等差數(shù)列第二課時　等差數(shù)列的性質(zhì)及簡單應(yīng)用

1、數(shù)學(xué)第二課時等差數(shù)列的性質(zhì)及簡單應(yīng)用第二課時等差數(shù)列的性質(zhì)及簡單應(yīng)用數(shù)學(xué) 自主預(yù)習(xí)自主預(yù)習(xí) 課堂探究課堂探究數(shù)學(xué) 自主預(yù)習(xí)自主預(yù)習(xí)1.1.能根據(jù)等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式能根據(jù)等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式, ,推導(dǎo)出等差數(shù)列的重要性質(zhì)推導(dǎo)出等差數(shù)列的重要性質(zhì). .2.2.能夠運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)解決等差數(shù)列中的計算問題能夠運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)解決等差數(shù)列中的計算問題. .3.3.能夠運(yùn)用學(xué)過的等差數(shù)列知識解決一些實(shí)際應(yīng)用問題能夠運(yùn)用學(xué)過的等差數(shù)列知識解決一些實(shí)際應(yīng)用問題. .課標(biāo)要求課標(biāo)要求數(shù)學(xué)知識梳理知識梳理等差數(shù)列的常見性質(zhì)等差數(shù)列的常見性質(zhì)(1)(1)對稱性對稱性:a:a1 1

2、+a+an n=a=a2 2+a+an-1n-1=a=a3 3+a+an-2n-2= =a=am m+ + (nm);(nm);(2)a(2)an n=a=a1 1+(n-1)d=a+(n-1)d=a2 2+(n-2)d=+(n-2)d=a=am m+ + ; ;(3)(3)若若m,n,p,qm,n,p,q均為正整數(shù)均為正整數(shù), ,則則m+nm+n= =p+qp+q=2k=2k ; ;(4)(4)若若m,p,nm,p,n均為正整數(shù)且均為正整數(shù)且m,p,nm,p,n成等差數(shù)列成等差數(shù)列, ,則則a am m,a,ap p,a,an n也成等差數(shù)列也成等差數(shù)列; ;a an-m+1n-m+1( (

3、n-m)dn-m)da am m+a+an n= =a ap p+a+aq q=2a=2ak k數(shù)學(xué)(5)(5)若若aan n 、 b bn n 分別是公差為分別是公差為d,dd,d的等差數(shù)列的等差數(shù)列, ,則有則有數(shù)列數(shù)列結(jié)論結(jié)論 c+ac+an n 公差為公差為 的等差數(shù)列的等差數(shù)列(c(c為任一常數(shù)為任一常數(shù)) ) c ca an n 公差為公差為 的等差數(shù)列的等差數(shù)列(c(c為任一常數(shù)為任一常數(shù)) ) a an n+a+an+kn+k 公差為公差為 的等差數(shù)列的等差數(shù)列(k(k為常數(shù)為常數(shù), ,kNkN* *) ) papan n+qb+qbn n 公差為公差為 的等差數(shù)列的等差數(shù)列(

4、 (p,qp,q為常數(shù)為常數(shù)) )(6)(6)單調(diào)性單調(diào)性:a:an n 的公差為的公差為d,d,則則d d 0 0aan n 為遞增數(shù)列為遞增數(shù)列;d;d 0 0aan n 為遞減數(shù)為遞減數(shù)列列;d=0;d=0aan n 為常數(shù)列為常數(shù)列. .d dcdcd2d2dpd+qdpd+qd 數(shù)學(xué)自我檢測自我檢測C C1.(1.(由等差數(shù)列判定其他的數(shù)列由等差數(shù)列判定其他的數(shù)列) )若若 a an n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列, ,下列數(shù)列中仍為等差數(shù)下列數(shù)列中仍為等差數(shù)列的有列的有( ( ) ) |a|an n| a an+1n+1-a-an n papan n+q(p,q+q(p,q為常數(shù)為常數(shù))

5、 ) 2a2an n+n+n(A)1(A)1個個 (B)2(B)2個個 (C)3(C)3個個 (D)4(D)4個個2.(2.(等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用) )設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列 a an n ,b,bn n 都是等差數(shù)列都是等差數(shù)列, ,若若a a1 1+b+b1 1=7,a=7,a3 3+b+b3 3=21,=21,則則a a5 5+b+b5 5等于等于( ( ) )(A)30(A)30(B)35(B)35(C)40(C)40(D)45(D)45B B數(shù)學(xué)A A3.(3.(等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用) )已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 中中,a,a3 3=1,a=1,a7

6、7=-9,=-9,則則a a5 5等于等于( ( ) )(A)-4(A)-4(B)4 (B)4 (C)-8(C)-8(D)8(D)8解析解析: :由由a a3 3+a+a7 7=2a=2a5 5=1-9=-8=1-9=-8得得a a5 5=-4.=-4.故選故選A.A.4.(4.(等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用) )已知已知 a an n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列,a,a1 1+a+a3 3+a+a5 5=105,a=105,a2 2+a+a4 4+a+a6 6=99,=99,則則a a2020等于等于( ( ) )(A)-1(A)-1 (B)1 (B)1 (C)3 (C)3 (D)7 (D

