電動(dòng)勢的定義可得：· 洛倫茲力不做功，但起能量轉(zhuǎn)換的作用。4. 感生電動(dòng)勢·當(dāng)導(dǎo)體回路靜止，而通過導(dǎo)體回路磁通量的變化僅由磁場的變化引起時(shí)，導(dǎo)體中產(chǎn)生的電動(dòng)勢稱為感生電動(dòng)勢。其中Ei為感生電場強(qiáng)度。5. 自感· 當(dāng)回路中的電流發(fā)生變化，它所激發(fā)的磁場產(chǎn)生的通過自身回路的磁通量也會(huì)發(fā)生變化，此變化將在自身回路中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢，這種現(xiàn)象稱為自感現(xiàn)象，產(chǎn)生的電動(dòng)勢為自感電動(dòng)勢，其表達(dá)式為：（L一定時(shí)）負(fù)號表明自感電動(dòng)勢阻礙回路中電流的變化，比例系數(shù)L稱為電感或自感系數(shù)。&#

3、183; 自感系數(shù)表達(dá)式為：· 自感磁能 6. 互感· 對于兩個(gè)臨近的載流回路，當(dāng)其中一回路中的電流變化時(shí)，電流所激發(fā)的變化磁場在另一回路中產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢。這種現(xiàn)象稱為互感現(xiàn)象，對應(yīng)產(chǎn)生的電動(dòng)勢稱為互感電動(dòng)勢，其表達(dá)式為：（M一定時(shí)）其中M為互感系數(shù)。7. 麥克斯韋方程組回顧有關(guān)描述靜電場和穩(wěn)恒磁場的基本性質(zhì)的4個(gè)方程：l 靜電場高斯定理l 穩(wěn)恒磁場的高斯定理l 靜電場的環(huán)路定理l 穩(wěn)恒磁場的安培環(huán)路定理根據(jù)上述4個(gè)方程，考慮電場或磁場的變化，麥克斯韋對上述方程進(jìn)行修改，得到如下一組描述任何電場和磁場的方程組。思考題7-1 一個(gè)導(dǎo)體圓線圈在均勻磁場中運(yùn)動(dòng)，在下列幾種情況下，

4、那些會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流？為什么？(1)線圈沿磁場方向平移；(2)線圈沿垂直方向平移；(3)線圈以自身的直徑為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，軸與磁場方向平行；(4)線圈以自身的直徑為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，軸與磁場方向垂直。 答：(1) (2)通過導(dǎo)體圓線圈的磁通量。當(dāng)線圈沿磁場方向平移和沿垂直方向平移時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度和面積矢量方向相同，且大小不變，所以磁通量也保持不變，由法拉第電磁感應(yīng)定律，線圈中感應(yīng)電動(dòng)勢為零，也就沒有感應(yīng)電流。(3) 線圈以自身的直徑為軸（軸與磁場方向平行）轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，磁感應(yīng)強(qiáng)度和面積矢量方向保持垂直，磁通量為零，因此線圈中也沒有感應(yīng)電流。(4) 線圈以自身的直徑為軸（軸與磁場方向垂直）轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，磁通量為，磁感應(yīng)強(qiáng)

5、度和面積法向矢量方向的夾角，它隨時(shí)間的變化而變化，所以線圈中存在感應(yīng)電動(dòng)勢，有感應(yīng)電流。 7-2 靈敏電流計(jì)的線圈處于永磁體的磁場中，通入電流線圈就會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，切斷電流后線圈在回到原來位置前總要來回?cái)[動(dòng)幾次。這時(shí)，如果用導(dǎo)線把線圈的兩個(gè)頭短路，擺動(dòng)就會(huì)馬上停止，這是為什么？答：通電線圈處在磁場中，受到磁力距的作用，發(fā)生偏轉(zhuǎn)。切斷電流后，由法拉第電磁感應(yīng)定律，電流不會(huì)消失，而是逐漸衰減，在此過程中線圈仍然受到磁場安培力的作用，因此在回到原來位置前總要來回?cái)[動(dòng)幾次。如果用導(dǎo)線把線圈的兩個(gè)頭短路，線圈中電流被短路，不再受到安培力的作用，擺動(dòng)馬上停止。7-3 變壓器鐵芯為什么總做成片狀的，而且涂上絕緣

