代幾綜合問題--知識(shí)講解（提高）

1、word中考沖刺：代幾綜合問題知識(shí)講解提高責(zé)編：常春芳【中考展望】 代幾綜合題是初中數(shù)學(xué)中覆蓋面最廣、綜合性最強(qiáng)的題型近幾年的中考?jí)狠S題多以代幾綜合題的形式出現(xiàn)解代幾綜合題一般可分為“認(rèn)真審題、理解題意；探求解題思路；正確解答三個(gè)步驟,解代幾綜合題必須要有科學(xué)的分析問題的方法數(shù)學(xué)思想是解代幾綜合題的靈魂，要善于挖掘代幾綜合題中所隱含的重要的轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論的思想、方程不等式的思想等，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，這是學(xué)習(xí)解代幾綜合題的關(guān)鍵題型一般分為：1方程與幾何綜合的問題；2函數(shù)與幾何綜合的問題；3動(dòng)態(tài)幾何中的函數(shù)問題；4直角坐標(biāo)系中的幾何問題；5幾何圖形中的探究、

2、歸納、猜測(cè)與證明問題.題型特點(diǎn)：一是以幾何圖形為載體，通過線段、角等圖形尋找各元素之間的數(shù)量關(guān)系，建立代數(shù)方程或函數(shù)模型求解；二是把數(shù)量關(guān)系與幾何圖形建立聯(lián)系，使之直觀化、形象化，從函數(shù)關(guān)系中點(diǎn)與線的位置、方程根的情況得出圖形中的幾何關(guān)系.以形導(dǎo)數(shù)，由數(shù)思形，從而尋找出解題捷徑. 解代幾綜合題要靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是要從題目中尋找這兩局部知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)，從而發(fā)現(xiàn)解題的突破口.【方法點(diǎn)撥】方程與幾何綜合問題是中考試題中常見的中檔題，主要以一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系為背景，結(jié)合代數(shù)式的恒等變形、解方程組、解不等式組、函數(shù)等知識(shí)其根本形式有：求代數(shù)式的值、求

3、參數(shù)的值或取值范圍、與方程有關(guān)的代數(shù)式的證明函數(shù)型綜合題主要有：幾何與函數(shù)結(jié)合型、坐標(biāo)與幾何、方程與函數(shù)結(jié)合型問題，是各地中考試題中的熱點(diǎn)題型主要是以函數(shù)為主線，建立函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)、方程等解題解題時(shí)要注意函數(shù)的圖象信息與方程的代數(shù)信息的相互轉(zhuǎn)化例如函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為相應(yīng)方程的根；點(diǎn)在函數(shù)圖象上即點(diǎn)的坐標(biāo)滿足函數(shù)的解析式等函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，更是中考命題的主要考查對(duì)象，由于這類題型能較好地考查學(xué)生的函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，能較全面地反映學(xué)生的綜合能力，有較好的區(qū)分度，因此是各地中考的熱點(diǎn)題型幾何綜合題考查知識(shí)點(diǎn)多、條件隱晦，要求學(xué)生有較

4、強(qiáng)的理解能力，分析能力，解決問題的能力，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法有較強(qiáng)的駕馭能力，并有較強(qiáng)的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力1 幾何型綜合題，常以相似形與圓的知識(shí)為考查重點(diǎn)，并貫穿其他幾何、代數(shù)、三角等知識(shí)，以證明、計(jì)算等題型出現(xiàn)2 幾何計(jì)算是以幾何推理為根底的幾何量的計(jì)算，主要有線段和弧長(zhǎng)的計(jì)算，角的計(jì)算，三角函數(shù)值的計(jì)算，以及各種圖形面積的計(jì)算等3 幾何論證題主要考查學(xué)生綜合應(yīng)用所學(xué)幾何知識(shí)的能力4 解幾何綜合題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1 注意數(shù)形結(jié)合，多角度、全方位觀察圖形，挖掘隱含條件，尋找數(shù)量關(guān)系和相等關(guān)系；2 注意推理和計(jì)算相結(jié)合，力求解題過程的標(biāo)準(zhǔn)化；3 注意掌握常規(guī)的證題思路，常規(guī)的輔助線作法；4 注意

5、靈活地運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想和方法【典型例題】類型一、方程與幾何綜合的問題1.2022大慶模擬如圖，RtABC中，C=90°，BC=8cm，AC=6cm點(diǎn)P從B出發(fā)沿BA向A運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1cm，點(diǎn)E是點(diǎn)B以P為對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從A出發(fā)沿AC向C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2cm，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)頂點(diǎn)C時(shí)，P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒1當(dāng)t為何值時(shí)，PQBC？2設(shè)四邊形PQCB的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；3四邊形PQCB面積能否是ABC面積的？假設(shè)能，求出此時(shí)t的值；假設(shè)不能，請(qǐng)說明理由；4當(dāng)t為何值時(shí)，AEQ為等腰三角形？直接寫出結(jié)果【思路點(diǎn)撥】1先在RtA

