排列、組合、二項(xiàng)式定理.

1、排列、組合、二項(xiàng)式定理考綱導(dǎo)讀1. 掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理、并能用它分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題.2. 理解排列的意義，掌握排列數(shù)計(jì)算公式，并能用它解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題.3. 理解組合的意義，掌握組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)性質(zhì)，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用 問題.4. 掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和證明一些簡(jiǎn)單的問題.知識(shí)網(wǎng)絡(luò)排列數(shù)公式排列概念兩個(gè)計(jì)數(shù)原理應(yīng)用通項(xiàng)公式.項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)排列組合 二項(xiàng)式定理應(yīng)用二項(xiàng)式定理排列與組合高考重點(diǎn)考察學(xué)生理解問題、綜合運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理分析問題和解決問題的能力及分類討論思想.它是高中數(shù)學(xué)中從內(nèi)容到方法都比較獨(dú)特的一個(gè)組成

2、部分，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論的基礎(chǔ)知識(shí).由于這部分內(nèi)容概念性強(qiáng)， 抽象性強(qiáng)，思維方法新穎，同時(shí)解題過程中極易犯“重復(fù)”或“遺漏”的錯(cuò)誤，而且結(jié)果數(shù)目較大，無法一一檢驗(yàn)，因 此學(xué)生要學(xué)好本節(jié)有一定的難度.解決該問題的關(guān)鍵是學(xué)習(xí)時(shí)要注意加深對(duì)概念的理解，掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，嚴(yán)謹(jǐn)而周密地去思考分析問題.二項(xiàng)式定理是進(jìn)一步學(xué)習(xí)概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí)，高考重點(diǎn)考查展開式及通項(xiàng)， 難度與課本內(nèi)容相當(dāng)另外利用二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)解決一些較簡(jiǎn)單而有趣的小題，在高考中也時(shí)有出現(xiàn).第1課時(shí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理基礎(chǔ)過關(guān)1. 分類計(jì)數(shù)原理(也稱加法原理)：做一件事情，完成它可以有 n類辦法，在第一類辦法中有m種

3、不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法， ，在第 n類辦法中有 m種不同的方法，那么完成這件事共有N=種不同的方法.2. 分步計(jì)數(shù)原理(也稱乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m種不同的方法，做第二步有 m種不同的方法， ，做 n步有m種不同的方法，那么完成這件事共有 N=種不同的方法.3. 解題方法：枚舉法、插空法、隔板法.典型例題例1.高三、(2)、(3)班分別有學(xué)生48,50,52人(1) 從中選1人當(dāng)學(xué)生代表的方法有多少種？(2) 從每班選1人組成演講隊(duì)的方法有多少種？(3) 從這150名學(xué)生中選4人參加學(xué)代會(huì)有多少種方法？(4) 從這150名學(xué)生中選4人參加數(shù)

4、理化四個(gè)課外活動(dòng)小組，共有多少種方法？解：(1) 48 + 50 + 52= 150 種 (2) 48 X 50 X 52= 124800 種 (3) C 仏 (4) A仏變式訓(xùn)練1:在直角坐標(biāo)x o y平面上，平行直線x=n , (n=0, 1, 2, 3, 4, 5), y=n , (n=0,1, 2, 3, 4, 5),組成的圖形中，矩形共有()A 25 個(gè) B 、36 個(gè) C 、100 個(gè) D 、225 個(gè)解：在垂直于x軸的6條直線中任意取2條，在垂直于y軸的6條直線中任意取2條，這樣 的4條直線相交便得到一個(gè)矩形，所以根據(jù)分步記數(shù)原理知道：2 2得到的矩形共有 C6 C6 =15 1

5、5 =225個(gè)，故選Db例2. (1)將5封信投入6個(gè)信箱，有多少種不同的投法？ 設(shè)I =1,2,3,4,5,6, A與 B都是I的子集，AA B= 1,3,5，則稱(A,B)為理想配，所有理想配共有多少種？(3)隨著電訊事業(yè)的發(fā)展， 許多地方電話號(hào)碼升位，若某地由原來7位電話號(hào)碼升為8位電話號(hào)碼，問升位后可多裝多少門電話機(jī)？(電話號(hào)碼首位不為0)解：(1) 65(2) 27(3)電話號(hào)碼首位不為 0: 9X 107 9X 106 = 8.1 X 107變式訓(xùn)練2： 一個(gè)圓分成6個(gè)大小不等的小扇形，取來紅、黃、蘭、白、綠、黑6種顏色。請(qǐng)問：6個(gè)小扇形分別著上 6種顏色有多少種不同的著色方法？從

