第5章波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)

1、第五章 波動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)第第1篇篇 力力 學(xué)學(xué) http:/2一一. 機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播機(jī)械波的產(chǎn)生和傳播1 1. 產(chǎn)生條件產(chǎn)生條件: : 波源波源 彈性媒彈性媒質(zhì)質(zhì)5-1 波動(dòng)的基本概念波動(dòng)的基本概念 波源處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)通過(guò)彈性介質(zhì)中的彈性力，將振動(dòng)傳波源處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)通過(guò)彈性介質(zhì)中的彈性力，將振動(dòng)傳播開(kāi)去，從而形成機(jī)械波。播開(kāi)去，從而形成機(jī)械波。 振動(dòng)在空間的傳播過(guò)程叫做振動(dòng)在空間的傳播過(guò)程叫做波動(dòng)波動(dòng)，激發(fā)波動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng)，激發(fā)波動(dòng)的振動(dòng)系統(tǒng)稱為稱為波源波源。機(jī)械振動(dòng)在彈性媒質(zhì)中的傳播過(guò)程稱為。機(jī)械振動(dòng)在彈性媒質(zhì)中的傳播過(guò)程稱為機(jī)械波機(jī)械波，如聲波、水波等。如聲波、水波等。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)在彈性介質(zhì)中傳播

2、形成簡(jiǎn)諧振動(dòng)在彈性介質(zhì)中傳播形成的機(jī)械波稱為簡(jiǎn)諧波。的機(jī)械波稱為簡(jiǎn)諧波。3質(zhì)元并未質(zhì)元并未“隨波逐流隨波逐流”各質(zhì)各質(zhì)元元均在自己的平衡位置附近振動(dòng)均在自己的平衡位置附近振動(dòng)傳播的是波源的振動(dòng)狀態(tài)或者說(shuō)相位傳播的是波源的振動(dòng)狀態(tài)或者說(shuō)相位沿波傳播的方向，各質(zhì)元相位依次落后沿波傳播的方向，各質(zhì)元相位依次落后 注意！注意！2 . 縱波和橫波縱波和橫波橫波橫波振動(dòng)方向與傳播方向垂直，如繩中傳播的波等。振動(dòng)方向與傳播方向垂直，如繩中傳播的波等?？v波縱波振動(dòng)方向與傳播方向相同，如聲波。振動(dòng)方向與傳播方向相同，如聲波。 總之總之, 波動(dòng)波動(dòng)(或行波或行波)是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，是能量的傳播是振動(dòng)狀態(tài)的傳播，是

3、能量的傳播，而不是質(zhì)點(diǎn)的傳播。而不是質(zhì)點(diǎn)的傳播。橫波只能在固體中傳播，橫波的特征是有凸凹的波峰、波谷。橫波只能在固體中傳播，橫波的特征是有凸凹的波峰、波谷?？v波可在固體、液體、氣體中傳播。縱波的特征是有稀密相縱波可在固體、液體、氣體中傳播。縱波的特征是有稀密相間的介質(zhì)區(qū)域。間的介質(zhì)區(qū)域。4二二. 描述波動(dòng)的幾何參量描述波動(dòng)的幾何參量1.波線波線(或波射線或波射線) 表示波傳播的方向表示波傳播的方向。2.波面波面(或同相面或同相面)某時(shí)刻介質(zhì)內(nèi)振動(dòng)相位相同的點(diǎn)組成某時(shí)刻介質(zhì)內(nèi)振動(dòng)相位相同的點(diǎn)組成 的面稱為波面。的面稱為波面。3.波前波前(或波陣面或波陣面)最前面的波面。最前面的波面。平面波平面波

4、波波線線波面波面在各向同性均勻介質(zhì)中，波線與波陣面垂直。在各向同性均勻介質(zhì)中，波線與波陣面垂直。波面波面波線波線球面波球面波5三三.描述波動(dòng)的解析參量描述波動(dòng)的解析參量2.波長(zhǎng)波長(zhǎng) : 波線上相位差為波線上相位差為2的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離。的兩個(gè)點(diǎn)之間的距離。 1.周期周期T：媒質(zhì)中各質(zhì)元完成一次全振動(dòng)的時(shí)間，這個(gè)時(shí)間也媒質(zhì)中各質(zhì)元完成一次全振動(dòng)的時(shí)間，這個(gè)時(shí)間也是一個(gè)完整的波形通過(guò)媒質(zhì)中一點(diǎn)所需的時(shí)間。是一個(gè)完整的波形通過(guò)媒質(zhì)中一點(diǎn)所需的時(shí)間。 Tu這個(gè)距離也是波這個(gè)距離也是波(振動(dòng)狀態(tài)振動(dòng)狀態(tài))在一個(gè)周期內(nèi)前進(jìn)的距離。在一個(gè)周期內(nèi)前進(jìn)的距離。3. 波速波速u : 單位時(shí)間波單位時(shí)間波(振動(dòng)狀態(tài)

5、振動(dòng)狀態(tài))所傳播的距離。所傳播的距離。波的周期就是它所傳播的振動(dòng)的周期即波源的振動(dòng)周期。波的周期就是它所傳播的振動(dòng)的周期即波源的振動(dòng)周期。 通常情況下通常情況下, 波的頻率或周期與媒質(zhì)無(wú)關(guān)，只取決于波波的頻率或周期與媒質(zhì)無(wú)關(guān)，只取決于波源的振動(dòng)頻率，而波速卻與波源無(wú)關(guān)，取決于媒質(zhì)的彈性性源的振動(dòng)頻率，而波速卻與波源無(wú)關(guān)，取決于媒質(zhì)的彈性性質(zhì)和質(zhì)量密度。質(zhì)和質(zhì)量密度。6llSfY (1)細(xì)長(zhǎng)的棒狀媒質(zhì)中細(xì)長(zhǎng)的棒狀媒質(zhì)中縱波波速縱波波速： Yul 式中式中: 為為質(zhì)量密度；質(zhì)量密度； Y為楊氏彈性模量。為楊氏彈性模量。l lff(張應(yīng)變張應(yīng)變)(張應(yīng)力張應(yīng)力)下面介紹幾種均勻各向同性介質(zhì)中的波速公

6、式下面介紹幾種均勻各向同性介質(zhì)中的波速公式: 若在截面為若在截面為S、長(zhǎng)為、長(zhǎng)為l的細(xì)棒兩端加上大小相等、方向的細(xì)棒兩端加上大小相等、方向相反的相反的軸向軸向拉力拉力f，使棒伸長(zhǎng)，使棒伸長(zhǎng) l，如圖所示。，如圖所示。則在彈性限度內(nèi)：則在彈性限度內(nèi)：7lxSFSFG / (2)均勻固體媒質(zhì)中的均勻固體媒質(zhì)中的橫波波速：橫波波速： Gut 在固體媒質(zhì)中即可傳播橫波也可傳播縱波，在同一種固體在固體媒質(zhì)中即可傳播橫波也可傳播縱波，在同一種固體媒質(zhì)中，媒質(zhì)中，橫波波速橫波波速比比縱波波速縱波波速小些。小些。FFlx SS式中式中: 為為質(zhì)量密度；質(zhì)量密度； G為切變彈性模量。為切變彈性模量。 若在柱體上

7、下表面若在柱體上下表面S上作用一大小相等，方向相反的上作用一大小相等，方向相反的切向力切向力F，使柱體發(fā)生，使柱體發(fā)生切變切變，如圖所示如圖所示。(切應(yīng)變切應(yīng)變)(切應(yīng)力切應(yīng)力)則在彈性限度內(nèi)：則在彈性限度內(nèi)：8VVpB Bul (3)在液體和氣體只能傳播在液體和氣體只能傳播縱波縱波，其波速：，其波速： Tut (4)柔軟的繩和弦上柔軟的繩和弦上橫波波速橫波波速：P式中式中: 為為質(zhì)量密度；質(zhì)量密度； B為容變彈性模量。為容變彈性模量。 設(shè)流體體積在壓強(qiáng)為設(shè)流體體積在壓強(qiáng)為P時(shí)等于時(shí)等于V，如果是壓強(qiáng)增加到，如果是壓強(qiáng)增加到P+ P,體積變化為體積變化為V+ V，則在通常壓強(qiáng)范圍內(nèi)有，則在通常

