人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上《三角形的外角》拓展練習(xí)

1、三角形的外角拓展練習(xí)、選擇題（本大題共5小題，共25.0分）1 . （5分）如圖，把一個(gè)含 30°角的直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，如果/ 1 =第1頁（共18頁）A. 20°B , 50°C. 60°D. 702. （5分）下列圖形中能夠說明/1>/2的是（ ）3. （5分）三角形的一個(gè)外角是銳角，則此三角形的形狀是（A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形4. （5分）如圖所示，11/12,則下列式子中值為180°的是（）D.無法確定）A . a+ 3+ YC. 3+ Y- a的度數(shù)為（）A . 60°5. （5

2、分）一副透明的三角板,如圖疊放，直角三角板的斜邊 AB、CE相交于點(diǎn)D,則/BDCB . 75°C. 80°D. 85、填空題（本大題共5小題，共25.0分）（5分）如圖，D是線段AC上一點(diǎn)，連BD,用不等號(hào)“V”表示/ A, / 1的大小關(guān)系6./ ABD = 120° ,則/ ACE =BP的交點(diǎn)，則 AP的長為/C=90° , AC=3, BC=4, P 是 4ABC 的外角平分線 AP、9.（5分）如圖，P為AABC中BC邊的延長線上一點(diǎn)，/ A=48° , / B=64,則/ ACP10. （5分） ABC的一個(gè)內(nèi)角大小是 40

3、76; , / A=/ B,那么/ C外角大小是 .三、解答題（本大題共5小題，共50.0分）11. （10分）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像我們常見的學(xué)習(xí)用品-圓規(guī).我們不妨 把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”，（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究/ BDC與/ A、/ B、/ C之間的關(guān)系，并說明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：如圖2,把一塊三角尺 XYZ放置在 ABC上，使三角尺的兩條直角邊 XY、XZ恰好經(jīng) 過點(diǎn) B、C, /A = 40° ,則/ ABX+/ACX=° ;如圖 3, DC 平分/ ADB, EC 平分/ AEB,若/ DAE = 40°

4、; , /DBE = 130° ,求/ DCE 的度數(shù)；如圖4, / ABD, Z ACD的10等分線相交于點(diǎn) Gi、G2、G9,若/ BDC= 133° , / BG1C=70° ,求/ A的度數(shù).第#頁（共18頁）12. (10分)直線MN與直線PQ垂直相交于。，點(diǎn)A在直線PQ上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在直線MN上運(yùn)動(dòng).(1)如圖1,已知AE、BE分別是/ BAO和/ ABO角的平分線，點(diǎn) A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，/ AEB的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明變化的情況；若不發(fā)生變化，試求出/ AEB的大小.(2)如圖2,已知AB不平行 CD, AD、BC分別是/ BAP

5、和/ ABM的角平分線，又DE、CE分別是/ ADC和/BCD的角平分線，點(diǎn) A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，/ CED的大小是否 會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值.(3)如圖3,延長BA至G,已知/ BAO、/ OAG的角平分線與/ BOQ的角平分線及延長線相交于E、F,在4AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，直接寫出/ ABO的度數(shù)=.13. （10 分）已知如圖/ B=Z C, /1 = /2, Z BAD = 40°，求/ EDC 度數(shù).14. （10分）如圖， ABC中，AD是BC上的高，AE平分/BAC, / B= 75,/C = 45求/ DAE與

6、/ AEC的度數(shù).A、B、C、P中任意三點(diǎn)都不在同一直線15. （10分）已知 ABC, P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)上）.連接 PB、PC,設(shè)/ PBA=x° , / PCA=y° , / BPC = m° , / BAC=n（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)P在4ABC內(nèi)時(shí),若 n=80, x=10, y=20,則 m=探究x、v、m、n之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你得到的結(jié)論.應(yīng)的圖形.（2）當(dāng)點(diǎn)P在 ABC外時(shí)，直接寫出x、v、m、n之間所有可能的數(shù)量關(guān)系，并畫出相第7頁（共18頁）三角形的外角拓展練習(xí)參考答案與試題解析、選擇題（本大題共5小題，共25.0分）1. （5分）如圖，把一個(gè)含

7、30°角的直角三角尺的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，如果/ 1 =C. 60°D. 70【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出/2 = /A+/1,代入求出即可.【解答】解:/2 = /A+/1 = 30° +20° = 50故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，能根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出/2=/A+/1是解此題的關(guān)鍵.2. （5分）下列圖形中能夠說明/ 1>/2的是（ ）【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可.【解答】解：A、/ 1 = /2,故本選項(xiàng)不符合題意;B、/ 1>/ 2,故本選項(xiàng)符合題意;C、/ 1和/ 2的大小不能確定，故本選

