頻域?yàn)V波二維傅里葉變換

1、o 岡薩雷斯版岡薩雷斯版 里面的解釋非常形象：里面的解釋非常形象：o 傅里葉變換可以看作是數(shù)學(xué)上的棱鏡，將函數(shù)基于傅里葉變換可以看作是數(shù)學(xué)上的棱鏡，將函數(shù)基于頻率分解為不同的成分。當(dāng)我們考慮光時(shí)頻率分解為不同的成分。當(dāng)我們考慮光時(shí), ,討論它討論它的光譜或頻率譜。同樣的光譜或頻率譜。同樣, , 傅立葉變換使我們能通過(guò)傅立葉變換使我們能通過(guò)頻率成分來(lái)分析一個(gè)函數(shù)。頻率成分來(lái)分析一個(gè)函數(shù)。o Fourier theoryFourier theory講的就是：任何信號(hào)（如圖像信號(hào)講的就是：任何信號(hào)（如圖像信號(hào)）都可以表示成一系列正弦信號(hào)的疊加，在圖像領(lǐng)）都可以表示成一系列正弦信號(hào)的疊加，在圖像領(lǐng)域就

2、是將圖像域就是將圖像brightness variation brightness variation 作為正弦變作為正弦變量。比如下圖的正弦模式可在單傅里葉中由三個(gè)分量。比如下圖的正弦模式可在單傅里葉中由三個(gè)分量編碼：頻率量編碼：頻率f f、幅值、幅值A(chǔ) A、相位、相位 這三個(gè)這三個(gè)valuevalue可以可以描述正弦圖像中的所有信息。描述正弦圖像中的所有信息。o 傅里葉提出任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的傅里葉提出任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和正弦和/ /或余弦和的形式，每個(gè)正弦和或余弦和的形式，每個(gè)正弦和/ /或余弦乘以或余弦乘以不同的系數(shù)（傅里葉級(jí)數(shù)）。圖像的頻率是表征圖不

3、同的系數(shù)（傅里葉級(jí)數(shù)）。圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度上的梯度. .在噪聲點(diǎn)和圖像邊緣處的頻率為高頻。在噪聲點(diǎn)和圖像邊緣處的頻率為高頻。信號(hào)描述方法信號(hào)描述方法o 時(shí)域描述時(shí)域描述o 如簡(jiǎn)諧信號(hào)如簡(jiǎn)諧信號(hào) )cos(000tx 簡(jiǎn)諧信號(hào)及其三個(gè)要素 幅值 頻率 相角 o 頻域描述頻域描述o 以信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)來(lái)描述信號(hào)的方法以信號(hào)的頻率結(jié)構(gòu)來(lái)描述信號(hào)的方法: :將信號(hào)將信號(hào)看成許多諧波（簡(jiǎn)諧信號(hào)）之和，每一個(gè)諧波稱作看成許多諧波（簡(jiǎn)諧信號(hào)）之和，每一個(gè)諧波稱作該信號(hào)的一個(gè)頻率成分，考察信號(hào)含有那些頻率的該信號(hào)的一

4、個(gè)頻率成分，考察信號(hào)含有那些頻率的諧波，以及各諧波的幅值和相角。諧波，以及各諧波的幅值和相角。方波信號(hào)的逼近：方波信號(hào)的逼近：N=5N=5o t=-2:0.001:2;t=-2:0.001:2;N=input(N=);N=input(N=);% N% N為輸入要達(dá)到的最高次諧波的次數(shù)為輸入要達(dá)到的最高次諧波的次數(shù)c0=0.5;c0=0.5;fN=c0fN=c0* *ones(1,length(t);ones(1,length(t);for n=1:2:Nfor n=1:2:NfN=fN+cos(pifN=fN+cos(pi* *n n* *t)t)* *sinc(n/2);sinc(n/2);

5、endendfigurefigureplot(t,fN)plot(t,fN)axis(-2 2 -0.2 1.2)axis(-2 2 -0.2 1.2)N=30N=30N=80N=80周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式o 歐拉公式歐拉公式 o 或或tjtetjsincos tjtjtjtjeejteet2sin21cos o 傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式傅立葉級(jí)數(shù)的復(fù)指數(shù)形式), 3, 2, 1, 0()(0nectxntjnn 2200)(1TTdttxTac dtetxTjbacTTtjnnnn220)(12 o 傅立葉級(jí)數(shù)復(fù)指數(shù)也描述信號(hào)頻率結(jié)構(gòu)。它與三角傅立葉級(jí)數(shù)復(fù)