8、壓強(qiáng)范圍內(nèi)有 (體應(yīng)變體應(yīng)變)(體應(yīng)力體應(yīng)力)式中式中: 為為質(zhì)量線密度；質(zhì)量線密度； T為繩或弦線中張力。為繩或弦線中張力。95-2、3 平面簡(jiǎn)諧行波的波動(dòng)方程平面簡(jiǎn)諧行波的波動(dòng)方程1. 平面簡(jiǎn)諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程平面簡(jiǎn)諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程波方程波方程 波源和介質(zhì)中的質(zhì)點(diǎn)都作簡(jiǎn)諧振動(dòng)波源和介質(zhì)中的質(zhì)點(diǎn)都作簡(jiǎn)諧振動(dòng), , 這種波稱之為簡(jiǎn)諧這種波稱之為簡(jiǎn)諧波，波面為平面的簡(jiǎn)諧波即為平面簡(jiǎn)諧波。波，波面為平面的簡(jiǎn)諧波即為平面簡(jiǎn)諧波。yxouxP 設(shè)一平面簡(jiǎn)諧行波在均勻無(wú)耗媒質(zhì)中沿設(shè)一平面簡(jiǎn)諧行波在均勻無(wú)耗媒質(zhì)中沿x軸正方向傳播軸正方向傳播,波速波速u。用。用x表示波線上各質(zhì)點(diǎn)的平衡位置；表示波線上各質(zhì)點(diǎn)的

9、平衡位置；y表示各質(zhì)點(diǎn)對(duì)表示各質(zhì)點(diǎn)對(duì)平衡位置的位移。平衡位置的位移。10平面簡(jiǎn)諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程平面簡(jiǎn)諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程就是波線上就是波線上任一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程任一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程!yxouxP)cos(0 tAy假設(shè)已知假設(shè)已知O點(diǎn)振動(dòng)方程：點(diǎn)振動(dòng)方程：P點(diǎn)點(diǎn)P點(diǎn)相位落后點(diǎn)相位落后uxt O點(diǎn)振動(dòng)傳到點(diǎn)振動(dòng)傳到 P點(diǎn)需用點(diǎn)需用 ， uxt 如何描述平面簡(jiǎn)諧波？如何描述平面簡(jiǎn)諧波？11 A P點(diǎn)點(diǎn) t+ 0 A O點(diǎn)點(diǎn) 相位相位 角頻率角頻率 振幅振幅uxt 0比較比較)cos(0 tAy已知已知O點(diǎn)振動(dòng)方程：點(diǎn)振動(dòng)方程：P點(diǎn)的振動(dòng)方程為：點(diǎn)的振動(dòng)方程為：)(cosouxtAy 這就是這就是沿沿x軸正

10、向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。軸正向傳播的平面簡(jiǎn)諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。12yxouxP 若波沿若波沿x軸負(fù)方向傳播，軸負(fù)方向傳播， 則則P點(diǎn)的相位比點(diǎn)的相位比o點(diǎn)超前點(diǎn)超前 x/u，于，于是是P點(diǎn)的相位點(diǎn)的相位 ( t+ 0)+ x/u, 這時(shí)波動(dòng)方程應(yīng)為這時(shí)波動(dòng)方程應(yīng)為)(cosouxtAy 總結(jié)起來(lái)，平面簡(jiǎn)諧波總結(jié)起來(lái)，平面簡(jiǎn)諧波波方程波方程的的標(biāo)準(zhǔn)形式標(biāo)準(zhǔn)形式應(yīng)為：應(yīng)為：tAy(cos )oux “ ” 波沿波沿x軸正方向傳播；軸正方向傳播；“ ” 波沿波沿x軸負(fù)方向傳播。軸負(fù)方向傳播。 0 o點(diǎn)處質(zhì)元振動(dòng)的初相點(diǎn)處質(zhì)元振動(dòng)的初相13)0 xTtAy(2cos 0cos( tAy)2 x波

11、動(dòng)方程還可寫(xiě)為以下幾種形式：波動(dòng)方程還可寫(xiě)為以下幾種形式： okxtAy costAy(cos )oux 根據(jù)根據(jù)TuT ,2式中式中 稱為波矢，稱為波矢，k0是波矢的單位矢量，其方向與波是波矢的單位矢量，其方向與波的傳播方向一致。的傳播方向一致。 02kk 142.平面簡(jiǎn)諧波運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的物理意義平面簡(jiǎn)諧波運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的物理意義)(cos0 uxtAy(1)當(dāng)當(dāng)x=xo(確定值確定值)時(shí)，位移時(shí)，位移y只是時(shí)間只是時(shí)間t的余弦函數(shù)的余弦函數(shù): uxtAuxtAyoo00coscos 這是這是xo處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程，相應(yīng)的處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程，相應(yīng)的y-t 的曲線就叫做振動(dòng)的曲線就叫做振動(dòng)曲線。曲線。

12、波方程中含有兩個(gè)變量波方程中含有兩個(gè)變量x和和t，它即反映了媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)，它即反映了媒質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律，又反映了振動(dòng)狀態(tài)的傳播規(guī)律。的振動(dòng)規(guī)律，又反映了振動(dòng)狀態(tài)的傳播規(guī)律。15)(cosoouxtAy 此式表示給定時(shí)刻此式表示給定時(shí)刻to各振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移分布情況各振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移分布情況, 相應(yīng)的相應(yīng)的y-x的曲線就叫做的曲線就叫做波形曲線波形曲線，如圖所示。，如圖所示。(2)當(dāng)當(dāng)t=to(確定值確定值)時(shí)，位移時(shí)，位移y只是坐標(biāo)只是坐標(biāo)x的余弦函數(shù)的余弦函數(shù):yxo t=t016)(cos0 uxtAytA(cos t x+u tu)+ o 上式表明，上式表明，t 時(shí)刻時(shí)刻x點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)，

13、經(jīng)時(shí)間點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)，經(jīng)時(shí)間 t后傳播到了后傳播到了x+u t 處。即處。即經(jīng)時(shí)間經(jīng)時(shí)間 t波沿波沿x軸正方向傳播了距離軸正方向傳播了距離u t，如圖所如圖所示示。(3)當(dāng)當(dāng)x, t 都變化時(shí)，代表一列沿都變化時(shí)，代表一列沿x軸正方向傳播的波。軸正方向傳播的波。yxout時(shí)刻時(shí)刻t+ t時(shí)刻時(shí)刻u t173.平面簡(jiǎn)諧波的動(dòng)力學(xué)方程平面簡(jiǎn)諧波的動(dòng)力學(xué)方程把上式分別對(duì)把上式分別對(duì)t及及x偏微分兩次：偏微分兩次：)(cos0222 uxtAty)(cos02222 uxtuAxy)(cosouxtAy 比較上兩式可得：比較上兩式可得：這是這是平面波的動(dòng)力學(xué)方程平面波的動(dòng)力學(xué)方程。它是物理學(xué)中最重要的方

14、程之一。它是物理學(xué)中最重要的方程之一.平面簡(jiǎn)諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：平面簡(jiǎn)諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：022222 xyuty222221tyuxy 或或184 . 求平面簡(jiǎn)諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的幾種題型求平面簡(jiǎn)諧波的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的幾種題型可直接根據(jù)平面簡(jiǎn)諧波運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式得到可直接根據(jù)平面簡(jiǎn)諧波運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式得到:)(cos0 uxtAy)2cos(0 xtAy 或或(1)己知坐標(biāo)原點(diǎn)己知坐標(biāo)原點(diǎn)o處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程)cos(0 tAy(2)己知波線上某一質(zhì)點(diǎn)己知波線上某一質(zhì)點(diǎn)A的振動(dòng)情況求波動(dòng)方程的振動(dòng)情況求波動(dòng)方程相位比較法相位比較法 : 比較波線上任意點(diǎn)比較波線上任意點(diǎn)P與己知點(diǎn)與