7、)7解析解析: :因?yàn)橐驗(yàn)閍 a1 1+a+a3 3+a+a5 5=3a=3a3 3=105,=105,a a2 2+a+a4 4+a+a6 6=3a=3a4 4=99,=99,所以所以a a3 3=35,a=35,a4 4=33,d=-2.=33,d=-2.所以所以a a2020=a=a4 4+16d=33-32=1.+16d=33-32=1.B B數(shù)學(xué)5.(5.(等差數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用等差數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用) )已知三個數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的已知三個數(shù)成等差數(shù)列并且數(shù)列是遞增的, ,它們它們的和為的和為18,18,平方和為平方和為116,116,則這三個數(shù)為則這三個數(shù)為.答案答案: :4

8、,6,84,6,8數(shù)學(xué) 課堂探究課堂探究等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用題型一題型一數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)題后反思題后反思 求解等差數(shù)列有關(guān)計算問題的常用方法求解等差數(shù)列有關(guān)計算問題的常用方法: :一是基本量方法一是基本量方法, ,即建立即建立關(guān)于關(guān)于a a1 1和和d d的方程組求出的方程組求出a a1 1和和d d再解決問題再解決問題; ;二是運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)二是運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì), ,若若m+nm+n= =p+qp+q=2k,=2k,且且m,n,p,q,km,n,p,q,kN N* *, ,則則a am m+a+an n= =a ap p+a+aq q=2a=2ak k. .數(shù)學(xué)解析解析: :

9、(1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)閍 a3 3+a+a4 4+a+a5 5=12,=12,所以所以3a3a4 4=12,=12,則則a a4 4=4,=4,又又a a1 1+a+a7 7=a=a2 2+a+a6 6=a=a3 3+a+a5 5=2a=2a4 4, ,故故a a1 1+a+a2 2+ +a+a7 7=7a=7a4 4=28.=28.故選故選C.C.(2)(2)由于由于aan n 、 b bn n 都是等差數(shù)列都是等差數(shù)列, ,所以所以aan n- -b bn n 也是等差數(shù)列也是等差數(shù)列, ,而而a a1 1-b-b1 1=6,a=6,a2020-b-b2020=6,=6,所以所以aan n-

10、 -b bn n 是常數(shù)列是常數(shù)列, ,故故a a1010-b-b1010=6.=6.故選故選B.B.數(shù)學(xué)解析解析: :由等差數(shù)列的性質(zhì)得由等差數(shù)列的性質(zhì)得a a1 1+a+a4 4=a=a2 2+a+a3 3, ,又又a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4=30,=30,所以所以2(a2(a2 2+a+a3 3)=30,)=30,即即a a2 2+a+a3 3=15.=15.答案答案: :1515數(shù)學(xué)巧用巧用“對稱對稱”解等差數(shù)列問題解等差數(shù)列問題題型二題型二【例例2 2】 已知四個數(shù)成遞減等差數(shù)列已知四個數(shù)成遞減等差數(shù)列, ,它們的和為它們的和為26,26,中間兩項(xiàng)的積為中

11、間兩項(xiàng)的積為40,40,求這四個數(shù)求這四個數(shù). .數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)題后反思題后反思 利用等差數(shù)列的定義巧設(shè)未知量利用等差數(shù)列的定義巧設(shè)未知量, ,從而簡化計算從而簡化計算. .一般有如下規(guī)一般有如下規(guī)律律: :當(dāng)?shù)炔顢?shù)列當(dāng)?shù)炔顢?shù)列aan n 的項(xiàng)數(shù)的項(xiàng)數(shù)n n為奇數(shù)時為奇數(shù)時, ,可設(shè)中間一項(xiàng)為可設(shè)中間一項(xiàng)為a,a,再以公差為再以公差為d d向兩邊分向兩邊分別設(shè)項(xiàng)別設(shè)項(xiàng): :a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,; ;當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時, ,可設(shè)中間兩項(xiàng)為可設(shè)中間兩項(xiàng)為a-a-d,a+dd,a+d, ,再以公差為再以公差為2d2d向兩邊分別設(shè)項(xiàng)向兩邊

12、分別設(shè)項(xiàng): :a-3d,a-d,a+d,a+3d,a-3d,a-d,a+d,a+3d, ,這樣可減少這樣可減少計算量計算量. .數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用題型三題型三【例例3 3】 有一批影碟機(jī)原銷售價為每臺有一批影碟機(jī)原銷售價為每臺800800元元, ,在甲、乙兩家商場均有銷售在甲、乙兩家商場均有銷售. .甲商場用如甲商場用如下方法促銷下方法促銷: :買一臺單價為買一臺單價為780780元元, ,買兩臺單價為買兩臺單價為760760元元, ,依此類推依此類推, ,每多買一臺單價均減每多買一臺單價均減少少2020元元, ,但每臺最少不低于但每臺最少不低于440440元元; ;