6、指數(shù)也描述信號(hào)頻率結(jié)構(gòu)。它與三角函數(shù)形式的關(guān)系函數(shù)形式的關(guān)系; ;對(duì)于對(duì)于n0,n0,（等于三角函數(shù)模的一（等于三角函數(shù)模的一半）半）( (與三角函數(shù)形式中的相角相等）與三角函數(shù)形式中的相角相等）22)(22nnnnAbac nnnab arctg 非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜非周期信號(hào)與連續(xù)頻譜o 傅里葉變換傅里葉變換o 演變思路：視作周期為無(wú)窮大的周期信號(hào)演變思路：視作周期為無(wú)窮大的周期信號(hào) dedtetxtxtjtj)(21)( x(t)的傅里葉變換的傅里葉變換X() o 定義定義x(t)x(t)的傅里葉變換的傅里葉變換X()X()o X()X()的傅里葉反變換的傅里葉反變換x(t):x(t):

7、dtetxXtj)()( deXtxtj)(21)( 傅里葉變換的頻譜意義傅里葉變換的頻譜意義o 一個(gè)非周期信號(hào)可以分解為角頻率一個(gè)非周期信號(hào)可以分解為角頻率 連續(xù)變化的連續(xù)變化的無(wú)數(shù)諧波無(wú)數(shù)諧波的疊加。稱的疊加。稱X(w)X(w)其為函數(shù)其為函數(shù)x(t)x(t)的頻譜密度函數(shù)的頻譜密度函數(shù)deXtj)(21 o 對(duì)應(yīng)關(guān)系：對(duì)應(yīng)關(guān)系：o X(w)X(w)描述了描述了x(t)x(t)的頻率結(jié)構(gòu)的頻率結(jié)構(gòu)o X(w)X(w)的指數(shù)形式為的指數(shù)形式為 tjnntjecedX0)(21 )()()(jeXX 脈沖函數(shù)及其頻譜脈沖函數(shù)及其頻譜 x(t) -/2t t0 1/x(t) t /2)(t)(0

8、ttA o 定義定義函數(shù)（要通過(guò)函數(shù)值和面積兩方面定義）函數(shù)（要通過(guò)函數(shù)值和面積兩方面定義）o 函數(shù)值：函數(shù)值：o 脈沖強(qiáng)度（面積）脈沖強(qiáng)度（面積）000)(ttt 1)(dtt 脈沖函數(shù)的樣質(zhì)脈沖函數(shù)的樣質(zhì)o 脈沖函數(shù)的采性（相乘）樣質(zhì)：脈沖函數(shù)的采性（相乘）樣質(zhì)：t t0 )(0tt t x(t) )(tx(t) )()0(tx)()(00tttx o 函數(shù)值：函數(shù)值：o 強(qiáng)度：強(qiáng)度：000)()(0tttttx )()()()()(0000txdttttxdttttx 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的頻譜正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的頻譜）0022(21)(21212cosffffeeftFTftjftj ）

9、0022(2)(222sinffjffjeejftFTftjftj f )( ff )( f余弦函數(shù)的頻譜 正弦函數(shù)的頻譜 f0 f0 -f0 -f0 -1/2 1/2 1/2 1/2 o 結(jié)論：結(jié)論：o 1.1.脈沖函數(shù)的卷積性質(zhì)：脈沖函數(shù)的卷積性質(zhì)： )()()()()()()(txdttxdtxttx )()()()()()()(00000ttxdttttxdttxtttx 25251.3.1 1.3.1 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)周期函數(shù)f( (t) )的三角級(jí)數(shù)展開，要滿足如下條件：的三角級(jí)數(shù)展開，要滿足如下條件：狄里赫利條件：函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)和狄里赫利條件：函數(shù)在一

10、個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)和第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)01( )cos2sin22nnnaf tan tbn t 00002( )d2( )cos2d2( )sin2dnnaf ttaf tn t tbf tn t t 1.3 1.3 二維二維FourierFourier變換變換2626周期函數(shù)也可以展開成指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)形式周期函數(shù)也可以展開成指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)形式( )exp( 2)nnf tCjn t 01( )exp(2)dnCf tjn tt ， n=0, 1, 2,C Cn n是頻率是頻率v v的復(fù)函數(shù)，稱為頻率函數(shù)，由于周期函的復(fù)函數(shù)，稱為頻率函數(shù)，由于周期函數(shù)中，只包含數(shù)中，只包含0 0，

