第三章剛體的定軸轉動

1、0（Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis）第三章第三章 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動1剛體剛體（rigid body）：）：特殊的質點系在外力作用特殊的質點系在外力作用下，形狀和體積不變化，下，形狀和體積不變化， 理想化的模型。理想化的模型。平動平動（translation）時，剛體上所有點時，剛體上所有點運動都相同，故剛運動都相同，故剛體可簡化為質點。體可簡化為質點。234dtd 角加速度矢量角加速度矢量rv 速度加快時，角加速度和角速度速度加快時，角加速度和角速度同向，否則反向。同向，否則反向。 為了充分反映剛體轉動為了充分反映剛體轉動的快慢，

2、引入的快慢，引入角速度矢量角速度矢量 ，方向由以下關系確定，方向由以下關系確定 3.2 剛體的定軸轉動剛體的定軸轉動（rotation about affixed axis） vi Ori定軸定軸剛體剛體zmi5一、轉動動能和轉動慣量一、轉動動能和轉動慣量)(,212121 iiivvvrrrmmm 22222)(212121 iiiiiiiiikrmrmvmE 2222121 iiiirmvm 221JiiirmJ2vi Ori定軸定軸剛體剛體zmi6iiirmJ2為剛體對為剛體對 z 軸的軸的轉動慣量轉動慣量Rotational inertia 轉動慣量的計算轉動慣量的計算 dVrdmrJ

3、rmJmii222)( )(連續(xù)分立J 為標量為標量dmrm與剛體的與剛體的質量質量有關有關質量一定時與質量一定時與質量的分布質量的分布有關，即與有關，即與剛體的形狀、大小、各部分的密度有剛體的形狀、大小、各部分的密度有關；關；與與轉軸的位置轉軸的位置有關有關SI：7二二. 常用的幾個常用的幾個J均勻圓環(huán)：均勻圓環(huán)：Jc =mR2；均勻圓盤：均勻圓盤：drrrdrrdmrJc3222240341RdrrR 242142mRRJcRmC CRmC2Rm 8均勻桿：均勻桿：CAml2l2232232222121121|31mllrdrrdmrJllllc23030223131|31mllrdrrd

4、mrJllA對對C C軸：軸：對對A A軸：軸：9三三. . 計算計算 J的幾條規(guī)律的幾條規(guī)律1. 對同一軸對同一軸 J具有可疊加性具有可疊加性J =Ji Jmrzi ii 22. 平行軸定理平行軸定理Jmrm xyzi iiiiii + + 222() m xm xxiiiiici22 + +() + + + mxxmxxmiiciiiicii222=0 xydcc222+ + m xyIiiiic( )22+ + JJmdc + +2 JJcmin=mCdmICI平行平行10 3. 對薄平板剛體的正交對薄平板剛體的正交軸定理軸定理Jm rm xm yziiiiii + + 222 例例1

5、1：已知圓盤：已知圓盤JmRz 122求對圓盤的一條直徑的求對圓盤的一條直徑的J Jx x （或（或 J y）。）。由由JJJJJJJmRzyxxyxy + + 142即即 JJJxy + + y rix z yi xi mi yx z 圓盤圓盤 R C m11O力與力臂的乘積。力與力臂的乘積。FdM F FPdr rr sinrFM 根據(jù)矢量乘積法則：根據(jù)矢量乘積法則： sinBAAB 用矢量方法表示力矩：用矢量方法表示力矩：FM r單位：單位：牛頓牛頓 米，米， N m方向：方向：從從r r 沿小于沿小于 角角右旋到右旋到F F，大拇指指向。，大拇指指向。Fr sin M M一、力矩一、力

6、矩12rFM M M 的方向垂直于的方向垂直于 r r 與與 F F 構成的平面。構成的平面。例例2 2：一勻質細桿，長：一勻質細桿，長為為 l 質量為質量為 m ，在摩，在摩擦系數(shù)為擦系數(shù)為 的的水平桌水平桌面上轉動，求摩擦力面上轉動，求摩擦力的力矩的力矩 M阻阻。13ml解：解：桿上各質元均受桿上各質元均受摩擦力作用，但各質摩擦力作用，但各質元受的摩擦阻力矩不元受的摩擦阻力矩不同，靠近軸的質元受同，靠近軸的質元受阻力矩小，遠離軸的阻力矩小，遠離軸的質元受阻力矩大，質元受阻力矩大，細桿的質量密度細桿的質量密度lm 質元質量質元質量dxdm odmdxx質元受阻力矩質元受阻力矩dmgxdM 阻

