等腰三角形存在性問題解題策略探究

1、等腰三角形存在性問題解題策略探究近幾年各地的數(shù)學(xué)中考中，探索等腰三角形的存在 性問題頻頻出現(xiàn)，這類試題的知識覆蓋面較廣，綜合性較強(qiáng), 題意構(gòu)思精巧，要求學(xué)生有較高的分析問題、解決問題的能 力。它符合課標(biāo)對學(xué)生能力提高的要求。學(xué)生初解此類問題時(shí)，一般靠直覺畫圖，或是主觀猜測, 往往會出現(xiàn)漏解、錯解，甚至在坐標(biāo)系背景下無從下手等現(xiàn) 象。根據(jù)筆者對此類問題的研究，現(xiàn)將本考點(diǎn)解題策略整理 如下：一、先弄清一個基本問題的解題方法：已知線段ab,在 平面內(nèi)取一點(diǎn)p,使apab為等腰三角形。首先，因?yàn)闆]有 說明誰為腰，誰為底，因此要分類討論：1. 如果ae為底，則作ab的垂直平分線，點(diǎn)p定在ab 的垂直平分

2、線上。2. 如果ab為腰，若za為頂角，則以點(diǎn)a為圓心，ab長為半徑畫圓，點(diǎn)p定在這個圓上。3. 如果ab為腰，若zb為頂角，則以點(diǎn)b為圓心，ab 長為半徑畫圓，點(diǎn)p定在這個圓上。稱這種方法為“兩圓 一線”，兩圓即以兩定點(diǎn)為圓心，以定長為半徑畫的兩個圓， 具體到實(shí)際問題可畫出部分弧，一線即給定線段的垂直平分 線。即兩圓上的點(diǎn)和線段垂直平分線上的點(diǎn)都符合要求，具 體到題目中會讓在指定范圍確定。二、探索的等腰三角形有一條邊是確定位置及長度的， 確定第三個頂點(diǎn)的存在(一般會指定位置，如在x軸或y軸 或拋物線或某拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)使三角形為等 腰三角形)。例 1.如圖 1,拋物線 y=ax2+

3、bx+c 經(jīng)過 a (-1, 0)、b (3, 0)、c (0, 3)三點(diǎn)，直線1是拋物線的對稱軸。(1) 求拋物線的解析式；(2) 設(shè)點(diǎn)p是直線1上的一個動點(diǎn)，當(dāng)apac的周長最 小時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo)；(3) 在直線1上是否存在點(diǎn)m,使amac為等腰三角形, 若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)m的坐標(biāo)；若不存在， 請說明理由。思路點(diǎn)撥：因?yàn)閍、c位置確定，采用“兩圓一線”找 到兩圓及一線與1的交點(diǎn)，因本例是在對稱軸上確定點(diǎn)，所 以不太好確定點(diǎn)的坐標(biāo)，我們可采用設(shè)未知數(shù)的方法來求。 設(shè)未知數(shù)的方法有兩種：一種是設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，一種是設(shè)某線 段的長度。但總之設(shè)未知數(shù)后都要利用幾何條件及圖形特征 列方程，

4、利用代數(shù)方法求解，因?yàn)橹挥型ㄟ^解方程才能求出 設(shè)的未知數(shù)的值。三、在所求的等腰三角形中，一個頂點(diǎn)固定，另外兩個 頂點(diǎn)運(yùn)動(有運(yùn)動兩點(diǎn)的位置范圍，即在哪條線上)，確定 其中一頂點(diǎn)或兩點(diǎn)坐標(biāo)。解題策略：由于兩個頂點(diǎn)都在運(yùn)動，用“兩圓一線”無 從下手，這種問題常見的有兩種類型：一是三角形的三邊可 以用已知或與運(yùn)動變化相關(guān)的量來表示，這一種我們可以利 用勾股定理或相似表示邊長，再根據(jù)兩邊相等列方程（當(dāng)然 也需分類討論）。二是“盲解”，即代數(shù)方法。這種解法一 般分三步：1羅列三邊；2分類列方程；3解方程，檢驗(yàn)三 角形不是所有邊長都能用與運(yùn)動相關(guān)的量來表示，那我們就 要利用等腰三角形的性質(zhì)（三線合一、兩腰

5、相等等），常過 頂點(diǎn)做底邊的垂線把底邊平分來列方程求解。例2如圖2,已知正方形oabc的邊長為2,頂點(diǎn)a、c 分別在x、y軸的正半軸上，m是bc的中點(diǎn)。p （0, m）是線 段oc上一動點(diǎn)（c點(diǎn)除外），直線pm交ab的延長線于點(diǎn)d。（1）求點(diǎn)d的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；（2）當(dāng)aapd是等腰三角形時(shí)，求m的值。思路點(diǎn)撥：1用含m的代數(shù)式表示aapd的三邊長，為解等腰三角 形做好準(zhǔn)備。2探求aapd是等腰三角形，分三種情況利用邊相等列 方程求解。解答：（1）因?yàn)閜c/db,所以 = h = ho因此pm=dm, cp=bd=2-mo所以ad=4-mo于是得到點(diǎn)d的坐標(biāo)為（2, 4m）。（2）

6、在zxapd 中，ad2二（4m） 2, ap2=m2+4, pd2= （2pm） 2=4+4 （2-m） 2o 當(dāng)ap=ad時(shí)，（4-m） 2=m2+4o解得 （如圖3）。 當(dāng)pa二pd時(shí)，m2+4二4+4 （2-m） 2o解得 （如圖4） 或m=4 （不合題意，舍去）。 當(dāng) da=dp 時(shí)，（4-m） 2=4+4 （2-m） 2o 解得山二（如 圖5）或m=2 （不合題意，舍去）。綜上所述，當(dāng)aapd為等腰三角形時(shí)，m的值為, 或。第（2）題解等腰三角形的問題，其中用幾何說理 的方法，計(jì)算更簡單：圖3,當(dāng)ap二ad時(shí)，am垂直平分pd, 那么 pcmambao所以二二因此pc=b, m二如圖4,當(dāng)pa=pd時(shí)，p在ad的垂直平分線上。所