15、己知點(diǎn)A的相位的關(guān)系的相位的關(guān)系 (超前或落后超前或落后), 由此得出任意點(diǎn)由此得出任意點(diǎn)P的振動(dòng)方程的振動(dòng)方程 , 即波動(dòng)方程即波動(dòng)方程 。19若波沿若波沿x軸軸正正(負(fù)負(fù))方向傳播，方向傳播，P點(diǎn)的相位比點(diǎn)的相位比A點(diǎn)點(diǎn)落后落后(超前超前)：)(2AAxxuxx APOxAxux若已知若已知A點(diǎn)的振動(dòng)方程：點(diǎn)的振動(dòng)方程：)cos( tAyA則則任意點(diǎn)任意點(diǎn)P的振動(dòng)方程即波動(dòng)方程的振動(dòng)方程即波動(dòng)方程 ： tAycosuxxA u20例例1： 已知波動(dòng)方程：已知波動(dòng)方程： ),SI)(212(cos5 . 0 xty 求：求：(1)此波的傳播方向，波的振幅、周期、頻率、波長(zhǎng)和波速此波的傳播方向

16、，波的振幅、周期、頻率、波長(zhǎng)和波速,以及坐標(biāo)原點(diǎn)的振動(dòng)初相；以及坐標(biāo)原點(diǎn)的振動(dòng)初相； (2)x=2m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程，及處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程，及t=1s時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度。(3)x1=1m和和x2=2m兩點(diǎn)的相差。兩點(diǎn)的相差。(1)寫(xiě)出波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，與給出的波動(dòng)方程進(jìn)行寫(xiě)出波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，與給出的波動(dòng)方程進(jìn)行比較：比較：2)42(2cos5 . 0 xty)(2cos0 xTtAy 波沿波沿x軸正方向傳播；軸正方向傳播；A=0.5m, T=2s, =1/2Hz, =4m, u= /T=2m/s, 原點(diǎn)的振動(dòng)初相原點(diǎn)的振動(dòng)初相 o= /2。解：解：21 (2)將

17、將x=2m代入波動(dòng)方程就得該處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程：代入波動(dòng)方程就得該處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程：m)2cos(5 . 0 tyt=1s時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度為時(shí)該質(zhì)點(diǎn)的速度和加速度為)2sin(5 . 0dd tty)2cos(5 . 0dd2 ttat=1-0.5 (m/s)t=10(3)x1=1m和和x2=2m兩點(diǎn)的相差：兩點(diǎn)的相差：)(21212xxuxx 2)12(42 ),SI)(212(cos5 . 0 xty 22例例2: 一波動(dòng)以一波動(dòng)以u(píng)=20cm/s沿沿x軸負(fù)方向傳播，軸負(fù)方向傳播，A點(diǎn)的振動(dòng)方程點(diǎn)的振動(dòng)方程為為 yA=0.4cos4 t (cm), 求波動(dòng)方程：求波動(dòng)方程：(1)以以A

18、為坐標(biāo)原點(diǎn)；為坐標(biāo)原點(diǎn)； (2)以以B為坐標(biāo)原點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)。(1)以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)。 x5cmABux5cmABuyo解：解：Px波線上任意點(diǎn)波線上任意點(diǎn)P的相位比的相位比A點(diǎn)點(diǎn)超前：超前：uxxA xx50204 所以波動(dòng)方程：所以波動(dòng)方程： ty 4cos4 . 0 5x )(cosouxtAy 或直接根據(jù)波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式或直接根據(jù)波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)20(4cos4 . 0 xt 23(2)以以B為坐標(biāo)原點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)。x5cmABuyoPxu=20cm/s此時(shí)此時(shí)A點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo) xA= -5cmuxxA 波線上任意點(diǎn)波線上任意點(diǎn)P的相位比的相位比A點(diǎn)點(diǎn)超前：超前：

19、555204 xx 所以波動(dòng)方程：所以波動(dòng)方程：4cos4 . 0ty 已知已知A點(diǎn)的振動(dòng)方程為點(diǎn)的振動(dòng)方程為 yA=0.4cos4 t(cm) 55 x )54cos(4 . 0 xt24例例3： 一波動(dòng)以速度一波動(dòng)以速度u沿沿x軸正方向傳播，軸正方向傳播，p點(diǎn)的振動(dòng)方程為點(diǎn)的振動(dòng)方程為 yp=Acos( t+ ), 求求: (1)坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)o的振動(dòng)方程；的振動(dòng)方程； (2)波動(dòng)方程。波動(dòng)方程。xypluo解：解：(1)原點(diǎn)原點(diǎn)o比比p點(diǎn)相位超前：點(diǎn)相位超前：ul 坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)o的振動(dòng)方程為的振動(dòng)方程為: tAycosul (2)方法方法1：根據(jù)坐標(biāo)原點(diǎn)根據(jù)坐標(biāo)原點(diǎn)o的振動(dòng)方程寫(xiě)出

20、波動(dòng)方程的振動(dòng)方程寫(xiě)出波動(dòng)方程根據(jù)波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式根據(jù)波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)(cos0 uxtAyul )(cos uxtA 25方法方法2：根據(jù)根據(jù)p點(diǎn)的振動(dòng)方程寫(xiě)出波動(dòng)方程點(diǎn)的振動(dòng)方程寫(xiě)出波動(dòng)方程xypluoxM已知已知p點(diǎn)的振動(dòng)方程為點(diǎn)的振動(dòng)方程為 yp=Acos( t+ )波線上任意點(diǎn)波線上任意點(diǎn)M的相位比的相位比p點(diǎn)點(diǎn)落后：落后：ulx 所以波動(dòng)方程：所以波動(dòng)方程： tAycosulx )()(cos0 uxtuxtAy ul 與方法與方法1得到的結(jié)果一樣得到的結(jié)果一樣:26(3)己知某一時(shí)刻己知某一時(shí)刻t0的波形曲線及波速、傳播方向，求波動(dòng)方程的波形曲線及波速、傳播方向，求波動(dòng)方程

21、.從波形曲線上可以得到以下信息：從波形曲線上可以得到以下信息：(1)振幅振幅A； (2)波長(zhǎng)波長(zhǎng) ； (3)某些點(diǎn)某些點(diǎn)(如如o點(diǎn)或點(diǎn)或P點(diǎn)點(diǎn))在在t0時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)(即位移和振動(dòng)方向即位移和振動(dòng)方向)可以寫(xiě)出可以寫(xiě)出o點(diǎn)或點(diǎn)或P點(diǎn)點(diǎn)的振動(dòng)方程或求出振動(dòng)初相。的振動(dòng)方程或求出振動(dòng)初相。yxouPA t027例例4： 波速為波速為u=0.08m/s的一平面簡(jiǎn)諧波在的一平面簡(jiǎn)諧波在t=0時(shí)的波形如圖所時(shí)的波形如圖所示，圖中示，圖中p點(diǎn)此時(shí)正向點(diǎn)此時(shí)正向y軸正方向運(yùn)動(dòng)，求該波的波動(dòng)方程軸正方向運(yùn)動(dòng)，求該波的波動(dòng)方程.解解由圖可知由圖可知, A=0.12m， =0.4muy(m)x(m)

22、op0.20.12 4 . 02 u且根據(jù)且根據(jù)p點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，可判定此波沿點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，可判定此波沿x軸正方向傳播。軸正方向傳播。28波動(dòng)方程可寫(xiě)為波動(dòng)方程可寫(xiě)為ty(4 . 0cos12. 0 m2 )08. 0 x y(m)x(m)op0.20.12由圖可知由圖可知t=0時(shí)時(shí), o點(diǎn)處在平衡位置并向著點(diǎn)處在平衡位置并向著y軸反方向振動(dòng)軸反方向振動(dòng)20 u)(cos0 uxtAy根據(jù)波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式根據(jù)波動(dòng)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式29例例5： 沿沿x軸負(fù)方向傳播的一平面簡(jiǎn)諧波在軸負(fù)方向傳播的一平面簡(jiǎn)諧波在t=2s時(shí)的波形如圖時(shí)的波形如圖所示，設(shè)波速所示，設(shè)波速u=0.5m/s，求：，求：(1)圖中