7、阻x14細桿受的阻力矩細桿受的阻力矩 阻阻阻阻dMM221gl 由細桿質量由細桿質量lm mglM 21 阻阻有有 lgxdx0 mlodmdxxx151.1.第一定律：一個可繞固定軸轉動的剛體，當?shù)谝欢桑阂粋€可繞固定軸轉動的剛體，當它所受的合外力矩等于零時，它將保持原有的它所受的合外力矩等于零時，它將保持原有的角速度不變。角速度不變。 從實驗可知，剛體轉動的角加速度與合外從實驗可知，剛體轉動的角加速度與合外力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比。力矩成正比，與剛體的轉動慣量成反比。JM 寫成等式寫成等式MkJ16與牛與牛II比較：比較： MFJma J反映剛體轉動的慣性反映剛體轉動的慣性dtd

8、JJM在國際單位制下在國際單位制下 k= =1MJ注意幾點注意幾點1. . 是矢量式是矢量式2. . 具有瞬時性。具有瞬時性。171. .確定研究對象。確定研究對象。2. .受力分析（受力分析（只考慮對轉動有影響的力矩只考慮對轉動有影響的力矩）。）。3. .列方程求解列方程求解(平動物體列牛頓定律方程，轉動平動物體列牛頓定律方程，轉動剛體列轉動定律方程和角量與線量關系剛體列轉動定律方程和角量與線量關系)。三三. . 解題方法及應用舉例解題方法及應用舉例第一類問題：第一類問題：已知運動情況和已知運動情況和 J，確定運動學，確定運動學和動力學的聯(lián)系和動力學的聯(lián)系- - ，從而求出，從而求出 MM或

9、或 F F。18例例3：長為長為 l、質量為、質量為 m 的細桿，初始時的的細桿，初始時的角速度為角速度為 0，由于細，由于細桿與桌面的摩擦，經(jīng)桿與桌面的摩擦，經(jīng)過時間過時間 t 后桿靜止，后桿靜止，求摩擦力矩求摩擦力矩 M阻阻。lo解：解：以細桿為研究對象，以細桿為研究對象，只有摩擦阻力只有摩擦阻力產(chǎn)生力產(chǎn)生力矩，由勻變速轉動公式：矩，由勻變速轉動公式：t+000+tt0 19細桿繞一端的轉動慣量細桿繞一端的轉動慣量231mlJ 則摩擦阻力矩為：則摩擦阻力矩為：JM阻0231 mltM 阻阻tml0231 lo20第二類問題：第二類問題：已知已知 J 和力矩和力矩MM ：求出運動情況：求出運

10、動情況 a a 和和 及及 F F。例例4 4：質量為質量為 m1和和m2兩個物體，跨在定滑兩個物體，跨在定滑輪上輪上 m2 放在光滑的桌放在光滑的桌面上，滑輪半徑為面上，滑輪半徑為 R，質量為質量為 M，求：，求：m1 下下落的加速度，和繩子落的加速度，和繩子的張力的張力 T1、T2。1m2mRM,T1 1T2 2211m2mRM,1mgm11TRM,1T2T2T2m解：受力分析解：受力分析1m以以為研究對象為研究對象amTgm111 （1）2m以以為研究對象為研究對象amT22 （2）M以以為研究對象為研究對象JRTT)(21（3）221MRJ T1T222補充方程：補充方程：Ra（4）聯(lián)

11、立方程（聯(lián)立方程（1）-（4）求解得）求解得2/211Mmmgma+ + + 2/)2/(21211MmmgMmmT+ + + + 2/21212MmmgmmT+ + + 討論：討論：當當 M= =0時時212121mmgmmTT+ + 23第三類問題：第三類問題：已知運動情況已知運動情況 和力矩和力矩M M ，求，求未知未知剛體轉動慣量剛體轉動慣量 J J。例例5 5：測輪子的轉動慣量：測輪子的轉動慣量 用一根輕繩纏繞在半徑用一根輕繩纏繞在半徑為為 R、質量為、質量為 M 的輪子上的輪子上若干圈后，一端掛一質量若干圈后，一端掛一質量為為 m 的物體，從靜止下落的物體，從靜止下落 h 用了時間