6、BC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10t，然后由PQBC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式，求解即可；2正確把四邊形PQCB表示出來，即可得出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；3根據(jù)四邊形PQCB面積是ABC面積的，列出方程，解方程即可；4AEQ為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：AE=AQ；EA=EQ；QA=QE，每一種情況都可以列出關(guān)于t的方程，解方程即可【答案與解析】解：1RtABC中，C=90°，BC=8cm，AC=6cm，AB=10cmBP=t，AQ=2t，AP=ABBP=10tPQBC，=，=，解得t=；2S四邊形PQCB=SACBSAPQ=AC

7、BCAPAQsinAy=×6×8×10t2t=24t10t=t28t+24，即y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y=t28t+24；3四邊形PQCB面積能是ABC面積的，理由如下：由題意，得t28t+24=×24，整理，得t210t+12=0，解得t1=5，t2=5+不合題意舍去故四邊形PQCB面積能是ABC面積的，此時(shí)t的值為5；4AEQ為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：如果AE=AQ，那么102t=2t，解得t=；如果EA=EQ，那么102t×=t，解得t=；如果QA=QE，那么2t×=5t，解得t=故當(dāng)t為秒秒秒時(shí)，AEQ為等腰三角形【總結(jié)升

8、華】此題考查了勾股定理，等腰三角形的判定等，綜合性較強(qiáng)，難度適中解答此題時(shí)要注意分類討論，不要漏解；其次運(yùn)用方程思想是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】2022鎮(zhèn)江如圖1，在菱形ABCD中，AB=6，tanABC=2，點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著射線DA的方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角=BCD，得到對(duì)應(yīng)線段CF1求證：BE=DF；2當(dāng)t= 秒時(shí)，DF的長(zhǎng)度有最小值，最小值等于 ；3如圖2，連接BD、EF、BD交EC、EF于點(diǎn)P、Q，當(dāng)t為何值時(shí)，EPQ是直角三角形？4如圖3，將線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角=BCD，得到對(duì)應(yīng)線段CG在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中

9、，當(dāng)它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F位于直線AD上方時(shí)，直接寫出點(diǎn)F到直線AD的距離y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式【答案】解：1ECF=BCD，即BCE+DCE=DCF+DCE，DCF=BCE，四邊形ABCD是菱形，DC=BC，在DCF和BCE中，DCFBCESAS，DF=BE；2如圖1，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)E時(shí)，DF=BE，此時(shí)DF最小，在RtABE中，AB=6，tanABC=tanBAE=2，設(shè)AE=x，那么BE=2x，AB=x=6，那么AE=6DE=6+6，DF=BE=12，故答案為：6+6，12；3CE=CF，CEQ90°，當(dāng)EQP=90°時(shí)，如圖2，ECF=BCD，BC=DC，EC=FC，CBD

10、=CEF，BPC=EPQ，BCP=EQP=90°，AB=CD=6，tanABC=tanADC=2，DE=6，t=6秒；當(dāng)EPQ=90°時(shí)，如圖2，菱形ABCD的對(duì)角線ACBD，EC與AC重合，DE=6，t=6秒；4y=t12，如圖3，連接GF分別交直線AD、BC于點(diǎn)M、N，過點(diǎn)F作FHAD于點(diǎn)H，由1知1=2，又1+DCE=2+GCF，DCE=GCF，在DCE和GCF中，DCEGCFSAS，3=4，1=3，1=2，2=4，GFCD，又AHBN，四邊形CDMN是平行四邊形，MN=CD=6，BCD=DCG，CGN=DCN=CNG，CN=CG=CD=6，tanABC=tanCGN

11、=2，GN=12，GM=6+12，GF=DE=t，F(xiàn)M=t612，tanFMH=tanABC=2，F(xiàn)H=t612，即y=t12類型二、函數(shù)與幾何綜合問題2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)tt0秒，拋物線y=x2bxc經(jīng)過點(diǎn)O和點(diǎn)P矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)為A1，0、B1，5、D4，0求c、b可以用含t的代數(shù)式表示；當(dāng)t>1時(shí)，拋物線與線段AB交于點(diǎn)M在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，你認(rèn)為AMP的大小是否會(huì)變化？假設(shè)變化，說明理由；假設(shè)不變，求出AMP的值；在矩形ABCD的內(nèi)部不含邊界，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)假設(shè)拋物線將這些“好點(diǎn)分成數(shù)量相等