23、圖中p點(diǎn)的振動(dòng)方程；點(diǎn)的振動(dòng)方程；(2)該波該波的波動(dòng)方程。的波動(dòng)方程。解解 (1)由圖可知，由圖可知， A=0.5m， =2mty2cos(5 . 0 m)2 py(m)x(m)o1-0.5u 232p tt故故 p點(diǎn)的振動(dòng)方程為點(diǎn)的振動(dòng)方程為所以所以T=4s， = /2。由圖可知由圖可知t=2s時(shí)時(shí), p點(diǎn)處在平衡位置并向著點(diǎn)處在平衡位置并向著y軸正方向振動(dòng)。軸正方向振動(dòng)。2p 30(2)該波的波動(dòng)方程該波的波動(dòng)方程:ty(2cos5 . 0 m2 )5 . 0 x 或根據(jù)或根據(jù)p點(diǎn)的振動(dòng)方程寫(xiě)出點(diǎn)的振動(dòng)方程寫(xiě)出波動(dòng)方程波動(dòng)方程:)5 . 01222cos(5 . 0 xt py(m)x(

24、m)o1-0.5u220 tt)(cos0 uxtAyty2cos(5 . 0 m)2 )22cos(5 . 0 tyuxxp 2)5 . 0(2cos5 . 0 xt31(4)己知波線上某一質(zhì)點(diǎn)己知波線上某一質(zhì)點(diǎn)P的振動(dòng)曲線及波速、傳播方向，求的振動(dòng)曲線及波速、傳播方向，求波動(dòng)方程。波動(dòng)方程。ytoAT 由振動(dòng)曲線可寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)由振動(dòng)曲線可寫(xiě)出質(zhì)點(diǎn)P的振動(dòng)方程，再根據(jù)相位比較的振動(dòng)方程，再根據(jù)相位比較法寫(xiě)出波動(dòng)方程。法寫(xiě)出波動(dòng)方程。32例例6： 已知一平面簡(jiǎn)諧波在與坐標(biāo)原點(diǎn)已知一平面簡(jiǎn)諧波在與坐標(biāo)原點(diǎn)o相距相距x=10cm的點(diǎn)的點(diǎn)p處質(zhì)元的振動(dòng)曲線如圖所示，設(shè)該波沿處質(zhì)元的振動(dòng)曲線如圖所示，設(shè)該

25、波沿x軸正向傳播，波速軸正向傳播，波速u=5cm/s，求：，求：(1)p點(diǎn)的振動(dòng)方程；點(diǎn)的振動(dòng)方程；(2)該波的波動(dòng)方程。該波的波動(dòng)方程。x10cmopuy(cm)t(s)o22解：解：(1)p點(diǎn)的振動(dòng)方程點(diǎn)的振動(dòng)方程 0cos tAypcm)2cos(2t 2 (2)波動(dòng)方程波動(dòng)方程cm)22cos(2 ty5102 x cm2)5(2cos1022 xt335-4 波的能量和能流波的能量和能流 波動(dòng)過(guò)程實(shí)際上是能量的傳播過(guò)程。我們以均勻細(xì)長(zhǎng)棒中波動(dòng)過(guò)程實(shí)際上是能量的傳播過(guò)程。我們以均勻細(xì)長(zhǎng)棒中的的簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧縱波為例來(lái)研究波的能量?？v波為例來(lái)研究波的能量。 當(dāng)波傳播到這個(gè)質(zhì)元時(shí)，該質(zhì)元在平衡位

26、置作當(dāng)波傳播到這個(gè)質(zhì)元時(shí)，該質(zhì)元在平衡位置作簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧振動(dòng)，同振動(dòng)，同時(shí)該質(zhì)元受到相鄰質(zhì)元的作用而發(fā)生形變時(shí)該質(zhì)元受到相鄰質(zhì)元的作用而發(fā)生形變dy。)(cosuxtAy 一一. 簡(jiǎn)諧波的能量簡(jiǎn)諧波的能量dxdx+dyuxoyy+dy在在細(xì)長(zhǎng)棒上細(xì)長(zhǎng)棒上取一小段取一小段dx，其體積其體積dV=Sdx，質(zhì)量為，質(zhì)量為dm= dV ( 為棒的質(zhì)量密度為棒的質(zhì)量密度) S：橫截面積：橫截面積此時(shí)質(zhì)元的振動(dòng)速度此時(shí)質(zhì)元的振動(dòng)速度)(sinuxtAty 34)(sinuxtAty 2d21d mWk )(sind21222uxtAV 由由楊氏彈性模量的定義楊氏彈性模量的定義：xyYSFdd ,dyk dxd

27、x+dyuxoyy+dyxyYSFdd S：橫截面積：橫截面積xYSkd 其中其中由此可見(jiàn)，細(xì)棒中質(zhì)元的振動(dòng)類似于彈簧振子的振動(dòng)。由此可見(jiàn)，細(xì)棒中質(zhì)元的振動(dòng)類似于彈簧振子的振動(dòng)。質(zhì)元質(zhì)元dm的的振動(dòng)動(dòng)能振動(dòng)動(dòng)能352)d(21dykWp 22)(d21xyVu )(sind21222uxtAV 2duYxYSk 所以質(zhì)元所以質(zhì)元dm形變形變的彈性勢(shì)能的彈性勢(shì)能)(cosuxtAy 質(zhì)元質(zhì)元dm的振動(dòng)動(dòng)能的振動(dòng)動(dòng)能2d21d mWk )(sind21222uxtAV 質(zhì)元質(zhì)元dm的總能的總能:)(sindddd222uxtAVWWWpk 與孤立的振動(dòng)系統(tǒng)比較與孤立的振動(dòng)系統(tǒng)比較!36(3)波的波

28、的能量密度能量密度(單位體積內(nèi)媒質(zhì)的能量單位體積內(nèi)媒質(zhì)的能量)為為 (1)任意時(shí)刻，質(zhì)元的任意時(shí)刻，質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能都相等動(dòng)能和勢(shì)能都相等。即。即 (2)質(zhì)元的質(zhì)元的總能量總能量隨時(shí)間作周期性的隨時(shí)間作周期性的變化變化，并沿波線以，并沿波線以波速波速u傳播。傳播。pkWWdd )(sind)(sindd222222utuxttAVuxtAVW 結(jié)論結(jié)論)(sin222uxtA )(sindddd222uxtAVWWWpk VWdd 37平均能量密度：平均能量密度： 單位時(shí)間內(nèi)，通過(guò)垂直于波動(dòng)傳播方向的單位面積的能單位時(shí)間內(nèi)，通過(guò)垂直于波動(dòng)傳播方向的單位面積的能量量, 稱為稱為能流密度能流密度。

29、顯然，。顯然，能流密度能流密度也就是通過(guò)垂直于波動(dòng)也就是通過(guò)垂直于波動(dòng)傳播方向的傳播方向的單位面積的功率單位面積的功率。Sudt二二. 波的能流密度波的能流密度(波強(qiáng)波強(qiáng))22021d1 AtTT utStSuI dd 設(shè)在媒質(zhì)內(nèi)垂直于波傳播方向取一面積設(shè)在媒質(zhì)內(nèi)垂直于波傳播方向取一面積S, 則在則在dt時(shí)間內(nèi)通過(guò)時(shí)間內(nèi)通過(guò)S面的能量等于面的能量等于 , 于于是是平均能流密度平均能流密度(或或波強(qiáng)波強(qiáng))為為tSud 2221Au 38例例7: 在各向同性的理想介質(zhì)中，求：點(diǎn)波源發(fā)出的球面簡(jiǎn)諧在各向同性的理想介質(zhì)中，求：點(diǎn)波源發(fā)出的球面簡(jiǎn)諧波的振幅、強(qiáng)度隨距離的變化關(guān)系，并寫(xiě)出球面波方程。波的振

