高二數(shù)學(xué)暑期專題輔導(dǎo)材料

1、暑期專題輔導(dǎo)材料二一.復(fù)習(xí)內(nèi)容復(fù)習(xí)（第五章 平面向量）二. 知識(shí)要點(diǎn)：1. 向量的概念：向量是既有大小，又有方向的量。向量的大?。ㄩL度）叫做向量的模，模是非負(fù)數(shù)，可以比較大小，但由于方向不能比較大小，所以，向量不可以比較大小，這是數(shù)量與向量的最大差異。 2. 向量的表示方法： （1）幾何表示法。向量可以用有向線段表示，如：AB 3. 零向量與單位向量： 零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0。 單位向量：長度等于1個(gè)單位長度的向量叫做單位向量。 4. 平行向量、相等向量、共線向量。 平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。規(guī)定0與任一向量平行，平行向量也叫做共線向量。 相

2、等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。任意兩個(gè)相等的非零向量都可以用同一條有向線段表示。 5. 向量的加法：法。 注意：（1）兩個(gè)向量的和仍為向量。 （2）對于零向量與任一向量a有a+0=0+a=a。 6. 向量的加法法則 （1）三角形法則：（首尾連接） （2）平行四邊形法則：（共起點(diǎn)） 7. 向量的加法運(yùn)算律。 （1）交換律：a+b=b+a （2）結(jié)合律：a+(b+c)=(a+b)+c 8. 相反向量：與a長度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量，記作-a。 零向量的相反向量為零向量。 相反向量性質(zhì)： 9. 向量的減法：向量a加上向量b的相反向量叫做a與b的差。記 求兩個(gè)向量差的運(yùn)算

3、叫做向量的減法。 10. 實(shí)數(shù)與向量的積： 實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，它的長度與方向規(guī)定如下： 11. 實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律： 12. 一個(gè)向量與非零向量共線的充要條件： 向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得b=a。 13. 平面向量的基本定理：如果e1、e2是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面 把不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。 14. 向量坐標(biāo)的概念。 若i，j分別是與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)x軸，y軸方向相同的單位向量，且a=xi+yj，則x叫a在x軸上的坐標(biāo)，y叫a在y軸上的坐標(biāo)（不要說成橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)）。記作a=(x,y)。

4、15. 相等向量坐標(biāo)的關(guān)系。 與向量a=（x，y）相等的所有向量的坐標(biāo)均為（x，y）。 16. 向量坐標(biāo)公式 17. 向量的和、差及實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)公式： 18. 向量共線定理： 向量a與非零向量b共線的充要條件是：有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使a=b。 19. 平行向量的坐標(biāo)關(guān)系： 20. 點(diǎn)分有向線段所成的比的概念。 21. 分點(diǎn)坐標(biāo)公式。 此公式叫定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式。在此公式中，（x1，y1），(x2，y2)，（x，y）分別表示起點(diǎn)，終點(diǎn)，分點(diǎn)的坐標(biāo)。 22. 中點(diǎn)坐標(biāo)公式 此即為線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式。 23. 三角形重心坐標(biāo)公式。 24. 向量的夾角的概念 叫做a，b的夾角。 注意：（1）兩個(gè)非

5、零向量的夾角的范圍為： 25. a與b的數(shù)量積的概念 已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為，則數(shù)量|a|b|cos叫做a與b的數(shù)量積（內(nèi)積），記作a·b。 注意：（1）a與b的數(shù)量積的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)（可為正數(shù)、負(fù)數(shù)或零）。 26. b在a方向上的投影。 注意：（1）b在a方向上的投影不是向量而是一個(gè)實(shí)數(shù)，它的符號(hào)取決于角的范圍。 （2）a在b方向上的投影|a|cos。 27. a·b的幾何意義 數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a方向上的投影|b|cos的乘積，也等于b的長度|b|與a在b方向上的投影|a|cos的乘積。 28. 數(shù)量積的重要性質(zhì) 設(shè)a，b均為非

6、零向量，e是與b方向相同的單位向量，是a與e的夾角（則a與b的夾角也為），由數(shù)量積的定義可得如下五條重要性質(zhì)： 33. 在平移向量a及平移前后函數(shù)圖象的解析式y(tǒng)=f(x)，y=g(x)三者之中，知道了兩個(gè)能求出第三個(gè)。  34. 正弦定理： 余弦定理： 三.例題選講 例1. 設(shè)a、b是非零向量，且a與b不平行，求證a+b與a-b不平行。 分析：如果結(jié)論不成立，即(a+b)/(a-b)，將會(huì)得到什么樣的結(jié)果呢？因?yàn)閮蓚€(gè)向量共線，必定存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使一個(gè)向量的倍恰好等于另一個(gè)向量。由此得到的關(guān)于a、b的等式就能推出與題設(shè)矛盾。 解： 小結(jié)：命題由否定形式出現(xiàn)，通?？煽紤]用反證法來證明。因