8、項(xiàng)不符合題意;D、/ 1和/ 2的大小不能確定，故本選項(xiàng)不符合題意;【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，能熟記三角形的外角性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的關(guān) 鍵，注意：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)不相鄰的內(nèi)角.3. （5分）三角形的一個(gè)外角是銳角，則此三角形的形狀是（）A.銳角三角形 B.鈍角三角形C.直角三角形D.無法確定【分析】三角形的一個(gè)外角是銳角，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義可得它相鄰的內(nèi)角為鈍角，即可 判斷三角形的形狀是鈍角三角形.【解答】解：,三角形的一個(gè)外角是銳角，與它相鄰的內(nèi)角為鈍角，.三角形的形狀是鈍角三角形.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的一個(gè)內(nèi)角與它相鄰的外角互補(bǔ).4. （5分）如圖所示，1

9、1/12,則下列式子中值為 180°的是（）A . a+ 3+ YB - a+ 3- Y【分析】本題考查二角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，C. 3+丫 aD. a一附丫根據(jù)平行線的性質(zhì)得知，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可以計(jì)算出a+3- 丫的值為180° .【解答】解：由題可知a= 180° - 3+丫，所以有180° -丫= 180° .故選 B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查二角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，平行線的性質(zhì).5. （5分）一副透明的三角板，如圖疊放，直角三角板的斜邊 的度數(shù)為（）aA. 60°B . 75°C. 80°【分析】根據(jù)三

10、角形的外角的性質(zhì)計(jì)算，得到答案.第6頁（共18頁）a+ y+180 3= 180 ，即 a+ 3AB、CE相交十點(diǎn) D,則/BDCD. 85°【解答】 解：/ GFA=90° , Z A= 45 ./ CGD = 45° , ./ BDC = / CGD+/C=75° ,故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外角性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.二、填空題（本大題共5小題，共25.0分）6. （5分）如圖，D是線段AC上一點(diǎn)，連BD,用不等號(hào)“V”表示/ A, / 1的大小關(guān)系【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出即可.【解答

11、】解：.一/ 1是4ABD的一個(gè)外角， / Av / 1,故答案為：/ Av / 1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，能熟記三角形外角的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的 關(guān)鍵，注意：三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.7. （5 分）如圖，若/ A = 75° , / ABD = 120° ,則/ ACE=135°.【分析】根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出/ ACB,再求出/ ACE即可.【解答】解：.一/ A=75° , Z ABD = 120° ,/ ACD = / ABD / A= 45./ACE=180° - Z ACB= 135

12、° ,故答案為：135°【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角的性質(zhì)，能熟記三角形外角的性質(zhì)的內(nèi)容是解此題的 關(guān)鍵，注意：三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.8.（5 分）如圖， ABC 中，Z 0=90° , AC=3, BC= 4, P 是 ABC 的外角平分線 AP、BP的交點(diǎn)，則 AP的長為 3Vl【分析】 作PDLAC于D, PHXAB于H, PEL CB于E,如圖,先計(jì)算出 AB = 5,設(shè)AD = x, BE=y,利用角平分線的性質(zhì)得 PD = PH, PE=PH,所以PD=PE,則可判定四邊形PECD為正方形，利用CD = CE得到y(tǒng)=x-1,接

13、著利用易得AD = AH = x, BH = BE=y得到x+y=5,然后求出x后利用勾股定理計(jì)算 PA的長.【解答】 解：作PDLAC于D, PHLAB于H, PELCB于E,如圖,在 RtAABC 中，AB=F2=5設(shè) AD = x, BE = y, P是 ABC的外角平分線 AP、BP的交點(diǎn),PD = PH, PE = PH,PD = PE,四邊形PECD為正方形,.CD = CE,即 3+x= 4+y,y= x- 1,易得 AD=AH = x, BH = BE=y,x+y= 5,x+x- 1 =5,解得 x= 3,DP = DC = 3+3 = 6,在 RtAPAD 中，PA=32 +

14、 62=3-故答案為3席.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，靈活運(yùn)用利用角平分線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.9. （5分）如圖，P為4ABC中BC邊的延長線上一點(diǎn)，/ A= 48° , / B = 64,則/ ACP =112°.【分析】利用三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系解答即可.【解答】解：.一/ A=48° , / B = 64° ,. /ACP=/ A+/B = 48° +64° =112° ,故答案為：112°【點(diǎn)評(píng)】本題解題的關(guān)鍵是熟記三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系，即三角形的外角等于和它不 相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.10.