30、幅、強(qiáng)度隨距離的變化關(guān)系，并寫(xiě)出球面波方程。解：解：121221SAu 可得可得121221rrSSAA 2122222121rrAAII 可見(jiàn)，球面波的振幅隨距離呈反比例可見(jiàn)，球面波的振幅隨距離呈反比例衰減，球面波方程可寫(xiě)為衰減，球面波方程可寫(xiě)為or1r2由能量守恒由能量守恒在半徑為在半徑為r1和和r2的兩個(gè)球面上，波的能流密度分別為：的兩個(gè)球面上，波的能流密度分別為：2222212121,21AuIAuI )cos(00krtrrAy (A0是是r0處的振幅處的振幅)222221SAu =39例例8: 一電臺(tái)一電臺(tái)(視為點(diǎn)波源視為點(diǎn)波源)平均發(fā)射功率平均發(fā)射功率10kw，求離電臺(tái)，求離電臺(tái)

31、1km處的波強(qiáng)。處的波強(qiáng)。 解：解： 能流密度能流密度(波強(qiáng)波強(qiáng))為為2221AuuI 顯然，直接用上面的公式無(wú)法求得結(jié)果。但電臺(tái)顯然，直接用上面的公式無(wú)法求得結(jié)果。但電臺(tái)(點(diǎn)波源點(diǎn)波源)發(fā)出的能量是通過(guò)一個(gè)個(gè)半徑為發(fā)出的能量是通過(guò)一個(gè)個(gè)半徑為r的球面的，由定義：能流密的球面的，由定義：能流密度也就是度也就是通過(guò)通過(guò)垂直于波傳播方向的垂直于波傳播方向的單位面積的功率單位面積的功率。于是所。于是所求平均能流密度求平均能流密度(波強(qiáng)波強(qiáng))為為24 rpI =7.9610-4(w/m2)例例9：一平面簡(jiǎn)諧波在彈性媒質(zhì)中傳播一平面簡(jiǎn)諧波在彈性媒質(zhì)中傳播, 在某一瞬時(shí)在某一瞬時(shí), 媒質(zhì)中媒質(zhì)中某質(zhì)元正處

32、于平衡位置某質(zhì)元正處于平衡位置, 此時(shí)它的能量是此時(shí)它的能量是(A)質(zhì)元的動(dòng)能為零質(zhì)元的動(dòng)能為零 , 勢(shì)能最大。勢(shì)能最大。(B)質(zhì)元的動(dòng)能為零質(zhì)元的動(dòng)能為零 , 勢(shì)能為零。勢(shì)能為零。(C)質(zhì)元的動(dòng)能最大質(zhì)元的動(dòng)能最大, 勢(shì)能最大。勢(shì)能最大。(D)質(zhì)元的動(dòng)能最大質(zhì)元的動(dòng)能最大, 勢(shì)能為零。勢(shì)能為零。答答: (C)例例10：一平面簡(jiǎn)諧波在彈性媒質(zhì)中傳播一平面簡(jiǎn)諧波在彈性媒質(zhì)中傳播, 在某質(zhì)元從平衡位在某質(zhì)元從平衡位置運(yùn)動(dòng)到最大位移的過(guò)程中置運(yùn)動(dòng)到最大位移的過(guò)程中(A)它它的勢(shì)能的勢(shì)能轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成動(dòng)能。動(dòng)能。(B)它它的動(dòng)能的動(dòng)能轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成勢(shì)能。勢(shì)能。(C)它從相鄰的一段媒質(zhì)獲得能量，其能量逐漸增

33、加它從相鄰的一段媒質(zhì)獲得能量，其能量逐漸增加。(D)它把自己的能量傳給相鄰的一段媒質(zhì)，其能量逐漸減少。它把自己的能量傳給相鄰的一段媒質(zhì)，其能量逐漸減少。答答: (D)4041 引起人聽(tīng)覺(jué)的機(jī)械波的頻率范圍：引起人聽(tīng)覺(jué)的機(jī)械波的頻率范圍： 20 - 20000HzoIILlg10 (dB)樹(shù)葉沙沙：樹(shù)葉沙沙：20dB; 正常談話：正常談話： 60dB; 鬧市：鬧市：70dB; 飛機(jī)起飛：飛機(jī)起飛：150dB。 人耳的聽(tīng)覺(jué)并不與聲強(qiáng)成正比，而是與聲強(qiáng)的對(duì)數(shù)成人耳的聽(tīng)覺(jué)并不與聲強(qiáng)成正比，而是與聲強(qiáng)的對(duì)數(shù)成正比。取正比。取Io=10-12(w/m2)為為聲強(qiáng)聲強(qiáng)標(biāo)準(zhǔn)，則標(biāo)準(zhǔn)，則聲強(qiáng)級(jí)聲強(qiáng)級(jí): 引起人聽(tīng)

34、覺(jué)的聲波的聲強(qiáng)范圍：對(duì)引起人聽(tīng)覺(jué)的聲波的聲強(qiáng)范圍：對(duì)1KHz的聲波的聲波 10-12W/m2 - 1W/m2 5-5 聲波、超聲波和次聲波聲波、超聲波和次聲波(自學(xué)自學(xué))42 媒質(zhì)中任一波陣面的各點(diǎn)，都可以看作是發(fā)射子波的波媒質(zhì)中任一波陣面的各點(diǎn)，都可以看作是發(fā)射子波的波源，其后任一時(shí)刻，這些子波的包跡面就是新的波陣面。源，其后任一時(shí)刻，這些子波的包跡面就是新的波陣面。球球面面波波 tt + t平面波平面波t+ t時(shí)刻波面時(shí)刻波面u t波傳播方向波傳播方向t 時(shí)刻波面時(shí)刻波面一一. 惠更斯原理惠更斯原理惠更斯原理的重要性在于：知道某一時(shí)刻的波陣面，用幾何作惠更斯原理的重要性在于：知道某一時(shí)刻的

35、波陣面，用幾何作圖的方法就能確定下一時(shí)刻的波陣面，從而確定波的傳播方向圖的方法就能確定下一時(shí)刻的波陣面，從而確定波的傳播方向.5-6 波的疊加波的疊加43 用惠更斯原理可以解釋波的衍射用惠更斯原理可以解釋波的衍射、折射、反射等規(guī)律、折射、反射等規(guī)律。例如例如: 波的衍射波的衍射是指波在傳播過(guò)程中遇到障礙物時(shí)，其傳播是指波在傳播過(guò)程中遇到障礙物時(shí)，其傳播方向發(fā)生改變，能繞過(guò)障礙物的邊緣繼續(xù)前進(jìn)且強(qiáng)度重新分方向發(fā)生改變，能繞過(guò)障礙物的邊緣繼續(xù)前進(jìn)且強(qiáng)度重新分布的現(xiàn)象布的現(xiàn)象。a惠更斯原理的不足：不能求出波的強(qiáng)度分布?；莞乖淼牟蛔悖翰荒芮蟪霾ǖ膹?qiáng)度分布。練習(xí)：練習(xí)：根據(jù)惠更斯原理證明波的反射定律

36、和折射定律。根據(jù)惠更斯原理證明波的反射定律和折射定律。44二二. 波的疊加原理波的疊加原理 (波的獨(dú)立性原理波的獨(dú)立性原理)大量的觀察和研究表明大量的觀察和研究表明: A.幾列波可以保持各自的特點(diǎn)幾列波可以保持各自的特點(diǎn)(頻率、波長(zhǎng)、振幅、振動(dòng)方向頻率、波長(zhǎng)、振幅、振動(dòng)方向等等)同時(shí)通過(guò)同一媒質(zhì)同時(shí)通過(guò)同一媒質(zhì), 好像在各自的傳播過(guò)程中沒(méi)有遇到好像在各自的傳播過(guò)程中沒(méi)有遇到其他波一樣。其他波一樣。波的獨(dú)立性波的獨(dú)立性B. 在幾列波相遇或疊加的區(qū)域內(nèi)在幾列波相遇或疊加的區(qū)域內(nèi), 任一點(diǎn)處質(zhì)元的振動(dòng)為各任一點(diǎn)處質(zhì)元的振動(dòng)為各列波單獨(dú)在該點(diǎn)引起的振動(dòng)的合成。列波單獨(dú)在該點(diǎn)引起的振動(dòng)的合成。波的疊加性