6、這6種顏色中任選5種著色，但相鄰兩個(gè)扇形不能著相同的顏色，則有多少種不同的著色方法 ？解：6個(gè)小扇形分別著上6種不同的顏色，共有A6 =720種著色方法.6個(gè)扇形從6種顏色中任選5種著色共有cf2cf a5種不同的方法；其中相鄰兩個(gè)扇形是同一種顏色的著色方法共有 6C；a5 ；因此滿足條件的著色方法共有c6c6a5 -6c65aI =6480 種著色方法.例3.如圖A，B, C, D為海上的四個(gè)小島，現(xiàn)在要建造三座橋，將這四個(gè)小島連接起來， 則不同的建橋方案有（）:二二門 DAPA、8 種 B、12 種 C、16 種 D、20 種B Q匸二 C1解：第一類：從一個(gè)島出發(fā)向其它三島各建一橋，共有

7、C4=4種方法；第二類：一個(gè)島最多建設(shè)兩座橋，例如：A B C D, D-C B-A，這樣的兩個(gè)排列對(duì)應(yīng)一4種建橋方法，因此有 A =12種方法；2根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知道共有 4+12=16種方法變式訓(xùn)練3:某公司招聘進(jìn)8名員工，平均分給下屬的甲、乙兩個(gè)部門，其中兩名翻譯人員不能同時(shí)分給一個(gè)部門， 另三名電腦編程人員也不能同時(shí)分給一個(gè)部門，求有多少種不同的分配方案.解：用分步計(jì)數(shù)原理先分英語(yǔ)翻譯，再分電腦編程人員，最后分其余各人，故有2X （3 +3） X 3= 36 種.例4.如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點(diǎn)，結(jié)點(diǎn)之間的連線表示它們有網(wǎng)線相連，連線上標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時(shí)間內(nèi)可以通過的最大信息

8、量，現(xiàn)從結(jié)點(diǎn)A向結(jié)點(diǎn)B傳遞信息，信息可以沿不同的路徑同時(shí)傳遞，則單位時(shí)間傳遞的最大信息量是（）6 7-z-、20D 、19解：要完成的這件事是：“從A向B傳遞信息”，完成這件事有4類辦法：第一類：12 k 5 k 3第二類：124 k第三類：127 k第四類；：12 86可見：第一類中單位時(shí)間傳遞的最大信息量是3;第二類單位時(shí)間傳遞的最大信息量是 4；第三類單位時(shí)間傳遞的最大信息量是 6;第四類單位時(shí)間傳遞的最大信息量是 6。所以由分 類記數(shù)原理知道共有： 3+4+6+6=19，故選D變式訓(xùn)練4： 7個(gè)相同的小球，任意放入 4個(gè)不同的盒子，則每個(gè)盒子都不空的放法有多少 種？解：首先要清楚：“每

9、個(gè)盒子都不空”的含義是“每個(gè)盒子里至少有1個(gè)球”。于是，我們采用“隔板法”來解決。在 7個(gè)小球中的每?jī)蓚€(gè)之間分別有 6個(gè)空，我們從6 個(gè)空中任意選3個(gè)分別插入3塊隔板，則這3塊隔板就把7個(gè)小球分成4部分，而且每一部3分至少有1個(gè)球。即有 C6 =20種方法，又每一種分割方法都對(duì)應(yīng)著一種放球的放法。所以共有20種放球放法。注；(1)本題若采取“分類討論”的方法來解決，則顯得很麻煩；大家可以試一試。(2) 隔板法只能用于“各個(gè)元素不加區(qū)別”的情況，否則不能使用兩個(gè)原理的區(qū)別在于， 前者每次得到的是最后的結(jié)果，后者每次得到的是中間結(jié)果，即每次僅完成整件事情的一部分，當(dāng)且僅當(dāng)幾個(gè)步驟全部做完后，整件事

