近5年全國1卷-解析幾何

1、近五年全國卷分類匯編一一解析幾何一.雙曲線22i1.33課標全國i,理4】己知雙曲線c：才計心，w的離心率為則c的漸近線方程為().丄1ay=± 兀4c.尸士*d.)=±x2. 2014課標全國i ,理4】已知f是雙曲線c: x2 -my2 = 3m（m > 0）的一個焦點，則點f到c的一條漸近線的距離為（）.a. >/3b.c. y/3md3mr23.【2015課標全國i ,理5】二b=i上的一點，片,是c上的兩個焦2點，若mf2<0,則幾的取值范圍是（a- °丁氏（三，三）c.412016課標全國i ,理5】己知方程2x2.i表示雙曲線，且該

2、雙曲線兩焦點間的距離為4 ,3 nr - n則的取值范圍是（）b. （-1,73）a. (1,3)c. (0,3)d. (0,v3)5. 2017課標全國i，理15己知雙曲線c：a蘭+亠4536b兀 2),236+=l°2718df y2-yr = 1 （g>0, b>0）的右頂點為a,以a為圓心，b為 曠 b 半徑作圓a,圓a與雙曲線c的一-條漸近線交于m、n兩點.若zman=60。，則c的離心率為 二、橢圓和拋物線x2 v21. 【2013課標全國i ,理10】已知橢圓e： = +芻= l>b>0）的右焦點為f（3,0）,過點f的直線交e cr于a, b兩

3、點.若ab的中點坐標為（1, 一1）,則e的方程為（）2. 2014課標全國i,理10】已知拋物線c：），=8兀的焦點為f,準線為p是/上一點，q是直線 pf與c的一個交點，若帀=4應(yīng)，貝ij|2f|=（）75a . b c. 3d 2222 23. 【2015課標全國i ,理14】一個圓經(jīng)過橢圓+ = 1錯誤味找到引用源。的三個頂點，且圓心在兀164軸的正半軸上，則該圓的標準方程為.4. 2016課標全國i,理10】以拋物線c的頂點為圓心的圓交c于兩點，交c的準線于d,e兩點,已知= 4血,|de| = 2石，則c的焦點到準線的距離為()a. 2b. 4c. 6d. 85. 2017課標全國

4、i,理10】已知f為拋物線c：2=4兀的焦點，過f作兩條互相垂直的直線厶，l2t直 線厶與c交于a、b兩點,直線b與c交于q、e兩點，貝iab+de的最小值為()a. 16b. 14c. 12d. 106. 【2013課標全國i ,理20】已知圓m： (x+l)2+/=l,圓n： (x-l)2+y2 = 9,動圓p與圓m外切并且 與圓n內(nèi)切，圓心p的軌跡為曲線c(1)求c的方程；(2"是與圓p,圓m都相切的一條直線，/與曲線c交于a, b兩點，當圓p的半徑 最長時,求|ab|7. 2014課標全國i ,理20】已知點a (0, -2),橢圓e：= l(a>h>0)的離心率

5、為是橢圓的焦點，直線af的斜率為琴，。為坐標原點.(i)求e的方稈；(ii)設(shè)過點a的直線/與e相交于兩點，當opq的面積最大時，求/的方程.x&【2015課標全國1 ,理20】在直角坐標系xoy中，曲線c： =與直線/： y = kx +a (q>0)交于m,n兩點.(i )當k = 0時，分別求c在點m和n處的切線方程；(ii)在y軸上是否存在點p錯誤!未找到引用源。，使得當k變動時，總有zopm = zopn錯誤! 未找到引用源。？說明理由.9. 2016課標全國i ,理20】設(shè)圓x2+y2+2x-15 = 0的圓心為a,直線/過點b(l,0)且與兀軸不重合, /交圓a于c

6、,d兩點，過b作ac的平行線交ad于點e.(i)證明|e4| + |eb|為定值，并寫出點e的軌跡方程;(ii)設(shè)點e的軌跡為曲線c,直線/交g于m,n兩點，過b且與/垂直的直線與圓a交于兩 點，求四邊形mpn0面積的取值范圍.2 210. 2017課標全國i ,理20己知橢圓c：二+ £=1 (a>b>0),四點 b (1,1), p2(0,l),凡(一1，)， a2 h22巴(1,耳)屮恰有三點在橢圓c上.2(1)求c的方程；(2)設(shè)直線/不經(jīng)過p2點且與c相交于a, b兩點.若直線與直線的斜率 的和為-1,證明：/過定點.近五年全國卷分類匯編一一解析幾何答案一、雙曲