37、波的疊加性 應(yīng)當(dāng)指出，上述波的疊加原理并不是普遍成立的，只有應(yīng)當(dāng)指出，上述波的疊加原理并不是普遍成立的，只有當(dāng)波的強(qiáng)度較小時(shí)當(dāng)波的強(qiáng)度較小時(shí)(波動(dòng)方程為線性的時(shí)波動(dòng)方程為線性的時(shí))，它才是正確的。，它才是正確的。45三三. 波的干涉波的干涉 兩列波兩列波: (1)頻率相同；頻率相同； (2)振動(dòng)方向相同；振動(dòng)方向相同； (3)相差恒定；相差恒定； 相干條件相干條件則這兩列波在空間相遇區(qū)域疊加則這兩列波在空間相遇區(qū)域疊加, 就會(huì)出現(xiàn)有些地方的振動(dòng)就會(huì)出現(xiàn)有些地方的振動(dòng)始終加強(qiáng)始終加強(qiáng), 而另一些地方的振動(dòng)始終減弱的穩(wěn)定分布，這種而另一些地方的振動(dòng)始終減弱的穩(wěn)定分布，這種現(xiàn)象稱為現(xiàn)象稱為波的干涉波

38、的干涉。 能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的兩能產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的兩列列波稱為波稱為相干波相干波，它們的波源稱為，它們的波源稱為相干相干波源波源。下面下面我們來(lái)研究波加強(qiáng)和減弱的條件是什么。我們來(lái)研究波加強(qiáng)和減弱的條件是什么。46s2s1r1r2p 設(shè)兩個(gè)相干波源設(shè)兩個(gè)相干波源S1、S2的振動(dòng)方程分別為的振動(dòng)方程分別為 y10=A10cos( t+ 1) y20=A20cos( t+ 2) )2cos(1111 rtAy )2cos(2222 rtAy S1 p:S2 p:P點(diǎn)的合振動(dòng)為點(diǎn)的合振動(dòng)為 y =y1+y2=Acos( t+ )(同方向同頻率諧振動(dòng)的合成同方向同頻率諧振動(dòng)的合成) 從這兩波源發(fā)出的波在從這

39、兩波源發(fā)出的波在P點(diǎn)相遇，點(diǎn)相遇， 它它們單獨(dú)在們單獨(dú)在P點(diǎn)引起的振動(dòng)分別為點(diǎn)引起的振動(dòng)分別為47合振幅合振幅: cos2212221AAAAA 式中式中)(21212rr P點(diǎn)的合振動(dòng)為點(diǎn)的合振動(dòng)為 y =y1+y2=Acos( t+ )波強(qiáng)波強(qiáng): cos22121IIIII 合振幅合振幅A與與有關(guān)有關(guān)!對(duì)空間確定的點(diǎn)對(duì)空間確定的點(diǎn): 不隨時(shí)間變化，因而合振幅不隨時(shí)間變化，因而合振幅A也不隨時(shí)也不隨時(shí) 間變化，保持恒定；間變化，保持恒定；對(duì)空間不同的點(diǎn)對(duì)空間不同的點(diǎn): 將可能不同，合振幅將可能不同，合振幅A也將不同，但仍也將不同，但仍 然不隨時(shí)間變化。然不隨時(shí)間變化。即迭加的結(jié)果振動(dòng)強(qiáng)度在空

40、間形成一穩(wěn)定的分布，這就是即迭加的結(jié)果振動(dòng)強(qiáng)度在空間形成一穩(wěn)定的分布，這就是干干涉現(xiàn)象涉現(xiàn)象。48)(21212rr =2k , A=A1+A2 , 加強(qiáng)加強(qiáng)(干涉相長(zhǎng)干涉相長(zhǎng))，=(2k+1) , A=|A1-A2| , 減弱減弱(干涉相消干涉相消)，特別是特別是 A1=A2 時(shí)，時(shí)，A=0，Imin=0。(k =0,1,2)合振幅合振幅: cos2212221AAAAA 波強(qiáng)波強(qiáng): cos22121IIIII 特別是特別是 A1=A2 時(shí)，時(shí)，A=2A1，Imax=4I1。49如果兩相干波源的初相相同如果兩相干波源的初相相同( 1= 2 )，則，則 2212 rr式中式中 ，稱為稱為波程差

41、波程差。12rr krr 12加強(qiáng)加強(qiáng)(干涉相長(zhǎng)干涉相長(zhǎng))(k =0,1,2) 21212 krr減弱減弱(干涉相消干涉相消)從以上的討論可知，分析波的干涉強(qiáng)弱，只需計(jì)算從以上的討論可知，分析波的干涉強(qiáng)弱，只需計(jì)算 或或 的的值。值。50 例例11： 已知已知: yb=3cos2 t, yc=4cos(2 t+ /2)(SI),從從b、c兩點(diǎn)發(fā)出的波在兩點(diǎn)發(fā)出的波在p點(diǎn)相遇，點(diǎn)相遇，bp=0.45m, cp=0.3m, u=0.2m/s,求求p點(diǎn)的合振動(dòng)方程。點(diǎn)的合振動(dòng)方程。cbp解解: y1=3cos(2 t- ) bp 2=3cos(2 t- /2)cp: y2=4cos(2 t+ /2-

42、 ) cp 2=4cos(2 t- /2)p點(diǎn)的合振動(dòng)方程點(diǎn)的合振動(dòng)方程:y=y1+y2=7cos(2 t- /2)mbp:m2 . 02 uuT51例例12： 兩個(gè)振幅都為兩個(gè)振幅都為A的相干波源的相干波源S1和和S2相距相距3 /4， S1比比S2超超前前 /2，設(shè)兩波在連線上的波強(qiáng)不隨傳播距離而改變，試分析，設(shè)兩波在連線上的波強(qiáng)不隨傳播距離而改變，試分析S1和和S2連線上的干涉情況。連線上的干涉情況。axxb解解 干涉的強(qiáng)弱取決于相位差干涉的強(qiáng)弱取決于相位差:)(21212rr S1左側(cè)左側(cè)a點(diǎn)點(diǎn): =S2右側(cè)右側(cè)b點(diǎn)點(diǎn): =2 ,2)43(2 S1左側(cè)各點(diǎn)都加強(qiáng)，左側(cè)各點(diǎn)都加強(qiáng)，Ima

43、x=4I2 ,)43(2 S1S23 /4S2右側(cè)各點(diǎn)都減弱，右側(cè)各點(diǎn)都減弱， Imin=0分三個(gè)區(qū)域討論分三個(gè)區(qū)域討論:52 S1和和S2之間之間c點(diǎn)點(diǎn):S1S23 /4)243(2x x42 2k ,解得解得x= /2處加強(qiáng)。處加強(qiáng)。(2k+1) ，解得解得x=3 /4處減弱。處減弱。2 xc =)(21212rr 53例例13：原點(diǎn)原點(diǎn)o是波源，振動(dòng)方向垂直紙面，波長(zhǎng)為是波源，振動(dòng)方向垂直紙面，波長(zhǎng)為 。AB為波為波的反射平面，反射時(shí)無(wú)半波損失。的反射平面，反射時(shí)無(wú)半波損失。A點(diǎn)位于點(diǎn)位于o點(diǎn)的正下方，點(diǎn)的正下方，Ao=h，ox軸平行于軸平行于AB。求。求ox軸上干涉加強(qiáng)點(diǎn)的坐標(biāo)。軸上干

