靜電場(chǎng)環(huán)路定理

1、1-3電場(chǎng)力的功電場(chǎng)力的功 電勢(shì)電勢(shì)rdrr cl dcE ba保守力保守力dlEql dEql dFdAcos00drdl cos其中其中 baEdrqA0EdrqdA0 則則與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān) qarbrdr)11(400barrqq 一電場(chǎng)力做功的特點(diǎn)一電場(chǎng)力做功的特點(diǎn)q0barrodrrqq204 推廣推廣 banabl d)EEE(qA210 bababanl dEql dEql dEq02010 iibiain)rr(qqAAA1140021 (與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān))結(jié)論結(jié)論 試驗(yàn)電荷在任何靜電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)，靜電場(chǎng)力所做的功試驗(yàn)電荷在任何靜電場(chǎng)中移動(dòng)時(shí)，靜電場(chǎng)力所做的功只與路徑的起

2、點(diǎn)和終點(diǎn)位置有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān)。只與路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)位置有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān)。 靜電場(chǎng)力是保守力靜電場(chǎng)力是保守力! acbadbl dEql dEq000二、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理二、靜電場(chǎng)的環(huán)路定理abcd即靜電場(chǎng)力移動(dòng)電荷沿任一閉和路徑所作的功為零。即靜電場(chǎng)力移動(dòng)電荷沿任一閉和路徑所作的功為零。00 q0LldEq0沿閉合路徑沿閉合路徑 a c b d a 一周電場(chǎng)力所作的功一周電場(chǎng)力所作的功l dEqA0在靜電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)流恒為零。在靜電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)流恒為零。 靜電場(chǎng)的環(huán)路定理靜電場(chǎng)的環(huán)路定理acbbdal dEql dEq00b點(diǎn)電勢(shì)能點(diǎn)電勢(shì)能bW則則ab電場(chǎng)力的功電場(chǎng)力的功 ba

3、abldEqA0baWW 0 W取取 aaaldEqAW0試驗(yàn)電荷試驗(yàn)電荷 處于處于0qa點(diǎn)電勢(shì)能點(diǎn)電勢(shì)能aWab三、電勢(shì)能三、電勢(shì)能保守力的功保守力的功 = 相應(yīng)勢(shì)能的減少相應(yīng)勢(shì)能的減少所以所以 靜電力的功靜電力的功=電勢(shì)能的減少電勢(shì)能的減少 =電勢(shì)能增量的負(fù)值電勢(shì)能增量的負(fù)值)(abWW 注意：注意：1.引入電勢(shì)能的目的是量度兩點(diǎn)間電場(chǎng)力的功；引入電勢(shì)能的目的是量度兩點(diǎn)間電場(chǎng)力的功；2.Wa與零點(diǎn)選擇有關(guān)；與零點(diǎn)選擇有關(guān)；3. Wa屬于屬于q0及電場(chǎng)系統(tǒng)共有及電場(chǎng)系統(tǒng)共有. aaaldEqWu0定義定義電勢(shì)差電勢(shì)差 電場(chǎng)中任意兩點(diǎn)電場(chǎng)中任意兩點(diǎn) 的的電勢(shì)之差（電壓）電勢(shì)之差（電壓）bauu

4、 abbaabl dEl dEuuu bal dE aaldEqW0四、電勢(shì)四、電勢(shì) 電勢(shì)差電勢(shì)差單位正電荷在該點(diǎn)單位正電荷在該點(diǎn)所具有的電勢(shì)能所具有的電勢(shì)能單位正電荷從該點(diǎn)到無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)單位正電荷從該點(diǎn)到無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(電勢(shì)零點(diǎn)電勢(shì)零點(diǎn))電場(chǎng)力所作的功電場(chǎng)力所作的功 a、b兩點(diǎn)的電勢(shì)差數(shù)值上等于將單位正電荷兩點(diǎn)的電勢(shì)差數(shù)值上等于將單位正電荷從從a點(diǎn)移到點(diǎn)移到b時(shí)，電場(chǎng)力所做的功。時(shí)，電場(chǎng)力所做的功。 定義定義電勢(shì)電勢(shì) 將電荷將電荷q從從ab電場(chǎng)力的功電場(chǎng)力的功 baldEq0baabWWA )(0bauuq 注意注意1、電勢(shì)是相對(duì)量，電勢(shì)零點(diǎn)的選擇是任意的。、電勢(shì)是相對(duì)量，電勢(shì)零點(diǎn)的選擇是任意的。對(duì)于