12、用了時間 t , ,求輪子的轉求輪子的轉動慣量動慣量 J J。hRM,m24h hRM,mgT以以m為研究對象為研究對象(1) maTmg以以M為研究對象為研究對象(2) JTR 物體從靜止下落時滿足物體從靜止下落時滿足(3) /22ath 補充方程：補充方程：(4) RaT聯(lián)立方程（聯(lián)立方程（1）-（4）求解得：）求解得：hhgtmRJ2)2(2225orF FnF FF Fdds 將將F F分解為切分解為切向力和法向力。向力和法向力。 剛體轉過剛體轉過 d, , 作用點的位移為作用點的位移為 ds, , 法向力法向力F Fn 不作功，只有切向力作功，不作功，只有切向力作功， cosFdsd

13、W rdds, cosFF其中其中由功的定義由功的定義 rdF 26 MdtdM 對于恒力矩作功對于恒力矩作功 MMW)(0恒力矩的功為力矩與角位移的乘積。恒力矩的功為力矩與角位移的乘積。由功率的定義：由功率的定義：dtdWP 二、力矩的功率二、力矩的功率則則rdFW0 MdW 027 剛體在力矩的作用下轉過一定角度，力矩剛體在力矩的作用下轉過一定角度，力矩對剛體做了功，作功的效果是改變剛體的轉動對剛體做了功，作功的效果是改變剛體的轉動狀態(tài)，改變了剛體的什么狀態(tài)？狀態(tài)，改變了剛體的什么狀態(tài)？由力矩的功定義：由力矩的功定義： MdW 0三、剛體繞定軸轉動的動能定理三、剛體繞定軸轉動的動能定理其中

14、力矩其中力矩JM MdW 0則功則功dtd ddtdJ0dtdJ28dJW0剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能定理2022121JJ2022121JJW剛體轉動動能定理：剛體轉動動能定理：合外力矩對繞定軸轉動的合外力矩對繞定軸轉動的剛體作功的代數(shù)和等于剛體轉動動能的增量。剛體作功的代數(shù)和等于剛體轉動動能的增量。0kkEEkE291. .確定研究對象。確定研究對象。2. .受力分析，確定作功的力矩。受力分析，確定作功的力矩。3.3.確定始末兩態(tài)的動能，確定始末兩態(tài)的動能，E Ek k0 0、E Ek k。4. .列方程求解。列方程求解。例例6：一細桿質量為一細桿質量為m，長度為長度為l，一

15、端固定在軸上，一端固定在軸上，靜止從水平位置擺下，求靜止從水平位置擺下，求細桿擺到鉛直位置時的角細桿擺到鉛直位置時的角速度。速度。0kkEEW30g gmolm,解：解：以桿為研究對象，以桿為研究對象，只有重力產(chǎn)生力矩，且重只有重力產(chǎn)生力矩，且重力矩隨擺角變化而變化。力矩隨擺角變化而變化。重力矩作功：重力矩作功： 900 MdW重重 900cos2 dlmgmgl21 31始末兩態(tài)動能：始末兩態(tài)動能： 212JEk由動能定理：由動能定理：0kkEEW021212Jmgl231mlJ 22)31(2121 mlmgl lg3 0 0kE, ,g gmolm,32 當系統(tǒng)中既有平動的物體又有轉動的

16、剛體，當系統(tǒng)中既有平動的物體又有轉動的剛體，且系統(tǒng)中只有保守力作功，其它力與力矩不作且系統(tǒng)中只有保守力作功，其它力與力矩不作功時，物體系的機械能守恒。功時，物體系的機械能守恒。EE0其中其中 + + 221mvE例例7 7：如圖所示的物體系中，倔強度系數(shù)為如圖所示的物體系中，倔強度系數(shù)為 k的的彈簧開始時處在原長，定滑輪的半徑為彈簧開始時處在原長，定滑輪的半徑為 R、轉動、轉動慣量為慣量為 J，質量為，質量為 m 的物體從靜止開始下落的物體從靜止開始下落, ,求求下落下落 h 時物體的速度時物體的速度 v。+221J+mgh 221kx33kRJ,hm解：解：在物體在物體 m 下下落過程中只有

