信號(hào)與系統(tǒng)教案第4章XW

1、第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析n 時(shí)域分析時(shí)域分析，以以沖激函數(shù)沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；而號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；而yzs(t) = h(t)*f(t)。n 頻域分析頻域分析將以將以正弦信號(hào)正弦信號(hào)和和虛指數(shù)信號(hào)虛指數(shù)信號(hào)ejt為基本為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列不同頻率不同頻率的正的正弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。弦信號(hào)或虛指數(shù)信號(hào)之和。 n 用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是用于系統(tǒng)分析的獨(dú)立變量是頻率頻率，故稱，故稱頻域分析頻域分析。 為何要引入信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析為何要引入信號(hào)與系統(tǒng)的頻

2、域分析? ? 信號(hào)頻域分析的理論基礎(chǔ)是將信號(hào)頻域分析的理論基礎(chǔ)是將信號(hào)表示為正弦信號(hào)表示為正弦類（虛指數(shù)）信號(hào)類（虛指數(shù)）信號(hào)，其提供了一種全新的信號(hào)分析，其提供了一種全新的信號(hào)分析與處理的視角，具有諸多的優(yōu)越性。與處理的視角，具有諸多的優(yōu)越性。第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析H()ejwtY()jwjwX(jw)ejwt()jwHY()=H()X()jwjwjw為何要引入信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析為何要引入信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析? ?原信號(hào)的時(shí)域波形原信號(hào)的時(shí)域波形原信號(hào)的頻譜原信號(hào)的頻譜第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析為何要引入信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析為何要引入信號(hào)

3、與系統(tǒng)的頻域分析? ?含噪信號(hào)的時(shí)域波形含噪信號(hào)的時(shí)域波形含噪信號(hào)的頻譜含噪信號(hào)的頻譜第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析濾波后信號(hào)的頻譜濾波后信號(hào)的波形濾波器的幅度響應(yīng)第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析時(shí)間/秒男生信號(hào)時(shí)域波形男生信號(hào)時(shí)域波形時(shí)間/秒女生信號(hào)時(shí)域波形女生信號(hào)時(shí)域波形第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析為何要引入信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析為何要引入信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析? ?頻率/Hz男生信號(hào)幅度頻譜男生信號(hào)幅度頻譜頻率/Hz女生信號(hào)幅度頻譜女生信號(hào)幅度頻譜第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析標(biāo)準(zhǔn)圖像標(biāo)準(zhǔn)圖像LenaLena為何

4、要引入信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析為何要引入信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析?幅度不變相位置零所恢復(fù)的圖象幅度不變相位置零所恢復(fù)的圖象 幅度為常數(shù)相位不變所恢復(fù)的圖象幅度為常數(shù)相位不變所恢復(fù)的圖象 為何要引入信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析為何要引入信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析?4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)4.6 4.6 能量譜和功率譜能量譜和功率譜4.7 4.7 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換4.8 LTI4.8 LTI系統(tǒng)

5、的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析4.9 4.9 取樣定理取樣定理第四章第四章 連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)一、矢量正交與正交分解一、矢量正交與正交分解p 矢量正交：矢量正交：矢量矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)與與Vy = ( vy1, vy2, vy3) 其內(nèi)積為其內(nèi)積為0。即。即031iyixiTyxvvVVp 由兩兩正交的矢量組成的矢量集合由兩兩正交的矢量組成的矢量集合-稱為稱為正交矢量集。正交矢量集。如如vx=(2，0，0)、vy=(0，2，0)、vz=(0，0，2)是一個(gè)是一個(gè)正交矢量集正交矢量集。如對(duì)于一個(gè)三維空間的

6、矢量如對(duì)于一個(gè)三維空間的矢量A ，可以用一個(gè)三維正交矢量集，可以用一個(gè)三維正交矢量集 vx，vy，vz分量的線性組合表示。即分量的線性組合表示。即 A= C1vx+ C2 vy+ C3 vz p 矢量空間正交分解的概念可推廣到矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)空間信號(hào)空間，在信號(hào)空間找到，在信號(hào)空間找到若干個(gè)若干個(gè)相互正交的信號(hào)相互正交的信號(hào)作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)作為基本信號(hào)，使得信號(hào)空間中任意信號(hào)均可表示成它們的線性組合。均可表示成它們的線性組合。 二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集二、信號(hào)正交與正交函數(shù)集u 定義定義 定義在定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù)區(qū)間的兩個(gè)函數(shù) 1(t)和和

7、 2(t),若滿足若滿足 210d)()(21ttttt(兩函數(shù)的內(nèi)積為兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱則稱 1(t)和和 2(t) 在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)內(nèi)正交正交。 u 正交函數(shù)集正交函數(shù)集 若若n個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集構(gòu)成一個(gè)函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足內(nèi)滿足 21, 0, 0d)()(ttijijiKjittt則稱此函數(shù)集為在區(qū)間則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1，t2)的的正交函數(shù)集正交函數(shù)集。 4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)u 完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集 如果在正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集 1(t)，

8、 2(t)， n(t)之外之外，不存在函數(shù)，不存在函數(shù)(t)(0）滿足）滿足 則稱此函數(shù)集為則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集。例如例如：三角函數(shù)集三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和和虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，是兩組典型的是兩組典型的在區(qū)間在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函數(shù)集。上的完備正交函數(shù)集。210d)()(ttittt( i =1，2，n)4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)三、信號(hào)分解為正交函數(shù)三、信號(hào)分解為正交函數(shù)p設(shè)有設(shè)有n個(gè)函數(shù)個(gè)函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間在區(qū)間(t1，

