課時跟蹤檢測(六十) 定點(diǎn)、定值、探索性問題

1、課時跟蹤檢測(六十)定點(diǎn)、定值、探索性問題(分、卷，共2頁)第卷：夯基保分卷1已知橢圓C過點(diǎn)M ，點(diǎn)F(，0)是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P，Q是橢圓C上的兩個動點(diǎn)，且|PF|，|MF|，|QF|成等差數(shù)列(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過一個定點(diǎn)A.2. (2013·濟(jì)南模擬)已知橢圓1(ab0)的離心率為，且過點(diǎn)(2，)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對角線AC，BD過原點(diǎn)O，若kAC·kBD.求證：四邊形ABCD的面積為定值3. (2013·北京東城區(qū)期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點(diǎn)P到兩點(diǎn)(，0)，(，0

2、)的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為曲線C，直線l過點(diǎn)E(1,0)且與曲線C交于A，B兩點(diǎn)(1)求曲線C的軌跡方程；(2)AOB的面積是否存在最大值，若存在，求出AOB的面積的最大值；若不存在，說明理由第卷：提能增分卷1.已知橢圓C：1，點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為其左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A為左頂點(diǎn)，直線l的方程為x4，過點(diǎn)F2的直線l與橢圓交于異于點(diǎn)A的P，Q兩點(diǎn)(1)求·的取值范圍；(2)若APlM，AQlN，求證：M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值，并求出該定值2. (2013·合肥模擬)已知橢圓E：1(ab0)與雙曲線1(0m23)有公共的焦點(diǎn)，過橢圓E的右頂點(diǎn)R任意作直線l，設(shè)直線l交拋物

3、線y22x于M，N兩點(diǎn)，且OMON.(1)求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和橢圓E的方程；(2)設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為A、關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q，線段PQ與x軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為CQ的中點(diǎn)，若直線AD與橢圓E的另一個交點(diǎn)為B，試判斷直線PA，PB是否相互垂直？并證明你的結(jié)論答 案第卷：夯基保分卷1解：(1)設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，由已知，得解得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，可知|PF| 2x1，同理|QF|2x2，|MF| 2，2|MF|PF|QF|，24(x1x2)，x1x22.()當(dāng)x1x2時，由得xx2(

4、yy)0，·.設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N(1，n)，由kPQ，得線段PQ的中垂線方程為yn2n(x1)，(2x1)ny0，該直線恒過一定點(diǎn)A.()當(dāng)x1x2時，P，Q或P，Q，線段PQ的中垂線是x軸，也過點(diǎn)A.綜上，線段PQ的中垂線過定點(diǎn)A.2解：(1)由題意e，1，又a2b2c2，解得a28，b24，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)證明：設(shè)直線AB的方程為ykxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立得(12k2)x24kmx2m280，(4km)24(12k2)(2m28)8(8k2m24)0, 由根與系數(shù)的關(guān)系得kAC·kBD，y1y2x1x2·.又y1y2(kx

5、1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k2kmm2，(m24)m28k2，4k22m2.設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d，則SAOB|AB|·d ·|x2x1|· 2，S四邊形ABCD4SAOB8，即四邊形ABCD的面積為定值3解：(1)由橢圓定義可知，點(diǎn)P的軌跡C是以(，0)，(，0)為焦點(diǎn)，長半軸長為2的橢圓故曲線C的軌跡方程為y21.(2)AOB的面積存在最大值因?yàn)橹本€l過點(diǎn)E(1,0)，所以可設(shè)直線l的方程為xmy1或y0(舍)由整理得(m24)y22my30，(2m)212(m24)0.設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中y1y2.解得y1

6、，y2.則|y2y1|.因?yàn)镾AOB|OE|·|y1y2|.設(shè)t，t ，g(t)t，則g(t)1，故當(dāng)t時g(t)0恒成立，則g(t)在區(qū)間，)上為增函數(shù)，所以g(t)g().所以SAOB，當(dāng)且僅當(dāng)m0時取等號所以SAOB的最大值為.第卷：提能增分卷1解：(1)當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，由F2(1,0)可知PQ的方程為x1，代入橢圓C：1，得點(diǎn)P，Q，又點(diǎn)A(2,0)，故，·.當(dāng)直線PQ的斜率存在時，設(shè)PQ的方程為yk(x1)(k0)，代入橢圓C：1，得(34k2)x28k2x4k2120.設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，得x1x2，x1x2，y1y2k2(x11)&

7、#183;(x21)k2(x1x2x1x21)，故·(x12)(x22)y1y2x1x22(x1x2)4y1y2，綜上，·的取值范圍是.(2)證明：由(1)知，直線AP的方程為y(x2)，與直線l的方程x4聯(lián)立，得M，同理，得N，故M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積yMyN·. 當(dāng)直線PQ的斜率不存在時，yMyN9；當(dāng)直線PQ的斜率存在時，由(1)可知，yMyN9.綜上所述，M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值，該定值為9.2解：(1)由題意可知c雙，故雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(，0)、F2(，0)設(shè)點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)，設(shè)直線l：tyxa，代入y22x并整理得y22ty2a0，所以故·x1x2y1y2(ty1a)(ty2a)y1y2(t21)y1y2at(y1y2)a2(t21)(2a)2at2a2a22a0，解得a2.又c橢c雙，所以橢圓E的方程為y21.(2)法一判斷結(jié)果：PAPB恒成立證明如下：設(shè)P(x0，y0)，則A(x0，y0)，D(x0，y0)，x4y4， 將直線AD的方程y(xx0)y0代入橢圓方程并整理得(4xy)x26x0yx9xy16x0，由題意可知此方程必有一根為x0.于是解得xBx0，所以yBy0，所以kPB，故kPAkPB×1，即PAPB.法二判斷結(jié)