5、有限帶電體而言對(duì)于有限帶電體而言,電勢(shì)零點(diǎn)的選擇在電勢(shì)零點(diǎn)的選擇在無(wú)限無(wú)限遠(yuǎn)點(diǎn)遠(yuǎn)點(diǎn);對(duì)于儀器而言電勢(shì)零點(diǎn)的選擇在底板上對(duì)于儀器而言電勢(shì)零點(diǎn)的選擇在底板上.2、兩點(diǎn)間的電勢(shì)差與電勢(shì)零點(diǎn)選擇無(wú)關(guān)。、兩點(diǎn)間的電勢(shì)差與電勢(shì)零點(diǎn)選擇無(wú)關(guān)。1 1、點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的電勢(shì)點(diǎn)電荷電場(chǎng)中的電勢(shì)r qP 0r如圖如圖 P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為 0204rrqE PrPrqdrrqldEu02044 由電勢(shì)定義得由電勢(shì)定義得討論討論 對(duì)稱性對(duì)稱性: :大小大小以以 q 為球心的同一球面上的點(diǎn)為球心的同一球面上的點(diǎn),電勢(shì)相等電勢(shì)相等.最最小小ururuq 00最最大大ururuq 00五、電勢(shì)的計(jì)算五、電勢(shì)的計(jì)算根據(jù)電場(chǎng)疊

6、加原理場(chǎng)中任一點(diǎn)的根據(jù)電場(chǎng)疊加原理場(chǎng)中任一點(diǎn)的2、電勢(shì)疊加原理、電勢(shì)疊加原理若場(chǎng)源為若場(chǎng)源為q1 、q2 qn的點(diǎn)電荷系的點(diǎn)電荷系場(chǎng)強(qiáng)場(chǎng)強(qiáng)電勢(shì)電勢(shì)nE.EEE 21 PPnl dEEEl dEu)(21 niinuu.uu121各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)電勢(shì)的代數(shù)和各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)電勢(shì)的代數(shù)和.(標(biāo)量疊加標(biāo)量疊加). PPnPl dE.l dEl dE21由電勢(shì)疊加原理，由電勢(shì)疊加原理，P的電勢(shì)為的電勢(shì)為點(diǎn)電荷系的電勢(shì)點(diǎn)電荷系的電勢(shì) iiirquu04 rdqduu04 連續(xù)帶電體的電勢(shì)連續(xù)帶電體的電勢(shì)由電勢(shì)疊加原理由電勢(shì)疊加原理dqP r1r 1q 2qnq 2rnr 根據(jù)已知的場(chǎng)強(qiáng)分

7、布，按定義計(jì)算根據(jù)已知的場(chǎng)強(qiáng)分布，按定義計(jì)算 由點(diǎn)電荷電勢(shì)公式，利用電勢(shì)疊加原理計(jì)算由點(diǎn)電荷電勢(shì)公式，利用電勢(shì)疊加原理計(jì)算 PPldEu電勢(shì)計(jì)算的三種電勢(shì)計(jì)算的三種方法方法：rdqduu04前提：前提：無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn) 利用已知電勢(shì)結(jié)果利用已知電勢(shì)結(jié)果 + 電勢(shì)疊加原理電勢(shì)疊加原理例例1 、求電偶極子電場(chǎng)中任一點(diǎn)求電偶極子電場(chǎng)中任一點(diǎn)P的電勢(shì)的電勢(shì)lOq q XYr1r2r ),(yxP 2101220104)(44rrrrqrqrquuuqqP由疊加原理由疊加原理lr cos12lrr 221rrr 20cos4rlqu 222yxr 22cosyxx 其中其中23220

8、)(41yxpxuVrqu3011088. 244rO2q1q4q3q課堂練習(xí)：已知正方形頂點(diǎn)有四個(gè)等量的點(diǎn)電荷課堂練習(xí)：已知正方形頂點(diǎn)有四個(gè)等量的點(diǎn)電荷r=5cmC9100 . 4 求求將將求該過(guò)程中電勢(shì)能的改變求該過(guò)程中電勢(shì)能的改變oucq90100 . 1 0電場(chǎng)力所作的功電場(chǎng)力所作的功JquuqA8300001088. 2)1088. 20()(電勢(shì)能電勢(shì)能 01088. 2800WWA Rdqr Px例例2、求均勻帶電圓環(huán)軸線、求均勻帶電圓環(huán)軸線上的電勢(shì)分布。已知：上的電勢(shì)分布。已知：R、q解解:方法一方法一 微元法微元法rdqdu04 rdqduuP04 2204xRq 方法二方法