10、情才算完成.第2課時(shí) 排列基礎(chǔ)過關(guān)1一般地說，從n個(gè)不同元素中，任取 m(mc n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做 從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的一個(gè)排列.排列的定義包含兩個(gè)基本內(nèi)容：一是“取出元素”；二是“按照一定順序排列” 因此當(dāng)元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同時(shí)，才是同一個(gè)排列.2. 從n個(gè)不同元素中取出 m(mc n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從 n個(gè)為不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào) An表示排列數(shù)公式 An=.這里m< n,其中等式的右邊是 個(gè)連續(xù)的自然數(shù)相乘，最大的是 ，最小的是.3. n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做 n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列

11、，全排列數(shù)用 Ann表 示，它等于自然數(shù)從 1到n的連乘積，自然數(shù)從 1到n的連乘積叫做n的階乘，用 表示.4解有約束條件的排列問題的方法有直接法、間接法、元素位置分析法、插空法、捆綁法、枚舉法、對(duì)稱法、隔板法.5 排列問題常用框圖來處理.典型例題例1、（1）元旦前某宿舍的四位同學(xué)各寫一張賀卡先集中起來，然后每人從中拿一張別人送 出的賀卡，則四張賀卡的不同分配有多少種？ 同一排6張編號(hào)1，2，3，4，5，6的電影票分給4人，每人至少1張，至多2張，且 這兩張票有連續(xù)編號(hào)，則不同分法有多少種？（3）（ 06湖南理14）某工程隊(duì)有6項(xiàng)工程需要單獨(dú)完成，其中工程乙必須在工程甲完成后 才能進(jìn)行，工程丙

12、必須在工程乙完成后才能進(jìn)行，工程丁必須在工程丙完成后立即進(jìn)行.那么安排這6項(xiàng)工程的不同排法有多少種數(shù)？解：（1）分類：9種（2）假設(shè)五個(gè)連續(xù)空位為一個(gè)整元素a，單獨(dú)一個(gè)空位為一個(gè)元素b，另4人為四個(gè)元素C1、C2、C3、C4.問題化為a,b,c 1,c 2,c 3,C4的排列，條件是a,b不相鄰，共有A； A = 48種；（3）將丙，丁看作一個(gè)元素，設(shè)想5個(gè)位置，只要其余 2項(xiàng)工程選擇好位置，剩下 3個(gè)位置按甲、乙（兩?。┲形ㄒ坏?，故有= 20種變式訓(xùn)練1:有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分 ，將這9個(gè)球排成一列 有種不同的方法9解：9個(gè)球排成一列有 A種排法，再除去2紅、3黃、

13、4白的順序即可，9故共有排法 4 T260種。答案：1260A2 A3 A例2. 5男4女站成一排，分別指出滿足下列條件的排法種數(shù)（1）甲站正中間的排法有 種，甲不站在正中間的排法有 種. 甲、乙相鄰的排法有 種，甲乙丙三人在一起的排法有 種. 甲站在乙前的排法有 種，甲站在乙前，乙站在丙前（不要求一定相鄰） 的排法有種.丙在甲乙之間（不要求一定相鄰）的排法有 種.（4）甲乙不站兩頭的排法有 種，甲不站排頭，乙不站排尾的排法種有 種.（5）5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有種. 女生互不相鄰的排法有 種，男女相間的排法有 種.（7）甲與乙、丙都不相鄰的排法有 種，甲乙丙三人有且只有兩人

14、相鄰的排法有 種.（8）甲乙丙三人至少有1人在兩端的排法有 種.(9) 甲乙之間有且只有4人的排法有種.解：(1)8 ! , 8 X 8! (2) 2 X 8! ,6 X 7! (3)丄 X 9! , A X 1, A； X 2X 12(4) A X7 !8 ! + 7 X 7X 7! 2 X 5!X 4!4 5! X As, 5 ! X 4! X 22(7) 9! 2 X 8! X 2+ 2 X 7 ! , 3 X 6! X A X2(8) 9! A X 6 !(9) 捆綁法.2X P74 X 4!也可用枚舉法2 X 4X 7 !變式訓(xùn)練2:從包含甲的若干名同學(xué)中選出4人分別參加數(shù)學(xué)、物理、

