2022年經(jīng)典初中數(shù)學三角形專題訓練及例題解析

1、優(yōu)秀學習資料歡迎下載經(jīng)典三角形專題訓練知識點梳理考點一、三角形1、三角形的定義 : 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接 所組成的圖形叫做三角形. 2、三角形的分類 . 鈍角三角形直角三角形銳角三角形)(等邊三角形等腰三角形不等邊三角形3、三角形的三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊, 任意兩邊之差小于第三邊. 4、三角形的重要線段三角形的中線：頂點與對邊中點的連線, 三條中線交點叫 重心三角形的角平分線： 內(nèi)角平分線與對邊相交 , 頂點和交點間的線段 , 三個角的角平分線的交點叫 內(nèi)心三角形的高：頂點向?qū)呑鞔咕€, 頂點和垂足間的線段 . 三條高的交點叫 垂心(分銳角三角形 , 鈍角三

2、角形和直角三角形的交點的位置不同) 5、三角形具有穩(wěn)定性6、三角形的內(nèi)角和定理及性質(zhì)定理：三角形的內(nèi)角和等于180. 推論 1：直角三角形的兩個銳角互補。推論 2：三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和。推論 3：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角。7、多邊形的外角和恒為3608、多邊形及多邊形的對角線正多邊形：各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形凸凹多邊形：畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，若整個圖形都在這條直線的同一側(cè)，這樣的多邊形稱為 凸多邊形 ； ，若整個多邊形不都在這條直線的同一側(cè)，稱這樣的多邊形為凹多邊形 。多邊形的對角線的條數(shù): a.從 n 邊形的一個頂點可

3、以引（n-3）條對角線，將多邊形分成（n-2）個三角形。b.n 邊形共有2)3(nn條對角線。9、邊形的內(nèi)角和公式及外角和多邊形的內(nèi)角和等于（n-2）180(n3) 。多邊形的外角和等于360。三角形(按角分 ) 三角形(按邊分 ) 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學習資料歡迎下載10、平面鑲嵌及平面鑲嵌的條件。平面鑲嵌：用形狀相同或不同的圖形封閉平面，把平面的一部分既無縫隙，又不重疊地全部覆蓋。平面鑲嵌的條件：有公共頂點、公共邊；在一個頂點處各多邊形的內(nèi)角和為360?？键c二、

4、全等三角形1、全等三角形的概念能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。2、三角形全等的判定三角形全等的判定定理：（1）邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“sas” ）（2）角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“asa” ）（3）邊邊邊定理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“sss ” ） 。直角三角形全等的判定：對于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r，還有hl 定理（斜邊、直角邊定理） ：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（可簡寫成“斜邊、直角邊”或“hl” ）3、全等變換只改變圖形

5、的位置，不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。全等變換包括一下三種：（1）平移變換：把圖形沿某條直線平行移動的變換叫做平移變換。（2）對稱變換：將圖形沿某直線翻折180，這種變換叫做對稱變換。（3）旋轉(zhuǎn)變換：將圖形繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度到另一個位置，這種變換叫做旋轉(zhuǎn)變換?？键c三、等腰三角形1、等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）推論 1：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊。即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。推論 2：等邊三角形的各個角都相等，并且每個角都等于60。2、三角形中的中位線連接三角形兩邊中點

6、的線段叫做三角形的中位線。（1）三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個新的三角形。（2）要會區(qū)別三角形中線與中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。三角形中位線定理的作用：精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學習資料歡迎下載位置關(guān)系：可以證明兩條直線平行。數(shù)量關(guān)系：可以證明線段的倍分關(guān)系。常用結(jié)論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論 1：三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。結(jié)論 2：三條中位線將原三角形分割成四個全等的三

7、角形。結(jié)論 3：三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。結(jié)論 4：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結(jié)論 5：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等?？键c四、直角三角形1、直角三角形的兩個銳角互余2、在直角三角形中， 30角所對的直角邊等于斜邊的一半。3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 4 直角三角形兩直角邊a，b 的平方和等于斜邊c 的平方，即222cba5、攝影定理在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項acb=90 bdadcd2abadac2cd ab abbdbc26、

