兩角和與差的正弦、余弦和正切

1、.第5講兩角和與差的正弦、余弦和正切考綱1會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式2能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式3能利用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系. 知 識(shí) 梳 理1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(±)sin_cos_±cos_sin_.cos()cos_cos_±sin_sin_.tan(±).2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan 2.3有關(guān)公式的逆用、變形等(1)tan

2、 ±tan tan(±)(1tan_tan_)(2)cos2，sin2.(3)1sin 2(sin cos )2，1sin 2(sin cos )2，sin ±cos sin.4函數(shù)f()asin bcos (a，b為常數(shù))，可以化為f()sin()，其中tan .辨 析 感 悟1對(duì)兩角和與差的三角函數(shù)公式的理解(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角，是任意的 ( )(2)存在實(shí)數(shù)，使等式cos()cos cos .( )(3)(教材練習(xí)改編)cos 80°cos 20°sin 80°sin 20°cos(80°2

3、0°)cos 60°. ( )(4)(教材習(xí)題改編)tan. ( )(5)設(shè)tan ，tan 是方程x23x20的兩根，則tan()3. ( )2對(duì)二倍角公式的理解(6)cos 2cos2112sin2. ( )(7)若sin ，則cos .( )(8)ysin 2xcos 2x的最大值為1. ( )(9)設(shè)sin 2sin ，則tan 2. ( )感悟·提升一個(gè)防范運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和差、倍角的相對(duì)性，要注意升冪、降冪的靈活運(yùn)用.考點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值問題【例1】 (1)4cos 50°tan 40°()A. B

4、. C. D21(2)_.規(guī)律方法 (1)技巧：尋求角與角之間的關(guān)系，化非特殊角為特殊角；正確靈活地運(yùn)用公式，通過三角變換消去或約去一些非特殊角的三角函數(shù)值；一些常規(guī)技巧：“1”的代換、和積互化等(2)常用方法：異名三角函數(shù)化為同名三角函數(shù)，異角化為同角，異次化為同次，切化弦，特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化【訓(xùn)練1】 (1)化簡(jiǎn)：2sin 50°sin 10°(1tan 10°)·_.(2)化簡(jiǎn)：(0<<)_；考點(diǎn)二三角函數(shù)的給角求值與給值求角問題【例2】 (1)已知0<<<<，且cos，sin，求cos()的值；(2)

5、已知，(0，)，且tan()，tan ，求2的值規(guī)律方法 (1)給值求值問題一般是正用公式將所求“復(fù)角”展開，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入展開式即可(2)通過求所求角的某種三角函數(shù)值來求角，關(guān)鍵點(diǎn)在選取函數(shù)，常遵照以下原則：已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好【訓(xùn)練2】 已知cos ，cos()，且0<<<，(1)求tan 2的值；(2)求.考點(diǎn)三三角變換的簡(jiǎn)單應(yīng)用【例3】 已知f(x)sin2x2sin

6、3;sin.(1)若tan 2，求f()的值；(2)若x，求f(x)的取值范圍規(guī)律方法 (1)將f(x)化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵，本題中巧妙運(yùn)用“1”的代換技巧，將sin 2，cos 2化為關(guān)于正切tan 的關(guān)系式，為第(1)問鋪平道路(2)把形如yasin xbcos x化為ysin(x)，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值與對(duì)稱性【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)4cos x·sin1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值1重視三角函數(shù)的“三變”：“三變”是指“變角、變名、變式”；變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式

7、：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等在解決求值、化簡(jiǎn)、證明問題時(shí)，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求(或所證明)問題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪胶愕茸冃?已知和角函數(shù)值，求單角或和角的三角函數(shù)值的技巧：把已知條件的和角進(jìn)行加減或二倍角后再加減，觀察是不是常數(shù)角，只要是常數(shù)角，就可以從此入手，給這個(gè)等式兩邊求某一函數(shù)值，可使所求的復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化3熟悉三角公式的整體結(jié)構(gòu)，靈活變換本節(jié)要重視公式的推導(dǎo)，既要熟悉三角公式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，更要掌握公式中角和函數(shù)名稱的特征，要體會(huì)公式間的聯(lián)系，掌握常見的公式變形，倍角公式應(yīng)用是重點(diǎn)，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其變形。三角函數(shù)求值中

8、的變角問題【典例】 (2012·江蘇卷)設(shè)為銳角，若cos，則sin的值為_ 反思感悟 解題的關(guān)鍵是找出條件中的角與結(jié)論中的角的聯(lián)系，通過適當(dāng)?shù)夭鸾?、湊角來利用所給條件常見的變角技巧有：；()等；15°45°30°等【自主體驗(yàn)】已知cos ，cos()，且，則cos()的值為_基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1計(jì)算cos 42°cos 18°cos 48°sin 18°的結(jié)果等于()A. B. C. D.2已知sin，則cos(2)的值為()A B. C. D3已知cos，則sin 2x()A. B. C D4已知，且cos ，則tan等于()A7 B. C D75已知tan，且，則等于()A. B C D二、填空題6計(jì)算：_.7設(shè)f(x)sin xa2sin的最大值為3，則常數(shù)a_.8已知cos4 sin4 ，且，則cos_.三、解答題9已知函數(shù)f(x)cossin.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若，且f，求f(2)的值10已知函數(shù)f(x)sin2 xsin xcos x.(1)求f的值(2)設(shè)(0，)，f，求sin 的值能力提升題組一、選擇題1已知tan()，tan，那么tan等于