最優(yōu)捕魚(1)(1)

1、A題 最優(yōu)捕魚策略摘要本文基于對鯧魚捕撈量最大問題，通過對鯧魚產(chǎn)卵量，自然死亡量，捕撈調(diào)節(jié)量，捕撈強度的假設(shè)，在可持續(xù)發(fā)展的條件下，利用數(shù)學(xué)公式建立了數(shù)學(xué)模型，并通過matlab求解，求出了問題一中的捕撈強度kc=0.29，然后求出了在可持續(xù)發(fā)展條件下的最大捕撈量w=。對于問題二，我們做出了兩種假設(shè)，通過問題分析和建立模型求出了在兩種假設(shè)下各自的最大捕撈量本別為，并通過比較得出了最優(yōu)捕魚策略。本文的最大特點是考慮了捕撈調(diào)節(jié)系數(shù)，從而在獲得最大捕撈量的同時也使生態(tài)可持續(xù)發(fā)展，數(shù)值表示我們的模型基本令人滿意。關(guān)鍵字： 捕魚 可持續(xù)發(fā)展一、 問題重述 為了保護人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源（如漁

2、業(yè)、林業(yè)資源）的開發(fā)必須適度。一種合理、簡化的策略是，在實現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最佳效益。 考慮對某種魚（鯧魚）的最優(yōu)捕撈策略： 假設(shè)這種魚分個年齡組：稱齡魚，齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年齡組魚的自然死亡率均為0.8（/年）；這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，平均每條齡魚的產(chǎn)卵量為1.109×105 (個）；齡魚的產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，齡魚和齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后個月；卵孵化并成活為齡魚，成活率（齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總是n之比）為1.22×1011/(1.22×1011+n). 漁業(yè)管

3、理部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵卵化期前的個月內(nèi)進行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力（如漁船數(shù)、下網(wǎng)次數(shù)等）固定不變，這時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比。比例系數(shù)不妨稱捕撈強度系數(shù)。通常使用mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈齡魚和齡魚，其兩個捕撈強度系數(shù)之比為0.42:1。漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。 ）建立數(shù)學(xué)模型分析如何可持續(xù)捕獲（即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群不變），并且在此前提下得到最高的年收獲量（捕撈總重量）。 ）某漁業(yè)公司承包這種魚的捕撈業(yè)務(wù)年，合同要求魚群的生產(chǎn)能力不能受到太大的破壞。已知承包時各年齡組魚群的數(shù)量分別為：122,29.7,10.1,3.29(×

4、;109條），如果仍用固定努力量的捕撈方式，該公司采取怎樣的策略才能使總收獲量最高。 二、問題分析對于問題中，各年齡組魚的自然死亡率均為0.8（/年），我們做了分析和理解，得出結(jié)論，題目中所指的0.8每年的死亡率，指的應(yīng)該是1，2，3，4齡魚的自然死亡的數(shù)量，加上3，4齡魚的捕撈掉的數(shù)量?？偟膩碚f，當(dāng)前8個月捕撈過后，且3，4齡魚產(chǎn)卵的小魚沒有孵化，12個月后，池塘里剩下的魚就只有年初時魚群總數(shù)的0.2。這0.2就包括自然死亡率下剩下的1齡魚和2齡魚，還有自然死亡率下的在捕撈剩下的3、4齡魚。題目中的自然死亡率，由于在捕撈期，魚除了自然死亡，還有捕撈掉的，產(chǎn)卵四個月，只有自然死亡率，所以求得日

5、自然死亡率便于計算。對捕撈系數(shù)比為0.42：1的理解，如果設(shè)捕撈強度是k,那么打一次魚，其中，3齡魚和4齡魚的數(shù)量就是0.42k和k。 對問題一中的可持續(xù)捕撈的理解。要保證池塘里的魚可持續(xù)捕撈。就得保證，在捕撈期過后，剩下的3，4齡魚產(chǎn)生足夠的魚卵，只有在這樣的情況下，才能保證，第二年的時候，有足夠多的1齡魚誕生。保證可持續(xù)捕撈。且，由題目所得成活率（齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵總是 n 之比）為 可知，1齡魚的數(shù)量也影響了，卵的成活率。 問題一中，它所求的是，在滿足上面可持續(xù)捕撈的情況，得到最高的年收獲量，即就是捕撈的總重量最大；那么在兩個捕撈強度系數(shù)比0.42：1，3齡魚17.86，4齡魚22.99，且