9、t2)構(gòu)成構(gòu)成一一 個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)個(gè)正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這用這n個(gè)正交函數(shù)的線性個(gè)正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為組合來近似，可表示為 f(t)C11+ C22+ Cnn p如何選擇各系數(shù)如何選擇各系數(shù)Cj使使f(t)與近似函數(shù)之間與近似函數(shù)之間均方誤差均方誤差在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小？?jī)?nèi)為最?。縯tCtfttttnjjjd )()(121211224.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù) 1njjjCtp結(jié)論：結(jié)論：n越大，均方誤差越小。越大，均方誤差越小。p當(dāng)當(dāng)n時(shí)（為時(shí)（為完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集），均方誤差為零，因此），均方誤差為零

10、，因此12221d)(jjjttKCttfp上式為上式為帕斯瓦爾方程帕斯瓦爾方程，表明：表明：在區(qū)間在區(qū)間(t1,t2) f(t)所含能量恒等所含能量恒等于于f(t)在在完備正交函數(shù)集中完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。分解的各正交分量能量的總和。 1)()(jjjtCtfp函數(shù)函數(shù)f(t)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和（完備）（完備）f(t)C11+ C22+ Cnn 4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)2212112( ) ( )d1( ) ( )d( )dtittiittiitf tttCf tttKtt（其中，） 1njjjCtp周期

11、信號(hào)周期信號(hào)f(t)在區(qū)間在區(qū)間 (t0, t0+T)可以展開成可以展開成在在完備正交完備正交信號(hào)空間中的無窮級(jí)數(shù)。信號(hào)空間中的無窮級(jí)數(shù)。 三角函數(shù)集三角函數(shù)集三角型傅里葉級(jí)數(shù)三角型傅里葉級(jí)數(shù) 指數(shù)函數(shù)集指數(shù)函數(shù)集指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)1)()(jjjtCtf三角函數(shù)集三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，4.1 4.1 信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)分解為正交函數(shù)4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)（周期信號(hào)（周期信號(hào)）一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式一、傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式設(shè)周期信號(hào)設(shè)周期信號(hào)f(t)，其周期為，其周期為T，

12、角頻率，角頻率=2/T，當(dāng)滿，當(dāng)滿足狄里赫利足狄里赫利(Dirichlet)條件時(shí)條件時(shí)，它可分解為如下三角它可分解為如下三角級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 稱為稱為f(t)的的三角形三角形傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf系數(shù)系數(shù)an , bn稱為稱為傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù) 可見，可見， an 是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， bn是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。n1時(shí)為基波分量，時(shí)為基波分量，n1時(shí)為高次諧波分量時(shí)為高次諧波分量直流分量直流分量22d)cos()(2TTnttntfTan=0,1,2,22d)sin()(2TTnttntfTbn=1,2,10)cos(2)(nnn

13、tnAAtf式中，式中，A0 = a022nnnbaAnnnabarctan上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。上式表明，周期信號(hào)可分解為直流和許多余弦分量。即周期信號(hào)可分解為各次諧波分量。即周期信號(hào)可分解為各次諧波分量?？梢?，可見，An是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， n是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2,將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為將上式同頻率項(xiàng)合并，可寫為n1時(shí)為基波分量，時(shí)為基波分量，n1時(shí)為高次諧波分量時(shí)為高次諧波分量直流分量直流分量4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)例：將圖中所示方波信號(hào)例：將圖中所示方波信號(hào)f(t)展開為

14、傅里葉級(jí)數(shù)。展開為傅里葉級(jí)數(shù)。解：解：dttntfTaTTn22)cos()(2dttnTdttnTTT)cos() 1 (2)cos() 1(2200202)sin(1220)sin(12TtnnTTtnnT因?yàn)橐驗(yàn)?，所以，所以 。T20na4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)011( )cos()2sin()nnnnaf tan tbn tdttntfTbTTn22)sin()(2dttnTdttnTTT)sin(2)sin(2200202)cos(1220)cos(12TtnnTTtnnT)cos(1 2nn, 5 , 3 , 1,4, 6 , 4 , 2, 0nnn,)sin(1)5

15、sin(51)3sin(31)sin(4)(tnnttttf, 5 , 3 , 1n4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)只含一、三、五、只含一、三、五、奇次諧波分量奇次諧波分量方波的組成方波的組成4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)23n=1n=3n=10n=50n=100n=900方波的組成方波的組成吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)9 %偏差偏差Gibbs現(xiàn)象現(xiàn)象24方波的組成方波的組成4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)25吉伯斯現(xiàn)象吉伯斯現(xiàn)象p 用有限次諧波分量來近似原信號(hào)，用有限次諧波分量來近似原信號(hào)，在不連續(xù)點(diǎn)在不連續(xù)點(diǎn) 出現(xiàn)過沖出現(xiàn)過沖， 過沖峰值不隨諧波分

16、量增加而減少，過沖峰值不隨諧波分量增加而減少， 且且為跳變值的為跳變值的9% 。p 當(dāng)從某信號(hào)的傅里葉變換恢復(fù)或逼近原信號(hào)時(shí)，若原信號(hào)當(dāng)從某信號(hào)的傅里葉變換恢復(fù)或逼近原信號(hào)時(shí)，若原信號(hào) 包含間斷點(diǎn)，則包含間斷點(diǎn)，則在各間斷點(diǎn)處其恢信號(hào)將出現(xiàn)過沖現(xiàn)象在各間斷點(diǎn)處其恢信號(hào)將出現(xiàn)過沖現(xiàn)象。吉伯斯現(xiàn)象產(chǎn)生原因吉伯斯現(xiàn)象產(chǎn)生原因p信號(hào)通過某系統(tǒng)時(shí)，若此信號(hào)是不連續(xù)時(shí)間函數(shù)，則存在信號(hào)通過某系統(tǒng)時(shí)，若此信號(hào)是不連續(xù)時(shí)間函數(shù)，則存在 物理系統(tǒng)物理系統(tǒng)對(duì)信號(hào)的高頻分量的衰減作用對(duì)信號(hào)的高頻分量的衰減作用。4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)26二、奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)二、奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)p f(t)為