12、的兩局部，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍【思路點(diǎn)撥】1由拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O和點(diǎn)P，將點(diǎn)O與P的坐標(biāo)代入方程即可求得c，b；2當(dāng)x=1時(shí)，y=1-t，求得M的坐標(biāo)，那么可求得AMP的度數(shù)；3根據(jù)圖形，可直接求得答案【答案與解析】解：1把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，t0，b=-t；2不變拋物線的解析式為：y=x2-tx，且M的橫坐標(biāo)為1，當(dāng)x=1時(shí)，y=1-t，M1，1-t，AM=|1-t|=t-1，OP=t，AP=t-1，AM=AP，PAM=90°，AMP=45°；3左邊4個(gè)好點(diǎn)在拋物線上方，右

13、邊4個(gè)好點(diǎn)在拋物線下方：無解；左邊3個(gè)好點(diǎn)在拋物線上方，右邊3個(gè)好點(diǎn)在拋物線下方：那么有-4y2-3，-2y3-1，即-44-2t-3，-29-3t-1，且，解得；左邊2個(gè)好點(diǎn)在拋物線上方，右邊2個(gè)好點(diǎn)在拋物線下方：無解；左邊1個(gè)好點(diǎn)在拋物線上方，右邊1個(gè)好點(diǎn)在拋物線下方：無解；左邊0個(gè)好點(diǎn)在拋物線上方，右邊0個(gè)好點(diǎn)在拋物線下方：無解；綜上所述，t的取值范圍是：【總結(jié)升華】此題考查了二次函數(shù)與點(diǎn)的關(guān)系此題綜合性很強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用類型三、動(dòng)態(tài)幾何中的函數(shù)問題3. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于，與軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為1求二次函數(shù)的

14、解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；2點(diǎn)M是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)直線OM把四邊形ACDB分成面積為1:2的兩局部，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；3點(diǎn)P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問：點(diǎn)P在何處時(shí)的面積最大？最大面積是多少？并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).【思路點(diǎn)撥】1拋物線的解析式中只有兩個(gè)待定系數(shù)，因此只需將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入其中求解即可 2先畫出相關(guān)圖示，連接OD后發(fā)現(xiàn)：SOBD：S四邊形ACDB=2：3，因此直線OM必須經(jīng)過線段BD才有可能符合題干的要求；設(shè)直線OM與線段BD的交點(diǎn)為E，根據(jù)題干可知：OBE、多邊形OEDCA的面積比應(yīng)該是1：2或2：1，即OBE的面積是四邊形ACDB面積的，所以先求出四邊形A

15、BDC的面積，進(jìn)而得到OBE的面積后，可確定點(diǎn)E的坐標(biāo)，首先求出直線OE即直線OM的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式后即可確定點(diǎn)M的坐標(biāo)注意點(diǎn)M的位置 3此題必須先得到關(guān)于CPB面積的函數(shù)表達(dá)式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來求出CPB的面積最大值以及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P坐標(biāo)；通過圖示可發(fā)現(xiàn)，CPB的面積可由四邊形OCPB的面積減去OCB的面積求得，首先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，四邊形OCPB的面積可由OCP、OPB的面積和得出【答案與解析】解：1由題意，得： 解得：所以，二次函數(shù)的解析式為： ，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為-1，4. 2畫圖由、四點(diǎn)的坐標(biāo)，易求四邊形ACDB的面積為9.直線BD的解析式為y=2x+6. 設(shè)直線OM與直線BD

16、交于點(diǎn)E，那么OBE的面積可以為3或6.當(dāng)時(shí)，如圖，易得E點(diǎn)坐標(biāo)-2，-2，直線OE的解析式為y=-x.設(shè)M 點(diǎn)坐標(biāo)x，-x， 當(dāng)時(shí)，同理可得M點(diǎn)坐標(biāo) M 點(diǎn)坐標(biāo)為-1，43如圖，連接，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)P在拋物線上， ，當(dāng)時(shí)，. 的面積有最大值當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，的面積有最大值，且最大值為 【總結(jié)升華】此題主要考查了二次函數(shù)解析式確實(shí)定、圖形面積的解法以及二次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)；2問中，一定先要探究一下點(diǎn)M的位置，以免出現(xiàn)漏解的情況舉一反三：【變式】如下圖，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為3，0，0，1，點(diǎn)D是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)與端點(diǎn)B、C不重合，過點(diǎn)D作直線交折線OAB于點(diǎn)E1記ODE

