數(shù)學(xué)必修二第二章測試題(含答案)

1、時間：二 o 二一年七月二十九日時間：二 o 二一年七月二十九日必修二第二章綜合檢測題之巴公井開創(chuàng)作時間：二o 二一年七月二十九日一、選擇題1若直線 a 和 b 沒有公共點 , 則 a 與 b 的位置關(guān)系是 ( )a相交b平行 c異面 d 平行或異面2平行六面體abcd a1b1c1d1中, 既與 ab共面也與cc1共面的棱的條數(shù)為( )a3 b4 c5 d63已知平面 和直線 l, 則 內(nèi)至少有一條直線與l( )a平行b相交c垂直d異面4長方體 abcd a1b1c1d1 中, 異面直線 ab,a1d1所成的角即是( )a30b45c60d905對兩條不相交的空間直線a 與 b, 必存在平面

2、, 使得( )aa? ,b ? ba? ,b ca,b d a? ,b 6下面四個命題：其中真命題的個數(shù)為( )若直線 a,b 異面,b,c異面 , 則 a,c 異面；若直線 a,b 相交,b,c相交 , 則 a,c 相交；若 ab, 則 a,b 與 c 所成的角相等；若 ab,bc, 則 ac.a4 b3 c2 d17在正方體abcd a1b1c1d1中,e,f 分別是線段a1b1,b1c1上的不與端點重合的動點, 如果 a1e b1f,有下面四個結(jié)論：ef aa1 ；ef ac ；ef 與 ac異面； ef 平面abcd.其中一定正確的有( )abcd8設(shè) a,b 為兩條不重合的直線 ,

3、, 為兩個不重合的平面,下列命題中為真命題的是( )a若 a,b 與 所成的角相等 , 則 abb若 a,b , , 則abc若 a? ,b ? ,a b, 則 時間：二 o 二一年七月二十九日時間：二 o 二一年七月二十九日d若 a,b , , 則ab9已知平面平面, l, 點 a,a ?l, 直線ab l, 直線ac l, 直線m ,n , 則下列四種位置關(guān)系中, 紛歧定成立的是 ( )aab m bac mc ab d ac 10已知正方體abcd a1b1c1d1 中,e、f分別為 bb1 、cc1的中點 , 那么直線 ae與 d1f所成角的余弦值為( )a45b .35c.34d35

4、11已知三棱錐dabc的三個正面與底面全等, 且 ab ac 3,bc2, 則以 bc為棱, 以面 bcd 與面 bca為面的二面角的余弦值為( )a.33b.13c0 d1212如圖所示, 點 p 在正方形abcd所在平面外 ,pa平面abcd,pa ab,則 pb與 ac所成的角是 ( )a90 b60c45 d 30二、填空題三、13下列圖形可用符號暗示為_14正方體abcd a1b1c1d1中, 二面角 c1abc 的平面角即是 _15設(shè)平面平面,a,c,b,d, 直線ab與 cd交于點 s,且點 s位于平面 , 之間 ,as8,bs6,cs12, 則 sd _.16將正方形 abcd

5、 沿對角線 bd折成直二面角abd c,有如下四個結(jié)論：ac bd ；acd是等邊三角形；ab與平面 bcd成 60的角；ab與 cd所成的角是60.其中正確結(jié)論的序號是_三、解答題 ( 解承諾寫出文字說明, 證明過程或演算步伐)17如下圖 , 在三棱柱abc a1b1c1中, abc與a1b1c1都為正三角形且aa1 面 abc,f、f1 分別是 ac,a1c1的中點求證： (1) 平面 ab1f1 平面 c1bf ；(2)平面 ab1f1平面 acc1a1時間：二 o 二一年七月二十九日時間：二 o 二一年七月二十九日18如圖所示 ,在四棱錐 pabcd 中,pa平面abcd,ab 4,b

6、c3,ad5, dab abc 90,e是 cd的中點(1) 證明：cd 平面 pae ；(2) 若直線 pb與平面 pae所成的角和pb與平面 abcd所成的角相等 , 求四棱錐 pabcd 的體積19如圖所示 , 邊長為 2 的等邊 pcd 所在的平面垂直于矩形abcd 所在的平面 ,bc22,m 為 bc的中點(1) 證明：am pm ；(2) 求二面角 pam d的年夜小20 如圖, 棱柱 abc a1b1c1的正面 bcc1b1 是菱形,b1ca1b.(1) 證明：平面ab1c 平面 a1bc1 ；(2) 設(shè) d是 a1c1上的點 , 且 a1b 平面 b1cd,求 a1ddc1的值