11、 等頻率分量，頻率等頻率分量，頻率的取值是離散的，所以周期函數(shù)只有離散譜。沒的取值是離散的，所以周期函數(shù)只有離散譜。沒有連續(xù)譜。有連續(xù)譜。, 2 ,2727是離散求和的形式是離散求和的形式, ,表明表明: :一個(gè)隨時(shí)間或空間變化的周期函數(shù)（信號(hào)）一個(gè)隨時(shí)間或空間變化的周期函數(shù)（信號(hào)）f f( (x x),),可以看作是許多具有不同頻率的基元簡(jiǎn)諧波信號(hào)的可以看作是許多具有不同頻率的基元簡(jiǎn)諧波信號(hào)的疊加。各簡(jiǎn)諧波分量的頻率為疊加。各簡(jiǎn)諧波分量的頻率為u u，u u= =nunu, , 是離散的是離散的; ; 取值為取值為0, 0, u u, , 2 2u u, , 3 3u u, , ; ; u

12、u=0=0為直流分為直流分量，量，u u 為基頻，其余為高次諧波分量。為基頻，其余為高次諧波分量。exp(exp(j j22uxux) ) 是其中的某一簡(jiǎn)諧波成分；系數(shù)是其中的某一簡(jiǎn)諧波成分；系數(shù)c cn n或或( (a an n, , b bn n) ) 是該簡(jiǎn)諧波成分的權(quán)重，它是頻率是該簡(jiǎn)諧波成分的權(quán)重，它是頻率u u的函的函數(shù)，稱之為的傅立葉頻譜數(shù)，稱之為的傅立葉頻譜( (簡(jiǎn)稱頻譜簡(jiǎn)稱頻譜) ) Fourier Fourier Spectrum.Spectrum.2828周期為的周期為的 矩形波函數(shù)，在一個(gè)周期內(nèi)的解析矩形波函數(shù)，在一個(gè)周期內(nèi)的解析式為式為01/ f/ 4( )0/ 4/

13、 2Axg xx000021( )cos2cos2 (3)2311cos2 (5)cos2 (7)57AAg xf xfxfxfx292902cos2Af x021cos2 (5)5Afx021cos2 (3)3Afx2A30301.3.2 1.3.2 傅立葉積分傅立葉積分(Fourier integral)(Fourier integral)及及傅立葉變換傅立葉變換(Fourier transform)(Fourier transform)若函數(shù)若函數(shù)f f( (x x, ,y y) )在整個(gè)無(wú)限在整個(gè)無(wú)限xyxy平面上滿足狄里赫利條件，平面上滿足狄里赫利條件，且絕對(duì)可積，且絕對(duì)可積，f f

14、( (x x, ,y y) )可用疊加積分表示成：可用疊加積分表示成：( , )( , )exp2 ()d dF u vf x yjuxvyx y ( , )exp 2 ()( , )d df x yjuxvvuyuFv 3131是連續(xù)求和，是疊加積分；表明是連續(xù)求和，是疊加積分；表明: :1.1. 一個(gè)隨時(shí)間或空間變化的非周期函數(shù)一個(gè)隨時(shí)間或空間變化的非周期函數(shù)( (信號(hào)信號(hào)) )，可，可以看作是許多不同頻率的基元簡(jiǎn)諧波信號(hào)的疊加以看作是許多不同頻率的基元簡(jiǎn)諧波信號(hào)的疊加積分。各簡(jiǎn)諧波分量的頻率為積分。各簡(jiǎn)諧波分量的頻率為u u，頻率的取值是連，頻率的取值是連續(xù)分布的。續(xù)分布的。2.2. E

15、xpj2(Expj2(uxux+ +vyvy)是其中某一簡(jiǎn)諧波成分；是其中某一簡(jiǎn)諧波成分；F F( (u u, ,v v) )是該簡(jiǎn)諧波成分的權(quán)重，它是頻率是該簡(jiǎn)諧波成分的權(quán)重，它是頻率u u的函數(shù)，稱之的函數(shù)，稱之為的傅立葉頻譜為的傅立葉頻譜(Fourier Spectrum)(Fourier Spectrum)，簡(jiǎn)稱頻譜。，簡(jiǎn)稱頻譜。空間頻率空間頻率o 首先它是一種有效數(shù)據(jù)表示方式首先它是一種有效數(shù)據(jù)表示方式o 可以模擬或去除噪聲（以某種頻率表示的）可以模擬或去除噪聲（以某種頻率表示的）o 物理過(guò)程在頻率域可以得到更好的表示物理過(guò)程在頻率域可以得到更好的表示o 一種圖像分析的更好的方法一種