15、化學(xué)和英語(yǔ)競(jìng)賽，每名同學(xué)只能參加一種競(jìng)賽， 且任2名同學(xué)不能參加同一種競(jìng)賽，若甲不參加物理和化學(xué)競(jìng)賽，則共有72種不同的參賽方法，問一共有多少名同學(xué)？解：5.例3.在4000到7000之間有多少個(gè)四個(gè)數(shù)字均不相同的偶數(shù)解：分兩類. 類5在千位上：1X 5 X A = 280 類4或6在千位上：2X 4X A = 448故有 280 + 448= 728 個(gè)變式訓(xùn)練3： 3張卡片的正反面上分別有數(shù)字0和1 , 3和4, 5和6,當(dāng)把它們拼在一起組成三位數(shù)字的時(shí)可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)(6可做9用)解：若6不能做9用，由于0不能排百位，此時(shí)有 5X 4X 2 = 40個(gè)這40個(gè)三位數(shù)中含數(shù) 字6的

16、有2X 3X 2+ 1 X 4X 2= 20個(gè)，故6可做9用時(shí)，可得三位數(shù) 40+ 20= 60個(gè) 例4. (1)從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選 4人參加4 X 100米接力賽，問其中不跑第一棒的安排方法有多少種？(2) 一排長(zhǎng)椅上共有10個(gè)座位，現(xiàn)有4人就坐，恰有5個(gè)連續(xù)空位的坐法有多少種？ 解：(1 先安排第四棒，再安排其他三棒的人選，故有5 X A = 300種 60對(duì).(2) 假設(shè)五個(gè)連續(xù)空位為一個(gè)元素A, B為單獨(dú)一個(gè)空位元素，另4個(gè)為元素C, C2, G,C4間題轉(zhuǎn)化為A, B, G1, G C3, C4排列，條件A, B不相鄰，有A： A = 480種.變式訓(xùn)練4:某地奧運(yùn)火炬接力傳遞路線

17、共分6段，傳遞活動(dòng)分別由 6名火炬手完成如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則 不同的傳遞方案共有 種.(用數(shù)字作答)解：96小結(jié)歸納1 解排列應(yīng)用問題首先必須認(rèn)真分析題意看能否把問題歸結(jié)為排隊(duì)(即排列)問題，較簡(jiǎn)單的排列問題常用框圖或樹型來處理(注意也有個(gè)別問題不能用框圖來處理如不相鄰問題等)2 解有約束條件的排列問題的幾種策略.a. 特殊元素，特殊位置優(yōu)先定位(也有個(gè)別例外情況，見例1)b. 相鄰問題捆綁處理不相鄰問題插空處理c. 正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)換3 解排列應(yīng)用問題思路一定要清晰，并隨時(shí)注意轉(zhuǎn)換解題角度，通過練習(xí)要認(rèn)真理會(huì)解排 列問題的各種方

18、法.4由于排列問題的結(jié)果一般數(shù)目較大不易直接驗(yàn)證，解題時(shí)要深入分析，嚴(yán)密周詳，要防止重復(fù)和遺漏為此可用多種不同的方法求解看看結(jié)果是否相同.第3課時(shí) 組合基礎(chǔ)過關(guān)1一般地說，從n個(gè)不同元素中，任取 m(mc n)個(gè)元素并成一組，叫做從 n個(gè)不同元素中 取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.2. 排列與組合的共同點(diǎn)，就是都要“從n個(gè)不同元素中，任取 m個(gè)元素”，而不同點(diǎn)就是前者要“按一定的順序成一列”，而后者卻是“不論怎樣的順序并成一組”從n個(gè)不同元素中取出 m(m< n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出 m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào) C表示.組合數(shù)公式cm =Cn 在求具體的組合數(shù)時(shí)，常用上

