二次函數(shù)與一元二次方程(教學設計說明)

1、第二章 二次函數(shù)8.二次函數(shù)與一元二次方程（二）一、學生知識狀況分析學生的知識技能基礎：學生在上學期學習了用多種方法求解一元二次方程的根，其中有因式分解法、配方法、求根公式法，通過這些方法他們可以準確的求出方程的根。在上節(jié)課，他們學習了通過觀察二次函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)，來討論一元二次方程的根的情況；理解了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c 與直線y=h（h是實數(shù)）圖象交點的橫坐標。這些知識基礎完全可以使他們很好的完成本節(jié)課的學習目標。學生活動經驗基礎：學生在本章第4節(jié)學習了“二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象”，其間他們學習了用列表、描點的方法畫出拋物線。

2、上節(jié)課他們又學習了利用“數(shù)”與“形”兩種方法來研究二次函數(shù)與一元二次方程關系的問題，因此他們積累了一定的數(shù)形結合思想運用的認識經驗，這些經驗可以讓他們很好的理解本節(jié)新課的學習任務。二、教學任務分析本課的具體學習任務：進一步體會二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系；通過觀察二次函數(shù)圖象與x軸的交點，估計對應的一元二次方程的根的取值，進一步培養(yǎng)學生運用“數(shù)形結合”思想解決問題的能力;由于學生明白了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c 與直線y=h（h是實數(shù)）圖象交點的橫坐標，學生在知識準備上，他們已經有了較充分的準備。本節(jié)課就是對上節(jié)課從實踐方面對二次函數(shù)與一元二次方程

3、關系進行一次體驗。教師在課堂上只需要通過新課前的熱身練習題組，由易到難的設問，讓學生回顧上節(jié)課的學習內容，再通過挑戰(zhàn)性的語言，讓學生對本節(jié)新課充滿期待和探索的欲望。在想一想、填一填、議一議、試一試等活動中，讓他們體驗到數(shù)學活動充滿著探索與創(chuàng)造，從而感受數(shù)學的理論學習最終要落實到實踐應用上。本節(jié)課的教學目標是：1 / 9知識與技能1鞏固理解二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標就是方程ax2+bx+c=0的根；2鞏固理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c 與直線y=h（h是實數(shù)）圖象交點的橫坐標過程與方法1經歷一元二次方程ax2+bx+c=0的根的近似值的探索得到的過程

4、；2經歷一元二次方程ax2+bx+c=h的根的近似值的探索得到的過程。情感態(tài)度與價值觀1通過對一元二次方程根的近似值探索過程，進一步體會二次函數(shù)與方程之間的聯(lián)系三、教學過程分析本節(jié)課設計了六個教學環(huán)節(jié)：仔細觀察、大膽聯(lián)想；課前熱身、耐心填一填；用心想一想、馬到成功；教材題變形、拓展提高；大膽嘗試、練一練；課堂小結；課內外提高、布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié) 仔細觀察、大膽聯(lián)想問題：函數(shù)y = ax2 +bx +c的圖象如下圖所示，x= 為該圖象的對稱軸，根據圖象 信息你能得到關于系數(shù)a，b，c的一些 -1 1什么結論？ -1分析點撥： a0 -1c0 b2-4ac0; x= , 2a=-3b; 由，(4)

5、得b0 由,得 abc0; 考慮x = 1時y0，所以有a+b+c0 又x = -1 時 y0，所以有a-b+c0; 考慮頂點的縱坐標，有0c-1。 活動目的：通過一道開放性的訓練題，來訓練學生由“形”到“數(shù)”的形數(shù)結合能力，由于結論開放，可以考察出不同層次學生的思維能力，觀察問題的是否仔細、全面。教學中先給學生獨立思考的時間，再小組議論的形式，借此培養(yǎng)學生合作探究、相互交流、取長補短的合作意識和團隊精神。實際教學效果：由于本練習題思考解決的入手點的多樣性，學生回答問題的積極性很高，小組間的議論很熱烈。教學中，我開展了看哪個小組得到的結論多的活動，同學們之間、學習小組之間的競爭氣氛被很好的調動

6、起來。有的小組得到了5個結論，有的小組得到了6個結論，我及時帶領同學再認真從不同角度審圖，精簡點撥之后，又有些小組受到啟發(fā)，踴躍搶答。當同學們回答完我事先準備好的答案后，他們還提出了另一些結論：如a+2b+4c0，2等。課堂的氣氛被學生精彩的回答渲染的非常熱烈。-11-1第二環(huán)節(jié) 課前熱身、耐心填一填活動內容： 1. 拋物線y=ax2bxc經過點（0，0）與（12，0），最高點縱坐標是3，求這條拋物線的表達式_ . 2若a0，b0，c0，0，那么拋物線y=ax2bxc經過象限3. 在平原上，一門迫擊炮發(fā)射的一發(fā)炮彈飛行的高度y（m）與飛行時間x（s）的關系滿足y=x210x（1）經過_時間，炮