16、圖像分析的更好的方法o 描述一副圖像并不需用一個(gè)個(gè)像素分布表示出來(lái)描述一副圖像并不需用一個(gè)個(gè)像素分布表示出來(lái)o 而是通過(guò)一系列的不同而是通過(guò)一系列的不同“空間頻率空間頻率”的的cosinescosines函函數(shù)來(lái)表述圖像數(shù)來(lái)表述圖像2D FT2D FT的物理意義的物理意義相位與振幅，相位與振幅， 誰(shuí)更重要誰(shuí)更重要3838( , )( , )exp2 () d dG u vg x yjuxvyx y( , )exp2 (),d)dg x yjG uxvyu vvu( , ) ( , )G u vF g x y1( ,)( ,gyGFuxv)(,()gGyuxv函數(shù)函數(shù)g(x,y)和他的傅立葉變換

17、構(gòu)成一個(gè)傅立葉變換和他的傅立葉變換構(gòu)成一個(gè)傅立葉變換對(duì)，表示為：對(duì)，表示為：函數(shù)函數(shù)g(x,y) 的傅立葉變換的傅立葉變換函數(shù)函數(shù)G(u,v)的逆傅立葉的逆傅立葉變換變換3939o 在電信號(hào)處理、通信中，一般是在電信號(hào)處理、通信中，一般是1D時(shí)間信號(hào)，經(jīng)常時(shí)間信號(hào)，經(jīng)常用到一維傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換。用到一維傅立葉級(jí)數(shù)和傅立葉變換。o 在光學(xué)中，多數(shù)情況下研究的對(duì)象是在光學(xué)中，多數(shù)情況下研究的對(duì)象是2D或或3D圖像處圖像處理或成像，一般是二維或三維空間分布（可表示為理或成像，一般是二維或三維空間分布（可表示為二維或三維空間函數(shù)）。二維或三維空間函數(shù)）。40401.3.2(2)1.3.2(2)傅

18、里葉變換的存在條件傅里葉變換的存在條件要保證函數(shù)存在二維傅里葉變換對(duì)，函數(shù)就應(yīng)該滿足要保證函數(shù)存在二維傅里葉變換對(duì)，函數(shù)就應(yīng)該滿足狄里赫利條狄里赫利條件件和和絕對(duì)可積條件絕對(duì)可積條件，這個(gè)條件是從純數(shù)學(xué)的角度來(lái)考慮的，是數(shù)，這個(gè)條件是從純數(shù)學(xué)的角度來(lái)考慮的，是數(shù)學(xué)理論研究的范疇，信息光學(xué)來(lái)說(shuō)，應(yīng)該從應(yīng)用的觀點(diǎn)來(lái)考慮：學(xué)理論研究的范疇，信息光學(xué)來(lái)說(shuō)，應(yīng)該從應(yīng)用的觀點(diǎn)來(lái)考慮：在應(yīng)用傅里葉變換的各個(gè)領(lǐng)域的大量事實(shí)表明，作為時(shí)間或空間在應(yīng)用傅里葉變換的各個(gè)領(lǐng)域的大量事實(shí)表明，作為時(shí)間或空間函數(shù)而實(shí)際存在的物理量，總具備保證其傅里葉變換存在的基本函數(shù)而實(shí)際存在的物理量，總具備保證其傅里葉變換存在的基本條