17、的面積為S，求S與的函數(shù)關(guān)系式；2當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，假設(shè)矩形OABC關(guān)于直線DE的對(duì)稱圖形為四邊形OA1B1C1，試探究OA1B1C1與矩形OABC的重疊局部的面積是否發(fā)生變化，假設(shè)不變，求出該重疊局部的面積；假設(shè)改變，請(qǐng)說明理由.【答案】1由題意得B3，1假設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)A3，0時(shí)，那么b假設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)B3，1時(shí)，那么b假設(shè)直線經(jīng)過點(diǎn)C0，1時(shí)，那么b1.假設(shè)直線與折線OAB的交點(diǎn)在OA上時(shí)，即1b，如圖1，此時(shí)點(diǎn)E2b，0.SOE·CO×2b×1b. 假設(shè)直線與折線OAB的交點(diǎn)在BA上時(shí)，即b，如圖2，此時(shí)點(diǎn)E3，D2b2，1.SS矩(SOCDSOAE SD

18、BE ) 3(2b1)×1×(52b)()×3() 2如圖3，設(shè)O1A1與CB相交于點(diǎn)M，C1B1與OA相交于點(diǎn)N，那么矩形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊局部的面積即為四邊形DNEM的面積由題意知，DMNE，DNME，四邊形DNEM為平行四邊形,根據(jù)軸對(duì)稱知，MEDNED, 又MDENED，MEDMDE，MDME，平行四邊形DNEM為菱形過點(diǎn)D作DHOA，垂足為H，設(shè)菱形DNEM的邊長(zhǎng)為a，由題可知，D2b-2，1，E2b，0，DH=1，HE=2b-2b-2=2，HN=HE-NE=2-a，那么在RtDHM中，由勾股定理知：，a=.S四邊形DNEMNE

19、3;DH矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊局部的面積不發(fā)生變化，面積始終為 類型四、直角坐標(biāo)系中的幾何問題4. 如下圖，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系OA3，OC2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處1直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；2設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交y軸正半軸于點(diǎn)P，且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；3在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小？如果存在，求出周長(zhǎng)的最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由【思路點(diǎn)撥】1由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可知FB

20、D=ABD，F(xiàn)B=AB，可得四邊形ABFD是正方形，那么可求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；2拋物線的頂點(diǎn)，那么可用頂點(diǎn)式設(shè)拋物線的解析式. 因?yàn)橐渣c(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的等腰三角形沒有給明頂角的頂點(diǎn)，而頂角和底邊都是唯一的，所以要抓住誰是頂角的頂點(diǎn)進(jìn)行分類，可分別以E、F、P為頂角頂點(diǎn)；3求周長(zhǎng)的最小值需轉(zhuǎn)化為利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解.【答案與解析】解：(1)E(3,1)；F(1,2)；(2)連結(jié)EF，在RtEBF中,B=90°，EF=.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,n),n0,頂點(diǎn)F(1,2), 設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2+2，(a0)如圖1，當(dāng)EF=PF時(shí)，EF2=PF2，12+(n-2)2=5，解得

21、n1=0(舍去)，n2=4.P(0，4)，4=a(0-1)2+2，解得a=2，拋物線的解析式為y=2(x-1)2+2如圖2，當(dāng)EP=FP時(shí)，EP2=FP2，(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得n=(舍去) 當(dāng)EF=EP時(shí)，EP=3，這種情況不存在.綜上所述，符合條件的拋物線為y=2(x-1)2+2(3)存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小如圖3，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F，連結(jié)EF，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N，那么點(diǎn)M、N就是所求. 連結(jié)NF、ME.E(3，-1)、F(-1，2)，NF=NF，ME=ME. BF=4，BE=3.FN+NM+ME=FN+NM+M

22、E=FE=5.又EF=，F(xiàn)N+MN+ME+EF=5+，此時(shí)四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小值為5+.【總結(jié)升華】此題考查了平面直角坐標(biāo)系、等腰直角三角形、拋物線解析式的求法、利用軸對(duì)稱求最短距離以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想. 分類討論的思想要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)問題分類、求解，要特別注意分類原那么是不重不漏，最簡(jiǎn)分類常見的依據(jù)是：一是依據(jù)概念分類，如判斷直角三角形時(shí)明確哪個(gè)角可以是直角，兩個(gè)三角形相似時(shí)分清哪兩條邊是對(duì)應(yīng)邊；二是依運(yùn)動(dòng)變化的圖形中的分界點(diǎn)進(jìn)行分類，如一個(gè)圖形在運(yùn)動(dòng)過程中，與另一個(gè)圖形重合局部可以是三角形，也可以是四邊形、五邊形等. 幾何與函數(shù)的綜合題是中考常見的壓軸題型，解決這類問題主要分為兩步：一是利用線段的長(zhǎng)確定出幾何圖形中各點(diǎn)的坐標(biāo)；