17、偶函數(shù)為偶函數(shù)對(duì)稱縱坐標(biāo)對(duì)稱縱坐標(biāo)22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn =0，展開為余弦級(jí)數(shù)。，展開為余弦級(jí)數(shù)。p f(t)為奇函數(shù)為奇函數(shù)對(duì)稱于原點(diǎn)對(duì)稱于原點(diǎn)an =0，展開為正弦級(jí)數(shù)。，展開為正弦級(jí)數(shù)。20d)cos()(4TnttntfTa20d)sin()(4TnttntfTbp f(t)為奇諧函數(shù)為奇諧函數(shù)f(t) = f(tT/2)f(t)t0TT/2其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波分量其傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分量即，而不含偶次諧波分量即 a0=a2=b2=b4=0 4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)1)()(0

18、ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA10)cos(2)(nnntnAAtf上式中第三項(xiàng)的上式中第三項(xiàng)的n用用n代換，代換，A n=An， n= n，則上式寫為則上式寫為 110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA令令A(yù)0=A0ej0ej0t ，0=0 ntjnjnnAtfee21)(所以所以三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式三、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式歐拉方程：歐拉方程：cossinjxexjx4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)令復(fù)數(shù)令復(fù)數(shù)njnjnFFAnnee21稱其為稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)復(fù)傅里葉系數(shù)，簡(jiǎn)稱傅里葉系數(shù)。，簡(jiǎn)稱傅里葉系數(shù)

19、。 )(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1TTtjnTTTTttfTttntfTjttntfTntjnnFtfe)( n = 0, 1, 2， 22de)(1TTtjnnttfTF表明：表明：任意周期信號(hào)任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。和。 F0 = A0/2為直流分量。為直流分量。4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)ntjnjnnAtfee21)( 00111cossincos22nnnnnnnaAf tan tbn tAn t jn tnnf

20、 tF e22nnnAabarctannnnba 222cosTTnaf tn t dtT 222sinTTnbf tn t dtT 221Tjn tTnFf t edtT4.2 4.2 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)小結(jié)傅里葉級(jí)數(shù)小結(jié)4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜一、周期信號(hào)的頻譜一、周期信號(hào)的頻譜 p 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系。率的變化關(guān)系。p 將將An和和 n的關(guān)系分別畫在以的關(guān)系分別畫在以為橫軸的平面上得到的為橫軸的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為兩個(gè)圖，分別稱為幅度頻譜圖幅度頻譜圖和和相

21、位頻譜圖相位頻譜圖。因?yàn)椤Ｒ驗(yàn)閚0，所以，所以稱這種頻譜為稱這種頻譜為單邊譜單邊譜。p 畫畫|Fn|和和 n的關(guān)系，稱為的關(guān)系，稱為雙邊譜雙邊譜。若若Fn為實(shí)數(shù)，也可為實(shí)數(shù)，也可直接畫直接畫Fn 。10)cos(2)(nnntnAAtfntjnnFtfe)( 01cos2nnnAf tAn t jn tnnf tF e幅幅度度譜譜相相位位譜譜周期信號(hào)頻周期信號(hào)頻譜是譜是離散譜離散譜4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜單邊幅度譜單邊幅度譜雙邊幅度譜雙邊幅度譜單邊相位譜單邊相位譜雙邊相位譜雙邊相位譜例例譜線譜線 周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)：周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)：n離散性離散性：譜線是離散的而不是連續(xù)

22、的。：譜線是離散的而不是連續(xù)的。n諧波性諧波性：譜線在頻率軸上的位置是基頻的整數(shù)倍。：譜線在頻率軸上的位置是基頻的整數(shù)倍。n收斂性收斂性：譜線的趨勢(shì)是隨著諧波次數(shù)的增高而逐漸減小的：譜線的趨勢(shì)是隨著諧波次數(shù)的增高而逐漸減小的。偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜( )()F nFn( )()nn 例：如圖所示為周期信號(hào)的振幅頻譜和相位頻譜，寫出其例：如圖所示為周期信號(hào)的振幅頻譜和相位頻譜，寫出其傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)展開式。傅里葉級(jí)數(shù)三角函數(shù)展開式。010F 33111010jjFeFe333355jjFeFe 111020cos10cos 333f tttww4.

23、3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜 jn tnnf tF e 01cos2nnnAf tAn t 二、周期矩形脈沖的頻譜二、周期矩形脈沖的頻譜有一幅度為有一幅度為1，脈沖寬度為，脈沖寬度為的周的周期矩形脈沖，其周期為期矩形脈沖，其周期為T，如圖所，如圖所示。求頻譜。示。求頻譜。 f(t)t0T-T122tTttfTFtjnTTtjnnde1de)(1222222sinnnT令令Sa(x)=sin(x)/x (取樣函數(shù)）取樣函數(shù)） nnTjnTtjn)2sin(2e122n = 0 ,1，2， 4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜)()2(TnSaTnSaTFn, n = 0 ,1

24、，2， Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫成一個(gè)頻譜圖為實(shí)數(shù)，可直接畫成一個(gè)頻譜圖。設(shè)設(shè)T = 4畫圖。畫圖。零點(diǎn)為零點(diǎn)為mn2所以所以mn2，m為整數(shù)。為整數(shù)。4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜v周期信號(hào)的頻譜離散周期信號(hào)的頻譜離散v相鄰譜線的間隔為相鄰譜線的間隔為v脈沖周期脈沖周期T越長(zhǎng)，譜線間隔越小，頻譜越密越長(zhǎng)，譜線間隔越小，頻譜越密v具有收斂性，總趨勢(shì)減小。具有收斂性，總趨勢(shì)減小。T24.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜n在滿足一定失真條件下，信號(hào)可以用某段頻率范圍的在滿足一定失真條件下，信號(hào)可以用某段頻率范圍的信號(hào)信號(hào)來表示，此頻率范圍稱為來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度頻帶寬度