17、重力落過程中只有重力和彈力保守力作功，和彈力保守力作功，物體系機械能守恒。物體系機械能守恒。EE0選擇彈簧原長為彈性選擇彈簧原長為彈性 0 勢點，物勢點，物體下落體下落 h 時為重力時為重力 0 勢點。勢點。+ + 221mvmgh+221J221khRv求解得求解得22/2RJmkhmghv+34一、沖量矩一、沖量矩沖量：沖量：dtttFI0 沖量矩：沖量矩： ttdt0M35質點的動量定理質點的動量定理PvvI00 mmFdttt由沖量矩定義：由沖量矩定義：dtttM0 MJ其中其中dtJdttttt00MdtdtdJdtttttM00Jd0dtd 其中其中0JJ36定義：定義：JL為為角

18、動量角動量，單位：單位：千克千克 米米2/ /秒（秒（kgm2/s）方向：方向：與角速度方向一致。與角速度方向一致。二、角動量二、角動量00JJdtttMmJ v mvJ37對于質點也可引入角動量的概念。對于質點也可引入角動量的概念。例如人造地球衛(wèi)星繞地球轉動例如人造地球衛(wèi)星繞地球轉動 JL 2mrJ 質點的轉動慣量為：質點的轉動慣量為： 2mrL 則則rmvL 角動量定義角動量定義rv 其中其中r 為質點到軸的距離為質點到軸的距離3800JJdtttM角動量定理角動量定理( (動量矩定理動量矩定理) )：剛體受到的沖剛體受到的沖量矩等于剛體角動量的增量。量矩等于剛體角動量的增量。0LL L

19、三、角動量定理三、角動量定理( (動量矩動量矩) )39四、角動量四、角動量( (動量矩動量矩) )守恒定律守恒定律 質點系的動量守恒定律：當合外力為質點系的動量守恒定律：當合外力為0時，動量守恒。時，動量守恒。PP0 0F 外外i時時,當當 對于剛體所受的合外力矩為對于剛體所受的合外力矩為0時時, ,又又如何呢？如何呢？由角動量定理：由角動量定理：0LLM0 dttt , 0M 0LL 0 40CLL 0 JJ0當剛體受到的合當剛體受到的合外力矩為外力矩為0 時，剛體的角動量守恒。時，剛體的角動量守恒。C 條件：條件：當剛體受到的合外力矩為當剛體受到的合外力矩為0時，時， , 0M 0LL

20、0 41J JJJ0 , 00 CC , 0JJ04243o1o 244o1o 2解：解：整個過程合外力矩整個過程合外力矩為為0，角動量守恒，角動量守恒，2211JJ21012mlJJ+215260 + + 2mkg70 J0= =60kg m2，l l1 1= = 1m， l l2 2= = 0.2m, m= =5kg， 1 = = 3 s- -122022mlJJ+2mkg4 .60 22 . 05260 + + 452211JJ2112JJ由轉動慣量的減小，角速度增加。由轉動慣量的減小，角速度增加。 在此過程中機械能不守恒，因為人收臂時做功在此過程中機械能不守恒，因為人收臂時做功。4 .

21、60703 -1s5 . 3 21mkg70J22mkg4 .60J 1 1 = 3 s= 3 s-1-146解：解：兩飛輪通過摩擦達兩飛輪通過摩擦達到共同速度到共同速度, ,合外力矩為合外力矩為0，系統(tǒng)角動量守恒。，系統(tǒng)角動量守恒。1I2I1 2 )(212211JJJJ+C CL LL L0 212211JJJJ+共同角速度共同角速度47)2121()(21222211221JJJJE+)(2)(2122121JJJJE+212211JJJJ+其中其中212211JJJJ+共同角速度共同角速度嚙合過程機械能損失嚙合過程機械能損失0EEE 48例例11: 長為長為l，質量為，質量為m0的細棒，可繞垂直于一端的水平的細棒，可繞垂直于一端的水平軸自由轉動。棒原來處于平衡狀態(tài)?，F(xiàn)有一質量為軸自由轉動。棒原來處于平衡狀