儲藥槽寬度優(yōu)化設計方案模型

1、儲藥槽寬度的優(yōu)化設計模型- 設計論文儲藥槽寬度的優(yōu)化設計模型吳葉民 WU Ye-min（江陰職業(yè)技術學院基礎部，江陰214405 ）（ BasicDepartmentofJiangyinPolytechnicCollege ， Jiangyin214405 ，China ）摘要：本文對 2014 年全國數(shù)學建模競賽D 題1 儲藥柜的優(yōu)化設計進行了探討，為解決第2 問儲藥槽寬度的優(yōu)化設計，提出了0-1整數(shù)規(guī)劃模型，并用Matlab編程進行了求解，得到了比較好的結果。Abstract： The paper discusses the optimization design of medicines

2、toragecabinetwhichis thetitleD of2014NationalMathematicalModeling Contest. In order to solve optimization design of the width ofmedicinestoragecabinetwhichis thesecondquestion， 0-1integerprogrammingmodelis proposed， andMatlabprogrammingis usedfor solution， and a good result is obtained.關鍵詞：儲藥槽；優(yōu)化設計；

3、線性規(guī)劃；matlabKeywords ：medicinestoragecabinet ； optimaldesign ； linearprogramming；matlab中圖分類號： O141.4文獻標識碼： A 文章編號： 1006-4311 （2015 ） 25-0249-02基金工程：江陰職業(yè)技術學院科研工程（14-S-JC-07 ）；江蘇省高等學校大學生實踐創(chuàng)新訓練工程（201313137016X）。作者簡介：吳葉民（ 1976- ），男，江蘇江陰人，江陰職業(yè)技術學院講師，研究方向為數(shù)學建模與數(shù)學教育。1 問題的背景及分析2014 年全國數(shù)學建模競賽D 題是關于儲藥柜的優(yōu)化設計，解決

4、這個問題可以提高儲藥柜的利用率和適應性，有利于自動分揀發(fā)藥系統(tǒng)的實現(xiàn)。題目給定了儲藥柜的尺寸（長1.5m 、寬 2.5m 、有效高度1.5m ）以及一批藥品的藥盒尺寸（長、寬、高），儲藥柜由若個豎向隔板及橫向隔板分割成許多長方體儲藥槽。每個儲藥槽內只能存放同一種藥品，藥品從后端放入，從前端取出。為實現(xiàn)藥盒在儲藥槽內能順利出入，要求藥盒與兩側豎向隔板之間及上下橫向隔板之間均要有2mm的間隙，并且推送過程中不能出現(xiàn)并排重疊、側翻或水平旋轉。在此條件下要求一種優(yōu)化設計方案，既要使得儲藥槽的豎向隔板間距類型數(shù)和橫向隔板間距類型數(shù)盡可能地少，又要使得平面冗余盡量可能地小。原題分為 4 個問題，其中第 2

5、 個問題要求找到使總寬度冗余和豎向隔板間隔類型數(shù)都盡可能小的優(yōu)化設計方案是關鍵，因此本文主要對第2 個問題進行探討。兩側豎向隔板間隔其實就是儲藥槽寬度，我們首先利用所給條件得出每種藥盒能放入的儲藥槽的寬度允許范圍，然后確定儲藥槽寬度類型數(shù)的最小值與最大值，最后討論如何找出儲藥槽寬度類型數(shù)和總寬度冗余都盡量小的優(yōu)化設計方案。2 儲藥槽寬度范圍的確定藥盒的形狀是長方體，定義最長邊為長，其次為高，最短邊為寬，原題附件1 所給數(shù)據(jù)中有6 個藥盒的寬大于高，應予以調整。藥盒與儲藥槽之間應留2mm的間隙。同時還要求藥盒在儲藥槽內推送過程中不會出現(xiàn)并排重疊、側翻或水平旋轉。設第種藥盒的長、高、寬分別為ai

6、，bi ，ci ，（ i=1，2， ，1919 ），其所在的儲藥槽寬度為wi ，wi的上、下限分別為wmini、wmaxi。由藥盒與儲藥槽之間應留2mm的間隙可得wmini=ci+2（1 ）（ 表示取整數(shù)部分）。3 儲藥槽寬度類型數(shù)范圍的確定首先，我們可以把D 題中附件 1 的數(shù)據(jù)代入公式（ 1）和（ 2 ）進行計算，可以得出每種藥盒可以放入的儲藥槽的寬度上下限，并按儲藥槽寬度下限重新升序排序，可以得到儲藥槽寬度下限最小為12 ，最大為 58 ，共有 47 種，具體見表 1。要使儲藥槽寬度類型數(shù)最少，也就是說每種被采用的儲藥槽寬度要適應盡可能多的藥盒種類。為找到儲藥槽寬度類型數(shù)的最小值，我們設