19、件。從應(yīng)用的角度看，可以認(rèn)為，傅里葉變換實(shí)際上總是存在條件。從應(yīng)用的角度看，可以認(rèn)為，傅里葉變換實(shí)際上總是存在的。的。在應(yīng)用問(wèn)題中，也會(huì)遇到一些理想化的函數(shù)，如常數(shù)函數(shù)、階躍在應(yīng)用問(wèn)題中，也會(huì)遇到一些理想化的函數(shù)，如常數(shù)函數(shù)、階躍函數(shù)等光學(xué)領(lǐng)域中常用的函數(shù)，但是他們不滿足保證其傅里葉變函數(shù)等光學(xué)領(lǐng)域中常用的函數(shù)，但是他們不滿足保證其傅里葉變換存在的充分條件；同時(shí)他們?cè)谖锢砩弦膊荒軌驀?yán)格實(shí)現(xiàn)，對(duì)這換存在的充分條件；同時(shí)他們?cè)谖锢砩弦膊荒軌驀?yán)格實(shí)現(xiàn)，對(duì)這類數(shù)學(xué)難以討論其經(jīng)典意義下的傅里葉變換。但是可以借助函數(shù)類數(shù)學(xué)難以討論其經(jīng)典意義下的傅里葉變換。但是可以借助函數(shù)序列極限概念得到這類函數(shù)的廣義傅里

20、葉變換。序列極限概念得到這類函數(shù)的廣義傅里葉變換。物理上所用到的函數(shù)總存在物理上所用到的函數(shù)總存在FTFT4141可分離變量的傅立葉變換可分離變量的傅立葉變換如果一個(gè)二維函數(shù)可以分離，那么他的傅立葉變換可如果一個(gè)二維函數(shù)可以分離，那么他的傅立葉變換可以表示成兩個(gè)一維傅立葉變換的乘積：以表示成兩個(gè)一維傅立葉變換的乘積：如果如果那么那么( , )( ) ( )g x yj x h y ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )F g x yF j x h yF j xF h x42421.3.3 1.3.3 廣義傅里葉變換廣義傅里葉變換1.1. 如果只考慮經(jīng)典意義的如果只考慮經(jīng)典意義的Fourie

21、rFourier變換，那么對(duì)一些變換，那么對(duì)一些很有用的函數(shù)，都無(wú)法確定其很有用的函數(shù)，都無(wú)法確定其FourierFourier變換，這給變換，這給FourierFourier變換帶來(lái)了很大的局限性。變換帶來(lái)了很大的局限性。2.2. FourierFourier變換能獲得廣泛的應(yīng)用，很大程度上與引變換能獲得廣泛的應(yīng)用，很大程度上與引入廣義傅里葉變換有關(guān)。所謂入廣義傅里葉變換有關(guān)。所謂廣義傅里葉變換廣義傅里葉變換是是指指極限意義下極限意義下的傅里葉變換和脈沖函數(shù)的傅里葉變換和脈沖函數(shù)( (函數(shù)函數(shù)) )的傅里葉變換。的傅里葉變換。3.3. 若函數(shù)可看作是某個(gè)可變換函數(shù)組成的序列極限，若函數(shù)可看作

22、是某個(gè)可變換函數(shù)組成的序列極限，對(duì)序列中每個(gè)函數(shù)進(jìn)行變換，組成一個(gè)新的可變對(duì)序列中每個(gè)函數(shù)進(jìn)行變換，組成一個(gè)新的可變函數(shù)序列，則這個(gè)新序列的極限是原函數(shù)的廣義函數(shù)序列，則這個(gè)新序列的極限是原函數(shù)的廣義變換。變換。43431.3.3(1)1.3.3(1)極限意義下的傅里葉變換和脈沖的極限意義下的傅里葉變換和脈沖的FTFT1 1 極限意義下的傅立葉變換極限意義下的傅立葉變換 函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)沒有經(jīng)典意義下的傅立葉變換，但是沒有經(jīng)典意義下的傅立葉變換，但是f f( (x x) )和一個(gè)函數(shù)序列和一個(gè)函數(shù)序列g(shù) gn n( (x x) )具有如下關(guān)系：具有如下關(guān)系：( )lim( )nnf x

23、gx( )( )nnG uF gx并且：則定義： ( )lim( )nnF f xG u4444例子：例子：考察函數(shù)考察函數(shù)sgn(sgn(x x) )的傅里葉變換：的傅里葉變換：該函數(shù)不滿足經(jīng)典傅里葉變換條件！該函數(shù)不滿足經(jīng)典傅里葉變換條件！sgn( )lim( )nnxfx 10sgn0010 xxxx/0( )000 x nnx nexfxxex454546460/0exp(2)dexp(2)( )( )dx nx nnnejxFF fxxejxx0(1/2)(1/2)0ddnjxnjxexex0(1/2)(1/2)011(1/2)(1/2)njxnjxeenjnj2241(2)jn47