7、彈達到它的最高點？最高點的高度是_？（2）經過_秒，炮彈落在地上爆炸？4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象拋物線與直線_交點的_坐標。5.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象拋物線與直線_交點的_坐標 .活動目的：教學第二個環(huán)節(jié)課前熱身訓練準備利用5分鐘時間讓學生盡快進入到學習新知識的準備中來。問題（1）的設置解題入手方向有三個，可以分別從一般式、頂點式、交點式考慮解決。以此來鞏固學生求二次函數(shù)解析式的分析、運算能力。問題（2）是考察學生對二次函數(shù)系數(shù)a、b、c、如何決定拋物線圖象位置，培養(yǎng)學生從“數(shù)”到“形”的探

8、究能力。問題（3）是對上節(jié)課知識內容的復習，考察學生對二次函數(shù)與一元二次方程關系的理解是否準確。問題（4）、（5）即作為對上節(jié)課內容的回顧，又為引入本節(jié)新課作好了鋪墊。實際教學效果： 學生對第（1）小題的解答確實出現(xiàn)了三種解法，由于時間有限，我沒有做詳細點評，只是提示了可以用三種方法得到，但三種方法的簡潔程度的確不同。第（2）小題從已知a、b、c的條件只能判斷出圖象的開口、對稱軸的位置，還不能判定頂點的位置，但學生很容易聯(lián)想到上節(jié)課學習的0可以決定圖象與x軸有兩個交點的結論，最終較準確判斷出拋物線的位置。第（3）小題由于是上節(jié)課例題的簡單變形，學生通過變形為頂點式和解方程很快的得到結論。第（4

9、）（5）小題考察學生對上節(jié)課學習內容的理解，在實際教學中，他們大多能夠準確回答出，為隨后的新課作好了引如的準備。第三環(huán)節(jié) 用心想一想，馬到功成活動內容：你能利用二次函數(shù)的圖象估計一元二次方程x2+2x-10=0的根嗎？分析解答：(1) 用描點法作二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象(2) 觀察估計二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象與x軸的交點的橫坐標；由圖象可知：圖象與x軸有兩個交點,其橫坐標一個在-5與-4之間,另一個在2與3之間,分別約為-4.3和2.3.(3) 確定方程x2+2x-10=0的解;由此可知,方程x2+2x-10=0的近似根為:x1-4.3,x22.3活動目的： 這一環(huán)節(jié)是本節(jié)

10、新課的重點內容，例題的設計意圖一是讓學生鞏固對二次函數(shù)圖象拋物線的形成的認識，其二主要是讓他們運用二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標就是方程ax2+bx+c=0的根的原理，經歷一元二次方程根的近似值探索過程，進一步體會二次函數(shù)與方程之間的聯(lián)系。 實際教學效果：在帶領學生回顧二次函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標就是方程ax2+bx+c=0的根的原理之后，我引導學生明確了除應用求根公式計算二次方程的根之外，還可以利用畫二次函數(shù)圖象與x軸的交點求二次方程的根。起初學生不明白為什么能用求根公式很快計算出根來，偏偏還要用畫圖的方法。此時，我向同學們解釋說，用求根公式求解是體現(xiàn)數(shù)形結合思想中“數(shù)”的一面，我們現(xiàn)在準

11、備利用“形”的一面來解題。于是學生便饒有興趣的思考下去了。利用列表、描點畫拋物線的方法學生顯的比較陌生了，我就在黑板上邊啟發(fā)、邊示范、邊講解，取自變量之前，最好先把一般式轉化為頂點式，先找出頂點的橫坐標，再在它左右等距離取不同的自變量值，然后分別求出對應的縱坐標值。在坐標系中描出各個點后，用光滑的曲線連接即成草圖。在觀察估計二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象與x軸的交點的橫坐標時，由于畫圖誤差，觀察數(shù)據與實際值有較大偏差。此時我向同學們提出一個問題：“如何更準確的估計出根的取值？如果精確到十分位，那么到底近似值取-4.1、-4.2、-4.3、-4.4、-4.5、-4.6、-4.7、-4.8、-

12、4.9中的哪一個更準確呢？”我故意把這9個數(shù)值在黑板上一一列出來，學生馬上想到可將-4到-5之間的單位長再十等分,把這9個自變量值分別代入函數(shù)中，借助計算器確定哪一個的函數(shù)值最接近0，那么它就是根的近似值。教學中雖然我發(fā)現(xiàn)了學生普遍感覺到這種方法很麻煩，但在探索求根的近似值的過程中，有必要讓他們感受到數(shù)學探索的過程并不是總充滿樂趣，有時還是很艱辛的。第四環(huán)節(jié) 教材題變形，拓展延伸活動內容：利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.分析解答：(1) 用描點法作二次函數(shù)y=x2+2x-10的圖象(2) 作直線y=3；(3) 觀察估計拋物線y=x2+2x-10和直線y=3的交點的