6、漆相互隔開？鐵片放置的方向應(yīng)和線圈中磁場的方向有什么關(guān)系？答：變壓器中的鐵芯由于處在交變電流的磁場中，因而在鐵芯內(nèi)部要出現(xiàn)渦流，使鐵芯發(fā)熱，浪費(fèi)電能，甚至引起事故。將鐵芯做成片狀，而且涂上絕緣漆相互隔開，可以減小電流的截面，增大電阻，渦流損耗也隨之減小。為減小磁通量鐵片放置的方向應(yīng)和線圈中磁場的方向平行。7-4 讓一塊磁鐵在一根長的鉛直管內(nèi)落下，若不計(jì)空氣阻力，試描述磁鐵的運(yùn)動(dòng)情況，并說明理由。答：磁鐵入管前后，鐵管中磁通量發(fā)生變化而出現(xiàn)感生電流，從而阻礙磁鐵的運(yùn)動(dòng)，此時(shí)磁鐵作加速度小于重力加速度的加速運(yùn)動(dòng)。磁鐵在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，鐵管中磁通量不發(fā)生變化，此時(shí)磁鐵作自由落體運(yùn)動(dòng)。磁鐵出管前后，管中也

7、出現(xiàn)感生電流，磁鐵的運(yùn)動(dòng)受到阻礙，作加速度小于重力加速度的加速運(yùn)動(dòng)。7-5 要求用金屬線繞制的標(biāo)準(zhǔn)電阻無自感，怎樣繞制才能達(dá)到此目的？答：將金屬線對折，然后繞成螺線圈。螺線圈內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零，電阻也就無自感。7-6 兩個(gè)共軸長線圈的自感系數(shù)和的比為4，這兩線圈的匝數(shù)比是多少？答：設(shè)長線圈單位長度上線圈的匝數(shù)為n，線圈的體積為V，則其自感為。由此可知，若兩共軸長線圈的自感系數(shù)之比為4，則這兩線圈的匝數(shù)比是1：2。7-7 什么叫位移電流？位移電流和傳導(dǎo)電流有什么不同？答：通過電場中某一橫截面的位移電流等于通過該截面電位移通量對時(shí)間的變化率。位移電流的實(shí)質(zhì)是電場的變化率。而傳導(dǎo)電流則穿過某個(gè)橫截面

8、的電荷量對時(shí)間的變化率，對應(yīng)著電荷的移動(dòng)。位移電流可以在真空中存在，而傳導(dǎo)電流只能存在有電荷的空間。7-8 感生電場與靜電場有什么相同之處？又有什么不同？答：相同之處：感生電場與靜電場都對電荷有力的作用。不同之處在于：靜電場存在于靜止電荷周圍的空間內(nèi)，感生電場則是由變化的磁場所激發(fā)，不是由電荷所激發(fā)；靜電場的電場線是始于正電荷、終于負(fù)電荷的，而感生電場的電場線則是閉合的。正是由于感生電場的存在，才在閉合回路中形成感生電動(dòng)勢。7-9 變化磁場所產(chǎn)生的電場是否也一定隨時(shí)間變化？答：變化磁場所產(chǎn)生的電場不一定隨時(shí)間變化。如果為常數(shù)，即磁場均勻變化時(shí)，激發(fā)的感生電場不會(huì)隨時(shí)間變化。7-10 電荷作下列