6、產(chǎn)卵能力平均每條齡魚的產(chǎn)卵量為1.109×105(個）；齡魚的產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，在這幾種情況下，既要保證來年1齡魚的數(shù)量，又要保證捕撈的重量，建立模型，它們之間的最優(yōu)即為本題所解。我們根據(jù)題目給出的數(shù)據(jù)，計算出了第n年捕撈的3齡魚和4齡魚的數(shù)量，再根據(jù)每年各齡組魚群不變寫出等價關(guān)系式，計算出應(yīng)捕撈的魚，最后計算出了捕撈總重量。對于問題二，要求在魚群的生產(chǎn)能力不遭到太大破壞的條件下得到最大收獲量，即捕撈的3齡魚和4齡魚的總重量最大。要做到魚群的生產(chǎn)能力不遭到太大破壞，我們理解為到第五年的時候各齡魚的數(shù)量之比始終保持不變。我們通過計算捕撈的3齡魚和4齡魚的總重量和剩下的3齡魚和4齡魚

7、的產(chǎn)卵數(shù)列出關(guān)系式，最后由各齡魚數(shù)量比例不變求出當(dāng)年保持生態(tài)平衡的最優(yōu)捕撈強度。為此，我們做出了兩種假設(shè)。1、 從第一年到第五年，3齡魚和4齡魚的捕撈強度始終不變。在這種假設(shè)下，我們設(shè)每年四齡魚捕撈強度為，三齡魚捕撈強度為。由于每年的捕撈強度始終不變，所以只需要使第二年保持平衡即可使第五年保持平衡。2、 從第一年到第五年，3齡魚和4齡魚的捕撈強度始終改變。在這種假設(shè)下，我們設(shè)第n年4齡魚捕撈的數(shù)量為，3齡魚捕撈的數(shù)量為。三、模型假設(shè)1、 在捕撈的過程中，魚群的自然死亡率不會受到影響；2、 在產(chǎn)卵期間自然死亡的3，4齡魚都忽略產(chǎn)卵；3、 一個月平均30天；4、 在一個漁場中魚的均勻分布；5、 每

8、一次下網(wǎng)打到的魚比例都滿足0.42：1；不會因為在某個區(qū)域，打到的魚偏差太大；6、 只能捕撈到3，4齡魚，偶爾捕撈到的1，2齡魚，忽略不計；7、 漁場中的生態(tài)環(huán)境穩(wěn)定，不與外界發(fā)生太大聯(lián)系，無外界生物破壞生態(tài)環(huán)境穩(wěn)定；8、 漁場環(huán)境容納量足夠大；四、符號說明符號含義NitNt表示（i=0，1， 2，3，4）齡魚數(shù)量表示時間表示捕撈后剩下的3、4齡魚（t= 3、4）SP死亡率（0.8）表示存活率rQQi日自然死亡率產(chǎn)卵總數(shù)表示產(chǎn)卵能力（i= 3，4）WW1 表示3，4齡魚的捕撈重量表示無可持續(xù)的捕撈量K表示捕撈系數(shù)強度Kc捕撈調(diào)節(jié)系數(shù)Ti表示捕撈強度（i=0,1,2,3,4,5）Ni(t)表示第

9、t年，的i齡魚（i=1 2 3 4 t = 1 2 3 4 5 ）X捕撈3齡魚數(shù)量Y捕撈4齡魚數(shù)量 五、模型的建立與求解1.問題一 1、由于1，2齡魚和非捕撈期的3，4齡魚只有自然死亡率，所以求得日自然死亡率就相對關(guān)鍵：則 解得： 2、 產(chǎn)卵量直接決定了，魚群能否可持續(xù)發(fā)展，求得在捕撈期過后的產(chǎn)卵數(shù)： 求來年1齡魚的數(shù)目，即卵成活率： 3、4齡魚的捕撈強度為K： 4、 模型建立：(求保證產(chǎn)卵量一定時，在什么樣的捕撈調(diào)節(jié)系數(shù)下，W最大) 在不追求可持續(xù)捕撈下： 在追求可持續(xù)捕撈情況下，加入調(diào)節(jié)系數(shù)：Kc 表示在追求可持續(xù)發(fā)展（產(chǎn)卵量）的情況下放回多少3 齡魚 和 4 齡魚的比例。 解得 ： X=

10、 2.006*105 Y=6.889*105 Kc = 0.295、 約束條件： (Nt3 - Nt3*r) + 2 *（Nt4 - Nt4 *r)*Q3 Q Nt3 = (0.58K*(Ni3 - Nt3) + Kc *(Ni3 - Nt3 )Nt4= (K*（Ni4 - Nt4) + Kc *(Ni4 - Nt4 )）Max(W) W1 2. 問題二 1、第一種假設(shè)： 每年捕撈的強度系數(shù)都在固定波動范圍內(nèi)（Ki > = 90% K）模型建立：在可持續(xù)發(fā)展的條件下，我們加入了捕撈調(diào)節(jié)系數(shù)Kc，求得捕撈起來的魚的總重量W3=(0.42*t*Ni3*(1-r*240)-Kc*0.42*t*

