高等數(shù)學：2-3 高階導數(shù)

1、2-3 高階導數(shù)高階導數(shù)一、高階導數(shù)的定義一、高階導數(shù)的定義 二、高階導數(shù)求法舉例二、高階導數(shù)求法舉例三、高階導數(shù)的運算法則三、高階導數(shù)的運算法則一、高階導數(shù)的定義一、高階導數(shù)的定義問題問題: :變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度.),(tfs 設設)()(tftv 則瞬時速度為則瞬時速度為的變化率的變化率對時間對時間是速度是速度加速度加速度tva. )()()( tftvta定義定義.)() )(,)()(lim) )(,)()(0處的二階導數(shù)處的二階導數(shù)在點在點為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱存在存在即即處可導處可導在點在點的導數(shù)的導數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 記作

2、記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 記作記作階導數(shù)階導數(shù)的的函數(shù)函數(shù)階導數(shù)的導數(shù)稱為階導數(shù)的導數(shù)稱為的的函數(shù)函數(shù)一般地一般地,)(1)(,nxfnxf .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù)三階導數(shù)的導數(shù)稱為四階導數(shù), 二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)高階導數(shù).)(;)(,稱為一階導數(shù)稱為一階導數(shù)稱為零階導數(shù)稱為零階導數(shù)相應地相應地xfxf .,),(33dxydyxf 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù),.,),(44)4()4(dxydyxf二、二、 高階導數(shù)求法舉例高階導數(shù)

3、求法舉例例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求設設解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù)由高階導數(shù)的定義逐步求高階導數(shù).例例2 2.),()(nyRxy求求設設 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為為自自然然數(shù)數(shù)若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 例例3 3.),1l

4、n()(nyxy求求設設 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n階導數(shù)時階導數(shù)時,求出求出1-3或或4階后階后,不要急于合并不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出寫出n階導數(shù)階導數(shù).(數(shù)學歸納法證明數(shù)學歸納法證明)例例4 4.,sin)(nyxy求求設設 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得三、高階

5、導數(shù)的運算法則三、高階導數(shù)的運算法則都有都有 n 階導數(shù)階導數(shù) , 則則( )1. ()nuv ( )( )nnuv( )2. ()nCu( )nCu (C為常數(shù)為常數(shù))( )3. ()nuv ( )nuv (1)2!n n (1)(1)!n nnkk(2)nuv ()( )n kkuv ( )nuv萊布尼茨萊布尼茨(Leibniz) 公式公式( )uu x 及及( )vv x 設函數(shù)設函數(shù)(1)nnuv 規(guī)律規(guī)律規(guī)律3u v ()uv u vuv()uv ()u vuv u vu v 2uv ()uv u v 3u v uv 用數(shù)學歸納法可證用數(shù)學歸納法可證( )()( )0()Cnnkn

6、kknkuvuv 例例5 5.,)20(22yexyx求求設設 解解則由萊布尼茲公式知則由萊布尼茲公式知設設,22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex3.3.間接法間接法: :常用高階導數(shù)公式常用高階導數(shù)公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1(

7、)( aaaanxnxxnxee )()( 利用已知的高階導數(shù)公式利用已知的高階導數(shù)公式, 通過四則通過四則1)(!)1()1( nnnxnx運算運算, 變量代換等方法變量代換等方法, 求出求出n階導數(shù)階導數(shù).例例6 6.,11)5(2yxy求求設設 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx例例7 7.,cossin)(66nyxxy求求設設 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 2

8、4cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn三、小結(jié)三、小結(jié)高階導數(shù)的定義及物理意義高階導數(shù)的定義及物理意義;高階導數(shù)的運算法則高階導數(shù)的運算法則(萊布尼茲公式萊布尼茲公式);n階導數(shù)的求法階導數(shù)的求法;1.直接法直接法;2.間接法間接法.思考題思考題設設 連續(xù)，且連續(xù)，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(af 思考題解答思考題解答)(xg可導可導)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定義求故用定義求)(af )(af axafxfax )()(lim0)( afaxxfax )(lim)()()(

9、2limxgaxxgax )(2ag 作業(yè)作業(yè)P103 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 9 ; 10 (2) ; *11 (2) , (3) 1)( !nxfn 已知已知)(xf任意階可導任意階可導, 且且2n時時)()(xfn,)()(2xfxf則當則當練習練習一、一、 填空題：填空題：1 1、 設設tetysin 則則y =_.=_.2 2、 設設xytan , ,則則y = =_._.3 3、 設設xxyarctan)1(2 ，則，則y = =_._.4 4、 設設2xxey , ,則則y = =_._.5 5、 設設)(2xfy , ,)(xf 存在，則存在，則y

10、 = =_. .6 6、 設設6)10()( xxf, ,則則)2(f =_.=_.7 7、 設設nnnnnaxaxaxax 12211 ( (naaa,21都是常數(shù)都是常數(shù)) )，則，則)(ny= =_. .8 8、設、設)()2)(1()(nxxxxxf , , 則則)()1(xfn = =_._.練練 習習 題題二、二、求下列函數(shù)的二階導數(shù)：求下列函數(shù)的二階導數(shù)： 1 1、 xxxy423 ； 2 2、 xxylncos2 ； 3 3、 )1ln(2xxy . . 三、三、試從試從ydydx 1，導出：，導出： 1 1、 322)(yydyxd ； 2 2、 5233)()(3yyyyd

11、yxd . . 四四、驗驗證證函函數(shù)數(shù)xxececy 21 ( ( , ,1c , ,2c是是常常數(shù)數(shù)） 滿滿足足關關系系式式02 yy . . 五、五、下列函數(shù)的下列函數(shù)的 n n 階導數(shù)：階導數(shù)： 1 1、xeyxcos ； 2 2、 xxy 11； 3 3、 2323 xxxy; ; 4 4、 xxxy3sin2sinsin . . 一、一、1 1、tetcos2 ； 2 2、xxtansec22； 3 3、212arctan2xxx ； 4 4、)23(222xxex ； 5 5、)(4)(2222xfxxf ； 6 6、207360207360； 7 7、!n； 8 8、)!1( n. .二、二、1 1、3258434 xx；2 2、22