15、 （5分） ABC的一個(gè)內(nèi)角大小是 40° , /A=/ B,那么/ C外角大小是80°或140°【分析】分兩種情況進(jìn)行分析，從而確定/C的外角的大小.【解答】解：若/A=40° ,則/ B = 40° , / C=100° , / C的外角為80° .若/C = 40° ,則/ C的外角為140° .故答案為80°或140° .【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查三角形的外角性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運(yùn)用.三、解答題（本大題共5小題，共50.0分）11. （10分）探究與發(fā)現(xiàn)：如圖1所示的圖形，像

16、我們常見的學(xué)習(xí)用品-圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究/ BDC與/ A、/ B、/ C之間的關(guān)系，并說明理由；（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下三個(gè)問題：如圖2,把一塊三角尺 XYZ放置在 ABC上，使三角尺的兩條直角邊 XY、XZ恰好經(jīng) 過點(diǎn) B、C, /A = 40° ,則/ ABX+/ACX=50 ° ;如圖 3, DC 平分/ ADB, EC 平分/ AEB,若/ DAE = 40° , /DBE = 130° ,求/ DCE 的度數(shù)；如圖4, / ABD, /ACD的10等分線相交于點(diǎn) G1、G2、G9,若/

17、 BDC= 133° , / BG1C=70° ,求/ A的度數(shù).【分析】（1）首先連接AD并延長至點(diǎn)F,然后根據(jù)外角的性質(zhì)，即可判斷出/BDC = ZA+/B+/C.(2)由(1)可得/ ABX+/ACX+/A=/ BXC,然后根據(jù)/ A=40° , /BXC = 90° ,求出/ ABX+/ACX的值是多少即可.由（1）可得/ DBE = Z DAE + Z ADB+ Z AEB,再根據(jù)/ DAE = 40° , / DBE = 130° , 求出/ ADB+/AEB的值是多少；然后根據(jù)/ DCE =y （/ADB + /AEB）

18、 + Z DAE ,求出 / DCE的度數(shù)是多少即可. 根據(jù)/ BG1C = yjy （/ ABD+Z ACD） +ZA, Z BG1C=70°，設(shè)/ A 為 x° ,可得/ ABD+ZACD = 133° - x ,解方程，求出 x的值，即可判斷出/ A的度數(shù)是多少.【解答】解：（1）如圖（1）,連接AD并延長至點(diǎn)F,第11頁（共18頁）根據(jù)外角的性質(zhì)，可得/ BDF = / BAD + /B, Z CDF =Z C+Z CAD,又. / BDC =Z BDF + /CDF, / BAC = Z BAD+ /CAD, ./ BDC = Z A+ / B+ /C;

19、(2)由(1),可得/ ABX+/ ACX+/ A= / BXC, . / A=40° , / BXC=90° , .Z ABX+Z ACX=90° -40° =50° ,故答案為：50.由(1),可得/ DBE = / DAE + ZADB + Z AEB, .Z ADB+Z AEB=Z DBE - Z DAE = 130° -40° = 90(/ADB+/AEB) =90° +2 = 45° ,2DCE = -i- (/ADB+/AEB) + / DAE= 45° +40°= 85

20、° ; / BG1C=* (/ABD+/ACD) +/A, . / BG1C=70° , 設(shè)/ A 為 x。， . / ABD+Z ACD= 133° x -L (133-x) +x= 70,1013.3-Lx+x=70,10解得x=63,即/A的度數(shù)為63° .【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，利用三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì) 是解答此題的關(guān)鍵.12. (10分)直線MN與直線PQ垂直相交于。，點(diǎn)A在直線PQ上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在直線MN 上運(yùn)動(dòng).(1)如圖1,已知AE、BE分別是/ BAO和/ ABO角的平分線，點(diǎn) A、B在運(yùn)動(dòng)的過程 中，/ AE

21、B的大小是否會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明變化的情況；若不發(fā)生變化， 試求出/ AEB的大小.(2)如圖2,已知AB不平行 CD, AD、BC分別是/ BAP和/ ABM的角平分線，又DE、 CE分別是/ ADC和/BCD的角平分線，點(diǎn) A、B在運(yùn)動(dòng)的過程中，/ CED的大小是否 會(huì)發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；若不發(fā)生變化，試求出其值.(3)如圖3,延長BA至G,已知/ BAO、/ OAG的角平分線與/ BOQ的角平分線及延長線相交于E、F,在4AEF中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，直接寫出/ ABO的度數(shù)=60° 或 45°.S 1 M圖 2 JF 圖 3【分析】

22、(1)根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于。可知/ AOB= 90° ,再由AE、BE 分別是/ BAO和/ABO的角平分線得出/ BAE =y Z OAB , Z ABE=-i-Z ABO,由三角 形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論；(2)延長AD、BC交于點(diǎn)F,根據(jù)直線MN與直線PQ垂直相交于?？傻贸? AOB=90° , 進(jìn)而得出/ OAB+Z OBA = 90° ,故/ PAB+Z MBA = 270° ,再由 AD、BC 分別是/ BAP第13頁(共18頁)和/ABM 的角平分線，可知/ BAD =-Lz BAP, Z ABC =-L Z ABM ,由三角形