9、兩種運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否輻射電磁波？(1) 電荷在空間作簡諧振動(dòng)；(2)電荷作圓周運(yùn)動(dòng)。 答：變化著的電場和磁場相互激發(fā)，形成在空間中傳播的電磁波。電磁場的傳播，也就是電磁波的產(chǎn)生總是和電荷的加速運(yùn)動(dòng)相聯(lián)系的。電荷在空間作簡諧振動(dòng)，它的加速度和時(shí)間就按正弦關(guān)系變化。離它較遠(yuǎn)各點(diǎn)的電場和磁場也將隨時(shí)間按正弦變化，這種變化的電磁場還不斷向外傳播。這就形成了最簡單形式的電磁波簡諧電磁波。電子作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，在圓周平面遠(yuǎn)處進(jìn)行觀察，電子可以看作是簡諧振動(dòng)，因此電荷作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，也能輻射電磁波。練習(xí)題7-1 如圖7-1所示，在通有電流I的無限長直導(dǎo)線近旁有一導(dǎo)線ab，長為l，離長直導(dǎo)線的距離為d。當(dāng)它沿平行于長直

10、導(dǎo)線的方向以速度v平移時(shí)，導(dǎo)線中的感應(yīng)電動(dòng)勢有多大？a、b哪端的電勢高？ 解：建立如圖7-1所示坐標(biāo)系，在導(dǎo)線ab中取導(dǎo)體元，該處的磁感強(qiáng)度dlabdxvxI圖7-1桿中的感生電動(dòng)勢為式中負(fù)號表示電動(dòng)勢方向由b指向a，故a端電勢較高。7-2 在圖7-2中，無限長直導(dǎo)線通有電流，另一個(gè)矩形線圈共1匝，寬a=10cm，長l=20cm，以的速度向右運(yùn)動(dòng)。當(dāng)d=10cm時(shí)求：（1）線圈中的動(dòng)生電動(dòng)勢；（2）線圈中的感生電動(dòng)勢；（3）線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢；Ildafgeh圖7-2解：（1）導(dǎo)體在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢就是動(dòng)生電動(dòng)勢。本題中，如圖，導(dǎo)體eh段和fg段上的動(dòng)生電動(dòng)勢為零，因而線圈中的動(dòng)生

11、電動(dòng)勢為（2）由磁通量變化引起的電動(dòng)勢稱為感生電動(dòng)勢。在d=10cm時(shí)，線圈中的感生電動(dòng)勢為其中磁通量的變化歸于電流的變化，依題意，得聯(lián)立上述三式，并帶入數(shù)據(jù)，得（3）線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢為動(dòng)生電動(dòng)勢和感生電動(dòng)勢的代數(shù)和7-3 只有一根輻條的輪子在均勻外磁場B中轉(zhuǎn)動(dòng)，輪軸與B平行，如圖7-3所示。輪子和輻條都是導(dǎo)體，輻條長為R，輪子每秒轉(zhuǎn)N圈子。兩根導(dǎo)線a和b通過各自的刷子分別與輪軸和輪邊接觸。求:（1）a、b間的感應(yīng)電動(dòng)勢 ；（2）若在a、b間接一個(gè)電阻，流過輻條的電流方向如何？（3）當(dāng)輪子反轉(zhuǎn)時(shí)，電流方向是否會(huì)反向？（4）若輪子的輻條是對稱的兩根或更多，結(jié)果又將如何？Bqab圖7-3解：(1

12、)輻條的轉(zhuǎn)動(dòng)使閉合導(dǎo)體回路所圍面積的磁通量發(fā)生變化，從而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢。由法拉第電磁感應(yīng)定律，a、b間的感應(yīng)電動(dòng)勢為由題意得代入上式得(2)若a、b間接一個(gè)電阻，則輻條、導(dǎo)線和輪邊逆時(shí)針構(gòu)成一個(gè)閉合回路。感生電流阻礙磁通量的減少，流過輻條的電流方向由輪軸指向輪邊。(3)若輪子反轉(zhuǎn)時(shí)，dS變?yōu)樨?fù)，電流方向會(huì)反向。(4)若輪子的輻條是對稱的兩根或更多，每根輻條產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢大小相等，若每根輻條作為一個(gè)電源，則是兩個(gè)或更多個(gè)電勢相等的電源的并聯(lián)，因此a、b間的感應(yīng)電動(dòng)勢不變。（另一種解法：可認(rèn)為輻條在切割磁力線，參照下題解法。）7-4 法拉第盤發(fā)電機(jī)是一個(gè)在磁場中轉(zhuǎn)動(dòng)的導(dǎo)體圓盤。設(shè)圓盤的半徑為R，