25、。n把第一個(gè)零點(diǎn)作為周期矩形脈沖信號(hào)的頻帶寬度。記為：把第一個(gè)零點(diǎn)作為周期矩形脈沖信號(hào)的頻帶寬度。記為： 384.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜頻帶寬度頻帶寬度1Fn 物理意義：物理意義：若信號(hào)丟失有效帶寬以外的諧波成分，不會(huì)對(duì)若信號(hào)丟失有效帶寬以外的諧波成分，不會(huì)對(duì)信號(hào)產(chǎn)生明顯影響。信號(hào)產(chǎn)生明顯影響。1F，周期矩形脈沖信號(hào)的帶寬與其脈沖寬度成反比。，周期矩形脈沖信號(hào)的帶寬與其脈沖寬度成反比。39三、周期信號(hào)的功率三、周期信號(hào)的功率Parseval恒等式恒等式22210222)cos(21)(1TTnnnTTdttnAATdttfTP周期信號(hào)的功率等于周期信號(hào)的功率等于直流直流功率功

26、率和和n次諧波分量在次諧波分量在1電阻上消耗的功率之和。電阻上消耗的功率之和。 |Fn| = An/2周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為nnnnTTFFFdttfTP21220222|2)(1122021)2(nnAA4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜而總功率而總功率二者比值二者比值222222345FFFFF 0.1806 2222221002345PFFFFFF22201( )d|TnnnPfttFF nT12011( )d0.2TfttT1090.3%PP120.2s,1s 5 Tn 以為例，取前次諧波()4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期

27、信號(hào)的頻譜n在滿足一定失真條件下，信號(hào)可以用某段頻率范在滿足一定失真條件下，信號(hào)可以用某段頻率范圍的圍的信號(hào)來表示，此頻率范圍稱為信號(hào)來表示，此頻率范圍稱為頻帶寬度頻帶寬度。n一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為信號(hào)的頻帶寬度。記為：一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為信號(hào)的頻帶寬度。記為： ，帶寬與脈寬成反比。，帶寬與脈寬成反比?；蚧?w w12 fBBn 物理意義：物理意義：若信號(hào)丟失有效帶寬以外的諧波成分若信號(hào)丟失有效帶寬以外的諧波成分，不會(huì)對(duì)信號(hào)產(chǎn)生明顯影響。，不會(huì)對(duì)信號(hào)產(chǎn)生明顯影響。414.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜424.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜1.1.（譜線間隔）不變（譜線間隔）不

28、變;2.信號(hào)帶寬增大，頻帶內(nèi)所含譜線信號(hào)帶寬增大，頻帶內(nèi)所含譜線數(shù)目增多數(shù)目增多;3.各諧波分量的幅度減小。各諧波分量的幅度減小。譜譜線線的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)與與波波形形參參數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系周周期期相相同同，脈脈沖沖寬寬度度不不同同p 譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：n T一定，一定，變小，此時(shí)變小，此時(shí)（譜線間隔）不變。信號(hào)帶（譜線間隔）不變。信號(hào)帶寬增大，頻帶內(nèi)所含譜線數(shù)目增多。各諧波分量的幅度寬增大，頻帶內(nèi)所含譜線數(shù)目增多。各諧波分量的幅度減小。減小。4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜脈脈沖沖寬寬度度相相同同，周周期期不不同同4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的

29、頻譜1.T增大，間隔增大，間隔減小，頻譜變密。減小，頻譜變密。2.頻譜包絡(luò)線頻譜包絡(luò)線的零點(diǎn)所在位置不變。的零點(diǎn)所在位置不變。3.各諧波分量的幅度減小各諧波分量的幅度減小。譜譜線線的的結(jié)結(jié)構(gòu)構(gòu)與與波波形形參參數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系周期矩形的頻譜變化規(guī)律：周期矩形的頻譜變化規(guī)律： 若若T不變，在改變不變，在改變的情況的情況 若若不變，在改變不變，在改變T時(shí)的情況時(shí)的情況T4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜p 譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：譜線的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：n一定，一定，T增大，間隔增大，間隔減小，頻譜變密。頻譜包絡(luò)減小，頻譜變密。頻譜包絡(luò)線的零點(diǎn)所在位置不變。各諧波分量的幅度減小。線的零

30、點(diǎn)所在位置不變。各諧波分量的幅度減小。p 如果周期如果周期T無限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那無限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的么，譜線間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜離散頻譜就過渡就過渡到非周期信號(hào)的到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小。無窮小。 4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜本節(jié)小結(jié)本節(jié)小結(jié)（2）周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)）周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)（1）兩種頻譜圖及其關(guān)系）兩種頻譜圖及其關(guān)系4.3 4.3 周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜單邊頻譜單邊頻譜雙邊頻譜雙邊頻譜關(guān)系關(guān)系nnAww三角函數(shù)形式：，

31、wwnnF，指數(shù)函數(shù)形式：000021)(aAFnAnFn離散性、諧波性、收斂性離散性、諧波性、收斂性（3）引入負(fù)頻率）引入負(fù)頻率對(duì)于雙邊頻譜，負(fù)頻率對(duì)于雙邊頻譜，負(fù)頻率 ，只有數(shù)學(xué)意義，而無物理，只有數(shù)學(xué)意義，而無物理意義。為什么引入負(fù)頻率意義。為什么引入負(fù)頻率? ? )( n jjeennf t是實(shí)函數(shù)，分解成虛指數(shù)，必須有共軛對(duì)和。傅里葉變換的意義傅里葉變換的意義4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜p若周期若周期T無限增長(zhǎng)（成為非周期信號(hào)），譜線間隔將趨近無限增長(zhǎng)（成為非周期信號(hào)），譜線間隔將趨近于零，于零，周期信號(hào)的周期信號(hào)的離散頻譜離散頻譜就過渡到就過渡到非周期信號(hào)的非周

