單位圓中的三角函數(shù)線

1、 由三角函數(shù)的定義我們知道，對(duì)于角由三角函數(shù)的定義我們知道，對(duì)于角的各種三角函數(shù)我們都是用的各種三角函數(shù)我們都是用比值比值來(lái)表示的，來(lái)表示的，或者說(shuō)是用或者說(shuō)是用數(shù)數(shù)來(lái)表示的，今天我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)來(lái)表示的，今天我們?cè)賮?lái)學(xué)習(xí)正弦、余弦、正切函數(shù)正弦、余弦、正切函數(shù)的另一種的另一種表示方法表示方法幾何表示法幾何表示法 。從圖形上找出三角函數(shù)的。從圖形上找出三角函數(shù)的幾何意義，就能實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的完美統(tǒng)一幾何意義，就能實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的完美統(tǒng)一. . 知識(shí)探究（一）：知識(shí)探究（一）：正弦線和余弦線正弦線和余弦線 思考思考1 1：如圖，設(shè)角如圖，設(shè)角為第一象限角，其為第一象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為終邊與單位圓的

2、交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 ， 都是正數(shù)，你能分都是正數(shù)，你能分別用一條線段表示角別用一條線段表示角的正弦值和余弦的正弦值和余弦值嗎？值嗎？sinycosxP P（x x，y y）O Ox xy yM|sinMPy|cosOMx思考思考2 2：若角若角為第三象限角，其終邊為第三象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 ， 都是負(fù)數(shù)，此時(shí)都是負(fù)數(shù)，此時(shí)角角的正弦值和余弦值分別用哪條線的正弦值和余弦值分別用哪條線段表示？段表示？sinycosx|sinMPy|cosOMxP P（x x，y y）O Ox xy yM M思考思考3 3：為了簡(jiǎn)化上

3、述表示，我們?cè)O(shè)想為了簡(jiǎn)化上述表示，我們?cè)O(shè)想將線段的兩個(gè)端點(diǎn)規(guī)定一個(gè)為始點(diǎn)，另將線段的兩個(gè)端點(diǎn)規(guī)定一個(gè)為始點(diǎn)，另一個(gè)為終點(diǎn)，使得線段具有方向性，帶一個(gè)為終點(diǎn)，使得線段具有方向性，帶有正負(fù)值符號(hào)有正負(fù)值符號(hào). .根據(jù)實(shí)際需要，應(yīng)如何根據(jù)實(shí)際需要，應(yīng)如何規(guī)定線段的正方向和負(fù)方向？規(guī)定線段的正方向和負(fù)方向？規(guī)定：線段從始點(diǎn)到終點(diǎn)與坐標(biāo)軸同向規(guī)定：線段從始點(diǎn)到終點(diǎn)與坐標(biāo)軸同向時(shí)為正方向，反向時(shí)為負(fù)方向時(shí)為正方向，反向時(shí)為負(fù)方向. . 思考思考4 4：規(guī)定了始點(diǎn)和終點(diǎn)，帶有方向的線規(guī)定了始點(diǎn)和終點(diǎn)，帶有方向的線段，叫做段，叫做有向線段有向線段. .由上分析可知，當(dāng)角由上分析可知，當(dāng)角為第一、三象限角時(shí)，為

4、第一、三象限角時(shí)，sinsin、coscos可可分別用有向線段分別用有向線段MPMP、OMOM表示，即表示，即MP= sinMP= sin，OM=cosOM=cos，那么當(dāng)角，那么當(dāng)角為第二、四象限角為第二、四象限角時(shí)，你能檢驗(yàn)這個(gè)表示正確嗎？時(shí)，你能檢驗(yàn)這個(gè)表示正確嗎？ P P（x x，y y）O Ox xy yM MP P（x x，y y）O Ox xy yM M思考思考5 5：設(shè)角設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的終邊與單位圓的交點(diǎn)為為P P，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P P作作x x軸的垂線，垂足為軸的垂線，垂足為M M，稱，稱有向線段有向線段MPMP，OMOM分別為角分別為角的的正弦線和正弦線和余弦線余弦線

5、. .當(dāng)角當(dāng)角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，角角的正弦線和余弦線的含義如何？的正弦線和余弦線的含義如何？P PO Ox xy yM MO Ox xy yP PP P思考思考6 6：設(shè)設(shè)為銳角，你能根據(jù)正弦線和為銳角，你能根據(jù)正弦線和余弦線說(shuō)明余弦線說(shuō)明sinsincoscos1 1嗎？嗎？P PO Ox xy yMMPMPOMOMOP=1OP=1知識(shí)探究（二）：知識(shí)探究（二）：正切線正切線 A AT T思考思考1 1：如圖，設(shè)角如圖，設(shè)角為第一象限角，其為第一象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為終邊與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 是是正數(shù)正數(shù)，用哪條有向線段表示，用哪條

6、有向線段表示角角的正切值最合適？的正切值最合適？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATxAT T思考思考2 2：若角若角為第四象限角，其終邊為第四象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 是是負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角，此時(shí)用哪條有向線段表示角的正切值最合適？的正切值最合適？tanyxP PO Ox xy yM MtanyATxA AT TA AT TP PO Ox xy yM M思考思考3 3：若角若角為第二象限角，其終邊為第二象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 是負(fù)數(shù)，此時(shí)用哪條有向