7、線1. 2013課標全國i ,理4】解析：選 c, v e = = , /. e2 =二=° 二“ =,a2 = 4b2, = ±,.:漸近線方程為 a 2ct a2 4a 2亠b jy = ± x± x.a 2c2 = 3m + 3, c = v3m + 32. 2014課標全國i ,理4】【解析】：由 c： x2 -my2 = 3m(m> 0),得=1，3/713設(shè) f(如+ 3,0),一條漸近線y =即x-yfy = 0,則點f到c的一條漸近線的距離出,選 a.j1 +加3. 2015課標全國i ,理5】解析：從詼碾 v0入手考慮，mfmf=

8、 0可得到以斥耳為直徑的圓與c的交點（不妨設(shè)m,m2在左支上,m39m4在右支上）,此時m百丄m遲,mf-m2-2近,弧=2乜,$.嚀廠孰斤"遲=扣|也解得|%|斗，則m在雙曲線的就或y3w4上運動,a tan 0 -apop寸b/ ，又 tan <9 = -寸 b, c =，解得 / = 3/?2 e 尹°1+*1 + =b2a二、橢圓和拋物線1. 【2013課標全國i ,理10】解析:選d,設(shè)a（q, “），bg,）吩，ta, b在橢圓上，二+ >12l .2.2兀）av+l2b1,=1,一,得（西+兀）（西一兀2）|（必+2）（必一力）_0,卩卩戸_ （刃

9、+力）4一力） ，a1b2a2（兀+ 兀2）（兀_尤2）0-（-1）_ 1 3-1 _29ab的中點為（1, -1）,卩+力=一2,兀+七=2,而“ 一兒x, x2=加=蘭=_l又:m = 9,/=18, /異=9.x2 y2橢圓e的方程為+ - = 1.故選d.1892. 2014課標全國i ,理10】【解析】選c,過q作qm丄直線l于m, -fp = 4fqqm_pq_3謁弓又丁-網(wǎng)-7:.qm = 3,由拋物線定義知qf = qm = 3；點、d _£，厲在圓x2 + /=r2±,/p1丿a xj+8 = r2；聯(lián)立解得：p = 4 ,焦點到準線的距離為p = 4 .

10、故選b.、2；點 a（x0,2>/2）在圓x2 + y2=r2±,5. 2017課標全國i ,理10】【解析】設(shè)ab傾斜角為&.作a/垂直準線,|af| cos&+|gf| = |ak| (幾何關(guān)系)a/q垂直兀軸，易知ak = af (拋物線特性)=p/.iaf cos& +p= af ,同理af =-1 一 cos0bf =1 + cos&7t又de與紗垂直,即de的傾斜角為產(chǎn),2p7de =2兀 門 sht + &2pcos2 0 ,而 y2 =4x ,即 p = 2 .:.ab + de = 2psin2 0 cos2 &

11、 ；=4曲& +曲&sirr geos' 04sin2 geos' 611 =f-拖2 2&16.2加16,當且僅當0 = ?取等號,即abmde sirr 2&4最小值為16,故選a；【法二】依題意知:2pde2p2pcos2 0由柯西不等式知:當且僅當吩取等號,故選a；ade = 2p + >2p=8p = 16siir & cos” 6丿 sin" 0 + cos" &三、解答題1.【2013課標全國i ,理20】解：由已知得圓m的圓心為m(l,0),半徑門=1;圓n的圓心為n(l,0),半徑廠2

12、= 3.設(shè)圓p的圓心為p(x, y)f半徑為r.(1)因為圓p與圓m外切并且與圓n內(nèi)切，所以|pm| + |pn| = (r+n)+02-r) = n + =4.由橢圓的定義可知，曲線c是以m, w為左、右焦點，長半軸長為2,短半軸長為、廳的橢圓(左頂點除外），其方程為- + - = 1（-2）.43(2)對于曲線c上任意一點p(x, y),由pm-pn = 2r2<2f所以心2,當且僅當圓p的圓心為(2,0) 時，r=2.所以當圓p的半徑最長時，其方程為(x-2)2+/=4. 若/的傾斜角為90°,則/與y軸重合，可得|43|=2巧.若/的傾斜角不為90。，由門式尺知/不平行