24、47SgnSgn的傅立葉變換就是上式的極限，即：的傅立葉變換就是上式的極限，即：22/,04sgn( )lim( )lim10,0(2)nnnjjFxFn 48482. 2. 脈沖函數(shù)的傅里葉變換脈沖函數(shù)的傅里葉變換?)(xF函數(shù)的頻譜在整個(gè)頻域內(nèi)均勻函數(shù)的頻譜在整個(gè)頻域內(nèi)均勻 ( )( )exp(2)dexp(20)1Fxxjxxj根據(jù)傅立葉變換的定義：根據(jù)傅立葉變換的定義： ( )1Fx4949利用極限的形式來(lái)求脈沖函數(shù)的廣義利用極限的形式來(lái)求脈沖函數(shù)的廣義FTFT已知：已知：( )lim rect()nxnnx ( )lim rect()nFxFnnxlim rect()nF nnxli

25、msinc( / )1nu n ( )1Fx5050常數(shù)常數(shù)1 1的傅里葉逆變換？的傅里葉逆變換？( , )1G u v 1 ( , )?FG u v( , )limrect( / )rect( / )G u vuv/21/2rect( / )exp( 2)dsinc()Fujuxux112 ( , )limrect( / )rect( / )lim sinc()sinc()FG u vFuvxy11( , )Fx y5151另外，根據(jù)另外，根據(jù)(x)函數(shù)的廣義定義函數(shù)的廣義定義, 只要證明只要證明FT-11，在積分中的作用相當(dāng)于，在積分中的作用相當(dāng)于(x)函數(shù)函數(shù)即可。即可。證明：證明： 設(shè)

26、有一個(gè)函數(shù)設(shè)有一個(gè)函數(shù)f(x), 它在它在x=0處連續(xù)處連續(xù), 并且其并且其FT存在存在,即有：即有：F(u) = F f(x),11 ( ) 1 exp( 2)d ( )dFf x dxjuxu f xx ( )exp( 2)d df xjuxxu ()( )Fu duF u du( )exp20(0)F ujuduf525211 ( )(0)Ff x dxf( ) ( )(0)x f x dxf即：即：又因?yàn)椋河忠驗(yàn)椋核杂兴杂幸簿褪钦f(shuō)：也就是說(shuō)：11( )Fx1( ) x( )1x11( ) ( )1FxFx5353利用逆傅立葉變換的定義就可以證明利用逆傅立葉變換的定義就可以證明習(xí)題：

27、證明習(xí)題：證明1 ( )( )exp 2dexp 201Fxxjuxxju1( )Fx00 ()exp(2)Fxxjux5454555556565. 5. 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的FTFT0000001cos2 ()()2sin2 ()()2Fu xuuuuiFu xuuuu 57571.5 FT1.5 FT的基本性質(zhì)和有關(guān)定理的基本性質(zhì)和有關(guān)定理本節(jié)給出一些重要的本節(jié)給出一些重要的FTFT性質(zhì)，間或加以推導(dǎo)性質(zhì)，間或加以推導(dǎo)利用這些性質(zhì)，只要知道不多的幾個(gè)函數(shù)的利用這些性質(zhì)，只要知道不多的幾個(gè)函數(shù)的FTFT，就很，就很容易求出其他函數(shù)的容易求出其他函數(shù)的FTFT，起到化難為簡(jiǎn)

28、的作用，起到化難為簡(jiǎn)的作用這些性質(zhì)和定理在線性系統(tǒng)分析，信號(hào)處理，圖像處這些性質(zhì)和定理在線性系統(tǒng)分析，信號(hào)處理，圖像處理等領(lǐng)域經(jīng)常使用。理等領(lǐng)域經(jīng)常使用。58581.5.1 FT1.5.1 FT的基本性質(zhì)的基本性質(zhì)1.1. 線性性質(zhì)線性性質(zhì) 設(shè)設(shè) 有有a.a.和的和的FTFT等于等于FTFT的和的和疊加性疊加性b.b.幅值按同樣的比例縮放幅值按同樣的比例縮放均勻性均勻性c.c.同時(shí)具有同時(shí)具有疊加性疊加性和和均勻性均勻性線性性質(zhì)性線性性質(zhì)性( , ) ( , ),( , ) ( , )F u vF f x yG u vF g x ya a, ,b b為常數(shù)為常數(shù)( , )( , )( , )(