8、常用關(guān)系式由三角形面積公式可得：ab cd=acbc 經(jīng)典例題解析：例 1. 如圖， bp平分 fbc ，cp平分 ecb ，a=40 求 bpc的度數(shù)。分析：可以利用三角形外角的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和求解。解： 1=)4(21a)3(212a)21(180bpc40a111804)322bpcaa704018021180例 2. 如圖，求 a+c+ 3+f 的度數(shù)。分析：由已知 b=30， g=80 ，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學習資料歡迎下載bdf=130 ，利用四邊形

9、內(nèi)角和，求出3 的度數(shù)，再計算要求的值。解：四邊形內(nèi)角和為（ 4-2 ）180=3603=360-30-80 -130=120又 a c f 是三角形的內(nèi)角a+c+f+3=180+120=300例 3已知一個多邊形的每個外角都是其相鄰內(nèi)角度數(shù)的41，求這個多邊形的邊數(shù)。分析：每一個外角的度數(shù)都是其相鄰內(nèi)角度數(shù)的41，而每個外角與其相鄰的內(nèi)角的度數(shù)之和為 180。解：設(shè)此多邊形的外角為x，則內(nèi)角的度數(shù)為4x 418036360103610 xxxn則解得邊數(shù)即這個多邊形的邊數(shù)為例 4. 用正三角形、正方形和正六邊形能否進行鑲嵌？分析：可以進行鑲嵌的條件是：一個頂點處各個內(nèi)角和為360解：正三角形

10、的內(nèi)角為60正方形的內(nèi)角為 90正六邊形的內(nèi)角為 120可以鑲嵌。一個頂點處有1 個正三角形、 2 個正方形和 1 個正六邊形。例 5. 如圖，在 abc中，acb=60 ， bac=75 ，ad bc于 d，be ac于 e，ad與 be交于 h，則 chd= 解：在 abc中，三邊的高交于一點，所以cf ab ，bac=75 ，且 cf ab ， acf=15 ，acb=60 ， bcf=45 在cdh 中，三內(nèi)角之和為180，chd=45 ，故答案為 chd=45 點評：考查三角形中，三條邊的高交于一點，且內(nèi)角和為180例 6如圖， ad 、am 、ah分別 abc 的角平分線、中線和高

11、（1）因為 ad是abc的角平分線，所以 = = 1/2；（2）因為 am 是abc的中線，所以 = = ；（3）因為 ah是abc的高，所以 = =90 分析：（1）根據(jù)三角形角平分線的定義知：角平分線平分該角；（2）根據(jù)三角形的中線的定義知：中線平分該中線所在的線段；（3）根據(jù)三角形的高的定義知，高與高所在的直線垂直精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學習資料歡迎下載解答：解：（ 1）ad是abc的角平分線，bad= cad=1/2 bac ；（2）am是abc的中線，bm=c

12、m=1/2bc；（3）ah是abc的高， ah bc ，ahb= ahc=90 ；故答案是：（ 1）bad 、cad 、bac ；（2）bm 、cm 、bc ；（3）ahb 、ahc 例 8如圖，ap平分 bac 交 bc于點 p， abc=90 ，且 pb=3cm ，ac=8cm ，則apc的面積是 cm2解： ap 平分bac 交 bc 于點 p，abc=90，pb=3cm，點 p 到ac 的距離等于 3，ac=8cm， apc 的面積 =832=12cm2例 9. 已知：點 p 是等邊 abc 內(nèi)的一點， bpc150，pb2，pc3，求 pa 的長。分析： 將bap 繞點 b 順時針方