9、二 定義法定義法由電場(chǎng)強(qiáng)度的分布由電場(chǎng)強(qiáng)度的分布23220)(4RxqxE ppxxRxqxdxEdxu23220)(4OXYZl d例例3、求均勻帶電球面電場(chǎng)中電勢(shì)的分布，已知、求均勻帶電球面電場(chǎng)中電勢(shì)的分布，已知R, q,解解: 方法一方法一 疊加法疊加法 (微元法微元法)任一圓環(huán)任一圓環(huán)RdRdSsin2dRdSdqsin22ldRldqdu sin2414200 ldq08sin drRldlsin22 rRqdldu08 cos2222RrrRl RrRrrqrRqdlu0048 RrRr rRrRRqrRqdlu0048 ORPr 方法二方法二 定義法定義法Rr Rr 由高斯定理求

10、出場(chǎng)強(qiáng)分布由高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng)分布Rr Rr E204rq 0 PldEu由定義由定義 RrRl dEl dEu Rdrrq2040 Rq04 rdrrqu204 rq04 ORPrOR rEE1/r2uu1/r課堂練習(xí)課堂練習(xí) ：求等量異號(hào)的同心帶電球面的電勢(shì)差：求等量異號(hào)的同心帶電球面的電勢(shì)差 已知已知+q 、-q、RA 、RB ARBRq q 解解: 由高斯定理由高斯定理ARr BRr 204rq BARrR E0由電勢(shì)差定義由電勢(shì)差定義 BAABuuu BARRBABARRqdrrql dE)11(44020 思考：思考：內(nèi)、外球面上的電勢(shì)分別是多少？?jī)?nèi)、外球面上的電勢(shì)分別是多少？ 例例

11、4 4：點(diǎn)電荷：點(diǎn)電荷q q處于處于A A點(diǎn)，若以點(diǎn)，若以B B作為電勢(shì)零點(diǎn)作為電勢(shì)零點(diǎn)。 求求C C點(diǎn)的電勢(shì)。點(diǎn)的電勢(shì)。ABCqr1r2解題思路：解題思路：兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差與電勢(shì)零點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)。兩點(diǎn)之間的電勢(shì)差與電勢(shì)零點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)。點(diǎn)）（選無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)）選 B ( 000 CCBUUBBr例例5 5：求無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)中的電勢(shì)分布。：求無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)中的電勢(shì)分布。 BP l dEUCrln2rln2rln20B00 BrB解：選取解：選取 點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，B點(diǎn)距帶電點(diǎn)距帶電直導(dǎo)線為直導(dǎo)線為 。drr2B rr0 當(dāng)電荷分布到無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，電勢(shì)零點(diǎn)不能

12、再選在無(wú)窮遠(yuǎn)。當(dāng)電荷分布到無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，電勢(shì)零點(diǎn)不能再選在無(wú)窮遠(yuǎn)。PrA 利用已知電勢(shì)結(jié)果加電勢(shì)疊加原理利用已知電勢(shì)結(jié)果加電勢(shì)疊加原理例例1 1：求均勻帶電圓盤中心軸線上一點(diǎn)的電勢(shì)：求均勻帶電圓盤中心軸線上一點(diǎn)的電勢(shì)例例2 :2 :半徑均為半徑均為R R的兩個(gè)球體相交的兩個(gè)球體相交, ,球心球心距離距離o o1 1o o2 2=d=d，不重疊部分均勻帶電，電，不重疊部分均勻帶電，電荷體密度左側(cè)為荷體密度左側(cè)為 ，右側(cè)為，右側(cè)為 。求距離求距離o o2 2為為r r的的P P點(diǎn)的電勢(shì)。點(diǎn)的電勢(shì)。12 2Pr提示提示: :將相交部分看成帶將相交部分看成帶 電荷。電荷。提示：將圓盤看成許多圓環(huán)組成提示：