7、線段表示角是負(fù)數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角的正切值最合適？的正切值最合適？tanyxtanyATxtanyx思考思考4 4：若角若角為第三象限角，其終邊為第三象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為與單位圓的交點(diǎn)為P P（x x，y y），則），則 是正數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角是正數(shù)，此時(shí)用哪條有向線段表示角的正切值最合適？的正切值最合適？P PO Ox xy yM MA AT TA AT TtanyATx思考思考5 5：根據(jù)上述分析，你能描述正切線根據(jù)上述分析，你能描述正切線的幾何特征嗎？的幾何特征嗎？過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A A（1 1，0 0）作單位圓的切線，與角）作單位圓的切線，與角的終邊或其反向延長(zhǎng)線相

8、交于點(diǎn)的終邊或其反向延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)T T，則，則AT=tanAT=tan. .A AT TO Ox xy yP PA AT TO Ox xy yP P思考思考6 6：當(dāng)角當(dāng)角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，角的正切線的含義如何？的正切線的含義如何？O Ox xy yP PP P當(dāng)角當(dāng)角的終邊在的終邊在x x軸上時(shí)，角軸上時(shí)，角的正切線的正切線是一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)角是一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)角的終邊在的終邊在y y軸上時(shí)，角軸上時(shí)，角的正切線不存在的正切線不存在. .三種三角函數(shù)的三種三角函數(shù)的幾何表示幾何表示sin(yMPMPrOP 正弦線正弦線) )cos(xOMOMrOP 余弦線余弦線) )tan(y

9、ATATxOA 正切線正切線) )應(yīng)特別注意正弦線、余弦線、正切線的位置、方向、符號(hào) 正弦線為的終邊與單位圓“交點(diǎn)”到x軸的垂直線段，由“垂足”指向“交點(diǎn)”，與y軸同向?yàn)檎?、反向?yàn)樨?fù)； 余弦線在x軸上，由“原點(diǎn)”指向“垂足”，與x軸同向?yàn)檎?，反向?yàn)樨?fù)； 正切線在過(guò)單位圓與x軸正向的交點(diǎn)的切線上，由“切點(diǎn)”指向與終邊的交點(diǎn)，與y軸同向?yàn)檎聪驗(yàn)樨?fù)yxoPMAT 的終邊例、例、分別作出分別作出 的正弦線、余弦線、正切線的正弦線、余弦線、正切線.yPxoATM解：在直角坐標(biāo)系中作單位圓如圖示2以x軸的正半軸為始邊作出的角，3其終邊與單位圓交于P點(diǎn)，作PMx軸，垂足為M，由單位圓與x軸的正半軸的交點(diǎn)

10、A作x軸的垂線,與OP的反向延長(zhǎng)線交于T點(diǎn)，則sincos,OMAT222 MP,tan333正弦線、余弦線、正切線分別為MP,OM,AT23 練習(xí):P17 T2 3)思考：思考：對(duì)于不等式對(duì)于不等式（其中（其中為銳角），你能用數(shù)形結(jié)合為銳角），你能用數(shù)形結(jié)合思想證明嗎？思想證明嗎？si ntanaaaP PO Ox xy yM MA AT T小結(jié)小結(jié)1.1.三角函數(shù)線是三角函數(shù)的一種幾何表示，三角函數(shù)線是三角函數(shù)的一種幾何表示，即用有向線段表示三角函數(shù)值，是今后進(jìn)一即用有向線段表示三角函數(shù)值，是今后進(jìn)一步研究三角函數(shù)圖象的有效工具步研究三角函數(shù)圖象的有效工具. .2.2.正弦線的始點(diǎn)隨角的終

11、邊位置的變化而正弦線的始點(diǎn)隨角的終邊位置的變化而變化，余弦線和正切線的始點(diǎn)都是定點(diǎn)，變化，余弦線和正切線的始點(diǎn)都是定點(diǎn)，分別是原點(diǎn)分別是原點(diǎn)O O和點(diǎn)和點(diǎn)A A（1 1，0 0）. .3.3.利用三角函數(shù)線處理三角不等式問(wèn)題，利用三角函數(shù)線處理三角不等式問(wèn)題，是一種重要的方法和技巧，也是一種數(shù)形是一種重要的方法和技巧，也是一種數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想結(jié)合的數(shù)學(xué)思想. .例例. 已知已知(0， )，試證明，試證明sintan .2證明：證明：sin=|ON|=|MP|, =APtan=|AT|.又又OATOAPSS扇形所以所以1122OAOA AT即即sintan .例例.比較大?。罕容^大?。?1) sin1和和sin1.5; (2) cos1和和cos1.5; (3) tan2和和tan3.解：由三角函數(shù)線得解：由三角函數(shù)線得sin1cos1.5tan2tan3例例. 已知已知sinx=0.5，求角，求角x的大小的大小.(0 x360)解：由在解：由在y軸上找軸上找到到y(tǒng)=0.5的點(diǎn)，做的點(diǎn)，做x軸的平行線，軸的平行線，交單位圓于點(diǎn)交單位圓于點(diǎn)P和和P兩點(diǎn)，由三兩點(diǎn)，由三角函數(shù)線知角函數(shù)線知x1=30, x2=150.例例. 利用三角函數(shù)線證明利用三角函數(shù)線證明|sin|+|cos|1.證明：在證明：在OMP中，中，O