44、涉加強(qiáng)點(diǎn)的坐標(biāo)。oxABh)(21212rr 解解= k , (k=1,2,3) 加強(qiáng)加強(qiáng) kkhx24222 解得解得(最大最大k: 令令x=0，得，得k=2h/ )(k=1,2,3 2h/ )xp q 2 xxhrr 422212 54例例14： 相干波源相干波源S1超前超前S2 ( /2) , A1=A2=0.2m，頻率，頻率 =100Hz, r1=4m, r2=3.75m，兩種媒質(zhì)中的波速分別為，兩種媒質(zhì)中的波速分別為 u1=400m/s，u2=500m/s，求兩媒質(zhì)界面上，求兩媒質(zhì)界面上p點(diǎn)的合振幅。點(diǎn)的合振幅。)442575. 32(2 =0A=A1+A2 =0.4m)2(222

45、r 解解 先求兩波到達(dá)先求兩波到達(dá)p點(diǎn)的位相差：點(diǎn)的位相差：)(21212rr s2s1r2r1pu2u1所以所以p點(diǎn)干涉加強(qiáng)點(diǎn)干涉加強(qiáng), 合振幅為合振幅為)22(112212 rr )2(111 r 55四四. .駐波駐波1. 駐波的產(chǎn)生駐波的產(chǎn)生 駐波是兩列振幅相同的相干波在同一條直線上沿相反方駐波是兩列振幅相同的相干波在同一條直線上沿相反方向傳播時(shí)疊加而成的，是干涉現(xiàn)象中的一種特例。向傳播時(shí)疊加而成的，是干涉現(xiàn)象中的一種特例。 駐波的形成駐波的形成.562. 駐波的表達(dá)式駐波的表達(dá)式設(shè)有兩列相干波設(shè)有兩列相干波 )2cos()2cos(21xtAyxtAy 合成波合成波:txAyyy c

46、os2cos221 3.駐波的特征駐波的特征(2) 波線上各點(diǎn)均作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而且頻率相同，但振幅不同，波線上各點(diǎn)均作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，而且頻率相同，但振幅不同，振幅隨振幅隨x按余弦函數(shù)分布。按余弦函數(shù)分布。xAA 2cos2 駐駐(1)駐波方程不滿足駐波方程不滿足y(t+t, x+ ut)=y(t, x), 因此它不表示跑因此它不表示跑動(dòng)著的波，即不是行波，故稱為駐波。動(dòng)著的波，即不是行波，故稱為駐波。(駐波方程駐波方程)57(3)波腹和波節(jié)位置波腹和波節(jié)位置yx2A-2Ao波腹波腹波節(jié)波節(jié)AA2max 駐駐0min 駐駐AxAA 2cos2 駐駐波腹波腹令令, 12cos x得得波腹的位置為波腹的位

47、置為,.2, 1, 0,2 kkx 令令, 02cos x得得波節(jié)的位置為波節(jié)的位置為,.2, 1, 0,4)12( kkx 波節(jié)波節(jié)2 2 58txA cos2cos21 txA cos)2cos(21 txAyx cos)2(2cos2121 txAyx cos2cos211 某某t時(shí)刻，在時(shí)刻，在x1處其位移：處其位移：(4)駐波的位相關(guān)系駐波的位相關(guān)系1x.txAy cos2cos2 處的位移處的位移:同時(shí)刻同時(shí)刻,212 xx結(jié)論結(jié)論任一波節(jié)兩側(cè)的各點(diǎn)任一波節(jié)兩側(cè)的各點(diǎn)反相反相，相鄰波節(jié)之間的各點(diǎn)，相鄰波節(jié)之間的各點(diǎn)同相同相。駐波實(shí)際上就是分段振動(dòng)著的，沒(méi)有振動(dòng)狀態(tài)或相位的駐波實(shí)際上

48、就是分段振動(dòng)著的，沒(méi)有振動(dòng)狀態(tài)或相位的傳播。傳播。 txAcos2cos21x259(5)駐波中的能量駐波中的能量各質(zhì)點(diǎn)位移同時(shí)達(dá)到最大時(shí)各質(zhì)點(diǎn)位移同時(shí)達(dá)到最大時(shí)：動(dòng)能為零，勢(shì)能不為零，主要：動(dòng)能為零，勢(shì)能不為零，主要集中在波節(jié)；集中在波節(jié)；當(dāng)各質(zhì)點(diǎn)回到平衡位置時(shí)當(dāng)各質(zhì)點(diǎn)回到平衡位置時(shí)：全部勢(shì)能為零；動(dòng)能最大，主要：全部勢(shì)能為零；動(dòng)能最大，主要集中在波腹。集中在波腹。在駐波波動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)能和勢(shì)能不斷轉(zhuǎn)換，能量在相鄰的波在駐波波動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)能和勢(shì)能不斷轉(zhuǎn)換，能量在相鄰的波腹、波節(jié)間來(lái)回轉(zhuǎn)移。因此，腹、波節(jié)間來(lái)回轉(zhuǎn)移。因此，駐波是不傳播能量的。駐波是不傳播能量的。結(jié)論結(jié)論這一結(jié)論可從能流密度說(shuō)明。

49、這一結(jié)論可從能流密度說(shuō)明。60(6) 簡(jiǎn)正模簡(jiǎn)正模 對(duì)于兩端固定繩子上形成的駐波，波長(zhǎng)必須滿足對(duì)于兩端固定繩子上形成的駐波，波長(zhǎng)必須滿足: Lnn2u 系統(tǒng)的本征頻率反映了系統(tǒng)的固有頻率特性系統(tǒng)的本征頻率反映了系統(tǒng)的固有頻率特性 ，當(dāng)外界激，當(dāng)外界激發(fā)頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)的本征頻率時(shí)，就會(huì)引起駐波，這種現(xiàn)發(fā)頻率等于振動(dòng)系統(tǒng)的本征頻率時(shí)，就會(huì)引起駐波，這種現(xiàn)象也稱為象也稱為共振。共振。 駐波頻率駐波頻率:n=1的頻率稱為的頻率稱為基頻基頻，其它頻率稱為，其它頻率稱為諧頻諧頻(或倍頻或倍頻)。每一頻率每一頻率對(duì)應(yīng)于一種可能的振動(dòng)方式，所有這些振動(dòng)方式稱為系統(tǒng)的對(duì)應(yīng)于一種可能的振動(dòng)方式，所有這些振動(dòng)方式

50、稱為系統(tǒng)的簡(jiǎn)正模簡(jiǎn)正模，所有的頻率構(gòu)成系統(tǒng)的所有的頻率構(gòu)成系統(tǒng)的本征頻率本征頻率。 駐波的邊界條件.exe或或 n=1,2,3,nLn2 2 nL 61(7)關(guān)于半波損失關(guān)于半波損失入射波在反射時(shí)發(fā)生入射波在反射時(shí)發(fā)生相位突變相位突變 的現(xiàn)象稱為的現(xiàn)象稱為半波損失半波損失。當(dāng)波從當(dāng)波從波疏媒質(zhì)波疏媒質(zhì)( u較小較小)垂直入射到垂直入射到波密媒質(zhì)波密媒質(zhì)( u較大較大)界面上界面上反射時(shí)，有反射時(shí)，有半波損失半波損失，形成的駐波在界面處是，形成的駐波在界面處是波節(jié)波節(jié)。反之，當(dāng)。反之，當(dāng)波從波密媒質(zhì)垂直入射到波疏媒質(zhì)界面上反射時(shí)，無(wú)半波損失波從波密媒質(zhì)垂直入射到波疏媒質(zhì)界面上反射時(shí)，無(wú)半波損失,

51、界面處出現(xiàn)界面處出現(xiàn)波腹波腹。弦線上的駐波：弦線上的駐波：b.固定端固定端反射反射 形成形成波節(jié)波節(jié) a.自由端自由端反射反射 形成形成波腹波腹即入射波在反射時(shí)發(fā)生相位即入射波在反射時(shí)發(fā)生相位 的的突變。突變。駐波的邊界條件.exe62例例15 一弦上的駐波方程為一弦上的駐波方程為(SI)550)cos6 .1cos(1000.32txy 求：求：(1)兩行波的振幅和波速；兩行波的振幅和波速；(2)相鄰波節(jié)間的距離；相鄰波節(jié)間的距離； (3) t =3.0010-3s時(shí)時(shí), 位于位于x =0.625m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度。處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度。 解：解：(1)比較法比較法txy275/12cos)25