19、面的公式，分子由連續(xù)m個(gè)自然數(shù)之積，最大的數(shù)為 n，最小的數(shù)是(n -m ，分母是m!，如果進(jìn)行抽象的證明時(shí)，一般常用下面的公式=，它的分子是n!，分母是m!與(n -m)的積.3. 組合數(shù)性質(zhì):cmcm C： =C罟-C：才C防C鳥"(m如)cnCmn _rm丄廠11 m°CC r Cn_r. CC n_rCC典型例題例1.某培訓(xùn)班有學(xué)生15名，其中正副班長(zhǎng)各一名，先選派 5名學(xué)生參加某種課外活動(dòng)(1) 如果班長(zhǎng)和副班長(zhǎng)必須在內(nèi)有多少種選派法(2) 如果班長(zhǎng)和副班長(zhǎng)有且只有1人在內(nèi)有多少種派法.(3) 如果班長(zhǎng)和副班長(zhǎng)都不在內(nèi)有多少種派法.(4) 如果班長(zhǎng)和副班長(zhǎng)至少有1

20、人在內(nèi)，有多少種派法解；(1) C；Ci； = 286(2)C； G； = 1430 (3) f = 1287 C15 處=1716變式訓(xùn)練1:從4名男生和3名女生中選4人參加某個(gè)座談會(huì)，若這 4個(gè)人中必須既有男生又有女生，則不同的選法有()A. 140B. 120C. 35D. 34解：D例2.從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項(xiàng)不同的工作，若這3人中至少有1名 女生,則選派方案共有()A 108 種 B 、186 種 C.216 種 D 、270 種333解：沒有女生的選法有 c4,至少有1名女生的選法有 c7-c4=31種，3所以選派方案總共有：31 X A3=186種。故選B.

21、變式訓(xùn)練2:從5位男教師和4位女教師中選出3位教師派到3個(gè)班擔(dān)任班主任(每班一位 班主任)，要求這3位班主任中男女教師都要有，則不同的選派方案共有()A. 210 種B. 420 種C. 630 種D. 840 種解：B例3. (1) 把10本相同的書分給編號(hào) 1,2,3的閱覽室，要求每個(gè)閱覽室分得的書數(shù)不大于其編號(hào)數(shù)，則不同的分法有多少種？ 以平行六面體 ABCA1B1C1D21的任意三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，從中隨機(jī)取出兩個(gè)三角形，則這兩個(gè)三角形不共面情況有多少種？ 一次文藝演出中需要給舞臺(tái)上方安裝一排完全相同的彩燈15只，現(xiàn)以不同的亮燈方式來增加舞臺(tái)效果，設(shè)計(jì)者按照每次亮燈時(shí)恰好有6只是關(guān)的

22、，且相鄰的燈不能同時(shí)關(guān)掉，兩端的燈必須要亮的要求進(jìn)行設(shè)計(jì)，求有多少不同的亮燈方式？解：(1)先在編號(hào)為1, 2, 3的閱覽室中依次放入 0, 1 , 2本書，再用隔板法分配剩下的書有Co = 15種，(2)平行六面體中能構(gòu)成三角形個(gè)數(shù)Cs = 56為任取兩個(gè)有C56種情況，其中共面的有12 C2，因而不共面的有 C： 12C：種(3) C； =C82 =28變式訓(xùn)練3:馬路上有編號(hào)為1 , 2 , 3 ,4.10的十盞路燈，為節(jié)約用電，又不影響照明可以把其中的三盞關(guān)掉，但不能關(guān)掉相鄰的兩盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法種數(shù)有種.解：20用插排法，把七盞亮燈排成一排，七盞亮燈之間有

23、6個(gè)間隔，再將三盞不亮的燈3插入其中的3個(gè)間隔，一種插法對(duì)應(yīng)一種關(guān)燈的方法，故有C6 =20種關(guān)燈方法.例4.四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，(1) 在其中取4個(gè)共面的點(diǎn)，共有多少種不同的取法？(2) 在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，共有多少種不同的取法.解：(1)四個(gè)點(diǎn)共面的取法可分三類.第一類：再同一個(gè)面上取，共有4C；個(gè)面；第二類：在一條棱上取三點(diǎn)， 再在它所對(duì)的棱上取中點(diǎn)，共有 6個(gè)面；第三類：在六條棱的六個(gè)中點(diǎn) 中取，取兩對(duì)對(duì)棱的 4個(gè)中點(diǎn)，共有 Cf = 3個(gè)面.故有69種.用間接法共Cw -69 = 141個(gè)面.變式訓(xùn)練4:在1 , 2 ,3100這100個(gè)數(shù)中任選不同的兩個(gè)數(shù)，求滿