13、向旋轉(zhuǎn) 60至 bcd，即可證得 bpd 為等邊三角形，pcd 為直角三角形。解：bcba，將 bap 繞點 b 順時針方向旋轉(zhuǎn) 60，使 ba 與 bc 重合，得 bcd，連結(jié) pd。bdbp2，padc。bpd 是等邊三角形。 bpd60。dpcbpcbpd1506090。dc22222313pdpcpadc13 。例 10. 兩個全等的含 30o，60o角的三角板 ade 和 abc 如圖所示放置， e，a，c 三點在一條直線上，連接 bd，取 bd 的中點 m，連結(jié) me，mc。試判斷 emc 是什么樣的三角形，并說明理由。分析： 判斷一個三角形的形狀，可以結(jié)合所給出的圖形作出假設(shè)，或

14、許是等腰三角形。這樣就可以轉(zhuǎn)化為另一個問題：嘗試去證明emmc，要證線段相等可以尋找全等三角形來解決，然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個三角形。這時思考的問題就可以轉(zhuǎn)化為這樣一個新問題：如何構(gòu)造一對全等三角形？根據(jù)已知點m 是直角三角形斜邊的中點，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點是斜邊的一半，得：mdmbma。連結(jié) m a 后，可以證明 mdemac。答：emc 是等腰直角三角形。證明： 連接 am，由題意得，deac，adab，daebac90o。dab90o。dab 為等腰直角三角形。又mdmb，mamdmb，amdb，madm ab45o。c e a d m b 精品學習資料 可選擇p d

15、f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學習資料歡迎下載mdemac105o，dma90o。mdemac。dmeamc，memc。又dmeema90o，amcema90o。mcem。emc 是等腰直角三角形。說明： 構(gòu)造全等三角形是解決這個問題的關(guān)鍵，那么構(gòu)造全等又如何進行的呢？對條件的充分認識和對知識點的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑。構(gòu)造過程中要不斷地轉(zhuǎn)化問題或轉(zhuǎn)化思維的角度。會轉(zhuǎn)化，善于轉(zhuǎn)化，更能體現(xiàn)思維的靈活性。在問題中創(chuàng)設(shè)以三角板為情境也是考題的一個熱點。例 11. 如圖，等腰直角三角形 abc 中，ac

16、b90，ad 為腰 cb 上的中線， cead 交 ab于 e求證 cdaedb提示：作 cfab于 f，則 acf45，在abc 中， acb90，cead，于是，由 acgb45，abac ，且易證 12，由此得 agcceb（asa） 再由 cddb，cgbe，gcdb，又可得 cgdbed（sas ） ，則可證 cdaedb例 12. 如圖，abc 中，12，34，56a60求 ecf、fec 的度數(shù)略解：因為a60，所以 2321（18060） 60；又因為 b、c、d 是直線，所以 4590；于是 fec2360，fce4590，fec60例 13.在 rtabc 中， a90，c

17、e 是角平分線，和高ad 相交于 f，作 fgbc 交 ab于 g，求證： aebg12abfcdea b c d f g e 1 2 3 4 5 6 a b c d e f g h 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學習資料歡迎下載略解：作 ehbc 于 h，由于 e 是角平分線上的點，可證aeeh ；且又由 aecbecbcadecaafe可證 aeaf，于是由 afeh，afgehb90， bagf可得 afgehb；所以 ageb，即 aeegbgge，所以 aebg反饋

18、練習1. 如圖， ad是abc 的中線，如果 abc 的面積是 18cm2，則 adc 的面積是 cm22. 如圖， abc 中，abc= bac=45 ，點 p在 ab上，ad cp ，be cp ，垂足分別為 d ，e，已知 dc=2 ，則 be= 3（2009?宜賓）已知：如圖，四邊形abcd 是菱形，過 ab的中點 e作 ac的垂線 ef，交 ad于點 m ，交 cd的延長線于點 f（1）則 am dm；（2）若 df=2 ，則菱形 abcd 的周長為精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 8 頁 - - - - - - - - -優(yōu)秀學習資料歡迎下載4已知 bd ，ce是abc的兩條高， m 、n分別為 bc 、de的中點，勇敢猜一猜：（1）線段 em 與 dm 的大小有什么關(guān)系