13、乙商場一律都按原價的乙商場一律都按原價的75%75%銷售銷售. .某單位需購買一批此某單位需購買一批此類影碟機(jī)類影碟機(jī), ,問去哪一家商場購買花費(fèi)較少問去哪一家商場購買花費(fèi)較少? ?解解: :設(shè)該單位需購買影碟機(jī)設(shè)該單位需購買影碟機(jī)n n臺臺, ,在甲商場購買單價不低于在甲商場購買單價不低于440440元時元時, ,單價依臺數(shù)成等差數(shù)列單價依臺數(shù)成等差數(shù)列aan n,則則a an n=780+(n-1)(-20)=800-20n,=780+(n-1)(-20)=800-20n,解不等式解不等式a an n440,800-20n440,440,800-20n440,得得n18.n18.當(dāng)購買臺數(shù)

14、小于當(dāng)購買臺數(shù)小于1818時時, ,單價為單價為(800-20n)(800-20n)元元, ,當(dāng)臺數(shù)大于或等于當(dāng)臺數(shù)大于或等于1818時時, ,單價為單價為440440元元. .到乙商場購買到乙商場購買, ,單價為單價為80080075%=600(75%=600(元元).).又又(800-20n)n-600n=20n(10-n),(800-20n)n-600n=20n(10-n),所以所以, ,當(dāng)當(dāng)n10n10時時,600n(800-20n)n;,600n(800-20n)n;當(dāng)當(dāng)n=10n=10時時,600n=(800-20n)n;,600n=(800-20n)n;當(dāng)當(dāng)10n1810n18時

15、時,(800-20n)n600n;,(800-20n)n600n;當(dāng)當(dāng)n18n18時時,440n600n.,440n600n.所以當(dāng)購買臺數(shù)少于所以當(dāng)購買臺數(shù)少于1010臺時臺時, ,到乙商場購買花費(fèi)較少到乙商場購買花費(fèi)較少; ;當(dāng)購買當(dāng)購買1010臺時臺時, ,到兩商場購買花費(fèi)相同到兩商場購買花費(fèi)相同; ;當(dāng)購買多于當(dāng)購買多于1010臺時臺時, ,到甲商場購買花費(fèi)較少到甲商場購買花費(fèi)較少. .數(shù)學(xué)題后反思題后反思 (1)(1)在實(shí)際問題中在實(shí)際問題中, ,若涉及一組與順序有關(guān)的數(shù)的問題若涉及一組與順序有關(guān)的數(shù)的問題, ,可考慮可考慮利用數(shù)列方法解決利用數(shù)列方法解決, ,若這組數(shù)依次成直線上升

16、或下降若這組數(shù)依次成直線上升或下降, ,則可考慮利用等差數(shù)列則可考慮利用等差數(shù)列方法解決方法解決. .(2)(2)在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問題時在利用數(shù)列方法解決實(shí)際問題時, ,一定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵量一定要分清首項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)等關(guān)鍵量. .數(shù)學(xué)即時訓(xùn)練即時訓(xùn)練3-1:3-1:某產(chǎn)品按質(zhì)量分某產(chǎn)品按質(zhì)量分1010個檔次個檔次, ,生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品的利潤是生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品的利潤是8 8元元/ /件件, ,每提高一個檔次每提高一個檔次, ,利潤每件增加利潤每件增加2 2元元, ,同時每提高一個檔次同時每提高一個檔次, ,產(chǎn)量減少產(chǎn)量減少3 3件件, ,在相同在相同的時間內(nèi)的時間內(nèi), ,最低檔次的產(chǎn)

17、品可生產(chǎn)最低檔次的產(chǎn)品可生產(chǎn)6060件件. .試問試問: :在相同的時間內(nèi)在相同的時間內(nèi), ,應(yīng)選擇生產(chǎn)第幾檔次的產(chǎn)品可獲得最大利潤應(yīng)選擇生產(chǎn)第幾檔次的產(chǎn)品可獲得最大利潤?(?(設(shè)最低檔設(shè)最低檔次為第一檔次次為第一檔次).).解解: :設(shè)在相同的時間內(nèi)設(shè)在相同的時間內(nèi), ,從低到高每檔產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為從低到高每檔產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為a a1 1,a,a2 2, ,a,a1010, ,利潤分別為利潤分別為b b1 1,b,b2 2, ,b,b1010, ,則則 a an n,b,bn n 均為等差數(shù)列均為等差數(shù)列, ,且且a a1 1=60,d=60,d1 1=-3,b=-3,b1 1=8,d=8,

18、d2 2=2,=2,所以所以a an n=60-3(n-1)=-3n+63,=60-3(n-1)=-3n+63,b bn n=8+2(n-1)=2n+6,=8+2(n-1)=2n+6,所以利潤所以利潤f(n)=af(n)=an nb bn n=(-3n+63)(2n+6)=-6n=(-3n+63)(2n+6)=-6n2 2+108n+378=-6(n-9)+108n+378=-6(n-9)2 2+864.+864.顯然顯然, ,當(dāng)當(dāng)n=9n=9時時,f(n),f(n)maxmax=f(9)=864.=f(9)=864.答答: :在相同的時間內(nèi)生產(chǎn)第在相同的時間內(nèi)生產(chǎn)第9 9檔次的產(chǎn)品可以獲得最大利潤