24、足下列條件時(shí)各有多少種不同的取法.(1) 其和是3的倍數(shù)(2) 其差是3的倍數(shù)(大數(shù)減小數(shù)).(3) 相加，共有多少個(gè)不同的和.相乘，使其積為7的倍數(shù).解：(1) 1650 (2) 1617 (3) 197 (4)1295小結(jié)歸納1解有關(guān)組合應(yīng)用問題時(shí)，首先要判斷這個(gè)問題是不是組合問題區(qū)別組合問題和排列問 題的唯一標(biāo)準(zhǔn)是“順序” 需要考慮順序的是排列問題不需要考慮順序的的才是組合問題.2.要注意準(zhǔn)確理解“有且僅有” “至多” “至少”“全是”“都不是”“不都是”等詞語(yǔ) 的確切含義.3組合問題的一般可抽象為“選派”模型來處理另外有的問題也可用框圖結(jié)合對(duì)應(yīng)思想來處理。4. 避免重復(fù)和遺漏.第4課時(shí)

25、 排列組合綜合題基礎(chǔ)過關(guān)1解排列組合題中常用的方法有直接法、間接法、兩個(gè)原理、元素位置分析法、捆綁法、 插空法、 枚舉法、隔板法、對(duì)稱法；常用的數(shù)學(xué)思想主要有分類討論、思想轉(zhuǎn)化、化歸思 想、對(duì)應(yīng)思想.2解排列組合綜合題一般要遵循以下的兩個(gè)原則(1)按元素性質(zhì)進(jìn)行分類(2)按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步.3 處理排列組合綜合性問題時(shí)一般方法是先取(選)后排，但有時(shí)也可以邊取(選)邊排.4 對(duì)于有多個(gè)約束條件的問題，先應(yīng)該深入分析每個(gè)約束條件，再綜合考慮如何分類或分步，但對(duì)于綜合性較強(qiáng)的問題則需要交叉使用兩個(gè)原理來解決問題典型例題例1.五個(gè)人站成一排，求在下列條件下的不同排法種數(shù)：（1 ）甲必須在排頭；

26、（2）甲必須在排頭，并且乙在排尾；（3 ）甲、乙必須在兩端；（4）甲不在排頭，并且乙不在排尾；（5 ）甲、乙不在兩端；（6）甲在乙前；（7 ）甲在乙前，并且乙在丙前；（8 ）甲、乙相鄰；（9 ）甲、乙相鄰，但是與丙不相鄰；（10 ）甲、乙、丙不全相鄰解析：（1）特殊元素是甲，特殊位置是排頭；首先排“排頭”有A：種，再排其它4個(gè)位置44有A4種，所以共有：A X A =24種（2） 甲必須在排頭，并且乙在排尾的排法種數(shù)：A； X A X a3=6種2 2（3）首先排兩端有A種，再排中間有A種，2 2所以甲、乙必須在兩端排法種數(shù)為：A X a3 =12種543（4） 甲不在排頭，并且乙不在排尾排法

27、種數(shù)為：A 2 A4 + A3 =78種23（5） 因?yàn)閮啥宋恢梅蠗l件的排法有a3種，中間位置符合條件的排法有A種，23所以甲、乙不在兩端排法種數(shù)為A X a3=36種5（6） 因?yàn)榧?、乙共?2 !種順序，所以甲在乙前排法種數(shù)為：氏十2! =60種（7）因?yàn)榧?、乙、丙共?3!種順序，5所以甲在乙前，并且乙在丙前排法種數(shù)為：A十3! =20種4（8）把甲、乙看成一個(gè)人來排有 A4種，而甲、乙也存在順序變化，所以甲、乙相鄰排法42種數(shù)為A X A =48種2(9) 首先排甲、乙、丙外的兩個(gè)有A2，從而產(chǎn)生3個(gè)空，把甲、乙看成一個(gè)人與丙插入2這3個(gè)空中的兩個(gè)有 A3，而甲、乙也存在順序變化，所