11、Ni3(1-r*240)*17.86W4=(t*Ni4*(1-r*240)-Kc*t*Ni4(1-r*240)*22.99W總= W3+W4產(chǎn)卵數(shù)決定了來年1齡魚的數(shù)量，求得捕撈過后的產(chǎn)卵數(shù)Q4 = 2 * Q3Q=（Ni3-0.42*T0*Ni3*（1-r*240）+Kc*0.42* T0*Ni3*（1-r*240）*Q3*（1-r*120）+（Ni4- T0*Ni4*（1-r*240）+Kc* T0*Ni4*（1-r*240）*Q4*（1-r*120）存活的產(chǎn)卵數(shù)即來年1齡魚的數(shù)目為：Ni1=Q*（1.22*1011/（1.22*1011+Q）*（1-r*120）來年4齡魚的數(shù)量為當(dāng)年3齡

12、魚剩下的數(shù)量與當(dāng)年4齡魚剩下的數(shù)量之和Nt3=(Ni3-0.42* T0*Ni3(1-r*240)*(1-r*120)Nt4=(Ni4- T0*Ni4(1-r*240)*(1-r*120)約束條件：Ni1: Ni2: Ni3: Ni4=Q:(Ni1*(1-r*360): (Ni2*(1-r*360):(Nt3+Nt4) = 122 ： 29.7：10.1 ：3.292、 第二種假設(shè)： 每年的捕撈系數(shù)不一樣，但是最終5年后，能保證漁場的生態(tài)不受影響。即魚群的數(shù)量122,29.7,10.1,3.29(×109條）這個范圍內(nèi)（大于90%）2.1可求得第五年產(chǎn)卵數(shù)和剩下的3，4齡魚，1.22

13、 * 1111 = Q *1.22*1011/(1.22*1011+Q) Q (5) = (N3(5) - N3(5) *r*120) * Q3 + 2 *（N4(5) - (N4(5) *r*120)*Q3 = (N3(5) - N3(5)*r) + 2 *（N4(5) - N4(5) *r)*Q3 3.29 * 109 = N3(5) - N3(5)*r*365 + N4(5) - N4(5) *r*3652.2第六年的3齡魚是第五年的2齡魚，第四年的1齡魚，第三年的產(chǎn)卵數(shù)： 10.1 *109 = N2(5) - N2(5)*r*365 N2(5) = N1(4) - N1(4)*r*3

14、65 Q(3) = (N3(3) - N3(3) *r*120) * Q3 + 2 *（N4(3) - (N4(3) *r*120)*Q3 = (N3(3) - N3(3)*r) + 2 *（N4(3) - N4(3) *r)*Q3N1(4)= Q(3) *1.22*1011/(1.22*1010 +Q(3)(第三年的3，4齡魚，第六年，在自然死亡率下，全死亡)2.3 第六年的2齡魚是第五年的1齡魚，第四年的產(chǎn)卵數(shù)： 29.7 *109 = N1(5) - N1(5)*r*365 Q(4) = (N3(4) - N3(4) *r*120) * Q3 + 2 *（N4(4) - (N4(4) *

15、r*120)*Q3 = (N3(4) - N3(4)*r) + 2 *（N4(4) - N4(4) *r)*Q3N1(5)= Q(4) *1.22*1011/(1.22*1010 +Q(4)2.4 第六年的4齡魚是由第五年的3齡魚和捕撈剩下的4齡魚組成，可以由第五年打撈量來調(diào)節(jié)保證第六年4齡魚的數(shù)量。2.5 第一年的1齡魚，是第二年的2齡魚，是第三年的3齡魚，第四年的4齡魚：N1(1) =1.22 *1011N2(2) = N1(1) - N1(1)*r*365N3(3) = N2(2) - N2(2)*r*365 Q(3) = (N3(3) - N3(3) *r*120) * Q3 + 2

16、*（N4(3) - (N4(3) *r*120)*Q3N1(4)= Q(3) *1.22*1011/(1.22*1010 +Q(3)N4(4) = 0.58K* N3(3) - N3(3)*r*1202.6 第一年的2齡魚，是第二年的3齡魚，是第三年的4齡魚：N2(1) = 29.7 *109 N3(2) = N2(1) - N2(1)*r*365Q(2) = (N3(2) - N3(2) *r*120) * Q3 + 2 *（N4(2) - (N4(2) *r*120)*Q3N1(3)= Q(2) *1.22*1011/(1.22*1010 +Q(2)2.7第一年的3齡魚，是第二年的4齡魚：