13、它的軸線與均勻外磁場B平行，它以角速度繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖7-4所示。求：（1）盤邊與盤心的電位差；（2）當(dāng)R=15cm時(shí)，B=0.60T。若轉(zhuǎn)速n=30rad/s，電壓u等于多少？（3）盤邊與盤心哪處電位高？當(dāng)盤反轉(zhuǎn)時(shí)，它們的電位高低是否會(huì)反過來？Bw圖7-4解：（1） 盤上沿半徑方向產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢可以認(rèn)為是沿任意半徑的一導(dǎo)體桿在磁場中運(yùn)動(dòng)的結(jié)果。在半徑上場為dl的一段桿上產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為式中l(wèi)為dl段與盤心的距離，v為dl段的線速度。整個(gè)桿上產(chǎn)生的電動(dòng)勢為（2）將數(shù)據(jù)代入上式，知導(dǎo)體圓盤的電壓為（3）由右手定則，電動(dòng)勢由盤心指向盤邊，故盤邊的電位高。當(dāng)盤反轉(zhuǎn)時(shí)，它們的電位高低會(huì)反過來。7-5

14、 在半徑為r的圓柱體內(nèi)充滿均勻磁場B ，如圖7-5所示。有一個(gè)長為l的金屬桿放在磁場中，若B隨時(shí)間的變化率為dB/dt，求桿上的電動(dòng)勢？解：如圖7-5所示，連接OP、OQ，設(shè)想PQOP構(gòu)成一個(gè)閉合導(dǎo)體回路，由于OP、OQ沿半徑方向，與通過該處的感生電場強(qiáng)度Ek處處垂直，故Ek·dl=0，OP、OQ兩段均無電動(dòng)勢，這樣，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出閉合回路的總電動(dòng)勢，就是導(dǎo)體棒PQ上的電動(dòng)勢。則桿上的電動(dòng)勢為圖7-6BOPQrl圖7-57-6 環(huán)形螺線管的截面為矩形，內(nèi)徑為D2，外徑為D1，高為h，總匝數(shù)為N，介質(zhì)導(dǎo)磁率為，如圖7-6所示。求其自感系數(shù)。解一：假設(shè)螺線管中通有電流I，則通過

15、長方形截面的磁通量為由自感定義，得解二：由安培環(huán)路定理，有又所以管內(nèi)磁場能量為與能量公式比較，可得7-7 一個(gè)長為l，截面半徑為R（R<<l）的圓柱形紙筒上均勻密繞有兩組線圈，一組總匝數(shù)為N1，另一組總匝數(shù)為N2。當(dāng)筒內(nèi)介質(zhì)為空氣時(shí)，兩線圈的互感為多少？解：考慮到R<<l，可將均勻密繞圓柱形紙筒上兩組線圈看成是無限長直螺線管。設(shè)匝數(shù)為N1的螺線管中通以電流I1，它在產(chǎn)生得磁感應(yīng)強(qiáng)度為式中n為單位長度上繞有線圈的匝數(shù)。它在螺線管2中產(chǎn)生的總磁通量為故互感系數(shù)為 7-8 試證電容器的位移電流。其中C為電容器的電容，U為兩極板間的電壓。證明：電容器電路中，在電容器極板表面中斷了的傳導(dǎo)Ic電流可以由位移電流Id繼續(xù)下去，兩者一起構(gòu)成了電流的連續(xù)性，則式中Q是電路中流動(dòng)的電荷，或者說是開始放電時(shí)電容器極板上聚集的電荷，則其中C為電容器的電容，U為兩極板間的電壓。聯(lián)立上述兩式，得得證。7-9 將半徑為R的圓形平板電容器接入交流電器中，已知極板上的電量以的規(guī)律變化。求：（1）兩極板間的位移電流；（2）離兩極板中心連線距離為r (r<R)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。解：（1）兩極板間的位移電流就等于電路上的傳導(dǎo)電流Ic，則（2）如圖7-7，以半徑r作一平行于兩極板平面的圓形回路。由于電