13、將圓盤看成許多圓環(huán)組成rrdRrRrdRUP113434434030303 求單位正電荷沿求單位正電荷沿odc 移至移至c ，電場(chǎng)力所作的功，電場(chǎng)力所作的功 將單位負(fù)電荷由將單位負(fù)電荷由 O O電場(chǎng)力所作的功電場(chǎng)力所作的功 課堂練習(xí)課堂練習(xí) ：如圖已知如圖已知+q 、-q、Rq q RRR0dabc求單位正電荷沿求單位正電荷沿odc 移至移至c ，電場(chǎng)力所作的功，電場(chǎng)力所作的功 將單位負(fù)電荷由將單位負(fù)電荷由 O O電場(chǎng)力所作的功電場(chǎng)力所作的功 )(coocuuqARq06 0)(oOuuqA課堂練習(xí)答案課堂練習(xí)答案 ：如圖已知如圖已知+q 、-q、Rq q RRRodabc)434(000Rq

14、Rq用同心均勻帶電球面的電勢(shì)用同心均勻帶電球面的電勢(shì), 求求 Ua、 Ub、 UcQ1Q2rarbrc功、電勢(shì)差、電勢(shì)能之間的關(guān)系功、電勢(shì)差、電勢(shì)能之間的關(guān)系 bababaabWWuuql dEqA)(討討 論論bauu bauu 2.0 abAbaWW 則則則則0 q0 q.0 abAbaWW 0 q則則0 q則則bauu bauu 1-4 場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系一、一、 等勢(shì)面等勢(shì)面等勢(shì)面等勢(shì)面 ： 電場(chǎng)中電勢(shì)相等的點(diǎn)組成的曲面電場(chǎng)中電勢(shì)相等的點(diǎn)組成的曲面+正點(diǎn)電荷的等勢(shì)面正點(diǎn)電荷的等勢(shì)面1-4 場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的關(guān)系 （僅（僅A2班要求）班要求）+等量異號(hào)點(diǎn)電荷的等勢(shì)

15、面等量異號(hào)點(diǎn)電荷的等勢(shì)面 等勢(shì)面的性質(zhì)等勢(shì)面的性質(zhì)等勢(shì)面與電力線處處正交，等勢(shì)面與電力線處處正交， 電力線指向電勢(shì)降落的方向。電力線指向電勢(shì)降落的方向。abu0)( baabuuqA2 bauu 令令q在面上有元位移在面上有元位移ld0cos dlqEldEqdA 0)( dcdccduuqWWA沿電力線移動(dòng)沿電力線移動(dòng) q cdEdcuu a,b為等勢(shì)面上任意兩點(diǎn)為等勢(shì)面上任意兩點(diǎn),移動(dòng)移動(dòng)q,從從a到到b 等勢(shì)面較密集的地方場(chǎng)強(qiáng)大，較稀疏的地方場(chǎng)強(qiáng)小。等勢(shì)面較密集的地方場(chǎng)強(qiáng)大，較稀疏的地方場(chǎng)強(qiáng)小。規(guī)定規(guī)定:場(chǎng)中任意場(chǎng)中任意兩相鄰等勢(shì)面間兩相鄰等勢(shì)面間的的電勢(shì)差相等電勢(shì)差相等 課堂練習(xí)：由等

16、勢(shì)面分析課堂練習(xí)：由等勢(shì)面分析a、b點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小和方向1u2u3uab03221 uuuu已知已知aEbEbaEE Eabl dn uduu 二、場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)梯度的關(guān)系二、場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)梯度的關(guān)系)(cosduuudlEl dE dudlE cos單位正電荷從單位正電荷從 a到到 b電場(chǎng)力的功電場(chǎng)力的功dudlEl dlduEl 電場(chǎng)強(qiáng)度沿某電場(chǎng)強(qiáng)度沿某一方向的分量一方向的分量沿該方向電勢(shì)的沿該方向電勢(shì)的變化率的負(fù)值變化率的負(fù)值),(zyxuu 一般一般xuEx yuEy zuEz 所以所以方向上的分量方向上的分量 在在El dlEkEjEiEEzyx )(kzujyuixu ugraduE graduu 或或u的梯度的梯度: 的方向與的方向與u的梯度反向，即指向的梯度反向，即指向u降落的方向降落的方向E0ndnduE電勢(shì)梯度的電勢(shì)梯度的物理意義：電勢(shì)梯度是一個(gè)物理意義：電勢(shì)梯度是一個(gè)矢量矢量，它的，它的大大小小為電勢(shì)沿等勢(shì)面法線方向的變化率，它的為電勢(shì)沿等勢(shì)面法線方向的變化率，它的方向方向沿等沿等勢(shì)面法線方向且指向電勢(shì)增大的方向。勢(shì)面法線方向且指向電勢(shì)增大的方向。例例1利用場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)梯度的關(guān)系，利用場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)梯度