大學(xué)一年級(jí)高數(shù)期末考試題及答案

1、第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試卷答案第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試卷答案計(jì)算題（本題滿分 35分，共有5道小題，每道小題 7分）,第11頁(yè)共7頁(yè)1 .求極限lim1 cosx % -2x3sin x解:2x3俯- 2sin3 xx0limQ+cosxfQx_0limx0xlne二 limx_0 si rx1 十 COSX ¥1%X1 + c o xI-1x3x31 !；c o)s2 -1,1 cosx xl n2xlnelimx0,1 cosx xl n=limx >0lnos3 -7xf x與 是等價(jià)無(wú)窮小,2f t dt與Axk等價(jià)無(wú)窮小，求常數(shù) k與A 解:3 x3：xf tdt

2、由于當(dāng)x > 0時(shí),f t dt與Axk等價(jià)無(wú)窮小，所以y叫Axkf t dtx31f3x 2 3 3 x2k JAkx2k J- Akx x32=limx3 x 3x0 6Akx1所以，匹6Akxk'i.因此，k =1,A63.如果不定積分.x2 ax b2 o dx中不含有對(duì)數(shù)函數(shù)，求常數(shù) a與b應(yīng)滿足的條件.x 11 x2解:x ax b(x +12(1 +x2 )化為部分分式，有2x ax b A B Cx D,x 1 1 x2x 1 x 11 x2x + ax + b ,因此不定積分2dx中不含有對(duì)數(shù)函數(shù)的充分必要條件是上式中的待定系數(shù)(x+1)(1 + x2 )A =

3、 C = 0 .即 x2 ax bBD B 1 x2 D x 1 2即 I'2 '222.(x+12(1+x2)(x+1)1+x (x+1)(1+x )所以，有 x2 ax b 二 B1 x2 D x 1 2 二 B D x2 2Dx B D .B D .所以，得b =1.比較上式兩端的系數(shù)，有 1 = B D, a=2D,5-2 ?dx.2 d5.計(jì)算定積分min X,0解:m i n1,x -2 = <x2I1x2 <1x2 >11 遼x2x-21所以,5min、1,0x -25m.dx 2x-2dx弋5.設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為r二asin33求曲線C的全

4、長(zhǎng).解:3日日曲線r = asin周的定義域?yàn)? -3 3，即0 - d - 3二.因此曲線C的全長(zhǎng)為3：S =02 fa si n-3a2sin"coV d33asi n d： - 3二a.032（本題滿分45分，共有5道小題，每道小題 9分）,sin（兀 x）6.求出函數(shù)仁“啊心2n的所有間斷點(diǎn)，并指出這些間斷點(diǎn)的類型.解:sin 二 xf x，lim 斗n +1+(2xfn12_ 121x < -21x =-21 .x = 21x > -211因此xi與x2是函數(shù)22f x的間斷點(diǎn).limfx = lim0=0,1 _1 Xx一 .221lim . f x = li

5、m sin 二 x = -1 ,類可X >J.22 2去型間斷點(diǎn).1lim f x = lim sin：x =1 , lim f x 二 lim 0 = 0，因此 x 是函數(shù) f x 的第一類可去型 1 - 1 1 1 2xr 2xpX. 2間斷點(diǎn).7.設(shè)是函數(shù)f x =arcsinx在區(qū)間0, b上使用Lagrange （拉格朗日）中值定理中的中值”匕求極限limt b解:f xAarcsx在區(qū)間0, b上應(yīng)用Lagrange中值定理，知存在，0,b，使得所以，2 =1 -1arcs in b - arcs inO =b-0 .廣 b、2j .因此,lares inb 丿-2 1 -l

6、im 2 = lim b0 b2 bTf bi<arcs inb 丿b2(ar csbrf -b2 b " b2 arcsbri令 t 二 arcsin b，則有2 _l i m 2 = l i m 22b)0b2 七卩 t2si ntt2 -si nt.2 . 2 .t sintl i mt0t42t si n 2t=lim 3= limt 卩 4t3 t 02 - 2cos2t12t211 -coQt 1 2s i r2t 1l i m 2l i m610t261P 2t 31 3-t - bmTH.D1 _x1&設(shè) f Xey 2dy，求 f x dx .00解：