52、. 12(cos)1050. 1(22 tTxAy 2cos2cos2 A=1.5010-2m, =1.25m, =275Hz, u=343.8m/s63(2)相鄰兩波節(jié)之間的距離相鄰兩波節(jié)之間的距離:2 x( =1.25m)=0.625m (3) t=3.0010-3s時(shí)時(shí),位于位于x=0.625m處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度。處質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)速度。)SI(550cos)(cos1000. 32ty x=0.625,)SI(550cos1000. 32t )SI(550cos)6 . 1(cos1000. 32txy 3103dd tty = - 46.2(m/s)64例例16 (1) 波波y2與與y1形成

53、駐波形成駐波, 且在且在x=0處兩波同相處兩波同相, 求波求波y2的方程。的方程。 (2)駐波方程；駐波方程；(3)波幅和波節(jié)位置。波幅和波節(jié)位置。)(SI)4050(2cos0501x.t.y 解解 (1)設(shè)波設(shè)波y2的的方程為方程為40502cos0502o)x.t(.y 因因y2在在x=0處與已知行波相位相同，所以處與已知行波相位相同，所以 o=0,40502cos0502)x.t(.y 6540502cos0502)x.t(.y (2)寫(xiě)出繩上的駐波方程寫(xiě)出繩上的駐波方程:40502cos0501)x.t(.y tx.yyy 40cos2cos10021 (3)波幅和波節(jié)位置波幅和波節(jié)

54、位置波幅波幅:,x12cos ,kx 2(m)2kx 波節(jié)波節(jié):,x02cos ,2) 12(2 kx)(m)12( kx,.)2, 1, 0( k66解解: (1)入射波在入射波在p點(diǎn)的振動(dòng)方程為點(diǎn)的振動(dòng)方程為)2cos(1 LtAyp Loyxpy1y2 由于反射端為自由端由于反射端為自由端(無(wú)半波損失無(wú)半波損失)，所以反射波在，所以反射波在p點(diǎn)的點(diǎn)的振動(dòng)方程為振動(dòng)方程為反射波方程為反射波方程為2cos2 LtAy 例例17：波：波 沿棒傳播，在沿棒傳播，在x=L處處(p點(diǎn)點(diǎn))反反射，反射端為自由端，求：射，反射端為自由端，求：(1)反射波方程；反射波方程；(2)駐波方程。駐波方程。)2c

55、os(1xtAy )2cos(2 LtAyp Lx 2)42cos( LxtA 67另法：另法：設(shè)反射波方程為設(shè)反射波方程為)2cos(2oxtAy Loyxpy1y2 由于反射端為自由端由于反射端為自由端(無(wú)半波損失無(wú)半波損失)，入射波和反射波在，入射波和反射波在p點(diǎn)相差為零，即點(diǎn)相差為零，即, 0)2()2( oLtLt Lo4 反射波方程為反射波方程為)42cos(2 LxtAy 68(2)駐波方程駐波方程)2(2cos2 LxtAy )2cos(1xtAy 駐波方程為駐波方程為)2cos()(2cos221 LtLxAyyy Loyxpy1y269例例18： 設(shè)波源位于坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)波源位

56、于坐標(biāo)原點(diǎn)o處，其振動(dòng)方程為處，其振動(dòng)方程為yo=Acos t。在在x= -3 /4處的處的Q點(diǎn)有一波密反射壁點(diǎn)有一波密反射壁( 為為波長(zhǎng)波長(zhǎng))，如圖所示。求，如圖所示。求: (1)o點(diǎn)發(fā)出的沿點(diǎn)發(fā)出的沿x軸傳播的波的波動(dòng)方程軸傳播的波的波動(dòng)方程; (2) Q點(diǎn)反射的反射波的波動(dòng)方程點(diǎn)反射的反射波的波動(dòng)方程; (3)oQ區(qū)域內(nèi)合成波的方程區(qū)域內(nèi)合成波的方程; (4)x0區(qū)域內(nèi)合成波的方程。區(qū)域內(nèi)合成波的方程。解解 (1)沿沿x軸正方向傳播的波軸正方向傳播的波:)2cos(1xtAy 沿沿x軸負(fù)方向傳播的波軸負(fù)方向傳播的波:)2cos(2xtAy otAycos()2xQy2y1y43ox70(

57、2) 入射波入射波y2在在Q點(diǎn)的振動(dòng)方程為點(diǎn)的振動(dòng)方程為yr)23cos(2 tAyQ 由于反射壁處有半波損失，反射波由于反射壁處有半波損失，反射波yr在在Q點(diǎn)的振動(dòng)方程為點(diǎn)的振動(dòng)方程為)2cos(2xtAy 最后得最后得Q點(diǎn)反射波的波動(dòng)方程為點(diǎn)反射波的波動(dòng)方程為 )2cos(xtA )23cos( tAyrQ)2cos( tA2cos tAyr)43(2 xQy2y1y43ox71另法：另法： 設(shè)設(shè)Q點(diǎn)反射的反射波的波動(dòng)方程為點(diǎn)反射的反射波的波動(dòng)方程為)2(cosxtAyor 由于反射壁處有半波損失，入射波由于反射壁處有半波損失，入射波y2和反射波和反射波yr在在Q點(diǎn)點(diǎn)相差應(yīng)為相差應(yīng)為 ，即

58、，即 )43(2)43(2tto解得解得 o= - 4 最后得最后得Q點(diǎn)反射波的波動(dòng)方程為點(diǎn)反射波的波動(dòng)方程為 )2(cosxtAyr Qy2y1y43oxyr72txAyyyr cos2cos22 oQ區(qū)域內(nèi)合成波的方程為區(qū)域內(nèi)合成波的方程為這是駐波方程。這是駐波方程。(4) x0區(qū)域內(nèi)合成波的方程：區(qū)域內(nèi)合成波的方程：)2cos(2xtAy (3)2cos(xtAyr )2cos(1xtAy ryyy1)2cos(2xtA 這是行波方程。這是行波方程。yrQy2y1y43oxp73 如果波源或接收器如果波源或接收器(觀察者觀察者)或兩者同時(shí)相對(duì)于媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，或兩者同時(shí)相對(duì)于媒質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，接收

59、器接收到的頻率和波源的頻率不同接收器接收到的頻率和波源的頻率不同。這一現(xiàn)象稱為這一現(xiàn)象稱為多普勒多普勒(Doppler)效應(yīng)效應(yīng)。5-7 多普勒效應(yīng)多普勒效應(yīng) 為簡(jiǎn)單起見(jiàn)為簡(jiǎn)單起見(jiàn), 下面的討論假定波源和接收器在同一直線下面的討論假定波源和接收器在同一直線上運(yùn)動(dòng)。規(guī)定用上運(yùn)動(dòng)。規(guī)定用 s表示波源相對(duì)于媒質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速度；表示波源相對(duì)于媒質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速度； r表示接收器相對(duì)于媒質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速度；表示接收器相對(duì)于媒質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速度； u表示波在媒質(zhì)中的傳播速度。表示波在媒質(zhì)中的傳播速度。 s表示波源的頻率；表示波源的頻率； r表示接收器收到的頻率；表示接收器收到的頻率； 表示波的頻率。表示波的頻率。74多多接收到的接收到的 波數(shù)波數(shù) r / 1.波源靜止，接收器相對(duì)于媒質(zhì)以波源靜止，接收器相對(duì)于媒質(zhì)以 r運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng) 當(dāng)接收器在媒質(zhì)中靜止不動(dòng)時(shí)，他在單位時(shí)間內(nèi)接收到當(dāng)接收器在媒質(zhì)中靜止不動(dòng)時(shí)，他在單位時(shí)間內(nèi)接收到 u / 個(gè)波。個(gè)波。 現(xiàn)因接收器以速度現(xiàn)因接收器以速度 r向波源運(yùn)動(dòng)，他在單位時(shí)間內(nèi)向波源運(yùn)動(dòng)，他在單位時(shí)間內(nèi)多接收到多接收到 r /