32、期信號(hào)的連續(xù)頻譜連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也。各頻率分量的幅度也趨近于無窮小趨近于無窮小。 f(t)t0T-T12249 T 1無窮小無窮小譜線間隔無限小譜線間隔無限小離散譜離散譜連續(xù)譜連續(xù)譜傅里葉變換的意義傅里葉變換的意義稱為稱為頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)TFjFnT lim)(w4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜 221Tjn tTnFf t edtT傅里葉變換的意義傅里葉變換的意義4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜稱為稱為頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)TFjFnT lim)(w 221Tjn tTnFf t edtT一、傅里葉變換一、傅里葉變換u為了描述非周期信號(hào)的頻

33、譜特性，引入頻譜密度的概為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概 念。令念。令 TFTFjFnTnTlim/1lim)(w(單位頻率上的頻譜）單位頻率上的頻譜） 稱稱F(j)為頻譜密度函數(shù)為頻譜密度函數(shù)。4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜 221Tjn tTnFf t edtT22de)(TTtjnnttfTFntjnnTTFtf1e)(考慮到：考慮到：T，無窮小，記為無窮小，記為d； n （由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而w2d21T同時(shí)，同時(shí)， 于是于是，ttfTFjFtjnTde)(lim)(wwwwwde)(21)(tjjFtf傅里葉變換式傅里葉變

34、換式“- -”傅里葉反變換式傅里葉反變換式F(j)稱為稱為f(t)的的傅里葉變換傅里葉變換或或頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱頻譜頻譜。f(t)稱為稱為F(j)的的傅里葉反變換傅里葉反變換或或原函數(shù)原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù) f tF wF F4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜wwwde)(21)(tjjFtfwwwwdejFtj)()(21wwwwwwwwdtjFjdtjF)(sin)(21)(cos)(21wwwwdtjF)(cos)(10上式表明上式表明,非周期信號(hào)可看作是由不同頻率的余弦非周期信號(hào)可看作是由不同頻率的余弦“分分量量”所組成，所組成，振幅為振幅

35、為 ，是無窮小量是無窮小量。所以所以頻譜用密度函數(shù)來表示。頻譜用密度函數(shù)來表示。dfjFdjF)(2)(www4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜F(j)頻譜密度函數(shù)的含義頻譜密度函數(shù)的含義u幅度譜幅度譜：信號(hào)中各頻率下的譜密度相對(duì)大小隨信號(hào)中各頻率下的譜密度相對(duì)大小隨 變化的關(guān)系。變化的關(guān)系。|F(j)|-曲線，曲線，幅度頻譜幅度頻譜是是偶函數(shù)。偶函數(shù)。u相位譜相位譜：信號(hào)中各頻率的相位隨信號(hào)中各頻率的相位隨變化的關(guān)系。變化的關(guān)系。F(j)-曲線，曲線，相位頻譜相位頻譜是是奇函數(shù)。奇函數(shù)。u幅度譜和相位譜統(tǒng)稱為信號(hào)的幅度譜和相位譜統(tǒng)稱為信號(hào)的頻譜頻譜。()()( )j F jF

36、j e=頻譜頻譜4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜傅里葉變換存在的充分條件傅里葉變換存在的充分條件信號(hào)存在傅里葉變換的信號(hào)存在傅里葉變換的充分條件充分條件 f t dt 非必要條件非必要條件如：?jiǎn)挝恢绷餍盘?hào)如：?jiǎn)挝恢绷餍盘?hào)0, 10, 00, 1)sgn(tttt10tsgn(t)-110t(t)4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜二、常用函數(shù)的傅里葉變換二、常用函數(shù)的傅里葉變換1. 單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)f(t) = e t(t)， 0實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)10tf(t)wwwwwjjtjFtjtjt1e1dee)(0)(02. 雙邊指數(shù)函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)f(t) = et ,

37、0 10tf(t)2200211deedee)(wwwwwwjjttjFtjttjt4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜3. 門函數(shù)門函數(shù)(矩形脈沖矩形脈沖)2, 02, 1)(tttg10tg(t)22wwwwwjtjFjjtj222/2/eede)()2Sa()2sin(2www4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜脈沖寬度越窄，頻帶寬度越寬。脈沖寬度越窄，頻帶寬度越寬。p 沖激信號(hào)頻譜特點(diǎn)沖激信號(hào)頻譜特點(diǎn)n時(shí)域中變化劇烈，幅頻為常數(shù)，即所有頻率分量的幅時(shí)域中變化劇烈，幅頻為常數(shù)，即所有頻率分量的幅度相等。度相等。n相頻為零，即不同頻率的相位相同。相頻為零，即不同頻率

38、的相位相同。n不同頻率的幅值相同且同相位，稱為均勻譜或不同頻率的幅值相同且同相位，稱為均勻譜或白色譜白色譜。4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜4. 沖激函數(shù)沖激函數(shù) (t)、 (t)1de)()(ttttjwwwwjttttttjtj0eddde)( )( nnjt)()()(wp 帶限帶限nm時(shí)傅里葉變換時(shí)傅里葉變換F()為零的信號(hào)為零的信號(hào)f (t) 稱為稱為帶限帶限nm稱為信號(hào)的稱為信號(hào)的帶寬帶寬p 時(shí)限時(shí)限n如果信號(hào)如果信號(hào)f (t)存在一個(gè)正實(shí)數(shù)存在一個(gè)正實(shí)數(shù)T，當(dāng)，當(dāng)| t | T時(shí)，時(shí)， f (t)=0，則稱該信號(hào)為，則稱該信號(hào)為時(shí)限時(shí)限p 帶限信號(hào)不能是時(shí)限的帶限