17、N3(1) = 10.1 *109 N4(1) = 3.29*109 Q(1) = (N3(1) - N3(1) *r*120) * Q3 + 2 *（N4(1) - (N4(1) *r*120)*Q3 N1(2) = Q(1) *1.22*1011/(1.22*1010 +Q(1)總結(jié)分析： 要保證第六年的各齡魚群數(shù)量，就要保證第五年的捕撈剩下的3齡魚和剩下的4齡魚在自然死亡率下，變成第六年的4齡魚，數(shù)量為3.29*109 ，同時滿足第五年捕撈剩下的3齡魚和4齡魚產(chǎn)卵變成第六年的1齡魚，數(shù)量為1.22*1011，根據(jù)產(chǎn)卵成活率，可求的3，4齡魚數(shù)量，第六年的3齡魚由第五年2齡魚變成，且沒有經(jīng)

18、過捕撈，只在自然死亡率下變化，根據(jù)第五年2齡魚的數(shù)量，可以計算出，第四年的1齡魚，第三年最少要留下多少3，4齡魚，第六年的2齡魚由第五年1齡魚變成，可求得第四年剩下產(chǎn)卵的3，4齡魚；而且，漁場第一年開始捕撈的時候，漁場也滿足生態(tài)平衡，即1，2，3，4齡魚的數(shù)量在波動范圍內(nèi)和第六年一樣，可以求得第二年的3齡魚數(shù)量，第三年的3齡魚數(shù)量。由上分析，只需要調(diào)節(jié)保證第3，4，5年的捕撈量使得第六年魚群數(shù)量滿足生態(tài)穩(wěn)定既可。則1，2年的捕撈量均在捕撈強度（0.42：1）下取最大值，加上保證第六年穩(wěn)定的3，4，5年打撈量，就是5年內(nèi)打撈的最大量，由此建立模型。模型建立： W（1） = 0.42*k*(N3(

19、1)）*17.86K*(N4(1) )*22.99 W（2） = 0.42*k*(N3(2) ）*17.86K*(N4(2) )*22.99W(1)和W(2)因為不用參與調(diào)節(jié)第六年的魚群數(shù)量，每年的4齡魚范圍內(nèi)都撈完； W(3) =( 0.42*k*(N3(3) ）*17.86K*(N4(3) ) *22.99- Kc1( 0.42*k*(N3(3) *17.86 - Kc1( K*(N4(3) -)*22.99 Kc1用于調(diào)節(jié)第三年放回3，4齡魚產(chǎn)卵量和體重的最優(yōu)系數(shù)，保證第四年的1齡魚數(shù)量 W(4) =( 0.42*k*(N3(4) ）*17.86K*(N4(4)*22.99 - Kc2(

20、 0.42*k*(N3(4) - Kc2( K*(N4(4) *22.99Kc2用于調(diào)節(jié)第四年放回3，4齡魚產(chǎn)卵量和體重的最優(yōu)系數(shù)，保證第五年的1齡魚數(shù)量 W(5) =( 0.42*k*(N3(5) ）*17.86K*(N4(5) )*22.99 - Kc3( 0.42*k*(N3(5)*17.86 -Kc2( K*(N4(5) )*22.99 Kc3用于調(diào)節(jié)第5年放回3，4齡魚產(chǎn)卵量和體重的最優(yōu)系數(shù)，保證第6年的1齡魚數(shù)量 W(總) = 約束條件： (N3(3) ) * Q3 + 2 *（N4(3) )*Q3 Q(3) (N3(4) ) * Q3 + 2 *（N4(4) )*Q3 Q(4) W(總) =< 5*W(1)N1(1) =1.22 *1011 N2(2) = N1(1) - N1(1)*r*365N3(3) = N2(2) - N2(2)*r*365求解運算： W(1) = 8.321*105tW(2) = 2.051*10 5tW(3) = 5.863*105tW(4) = 3.164*105t W(5) =1.042*105t W(總) = 20.441 *105t6、 模型評價與不足1、 在本模型中，我們對鯧魚的自然死亡率，產(chǎn)卵量進行了計算，通過可持續(xù)發(fā)展這個條件建立了等式，簡潔明了，具有普遍性。2、 在本模型中，我們考慮了生態(tài)可持續(xù)發(fā)展這一條件