7、為本題難度不大，所以也可直接利用向量平行的充要條件驗(yàn)證。如，   例2. 分析：（1）注意c2=|c|2，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律先求出c2； 解： 小結(jié)：第（2）題把題中的向量a的起點(diǎn)設(shè)為原點(diǎn)，在圖中旋轉(zhuǎn)容易理解，但實(shí)際上與起點(diǎn)的位置無關(guān)。解題的思路能推廣到一般情況。另外，結(jié)合圖形可知n>1，從而在二元二次方程組的解中選取適合題意的解。  例3. 分析： 解： 小結(jié)：直接用代數(shù)的方法求本題中的函數(shù)最值很困難，一般情況下轉(zhuǎn)化為幾何模型求解。這里借助向量計(jì)算，本質(zhì)上還是幾何模型，但運(yùn)算簡捷了。  例4. 如圖所示，P、Q是ABC的邊BC上兩點(diǎn)，且BP=QC

8、。 求證： 證明： 小結(jié)：  例5. 解： 小結(jié)：  例6. 解法一： 解法二： 小結(jié)：在采用定比分點(diǎn)公式解題時(shí)，起點(diǎn)、終點(diǎn)、分點(diǎn)及相應(yīng)的比值都是相對的，它們的位置關(guān)系可以根據(jù)問題的特點(diǎn)作適當(dāng)調(diào)整。  例7. 解法一： 解法二： 由定比分點(diǎn)公式，可得： 小結(jié)：本題是向量坐標(biāo)表示的典型題，方法一主要是運(yùn)用若向量相等，則其坐標(biāo)相等這一原則來解，思路清晰，易于理解，方法二主要運(yùn)用定比分點(diǎn)公式求點(diǎn)的坐標(biāo)，此題關(guān)形式，從而分別求出。 例8. 解： 小結(jié)：本例為2002年高考題（21）題第（1）小題，主要考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及等差數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)等。  例9. 解

9、法一： 解法二： 小結(jié)：從本例可以看出，如果把函數(shù)圖像的解析式從一種形式變?yōu)榱硪环N形式有兩種方法，這兩種方法實(shí)質(zhì)相同，都應(yīng)對此深刻理解。 綜合練習(xí)一. 選擇題 1. 下列說法中正確的是（ ） A. 兩個(gè)長度相等的向量一定相等， B. 相等的向量起點(diǎn)必相同 C. 共線，則A、B、C、D四點(diǎn)必在同一直線上 D. 相等的向量一定是平行向量 2. 向量 A. 充分不必要條件 B. 必要非充分條件 C. 充要條件 D. 非充分也非必要條件 3. 為非零向量，且，則（ ） A. 方向相同 B. C. D. 以上都不對 4. 化簡的結(jié)果是（ ） A. B. C. D. 5. 若，則向量=（ ） A

10、. B. C. D. 6. 在四邊形ABCD中，其中、不共線，則四邊形ABCD為（ ） A. 平行四邊形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形 7. 若三點(diǎn)共線，則（ ） A. B. C. D. 8. 與向量平行的向量是（ ） A. B. C. D. 9. 已知兩點(diǎn)分有向線段所成的比 A. B. C. D. 10. 已知點(diǎn)P分 A. B. C. D. 11. 已知的三個(gè)值分別是（ ） A. B. C. D. 以上答案都不對 12. 若把一個(gè)函數(shù)的圖象按平移后得到函數(shù)的圖象，則原函數(shù)的解析式為（ ） A. B. C. D.  二. 填空題 13. 若，則的夾角為_。 14. 已知，則k=_ 15. 已知_，_ 16. 已知_ 三. 解答題 17. 設(shè)，若A、B、D三點(diǎn)共線，試求k的值。 18. 已知向量，且，求x的值。 19. 已知，求的夾角。 20. 平面內(nèi)有向量，點(diǎn)C為直線上的一動(dòng)點(diǎn)，（1）當(dāng)取最小值時(shí)，求的坐標(biāo)。（2）當(dāng)點(diǎn)C滿足（1）時(shí)，求的值。 【參考答案】一. 選擇題 1. D2. B3. A4. B5. B 6. C7. B8. A9. A10. C 11. C12. D 二. 填空題