39、信號(hào)不能是時(shí)限的n帶限信號(hào)在時(shí)域上是無限連續(xù)時(shí)間的帶限信號(hào)在時(shí)域上是無限連續(xù)時(shí)間的p 時(shí)限信號(hào)必須是無限帶寬的時(shí)限信號(hào)必須是無限帶寬的帶限信號(hào)帶限信號(hào)4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜5. 單位直流信號(hào)的頻譜單位直流信號(hào)的頻譜有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積這一充分條件，如1，(t) 等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。等，但傅里葉變換卻存在。直接用定義式不好求解。 可構(gòu)造一函數(shù)序列可構(gòu)造一函數(shù)序列fn(t)逼近逼近f (t) ，即即而而fn(t)滿足絕對(duì)可積條件，并且滿足絕對(duì)可積條件，并且fn(t)的傅里葉變換所的傅里葉變換所形成的序列

40、形成的序列Fn(j)是極限收斂的。則可定義是極限收斂的。則可定義f(t)的傅的傅里葉變換里葉變換F (j)為為)(lim)(tftfnn)(lim)(wwjFjFnn這樣定義的傅里葉變換也稱為這樣定義的傅里葉變換也稱為廣義傅里葉變換廣義傅里葉變換。 4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜構(gòu)造構(gòu)造 f (t)=e- -t ， 0 222)(wwjF)(lim1)(0tftf所以所以0,0, 02lim)(lim)(2200wwwwwjFjF又又wwwww2arctan2lim12lim2lim020220dd因此，因此， 1212( () )所以有所以有:)(22lim220ww4.4

41、 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜te0F222wF01 2 w4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜5. 單位直流信號(hào)的頻譜單位直流信號(hào)的頻譜6. 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)0, 10, 00, 1)sgn(tttt10tsgn(t)-1wjt2)sgn(7. 階躍函數(shù)階躍函數(shù) (t)wwjtt1)()sgn(2121)(10t(t)4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜5. 單位直流信號(hào)的頻譜單位直流信號(hào)的頻譜F1 2 w歸納記憶：歸納記憶：1. F變換對(duì)變換對(duì)2. 常用函數(shù)常用函數(shù) F變換對(duì)：變換對(duì)：(t)(t) 1( )j wwe - - t (t) 1jwg(t)

42、2Sawsgn (t) 2jwe |t|222w 1 12()t域域域域tetfjFtjd)()(wwwejFtftjd)(21)(ww4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換的好處從傅立葉級(jí)數(shù)到傅立葉變換的好處u 級(jí)數(shù)只能分析周期信號(hào)的頻譜級(jí)數(shù)只能分析周期信號(hào)的頻譜, ,而而傅立葉變換對(duì)非傅立葉變換對(duì)非 周期和周期信號(hào)都可分析周期和周期信號(hào)都可分析, ,使兩者的頻譜分析統(tǒng)一。使兩者的頻譜分析統(tǒng)一。u 傅立葉變換可對(duì)傅立葉變換可對(duì)奇異函數(shù)奇異函數(shù)進(jìn)行頻譜分析，如進(jìn)行頻譜分析，如 (t)。u 傅立葉變換性質(zhì)傅立葉變換性質(zhì)的應(yīng)用構(gòu)成了當(dāng)代通信、信號(hào)處理的應(yīng)用構(gòu)成了當(dāng)

43、代通信、信號(hào)處理 技術(shù)的理論核心。技術(shù)的理論核心。4.4 4.4 非周期信號(hào)的頻譜非周期信號(hào)的頻譜p 傅里葉變換建立了信號(hào)時(shí)域和頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系。傅里葉變換建立了信號(hào)時(shí)域和頻域的對(duì)應(yīng)關(guān)系。p 在某域分析有困難時(shí)，可以轉(zhuǎn)換到另一個(gè)域進(jìn)行分在某域分析有困難時(shí)，可以轉(zhuǎn)換到另一個(gè)域進(jìn)行分 析計(jì)算。析計(jì)算。p 有些信號(hào)的傅里葉變換很難求，利用傅里葉變換的有些信號(hào)的傅里葉變換很難求，利用傅里葉變換的 性質(zhì)，可以簡(jiǎn)捷地得到。性質(zhì)，可以簡(jiǎn)捷地得到。p傅立葉變換性質(zhì)的應(yīng)用構(gòu)成了當(dāng)代通信、信號(hào)傅立葉變換性質(zhì)的應(yīng)用構(gòu)成了當(dāng)代通信、信號(hào) 處理技術(shù)的理論核心。處理技術(shù)的理論核心。4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換

44、的性質(zhì)n 線性性質(zhì)兩個(gè)含義線性性質(zhì)兩個(gè)含義 齊次性齊次性：信號(hào)：信號(hào) f(t) 乘以常數(shù)乘以常數(shù)a，則其頻譜函數(shù)，則其頻譜函數(shù)也乘以相應(yīng)的常數(shù)也乘以相應(yīng)的常數(shù)a。 可加性可加性：幾個(gè)信號(hào)之和的頻譜函數(shù)等于各個(gè)：幾個(gè)信號(hào)之和的頻譜函數(shù)等于各個(gè)信號(hào)的頻譜函數(shù)之和。信號(hào)的頻譜函數(shù)之和。 11ftFjwF 22ftFjwF若若 1 1221122a fta fta Fja FjwwF4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)則則一、線性一、線性(Linear Property)例例 F(j) = ?0f ( t )t1-11解解: f (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()

45、g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - - 2Sa()0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11- -g (t) Sa( /2)4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)二、二、奇偶性奇偶性(Parity)tttfjtttfttfjFtjd)sin()(d)cos()(de)()(wwww)()(| )(|22wwwXRjF)()(arctan)(wwwRX則則 (1)R()= R( ) , X() = X ( ) |F(j)| = |F( j)| , () = ( )(2) 若若 f(t) = f(-t) ,則則 X() = 0, F(j) = R() 若若f(t)