13、橫坐標；由圖象可知,它們有兩個交點,其橫坐標一個在-5與-4之間,另一個在2與3之間,分別約為-4.7和2.7.(4) 確定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根為:x1-4.7,x22.7活動目的： 鞏固學生理解一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c 與直線y=h（h是實數(shù)）圖象交點的橫坐標這一代數(shù)原理，培養(yǎng)學生熟練畫函數(shù)圖象的能力，提高運算的準確性和熟練使用計算器的能力。由于要列表、取值計算、描點的工作量較大，教學中我組織了學生在學習小組內合作、分工來完成，借此培養(yǎng)學生合作意識。實際教學效果：學生經過前一例題的學習，他們都躍躍

14、欲試。我知道要完整給出圖象解法是很費時間的，于是我組織了小組間的畫圖競賽，看哪個小組完成的又好又準確。學習小組之間首先設計好解題思路，列表、取點、計算、描點、連線。當他們發(fā)現(xiàn)左邊的交點橫坐標在-5到-4之間時，模仿例題的方法也對將單位長進行了十等分,借助計算器求出了函數(shù)值，起初他們發(fā)現(xiàn)值都在3的左右而不是0時有些迷惑，隨后便恍然大悟?？吹剿麄兺耆两跀?shù)學探索、發(fā)現(xiàn)的樂趣中的樣子，我心理很欣慰。在小組成果對比中，同學們發(fā)現(xiàn)有個小組的圖象和別人的不同，起初有些議論，我就請了這個小組的成員上了講臺發(fā)言。原來他們把方程x2+2x-10=3轉化成了x2+2x-13=0，這樣問題就轉化成前面已經解決了問

15、題了。附創(chuàng)新解法2：(1) 原方程可變形為x2+2x-13=0；(2) 用描點法作二次函數(shù)y=x2+2x-13的圖象(3) 觀察估計拋物線y=x2+2x-13和x軸的交點的橫坐標；由圖象可知,它們有兩個交點,其橫坐標一個在-5與-4之間,另一個在2與3之間,分別約為-4.7和2.7。(4) 確定方程x2+2x-10=3的解;由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根為:x1-4.7 ，x22.7同學們明白了這種解法的簡潔原因，我也不失時機的向全班同學強調了數(shù)學學習中“化陌生為熟悉、化繁為簡”的化歸思想的重要性。第五環(huán)節(jié) 大膽嘗試、練一練活動內容：問題1：利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程-2x2

16、+4x+1=0的近似根分析解答：1)用描點法作二次函數(shù)y=-2x2+4x+1的圖象；2)觀察估計二次函數(shù)y=-2x2+4x+1的圖象與x軸的交點的橫坐標；由圖象可知,圖象與x軸有兩個交點,其橫坐標一個在-1與0之間,另一個在2與3之間,分別約為-0.2和2.2(3) 確定方程x2+4x+1=0的解;由此可知,方程x2+4x+1=0的近似根為:x1-0.2, x22.2問題2：利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程3x2-x=1的近似根.分析解答：(1) 原方程可變形為3x2-x-1=0；(2) 用描點法作二次函數(shù)y=3x2-x-1的圖象(3) 觀察估計拋物線y=3x2-x-1和x軸的交點的橫坐標；圖

17、象可知,圖象與x軸有兩個交點,其橫坐標一個在-1與0之間,另一個在0與1之間,分別約為-0.4和0.8.（4） 可估計x1-0.4, x20.8 活動目的：本環(huán)節(jié)是考察同學們是否理解了用圖象法求方程根的方法，能否快速準確的利用圖象探求方程根的近似值，觀察他們是否能自覺利用化歸思想把復雜問題轉化簡單情況解決。實際教學效果：在課堂巡視觀察中，學生基本上掌握了用圖象法估計方程根的方法，對第（2）小題也都能自覺轉化為簡單情況加以解決，說明學生基本上都掌握了本節(jié)課的學習任務。但他們也表示以后真的碰到這個問題時，他們準備先用求根公式把根計算出來，估計出根的近似值，再同時畫出圖象會更加快捷一些。第六環(huán)節(jié) 歸納小節(jié)、說一說活動目的：鼓勵學生結合本節(jié)課的學習談一談他們對二次函數(shù)與一元二次方程的關系的認識，通過學生的發(fā)言，觀察他們是否理解了一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c 與直線y=h（h是實數(shù)）圖象交點的橫坐標，是否掌握了用畫圖象的方法來探求方程根的方法。實際教學效果：學生暢所欲言自己的切身感受與實際收獲，他們普遍認同了函數(shù)問題研究時，應該用數(shù)形結合思想從兩方面來考慮問題，說明數(shù)形結合思想在他們的數(shù)學思維中逐漸形成 。但他們也表示有的時候從“數(shù)”的一面研究比較方便，有時從“形”的一面研究問題會更