淺議以二次函數(shù)為背景與四邊形相結(jié)合的存在性問題解題策略

1、    淺議以二次函數(shù)為背景與四邊形相結(jié)合的存在性問題解題策略    袁熹旸摘 要：二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，是數(shù)與形結(jié)合的典范，特別是以二次函數(shù)為背景與四邊形相結(jié)合的存在性問題數(shù)學(xué)題，因其知識(shí)面廣，技巧性強(qiáng)，區(qū)分度較高，有利于優(yōu)秀人才的選拔，因此，備受中考命題組的青睞。關(guān)鍵詞：二次函數(shù);特殊四邊形;數(shù)學(xué)思想以二次函數(shù)為背景與四邊形相結(jié)合的存在性問題，對(duì)知識(shí)的遷移能力、靈活的運(yùn)用能力和分析能力要求較高，因此，近幾年成為全國各省、市中考?jí)狠S題.一、與平行四邊形相結(jié)合的存在性問題例1.（2013年臨沂）如圖1，拋物線經(jīng)過a（-1，0），b（5，0），c（

2、0，-）三點(diǎn).（1）求拋物線的解析式;（2）在拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)p，使pa+pc的值最小，求點(diǎn)p的坐標(biāo);（3）點(diǎn)m為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)n，使以 a，c，m，n四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)n的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.解：（1）y=x2-2x-.（2）點(diǎn)p的坐標(biāo)是（2，-）.（3）存在.當(dāng)存在的點(diǎn)n在x軸的下方時(shí)，如圖2所示，四邊形acnm是平行四邊形，cnx軸，點(diǎn)c與點(diǎn)n關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱.c點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-），點(diǎn)n的坐標(biāo)為（4，-）.當(dāng)存在的點(diǎn)n1在x軸上方時(shí)，如圖2所示，作n1hx軸于點(diǎn)h四邊形acm1n1是平行四邊形，ac=m1n1，n1m1h=

3、caortcaortn1m1h，n1h=oc點(diǎn)c的坐標(biāo)為（0，-），n1h=，即n1點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，x2-2x-=，解得x1=2+，x2=2-.點(diǎn)n1的坐標(biāo)為（2-，）和（2+，）.綜上所述，滿足條件的點(diǎn)n共有三個(gè)，分別為（4，-），（2+，），（2-，）.二、與矩形相結(jié)合的存在性問題例2.（2014年浙江湖州）如圖3，已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=-x2+bx+c（c>0）的頂點(diǎn)為d，與y軸的交點(diǎn)為c，過點(diǎn)c作cax軸交拋物線于點(diǎn)a，在ac延長線上取點(diǎn)b，使bc=ac，連接oa，ob，bd和ad.（1）若點(diǎn)a的坐標(biāo)是（-4，4），求b，c的值;試判斷四邊形aobd

4、的形狀，并說明理由;（2）是否存在這樣的點(diǎn)a，使得四邊形aobd是矩形？若存在，請直接寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)a的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.解：（1）b=-4，c=4.四邊形aobd是平行四邊形;理由如下：由得拋物線的解析式為y=-x2-4x+4，頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為（-2，8）過d點(diǎn)作deab于點(diǎn)e，則ed=oc=4，ae=2ac=4，bc=ac=2，ae=bc.acx軸，aed=bco=90°aedbco，ad=ob.dae=cbo，adob四邊形aobd是平行四邊形.（2）存在，點(diǎn)a的坐標(biāo)可以是（-2，2）或（2，2）要使四邊形aobd是矩形;則需aob=bco=90°abo

5、=obc，aboobc，=又ab=ac+bc=3bc，ob=bc在rtobc中，根據(jù)勾股定理可得：oc=bc，ac=oc點(diǎn)是拋物線與y軸交點(diǎn)，oc=ca點(diǎn)坐標(biāo)為（c，c），頂點(diǎn)橫坐標(biāo)=c，b=c將a點(diǎn)代入可得c=-（c）2+c·c+c橫坐標(biāo)為±c，縱坐標(biāo)為c即可，令c=2a點(diǎn)坐標(biāo)可以為（2，2）或者（-2，2）.三、與菱形相結(jié)合的存在性問題例3.（2013年棗莊卷）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于a，b兩點(diǎn)，a點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，b點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于c（0，-3）點(diǎn)，點(diǎn)p是直線bc下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表

6、達(dá)式.（2）連接po、pc，并把poc沿co翻折，得到四邊形pop1c，那么是否存在點(diǎn)p，使四邊形pop1c為菱形？若存在，請求出此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo);若不存在，請說明理由.（3）當(dāng)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形abpc的面積最大？求出此時(shí)p點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形abpc的最大面積.解：（1）y=x2-2x-3.（2）存在點(diǎn)p，使四邊形pop1c為菱形;如圖5，設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2-2x-3），pp1交co于e點(diǎn).若四邊形pop1c是菱形，則有pc=po;連接pp1，則peco于e.oe=ec=，y=-x2-2x-3=-解得x1=，x2=（不合題意，舍去）p點(diǎn)的坐標(biāo)為（，-）（3）如圖6，過點(diǎn)p做y軸的平行線與bc交于點(diǎn)q，與ob交于點(diǎn)f，設(shè)p（x，x2-2x-3），易得直線bc的解析式為y=x-3，則 點(diǎn)q的坐標(biāo)為（x，x-3）;s四邊形abpc=sabc+sbpq+scpq=ab·oc+pq·bf+pq·of=×4×3+（-x2+3x）×3=-（x-）