46、= -f(-t) ,則則R() = 0, F(j) = jX()4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)若若 f(t) 是時(shí)間是時(shí)間 t 的實(shí)函數(shù)的實(shí)函數(shù) jF je ww RjXww cosRf tt dtww sinXf tt dtww f (-t) F(-j) = F (j) (3)ttftftjde)()(wt令令 ,得得)d(e)()(wjftfwde)()( jf= F (-j)= R(-) + jX(-)F (-j)= R() -jX()F (j) =R()= R( ) , X() = X ( )4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)三、對(duì)稱性質(zhì)三、對(duì)稱性質(zhì)(S

47、ymmetrical Property)4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)例：例： 求取樣函數(shù)求取樣函數(shù) 的頻譜函數(shù)。的頻譜函數(shù)。 tttSasin)(解解:)2()(wSatg12取取 ，即，即 ，且幅度為，且幅度為 。221)()(221)(212wwSaSatg)()(212)(22wwggtSa若若 f (t) F(j) 則則 F( jt ) 2f ()( )1 12( )t w4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)例：例： 求取樣函數(shù)求取樣函數(shù) 的頻譜函數(shù)。的頻譜函數(shù)。 tttSasin)(2( )() ( )( ) 2g tSaSa tgww四、尺度變換性質(zhì)

48、四、尺度變換性質(zhì)(Scaling Transform Property)其中，其中，a為非零實(shí)常數(shù)。為非零實(shí)常數(shù)。4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)若若 a = - -1，則，則f (- t ) F( - -j) 信號(hào)在時(shí)域中沿縱軸反轉(zhuǎn)，等效于信號(hào)在時(shí)域中沿縱軸反轉(zhuǎn)，等效于在頻域中頻譜也沿在頻域中頻譜也沿縱軸反轉(zhuǎn)縱軸反轉(zhuǎn)若若則則 f (t) F(j) 1()|f atFjaaw則則 f (t) F(j) 1()|f atFjaaw五、時(shí)移性質(zhì)五、時(shí)移性質(zhì)(Timeshifting Property)其中，其中，t0為實(shí)常數(shù)。為實(shí)常數(shù)。信號(hào)在時(shí)域中沿時(shí)間軸左移或右移信號(hào)在時(shí)域中沿時(shí)

49、間軸左移或右移t0 ，其傅里，其傅里葉變換的幅度譜不變，相位譜增加或減少葉變換的幅度譜不變，相位譜增加或減少t0 4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)若若則則f (t) F(j) )(e)(00wwjFttftj例例2 F(j) = ?解解: f1(t) = g6(t - 5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) F(j) =ww5e)3Sa(6jww5e)Sa(2jwww5e)Sa(2)3Sa(6j0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+0f2 ( t )t2214684.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變

50、換的性質(zhì)六、頻移性質(zhì)六、頻移性質(zhì)(Frequency Shifting Property)其中，其中，0為實(shí)常數(shù)。為實(shí)常數(shù)。 若時(shí)間信號(hào)乘以或，等效于若時(shí)間信號(hào)乘以或，等效于f (t)的頻的頻譜沿頻率軸右移（滯后）或左移（超前）譜沿頻率軸右移（滯后）或左移（超前）0 0j te0j te4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)若若則則f (t) F(j)()(e00wwwjFtftj例例1：已知信號(hào)：已知信號(hào)f(t)的傅里葉變換為的傅里葉變換為F(j)，求信號(hào)，求信號(hào) 的的 傅里葉變換。傅里葉變換。()432j teft-例例2：求：求 f(t) = cos0t F(j) = ?解解:

51、00011cos()ee22jtjttwwwF(j) = (+0)+ (- -0)例例3： 已知已知f(t) F(j)， 求已調(diào)信號(hào)求已調(diào)信號(hào)f(t) cos0t ? )(21)(21)cos()(wwwwwjFjFttf)(21)(21)sin()(wwwwwjjFjjFttf若時(shí)間信號(hào)若時(shí)間信號(hào)f (t)乘以乘以cos0t或或sin0t，相當(dāng)于，相當(dāng)于f (t)的的頻譜一分為二，沿頻率軸向左和向右平移頻譜一分為二，沿頻率軸向左和向右平移0 4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)調(diào)制調(diào)制調(diào)制信號(hào)調(diào)制信號(hào)載頻信號(hào)載頻信號(hào)六、頻移性質(zhì)六、頻移性質(zhì)(Frequency Shifting

52、Property)4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)七、卷積性質(zhì)七、卷積性質(zhì)(Convolution Property)4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì) 1212ftftFjFj F F若若則則u時(shí)域卷積定理時(shí)域卷積定理時(shí)域中兩函數(shù)的卷積積分對(duì)應(yīng)時(shí)域中兩函數(shù)的卷積積分對(duì)應(yīng)于頻域中兩函數(shù)頻譜的乘積于頻域中兩函數(shù)頻譜的乘積 112122ftftFjFj F F若若則則時(shí)域中兩函數(shù)的乘積對(duì)應(yīng)于頻域時(shí)域中兩函數(shù)的乘積對(duì)應(yīng)于頻域中兩頻譜函數(shù)的卷積積分的中兩頻譜函數(shù)的卷積積分的u頻域卷積定理頻域卷積定理1/2 ,1122ftFjftFj FFFF ,1122ftFjftFj

53、FFFF八、時(shí)域的微分和積分八、時(shí)域的微分和積分(Differentiation and Integration in time domain) 若若 f (t) F(j)，則，則 )()()()(wwjFjtfnn()( )d(0) ( )tF jf xxFjw wwttfjFFd)()()0(0ww若若 ,則則0)0(FwwjjFtf)()()1(4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)八、時(shí)域的微分和積分八、時(shí)域的微分和積分(Differentiation and Integration in time domain)4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)例例1：某系統(tǒng)