13、于x軸，設(shè)/與x軸的交點為q,則i qpia 2(-4,0),所以可設(shè)/: y=£(x+4)由/與圓m相切得辟=1,解得2±拿/r22r當a子時，將汴白+血代入壬+孑】，并整理得7,+ ,解得才十所以ab= jl + 疋 | x2187b1 o當k =時，由圖形的對稱性可知ab=一471 o綜上，|ab|= 2>/ 或2. 2014課標全國i ,理20】【解析】：(i)設(shè)f(c,0),由條件知？= 跡，得c = v3又£ =匣,c 3a 2r2所以a=2，宀宀u ,故丘的方程n + z.(ii)依題意當/丄x軸不合題意，故設(shè)直線1： y = kx-2,設(shè)(兀

14、2必)2y = kx-2 代入+ y2*4*1,得(1 + 4疋)兀216也+ 12 = 0,當 = 16(4/一3)>0,即宀扌時,西,2% ±2如彳一 3i4lk2 +1 r<ldk2 37從而|戸2| = 丁/ + 1比_兀2|=,又點o到直線pq的距離d二/,所以aopq八"w +11 + 4/的面積 sm)pq=-dpq4 "一3 '設(shè)w-3=t,則/>0, sa廿殆二七vi， / + _當且僅當一,“士*等號成立,且滿足"0,所以當aopq的而積最大時，/的方程為:4 2 或 y 丄2.2 212分3. 【2015課

15、標全國i ,理20】解：(i)當k = 0吋，點m(2yci,a )和"(一 2喬,a), y=f故x = 2罷處的導(dǎo)數(shù)值為喬，切 線方程為y cz二石(兀一2石)，即x-y-a = 0；同理，x = -2ya處的導(dǎo)數(shù)值為一麗，切線方程為 y-a =- ja(x + 2ya),即 yfax+ y + a = 0.(ii)在y軸上存在點p錯誤!未找到引用源。，使得當£變動時，總有zopm = aopn錯誤!未找 到引用源。.證明如下：設(shè)p(o0)為符合題意的點，m(x9yn(x2,y2)f直線pm, p/v的斜率分別為k,k2.直線/與曲線c的方程聯(lián)立可得x2-4kx-4a

16、= 0,則西+吃=4匕%,x2 = -4a.心+£2=口 + 4 =如旦匸如匕2 =如型，當d-o時，”=0,則直線 召 x?x(x2a-pm,pn的傾斜角互補，故z0pm = zopn ,即p(0,q)符合題意.4. 2016課標全國i ,理20】【解析】：(1)圓a整理為(x + l)2+r =16, a坐標(-1,0),如圖，q be/ac,則 zc = zebd,由 ac = ad,則 zd = zc, zebd = z.d,貝 ij eb = ed, aeeb = ae + ed =ad = 4> ab根據(jù)橢圓定義為一個橢圓，方程為蘭+疋=1,()，工0)；4 3r2

17、 v2z、(2) c, ： + - = 1 ；設(shè) l:x = my + ,因為 pq 丄/,設(shè) pq:y = -m(x-),3”廣+x = my +1聯(lián)立厶與橢圓c.兀 2 ),(3 開 + 4)y2 + 6my -9 = 04 3!-,-/36r+36(3/+4) 12(m2 j1| mn |= jl + 加一 | ym - yn |= jl + nr1圓心a到pq距離d：(t：l)l=半業(yè)j1 +加2yl + /n2所以i pq|二2j| aqf -滬=2jl6-vl + m2mpnqii 12（m2 +1）5. 2017課標全國1 ,理20】【解析】(1)根據(jù)橢圓對稱性，必過出、4,又弓

18、橫坐標為1,橢圓必不過所以過人，呂，鬥三點，將-4=1(逅、b2£(), 1),人一1,冷-代入橢圓方程得：3，解得/=4, /72=1，1丿丄厶1a2 b22橢圓c的方程為： + /=!.(2)當斜率不存在時，l：x = m9 a(八)i)，b(m, - ya),心八+儀/,=兌二+二 =二=-1，得加=2,此時/過橢圓右頂點，不存在兩個交點，故不滿足. mm m當斜率存在時，設(shè) r. y = kx + b（b） , a（兀'yj, b（x2 , y2）,聯(lián)立彳y = kx + b x2 +4/ - 4 = 0整理得（1 + 4疋）/ +8肋x + 4, -4 = 0,skb2-sk-8 肋彳 + 8 肋 _1 + 4/.-4/ _ 41 + 4/=続）=_