28、以甲、乙相鄰，但是與丙不相鄰排2 2 2法種數(shù)為 a x 氏x a2=24種33(10) 因?yàn)榧?、乙、丙相鄰?a x A，所以甲、乙、丙不全相鄰排法種數(shù)為A A x A； =84種變式訓(xùn)練1:某棟樓從二樓到三樓共 10級(jí)，上樓只許一步上一級(jí)或兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到 三樓用8步走完，則不同的上樓方法有()A. 45 種B. 36 種C. 28 種D. 25 種解：C. 8步走10級(jí)，則其中有兩步走兩級(jí)，有 6步走一級(jí).一步走兩級(jí)記為 a, 一步走一一2級(jí)記為b，所求轉(zhuǎn)化為2個(gè)a和6個(gè)b排成一排，有多少種排法.故上樓的方法有C& = 28種；或用插排法.例2. (1) 某校從8名教師中選派

29、4名教師同時(shí)去4個(gè)遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地 1人)，其中甲和 乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，則不同的選派方案菜有多少處？(2) 5名乒乓選手的球隊(duì)中，有 2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員，現(xiàn)從中選出 3名隊(duì)員排成1、2、 3號(hào)參加團(tuán)體比賽，則入選的 3名隊(duì)員中至少有一名老隊(duì)員，且 1、2號(hào)中至少有1名新隊(duì) 員的排法有多少種？解：(1 )分類：第一為甲丙都去，第二類不去共有C52A； a4 =600種C；C3C；C； C；C2A3=48 種開演前又增加了三個(gè)新節(jié)目,(2 )分類：第一類兩名老隊(duì)員都去，第二類去一名老隊(duì)員共有 變式訓(xùn)練2:某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的六個(gè)節(jié)目已安排成節(jié)目單, 如果將這三個(gè)節(jié)目插入原來的節(jié)

30、目單中，那么不同的插法種數(shù)是B. 210D. 120A. 504C. 3363解：A9 = 504故選A例3.已知直線ax+by+c=0中的系數(shù)a, b, c是從集合-3 , -2 , -1 , 0, 1, 2, 3中取出的三個(gè)不同的元素，且該直線的傾斜角為銳角，請(qǐng)問這樣的直線有多少條？解：首先把決定“直線條數(shù)”的特征性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為對(duì)“a, b, c”的情況討論。設(shè)直線的傾斜角為：，并且為銳角。K則tan二=> 0,不妨設(shè)a> b,那么b v 0a當(dāng)CM 0時(shí),則a有3種取法,b有3種取法,c有4種取法，并且其中任意兩條直線不重合，所以這樣的直線有 3X 3 X 4=36條當(dāng)c=0時(shí)

31、,a有3種取法,b有3種取法,其中直線：3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0 重合,所以這樣 的直線有3X 3-2=7條故符合條件的直線有 7+36=43條變式訓(xùn)練3:將5名大學(xué)生畢業(yè)生分配到某公司所屬的三個(gè)部門中去，要求每個(gè)部門至少分 配一人，則不同的分配方案共有 種.解: C；匯3匯A； +C5XC； =150例4.從集合1 , 2, 3,20中任選3個(gè)不同的數(shù)，使這 3個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列可以有多少個(gè)？解：a, b, cN" a , b, c成等差數(shù)列：二a亠c =2b - a,c要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，2 2故滿足題設(shè)的等差數(shù)列共有A10 + A10 =

32、180(個(gè))變式訓(xùn)練4:某賽季足球比賽中的計(jì)分規(guī)則是：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分，一球 隊(duì)打完15場(chǎng)，積33分，若不考慮順序，該隊(duì)勝負(fù)平的情況共有多少種？f解:設(shè)該隊(duì)勝負(fù)平的情況是：勝x場(chǎng)，負(fù)y場(chǎng)，則平15-(x + y)場(chǎng)，依題意有：< 3x+y=33= %(X +y 蘭 15>9。故有3種情況，即勝、負(fù)、平的場(chǎng)數(shù)是：9, 0, 6; 10, 2, 3; 11, 4, 0.小結(jié)歸納1排列組合應(yīng)用題的背景豐富無特定的模式和規(guī)律可循，背景陌生時(shí)，必須認(rèn)真審題，把 握問題的本質(zhì)特征，并善于把問題轉(zhuǎn)化為排列組合的常規(guī)模式進(jìn)而求解2排列組合應(yīng)用題題形多變，但首先要弄清是有序還