7、11f x dx =xf x 0 - xf x dx001 _x在方程f X二ey2dy中，令X =1，得010f(1)=dy = Jey(2_y dy =0 -001-x再在方程fx = ey 2 dy兩端對(duì)x求導(dǎo)，得e1'01 1 11因此， f x dx = xf x 0 - xf x dx - - xf x dx0 0 01r 1-x2二 xe01 2xe2/r-1 -9.研究方程ex二ax2二內(nèi)實(shí)根的個(gè)數(shù).解：設(shè)函數(shù) f xi=axe" -1, f x A2axe* - ax2e=ax 2 - x e".令x =0，得函數(shù)f x的駐點(diǎn) =0,*2=2 .由

8、于a0 ,所以2xlim _f x = lim ax e T 二：,Jim：f x rim/x22x2X " - ： x -因此，得函數(shù)f x的性態(tài)XoQ(-叫0)0(0, 2)2(2,+辺)+0f '（X）0+0f(x)+ Q01-14ae二-11-122e2 x若 4ae -10，即 a 時(shí)，函數(shù) f x；=ax e -1 在-：:,0、0,2、2,亠i 內(nèi)4各有一個(gè)零點(diǎn)，即方程 ex =ax2在-:,:內(nèi)有3個(gè)實(shí)根.22e2 _x 若4ae -1 = 0，即a時(shí)，函數(shù)fx二axe -1在-二，0、0, 二 內(nèi)各有一個(gè)零4點(diǎn)，即方程ex二ax2在-：,內(nèi)有2個(gè)實(shí)根.2e2

9、 若4ae -1 ：0，即a 時(shí)，函數(shù) f x；=axe»-1在-：:，0有一個(gè)零點(diǎn)，即方程4x e ax在-匚片：內(nèi)有1個(gè)實(shí)根.10.設(shè)函數(shù)f x可導(dǎo)，且滿足f -x 二xf x-1 , f0=0.試求函數(shù)f x的極值.解：在方程 f I.-'X = X f X d 中令 t = -X，得 f t = -t f I.-'t I-'1 , 即卩f XiX f -x -1 .在方程組舊黑霍二x中消去S，得X X21 X2積分，注意f 0 =0，得 f X - f 0 二dt .即xt+t線方程為 兀1ef x arctan xdx = - , f 1 = 0.0

10、212f x2dt=x In 1 x - arctanx.01+t222 2x + x1 + 2x _ x由X牙得函數(shù)fx的駐點(diǎn)X1 =0, X2=-1 而X 2 所以,1 +x(1+X2)1f 0 =10, f -10 .2所以，f 0=0是函數(shù)f x極小值；f _1；=1 In 2 - 是函數(shù)f x極大值.24三應(yīng)用題與證明題(本題滿分20分，共有2道小題,每道小題10 分),11.求曲線y =、x的一條切線，使得該曲線與切線l及直線x=0和x = 2所圍成的圖形繞 x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積為最小.解:設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為t, t ,由y = 丄，可知曲線y = < x在(t, v t )處的

11、切線方程為2jty =(x _t)，或 y(x +t).2jt2jt因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為_(kāi)4+2t4 3t所以，dVdt2 2.得駐點(diǎn)t3t223，舍去t23 .由于d2Vdt2163t2-0，因而函數(shù)V在t t上3處達(dá)到極小值，而且也是最小值因此所求切12.設(shè)函數(shù)f x在閉區(qū)間0, 1上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間o, 1內(nèi)可導(dǎo)，且證明：至少存在一點(diǎn)0,-112 arctan解:因?yàn)閒 x在閉區(qū)間0, 11上連續(xù)，所以由積分中值定理，知存在 0, ?，使得 !環(huán)efarcta n兀ef f brctanxdx2帀f1由于 ef ? ferctanxdx= 0 20Q4所以，一ef arctan =一 .再由 f 1 =0，得兀2efObrcta =ef( brctan 1 .4作函數(shù)g(x )=ef F brctanx，則函數(shù)在區(qū)間右，1上0, 1】上連續(xù)