7、21如圖, abc中,acbc 22ab,abed是邊長為 1 的正方形 , 平面 abed 底面 abc,若 g,f 分別是 ec,bd的中點(1) 求證：gf 底面 abc ；(2) 求證：ac 平面 ebc ；(3) 求幾何體 adebc 的體積 v.22 如下圖所示 , 在直三棱柱abc a1b1c1中,ac3,bc4,ab5,aa14, 點 d是 ab的中點(1) 求證：ac bc1 ； (2) 求證：ac1 平面 cdb1 ；(3) 求異面直線ac1與 b1c所成角的余弦值必修二第二章綜合檢測題1d2cab 與 cc1為異面直線 , 故棱中不存在同時與兩者平行的直線, 因此只有兩類

8、：第一類與 ab平行與 cc1相交的有： cd 、c1d1與 cc1平行且與 ab相交的有： bb1 、aa1,第二類與兩者都相交的只有bc,故共有 5 條3c當(dāng)直線 l 與平面 斜交時 , 在平面 內(nèi)不存在與l 平行的直線, a錯；當(dāng) l ? 時, 在 內(nèi)不存在直線與l 異面, d 錯；當(dāng) l 時, 在 內(nèi)不存在直線與l 相交無論哪種情形在平面時間：二 o 二一年七月二十九日時間：二 o 二一年七月二十九日 內(nèi)都有無數(shù)條直線與l 垂直4d由于 ad a1d1,則bad 是異面直線ab,a1d1所成的角 , 很明顯bad 90.5b對選項 a,當(dāng) a 與 b 是異面直線時 ,a 毛?。粚x項

9、b,若 a,b不相交 , 則 a 與 b 平行或異面 , 都存在 , 使 a? ,b ,b 正確；對 選 項c,a,b , 一 定 有ab,c毛 病 ； 對 選 項d,a? ,b , 一定有ab,d 毛病6d異面、相交關(guān)系在空間中不能傳遞, 故錯； 根據(jù)等角定理, 可知正確；對 , 在平面內(nèi) ,a c, 而在空間中,a 與 c 可以平行, 可以相交 , 也可以異面 , 故毛病7d如圖所示由于aa1 平面 a1b1c1d1,ef ? 平面 a1b1c1d1,則 ef aa1,所以正確；當(dāng)e,f 分別是線段a1b1,b1c1 的中點時,efa1c1,又 ac a1c1,則 ef ac,所以不正確；

10、當(dāng)e,f 分別不是線段 a1b1,b1c1的中點時 ,ef 與 ac異面, 所以不正確； 由于平面a1b1c1d1 平面abcd,ef ? 平面a1b1c1d1, 所以ef 平面abcd, 所以正確8d選項 a 中,a,b還可能相交或異面, 所以 a 是假命題；選項b中,a,b還可能相交或異面, 所以 b 是假命題；選項c中, , 還可能相交 , 所以 c是假命題；選項 d中, 由于 a, , 則 a或 a? , 則 內(nèi)存在直線l a, 又 b, 則 bl, 所以 ab.9c如圖所示：ab l m ；ac l,m l ? ac m ；ab l? ab .10、3511c取 bc中點 e,連 a

11、e 、de,可證 bc ae,bc de,aed 為二面角 abc d的平面角又 aeed 2,ad2, aed 90, 故選c.12b 將其還原成正方體abcd pqrs, 顯見 pb sc,acs 為正三角形, acs 60.13 ab1445 如圖所示 , 正方體 abcd a1b1c1d1 中, 由于 bc ab,bc1 ab,則c1bc是二面角 c1abc的平面角又 bcc1是等腰直角三角形 , 則c1bc 45.15、9時間：二 o 二一年七月二十九日時間：二 o 二一年七月二十九日如下圖所示 , 連接 ac,bd,則直線 ab,cd確定一個平面acbd. , ac bd,則ass

12、bcssd, 8612sd, 解得 sd 9.16如圖所示 , 取bd中點 ,e 連接 ae,ce,則 bd ae,bd ce,而ae ce e,bd 平面aec,ac ? 平面 aec,故 ac bd,故正確設(shè)正方形的邊長為a, 則 ae ce 22a.由知 aec 90是直二面角abd c 的平面角 , 且aec90, ac a,acd是等邊三角形 , 故正確由題意及知 ,ae平面bcd,故abe是 ab與平面 bcd所成的角 , 而abe 45, 所以不正確分別取 bc,ac的中點為 m,n,連接 me,ne,mn.則 mn ab,且 mn 12ab12a,mecd,且 me 12cd