54、的微分方程為某系統(tǒng)的微分方程為 y (t) + 2y(t) = f(t)求求f(t) = e-t(t)時(shí)的響應(yīng)時(shí)的響應(yīng)y(t)。解解：微分方程兩邊取傅里葉變換微分方程兩邊取傅里葉變換jw wY(jw w) + 2Y(jw w) = F(jw w) 21)()()(wwwwjjFjYjHf(t) = e-t(t)11)(wwjjFY(j) = H(j)F(j)2111)2)(1(1wwwwjjjjy(t) = (e- -t e- -2t )(t) 十一、十一、能量譜和功率譜能量譜和功率譜wwd)(21d)(22jFttfE證明證明:ttfEd)(2tjFtftjdde)(21)(wwwwwwdd

55、e)()(21ttfjFtjwwwwwwd)()(21d)()(21jFjFjFjFwwdjF2)(21帕斯瓦爾方程帕斯瓦爾方程若若f(t)是能量信號(hào)，且是能量信號(hào)，且 ，則，則能量密度函數(shù)（能量譜）能量密度函數(shù)（能量譜）|F(j)|24.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)f (t) F(j) p能量密度函數(shù)（能量譜）能量密度函數(shù)（能量譜） Jsn單位頻率的信號(hào)能量，表征能量在頻域中的分布單位頻率的信號(hào)能量，表征能量在頻域中的分布情況。情況。|F(j)|2p功率密度函數(shù)（功率譜）功率密度函數(shù)（功率譜）Wsn信號(hào)功率信號(hào)功率n功率密度函數(shù)功率密度函數(shù)單位頻帶內(nèi)信號(hào)功率單位頻帶內(nèi)信號(hào)功率

56、隨頻率分布的情況隨頻率分布的情況 2211limlim222TTTTF Pf tdtdTTTjFT2)(lim2w十一、十一、能量譜和功率譜能量譜和功率譜4.5 4.5 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)維納維納-欣欽定理欣欽定理4.7 4.7 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換一、正、余弦的傅里葉變換 12()由頻移特性得由頻移特性得 e j 0 t 2( 0 ) e j 0 t 2(+0 )cos(0t)=(e j 0 t + e j 0 t) ( 0 ) +(+0 )sin(0t)= (e j 0 t - e j 0 t)/(2j) j(+0 ) ( 0 )二

57、、一般周期信號(hào)的傅里葉變換二、一般周期信號(hào)的傅里葉變換ntjnnTFtfe)(22de)(1TTtjnTnttfTFnnTntjnnTnFjFFtf)(2)(e)(ww(1)周期函數(shù)的傅里葉變換是由一系列沖激函數(shù)組成的離散函數(shù)周期函數(shù)的傅里葉變換是由一系列沖激函數(shù)組成的離散函數(shù)4.7 4.7 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)傅氏變換例周期信號(hào)傅氏變換例解：解：1 w w tT tTdtetTdtetfTFTTtjnTTTtjnn1)(1)(12222 T 2T 3T-T 00 2 3- nnTnFtf)(2)(w w 表達(dá)式：表達(dá)式：傅里葉系數(shù)：傅里葉系數(shù)：周期信號(hào)的周期信號(hào)的

58、傅里葉變換：傅里葉變換： nnTnFtf)(2)(w w mTmTtt)()( 例例1周期為周期為T的單位沖激周期函數(shù)的單位沖激周期函數(shù)T(t)= mmTt)(求其頻譜函數(shù)。求其頻譜函數(shù)。=()( )nn ww 例例2：周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。周期信號(hào)如圖，求其傅里葉變換。0- -11f(t)t t14- -4解解：周期信號(hào)周期信號(hào)f(t)也可看作也可看作一時(shí)限非周期信號(hào)一時(shí)限非周期信號(hào)f0(t)的周的周期拓展。期拓展。即即f(t) = T(t)* f0(t) F(j) =nnnnnn)2()2Sa()()Sa(2ww本題本題 f0(t) = g2(t)Sa(2w22TF(j) = ()

59、 F0(j) nnjnF)()(0w(2)4.7 4.7 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換(2)式與式與 (1)式比較，得式比較，得nnjFTjnFTjnFFww)(1)(1)(2000這也給出求周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的另一種方法。這也給出求周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)的另一種方法。三、傅里葉系數(shù)與傅里葉變換三、傅里葉系數(shù)與傅里葉變換nnTntjnnTnFjFFtf)(2)(e)(ww(1)F(j) = () F0(j) nnjnF)()(0w(2)4.7 4.7 周期信號(hào)的傅里葉變換周期信號(hào)的傅里葉變換4.8 LTI4.8 LTI系統(tǒng)的頻域分析系統(tǒng)的頻域分析p 傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無窮多項(xiàng)

60、不同頻率的虛指傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無窮多項(xiàng)不同頻率的虛指 數(shù)函數(shù)之和。數(shù)函數(shù)之和。ntjnnFtfe)(n 對(duì)周期信號(hào)：對(duì)周期信號(hào)：n 對(duì)非周期信號(hào)：對(duì)非周期信號(hào)：wwwde)(21)(tjjFtfn 其其基本信號(hào)基本信號(hào)為為 ej w wt一、基本信號(hào)一、基本信號(hào)ej w wt作用于作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)說明：頻域分析中，信號(hào)的定義域?yàn)檎f明：頻域分析中，信號(hào)的定義域?yàn)? ，)，而，而t= 總可總可認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為認(rèn)為系統(tǒng)的狀態(tài)為0，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫，因此本章的響應(yīng)指零狀態(tài)響應(yīng)，常寫為為y(t)。 n 設(shè)設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵(lì)