29、 , )F af x ybg x yaF u vbG u v59592 2對(duì)稱性對(duì)稱性 若若 則則證明：證明：( , ) ( , )F u vf x y F ( , )(,)F x yfuvF ( , )( , )exp2 ()d d( , )exp 2 ()() )d d(,)F x yF x yjuxvyx yF x yju xv yx yfuv F6060對(duì)稱性的一些其他情形對(duì)稱性的一些其他情形若若f(x,y) 為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則F(u,v) 也是偶函數(shù)，也是偶函數(shù)， 即即: 若若f(-x,-y) = f(x,y), 則則F(-u,-v) = F(u,v)。若若f(x,y) 為奇函

30、數(shù)，則為奇函數(shù)，則F(u,v) 也是奇函數(shù)，也是奇函數(shù)， 即：若即：若f(-x,-y) = -f(x,y), 則則F(-u,-v) = -F(u,v)。(,)(,)( , )(,)(,)(,)(,)( , )fxyFuvF u vfxyfxyFuvFuvf x y 61613 3迭次迭次FTFT 以連續(xù)兩次以連續(xù)兩次FTFT為例，二元函數(shù)為例，二元函數(shù)f(x,y)f(x,y)的連續(xù)兩的連續(xù)兩次次FTFT變換，得到原函數(shù)的倒立像，即：變換，得到原函數(shù)的倒立像，即： ( , )(,)F F f x yfxy( , )exp2 ()d d exp2 ()d d( , )exp2 ( ()()d d

31、( , ) (,)(,)( , )f x yjuxvyx yjuxvyu vf x y dxdyju xxv yyu vf x yxx yy dxdyfxyf x y 62624、FT的坐標(biāo)縮放性質(zhì)的坐標(biāo)縮放性質(zhì) 若若a,b為不等于零的實(shí)常數(shù)，若為不等于零的實(shí)常數(shù)，若F(u,v)=Ff(x,y),則則有：有：證明：略證明：略光學(xué)上，空域中空間坐標(biāo)的放大或縮小，導(dǎo)致空間頻光學(xué)上，空域中空間坐標(biāo)的放大或縮小，導(dǎo)致空間頻域中的空間頻譜坐標(biāo)縮小或放大。域中的空間頻譜坐標(biāo)縮小或放大。 如：如：孔徑夫瑯和費(fèi)衍射?？讖椒颥樅唾M(fèi)衍射。1 (,)(, )|u vF f ax byFaba b63635、FT的平

32、移性的平移性 若若Ff(x,y)=F(u,v),且且x0,y0為常數(shù)，則有為常數(shù)，則有證明：證明：空域中的平移造成頻域中頻譜的相移。光場(chǎng)復(fù)振幅不空域中的平移造成頻域中頻譜的相移。光場(chǎng)復(fù)振幅不具有平移不變性。但強(qiáng)度具有平移不變性。具有平移不變性。但強(qiáng)度具有平移不變性。0000 (,)exp2 () ( , )f xxyyjuxvyF u vF6464FT的體積對(duì)應(yīng)關(guān)系的體積對(duì)應(yīng)關(guān)系假設(shè)，假設(shè)，F(xiàn)f(x,y)=F(u,v)，則有，則有(0,0)( , )(0,0)( , )Ff x y dxdyfF u v dudv65657復(fù)共軛函數(shù)的復(fù)共軛函數(shù)的FT若若Ff(x,y)=F(u,v)，則有：，則

33、有：如果如果f(x,y)為實(shí)數(shù)，則有：為實(shí)數(shù)，則有：證明：證明：*( , )(,)(,)( , )F fx yFuvF fxyF u v*( , )(,)F u vFuv*( , ) ( , )( , )(,)F fx yF f x yF fx yFuv661.5.2 FT的基本定理的基本定理1.卷積定理卷積定理(Convolution Theorem)2.相關(guān)定理相關(guān)定理(Correlation Theorem)3. 巴塞伐定理巴塞伐定理(Parsevals Theorem)4. 廣義巴塞伐定理廣義巴塞伐定理(Generalized Parsevals Theorem)5. 導(dǎo)數(shù)定理導(dǎo)數(shù)定理