7、計了以下算法。第 1 步：從儲藥槽的寬度下限最小的藥盒開始，計算所有該下限寬度藥盒的寬度上限的最小值，記為 z1 。第 2 步：如果 z1 沒有達到最小下限的最大值，則搜索所有寬度下限小于等于 z1 ，且寬度上限大于等于 z1 的藥盒，并把其中最大寬度限所對應的最小上限值記錄下來，記為 z2 。依次類推。第 k 步：如果 zk 沒有達到最小下限的最大值，搜索所有寬度下限小于等于zk ，且寬度上限大于等于zk 的藥盒，并把其中最大寬度限所對應的最小上限值記錄下來，記為zk+1 。如果 zk 小于等于寬度下限的最大值時，就以該值作為最后一個zk ，這樣z1 ，z2， ，zk 是一種儲藥槽寬度類型數(shù)

8、最少的方案。最后求出儲藥槽寬度類型數(shù)的最小值為4，儲藥槽寬度分別為20 、 34 、45 、58mm ，對應藥盒寬的范圍分別為10-17mm、 18-32mm、 33-43mm、44-56mm。不過值得說明的是，寬度類型最少的方案有很多種。如果把 47 種儲藥槽寬度下限直接作為儲藥槽寬度，則儲藥槽寬度類型數(shù)的最大值為 47 。因此儲藥槽寬度類型數(shù)的范圍應該為4 到 47 之間。4 儲藥槽寬度類型的優(yōu)化設計對第 i 種藥盒，我們定義寬度冗余ri 為儲藥槽實際寬度wi 與儲藥槽寬度下限之差 wmini ，即寬度冗余ri=wi-wmini，顯然所有的藥都應該儲放在儲藥槽中，因此總寬度冗余。我們注意到

9、儲藥槽寬度類型越多，則總寬度冗余越小，反之儲藥槽寬度類型越少，則總寬度冗余越大，也就是說同時使兩者達到最少的最優(yōu)方案是不存在的。因此我們只能追求相對滿意的方案。因此，我們不妨固定儲藥槽寬度類型數(shù) N （ 4?燮 N?燮 47 ），在 N 確定的情況下，找總寬度冗余最小的方案。為此我們引進 0-1 變量我們根據(jù)以上模型編寫了Maltab程序，固定儲藥槽寬度類型數(shù)N （ 4?燮 N?燮 47 ）從 4 開始求最小總寬度冗余的方案。我們注意到，當寬度類型數(shù)增加時，程序復雜度大大增加，導致程序運行速度變慢。因此實際運行程序時，可以使用之前的結果優(yōu)化程序，減少循環(huán)次數(shù)，提高運行速度。比如當儲藥槽寬度類型

10、數(shù)為 k 時，我們得到 Z1 ， Z2， ，Zk 最優(yōu)方案。那么寬度類型為 k+1時，得到的第 k 個寬度應該介于zk-1 到 zk 之間（假定 Z0=12 ），這樣可以減少程序復雜度，提高運行速度。我們具體運行了N=4 ，5，6，7， 8，9，10，程序運行的結果如表2 。我們從表 2 發(fā)現(xiàn)，起初當儲藥槽類型數(shù)N 每增大 1 時，總寬度冗余顯著減少，但當 N 達到 8 時，再增大N 的值冗余卻沒有明顯的改善，因此這時增加儲藥槽類型數(shù)的意義就不大了。我們還可以通過儲藥槽類型數(shù)與寬度冗余率的關系來看，設寬度冗余率，計算得結果見表3。在 Matlab中畫出豎直隔板間隔類型數(shù)與寬度冗余率的關系圖如圖1 。我們發(fā)現(xiàn)當儲藥槽寬度類型數(shù)增加到8 時，由圖 1 可以看出冗余度已經只有6.2% ，而且每增加一個隔板降低冗余度已不足1% ，再增加隔板已經不合算了。因此我們得出合理的儲藥槽寬度類型數(shù)為8，具體的寬度為19 、23 、27 、32 、7、43 、49 、58。5 模型的改進方向如果能夠進一步知道增加1 塊隔板的成本以及每增加1 個單位冗余的成本，那么我們就可以得到最優(yōu)的儲藥槽