23、內(nèi)角和定 22理可知/ F = 45° ,再根據(jù) DE、CE分別是/ ADC和/ BCD的角平分線可知/ CDE+ZDCE = 112.5° ,進(jìn)而得出結(jié)論；(3)由/ BAO與/ BOQ的角平分線相交于 E可知/ EAO=L/BAO, /EOQ=L/ 22BOQ,進(jìn)而得出/ E的度數(shù)，由AE、AF分別是/ BAO和/ OAG的角平分線可知/ EAF= 90。，在 AEF中，由一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍分四種情況進(jìn)行分類討論.【解答】解：(1) /AEB的大小不變， 直線MN與直線PQ垂直相交于 O, ./ AOB=90° , ./ OAB+/OBA = 90

24、6; , .AE、BE分別是/ BAO和/ ABO角的平分線， ./ BAE = * OAB, Z ABE=1-Z ABO, ./ BAE+/ABE = L (/ OAB + /ABO) =45。,2 ./ AEB=135° ;(2) / CED的大小不變.延長AD、BC交于點(diǎn)F. 直線MN與直線PQ垂直相交于 O, ./ AOB=90° , .Z OAB+Z OBA = 90° , ./ PAB+Z MBA=270° , AD、BC分別是/ BAP和/ ABM的角平分線， ./ BAD = /BAP, Z ABC = Z ABM, .Z BAD+ZAB

25、C = (Z PAB+ZABM) =135° , 2 ./ F = 45° , ./ FDC+Z FCD= 135° , ./ CDA+Z DCB= 225° ,.DE、CE分別是/ ADC和/ BCD的角平分線，第13頁(共18頁)第17頁（共18頁）CDE+/ DCE= 112.5E=67.5° ;(3) / BAO與/ BOQ的角平分線相交于 E, .Z EAO = ZBAO, Z EOQ=Z BOQ, 22 ./ E=Z EOQ - / EAO = J- (/ BOQ - / BAO) /ABO,AE、AF分別是/ BAO和/ OAG的

26、角平分線， ./ EAF = 90°在 AEF中， 有一個(gè)角是另一個(gè)角的3倍，故有： /EAF = 3/E, /E=30° , /ABO=60° ; /EAF = 3/F, /E=60° , /ABO=120° ; /F = 3/E, Z E = 22.5° , Z ABO = 45° ; /E = 3/F, Z E = 67.5° , / ABO = 135° . / ABO 為 60° 或 45 ° .故答案為：60°或45° .13【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形內(nèi)

27、角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是 1800是解答此題的關(guān)鍵.(10 分)已知如圖/ B=Z C, /1 = /2, Z BAD = 40°，求/ EDC 度數(shù).【分析】首先在 ABD中，由三角形的外角性質(zhì)得到/ EDC + Z 1=Z B+40 ° ,同理可得到/2=/EDC+/C,聯(lián)立兩個(gè)式子，結(jié)合/ B = /C, /1 = / 2的已知條件，即可求出/ EDC的度數(shù).【解答】解：4ABD中，由三角形的外角性質(zhì)知：/ADC = / B+/BAD,即/ EDC + /1 = / B+40 ° ;同理，得：/ 2= / EDC + Z C,已知/ 1 = 7 2, /

28、 B = Z C, ./ 1 = / EDC+Z B,代入得：2Z EDC+Z B=Z B+40° ,即/ EDC = 20° .【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查的是三角形的外角性質(zhì)，理清圖形中各角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.14. （10 分）如圖， ABC 中，AD 是 BC 上的高，AE 平分/ BAC, / B= 75 ° , /C = 45 求/ DAE與/ AEC的度數(shù).B D E C【分析】由/ B= 75° , / C=45° ,利用三角形內(nèi)角和求出/ BAC.又AE平分/ BAC, 求出/ BAE、/ CAE,再利用AD是BC上的高在 ABD

29、中求出/ BAD ,此時(shí)就可以求出 /DAE.最后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系可以求出/AEC.【解答】解：方法1:. Z B+Z C+Z BAC= 180° , / B= 75° , /C=45° , ./ BAC=60° ,/BAC=Ix 60° = 30° , AE 平分/ BAC, ./ BAE=Z CAE=A 2.AD是BC上的高，.B+Z BAD = 90° , ./ BAD = 90° - Z B = 90° 75° = 15° ,Z DAE = Z BAE - Z BAD = 30 ° - 15° = 15° ,在 AEC 中，/AEC=180° - Z C - Z CAE= 180° 45° 30° = 105方法2:同方法1,得出/ BAC = 60°. AE 平分/ BAC, ./ EAC=/BACX60° =30° . 22.AD是BC上的高，. / C+/ CAD = 90° , ./ CAD =90° - 45