33、是無序，這是一個(gè)核心問題3對(duì)于用直接法解較難的問題時(shí)，則采用間接法解第5課時(shí)二項(xiàng)式定理基礎(chǔ)過關(guān)1. (a + b)n = (n N),這個(gè)公式稱做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做(a + b)n的二項(xiàng)展開式，其中的系數(shù) 叫做二項(xiàng)式系數(shù).式中的叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tr + 1表示，即通項(xiàng)公式 Tr+1 =是表示展開式的第r + 1項(xiàng).2.二項(xiàng)式定理中，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)有： 在二項(xiàng)式展開式中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即:c0 Cnn,C1 二cn,cf =cn,川,8 f 如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果二項(xiàng)式的幕指數(shù)是奇數(shù),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最

34、大，即當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，n+1是奇數(shù)，展開式共有 n+1嘰中間一項(xiàng)，即：第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為 ;當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，n+1是偶數(shù)，展開式共有 n+1項(xiàng)，中間兩項(xiàng)，即第 項(xiàng)及每項(xiàng)，它們的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為 二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，即 二項(xiàng)展開式中，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和等于奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和= 即 展開式中相鄰兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比是：C 十 Ck 宅 _k ) (k +1)3二項(xiàng)式定理主要有以下應(yīng)用 近似計(jì)算 解決有關(guān)整除或求余數(shù)問題 用二項(xiàng)式定理證明一些特殊的不等式和推導(dǎo)組合公式(其做法稱為“賦值法”)注意二項(xiàng)式定理只能解決一些與自然數(shù)有關(guān)的問題 楊輝三角形典型例題例1. (1)(06湖南理11 )若(ax 1)5的

35、展開式中x3的系數(shù)是一80,則實(shí)數(shù)a的值是(06湖北文8 )在c.x - 31 )24的展開式中，x的幕指數(shù)是整數(shù)的有 項(xiàng).(1+x)+(1+x)2+(1+x) 3+(1+ x)6展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為 解：(1) 2( 2) 5 項(xiàng) (3) 35210910變式訓(xùn)練1 :若多項(xiàng)式x x = a。 + a(x") + +a9(x") +a10(xT)，則 a()A 9B、10C、一 9 D 、一 101099解：根據(jù)左邊X的系數(shù)為1,易知a10 =1，左邊X的系數(shù)為0,右邊X的系數(shù)為ag awCAag '10"” 10故選 J例2.已知f(x) = (1+

36、x) m+(1+x) n,其中m n N展開式中x的一次項(xiàng)系數(shù)為11,問m n為 何值時(shí)，含x3項(xiàng)的系數(shù)取得最小值？最小值是多少？由題意cm91=11=5 1=11，則含x3項(xiàng)的系數(shù)為cm c3 Jn(n1)(n-2)+61尹m1)(rn2)= 1(27n2 -297n £90) =9(n -11)2 -231，當(dāng) n= 5 或 6 時(shí) x3系數(shù)取得最小值為 306 2 2 8變式訓(xùn)練2:分已知( -n的展開式中第三項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)之比為,其中142i =-1,則展開式中常數(shù)項(xiàng)是()A 45i45i C45 D、45解析：第三項(xiàng)，第五項(xiàng)的系數(shù)分別為2244Cn(-i),CnCi)依據(jù)題意有： Cn(")44Cni)14整理得 n2 -5n -50 =0即解方程(n 10)(n + 5) = 0則只有n=10適合題意.由t二Cio20_2r一rx 2 (7),r當(dāng) 20 - 2r0 時(shí)，有 r=8,2882故選故常數(shù)項(xiàng)為C10(-i) =Cw=45例 3.若(1 2x)2004 =a0 +a|X+a2X2 +.+a2004X2004,xw R 求(&七1|)+(比+比)+( 七血力2004,x. R,解: 對(duì)于式子：(1 -2x)2004