34、(Derivative Theorem)67671.卷積定理卷積定理 (convolution theorem)設(shè)設(shè)Ff(x,y)=F(u,v), Fg(x,y)=G(u,v)，則有，則有 即兩個(gè)函數(shù)卷積的即兩個(gè)函數(shù)卷積的FT等于它們的等于它們的FT之積。之積。 兩個(gè)函數(shù)乘積的兩個(gè)函數(shù)乘積的FT等于它們的等于它們的FT的卷積。的卷積。 若若f(x,y)和和g(x,y)表示兩幅圖像表示兩幅圖像, 卷積定理即表示卷積定理即表示: 兩圖像卷積的頻譜等于兩圖像頻譜之積；兩圖像乘積兩圖像卷積的頻譜等于兩圖像頻譜之積；兩圖像乘積的頻譜等于兩圖像頻譜之卷積。的頻譜等于兩圖像頻譜之卷積。 ( , )* ( ,

35、 )( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , )*( , )F f x yg x yF u v G u vF f x y g x yF u vG u v6868證明：證明： ( )* ( )( ) ()exp(2)d( )()exp(2)d( ) ( )exp(2)( )( )exp(2)( ) ( )F f xg xfg xdjuxxfg xjuxx dfG ujudG ufjudG u F u ( , ) ( , )( , )*( , )F f x y g x yF u vG u v同樣可證：同樣可證：6969卷積定理在卷積定理在FTFT理論及應(yīng)用中非常重要：理論及應(yīng)用中非常重

36、要：對(duì)于一個(gè)復(fù)雜函數(shù)，其對(duì)于一個(gè)復(fù)雜函數(shù)，其FTFT難求，若它可表示成幾難求，若它可表示成幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的卷積，而這些簡(jiǎn)單函數(shù)的個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的卷積，而這些簡(jiǎn)單函數(shù)的FTFT易求，則可易求，則可用卷積定理。用卷積定理。如：如：當(dāng)兩個(gè)函數(shù)或圖像的卷積難求時(shí)，可先求得各自當(dāng)兩個(gè)函數(shù)或圖像的卷積難求時(shí)，可先求得各自的的FTFT，乘積后，再求，乘積后，再求IFTIFT，即可得兩者之卷積。，即可得兩者之卷積。2 ( )?( )rect( )*rect( ) ( )rect( )*rect( )( ) ( )sinc( )sinc( )sinc ( )FxxxxFxFxxF rect xF rect xuuu7

37、0701sinc( )*sinc( )?sinc( )*sinc( )sinc( ) sinc( )rect( )rect( )rect( )sinc( )*sinc( )rect( )sinc( )xxFxxFxFxuuuxxFux又比如：又比如：數(shù)字圖像處理或數(shù)字信號(hào)處理中有數(shù)字圖像處理或數(shù)字信號(hào)處理中有FFTFFT與與FIFTFIFT算法和算法和程序；程序；光學(xué)上可用光學(xué)上可用FTFT透鏡實(shí)現(xiàn)透鏡實(shí)現(xiàn)FTFT和和IFTIFT功能。功能。71712. 2. 相關(guān)定理相關(guān)定理(1)(1)互相關(guān)定理互相關(guān)定理若：若： F F f f( (x x, ,y y)=)=F F( (u u, ,v v

38、), ), F F g g( (x x, ,y y)=)=G G( (u u, ,v v) )則有：則有： 通常把通常把F F* *( (u u, ,v v) )G G( (u u, ,v v) ) 稱為稱為f f( (x x, ,y y) )和和g g( (x x, ,y y) )的互的互譜能量密度譜能量密度, , 簡(jiǎn)稱為互譜密度。簡(jiǎn)稱為互譜密度。 互相關(guān)定理表明：兩個(gè)函數(shù)的互相關(guān)與其互譜密互相關(guān)定理表明：兩個(gè)函數(shù)的互相關(guān)與其互譜密度構(gòu)成傅里葉變換對(duì)。度構(gòu)成傅里葉變換對(duì)。* ( , )( , )( , ) ( , )F f x yg x yF u v G u v7272證明：證明：because:( )( )()( )and then ( )( )()( )() ( )( ) ( )f xg xfxg yF f xg xF fxg yF fxF g yFu G u7373(2)(2)自相關(guān)定理自相關(guān)定理設(shè)設(shè)F F f f( (x x, ,y y)=)=F F( (u u, ,v v) )，則有，則有| |F F( (u u, ,v v)|)|2 2 稱為的稱為的f f( (x x, ,y y)