13、12a,emn是異面直線ab,cd所成的角在 rtaec中,aece 22a,aca,ne 12ac 12a. men是正三角形 , emn 60, 故正確17(1) 在正三棱柱abc a1b1c1中,f、f1 分別是 ac 、a1c1的中點, b1f1 bf,af1c1f.又b1f1 af1 f1,c1fbf f平面ab1f1 平面 c1bf.(2)在三棱柱abc a1b1c1中,aa1平面a1b1c1, b1f1 aa1.又b1f1 a1c1,a1c1 aa1 a1b1f1 平 面acc1a1,而b1f1? 平面 ab1f1 平面 ab1f1 平面 acc1a1.18(1) 如圖所示 ,

14、連接 ac,由 ab 4,bc3, abc 90, 得ac 5.又 ad 5,e 是 cd的中點 , 所以 cd ae.pa 平面 abcd,cd ? 平面 abcd, 所以 pa cd.而 pa,ae是平面 pae內(nèi)的兩條相交直線, 所以 cd 平面 pae.時間：二 o 二一年七月二十九日時間：二 o 二一年七月二十九日(2) 過點 b作 bg cd,分別與ae,ad相交于 f,g, 連接 pf.由(1)cd平面pae知,bg平面 pae.于是bpf為直線 pb與平面 pae所成的角 , 且 bg ae.由 pa 平面 abcd 知, pba為直線 pb與平面 abcd 所成的角ab4,a

15、g2,bgaf,由題意 , 知pba bpf,因為 sin pba papb,sin bpf bfpb, 所以 pabf.由dab abc 90知,adbc,又bg cd,所以四邊形bcdg 是平行四邊形 , 故 gd bc 3. 于是 ag 2.在 rtbag中,ab4,ag2,bgaf,所以bg ab2 ag2 25,bfab2bg1625855. 于是pabf855.又梯形 abcd 的面積為 s12(53)4 16, 所以四棱錐pabcd 的體積為v13spa 1316855128515.19 解 析 (1) 證 明 ： 如 圖 所 示 , 取 cd 的 中 點 e, 連 接pe,em

16、,ea,pcd為正三角形 ,pe cd,pe pdsinpde 2sin60 3.平面 pcd 平面 abcd,pe 平面 abcd, 而 am ? 平面 abcd, pe am.四邊形 abcd 是矩形 ,ade,ecm, abm均為直角三角形 , 由勾股定理可求得em3,am6,ae3em2 am2 ae2.am em.又 pe em e,am 平面pem, am pm.(2) 解：由 (1) 可知 em am,pm am,pme是二面角 pam d的平面角tanpme peem331, pme 45.二面角 pam d的年夜小為45時間：二 o 二一年七月二十九日時間：二 o 二一年七月

17、二十九日20(1) 因為正面 bcc1b1 是菱形 , 所以 b1c bc1,又已知 b1c a1b,且 a1b bc1 b,所以 b1c 平面 a1bc1,又 b1c ? 平面 ab1c所以平面 ab1c 平面 a1bc1 .(2) 設(shè) bc1交 b1c于點 e,連接 de,則 de是平面 a1bc1與平面b1cd的交線因為a1b 平面b1cd,a1b ? 平面a1bc1,平面a1bc1 平面b1cd de,所以 a1b de.又 e是 bc1的中點 , 所以 d為 a1c1的中點即a1d dc1 1.21 解 (1) 證明：連接ae,如下圖所示adeb為正方形 ae bd f,且 f 是

18、ae的中點 ,又 g是 ec的中點 gf ac,又 ac ? 平面 abc,gf ?平面 abc,gf 平面 abc.(2) 證明： adeb為正方形 , eb ab,又平面abed 平面abc,平面 abed 平面abc ab,eb? 平面 abed,be 平面 abc,be ac.又ac bc 22ab,ca2 cb2 ab2,ac bc.又bc be b,ac 平面bce.(3) 取 ab的中點 h,連 gh, bc ac 22ab 22,ch ab,且 ch 12, 又平面 abed 平面 abcgh 平面 abcd, v1311216.22 解析 (1) 證明：在直三棱柱abc a1b1c1中, 底面三邊長 ac 3,bc4,ab5, ac bc.又c1c ac.ac 平面bcc1b1b