高二數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思的要求

1、高二數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思的要求1 / 6 高二數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思的要求課題：選修 1-1 第二章 第一節(jié) 橢圓的定義及方程（第一課時(shí)）教學(xué)設(shè)計(jì). 設(shè)計(jì)者：王艷坤思想方法：運(yùn)用類比方法研究橢圓圖形和方程，用實(shí)驗(yàn)的方法進(jìn)行教學(xué)， 用數(shù)形結(jié)合方法研究橢圓的性質(zhì). 教學(xué)目標(biāo)：1通過本節(jié)課課前及課堂上復(fù)習(xí)圓的定義和研究方法的類比研究過程，使學(xué)生探索、理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法. 2能夠完成由實(shí)驗(yàn)到數(shù)學(xué)的抽象過程，復(fù)習(xí)和鞏固求曲線軌跡方程的基本方法. 3能夠理解數(shù)形結(jié)合的基本思想，理解橢圓軌跡和方程之間的關(guān)系，進(jìn)一步提高學(xué)生解析能力 . 教學(xué)重點(diǎn)：1橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法. 2數(shù)形結(jié)合

2、的基本思想，理解解析法，橢圓曲線和方程之間的相互關(guān)系. 教學(xué)難點(diǎn)：1數(shù)形結(jié)合的基本思想 . 2建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程. 教學(xué)關(guān)鍵：創(chuàng)設(shè)直觀情境，運(yùn)用好類比思想以及數(shù)學(xué)結(jié)合思想. 教學(xué)方式：體驗(yàn)式探索 . 教學(xué)手段：實(shí)驗(yàn)，多媒體演示. 學(xué)生特點(diǎn)：本節(jié)課的教學(xué)對象為普通高中文科學(xué)生，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很弱. 教學(xué)過程1創(chuàng)設(shè)情境實(shí)驗(yàn)：把一個(gè)小重物系在繩子的一端，然后握住繩子的另一端，把重物旋轉(zhuǎn)起來，觀察重物運(yùn)行到軌跡. 學(xué)生完成：討論結(jié)果、進(jìn)行總結(jié). 在平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)所形成到軌跡是一個(gè)圓. 在空間內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)所形成的軌跡是一個(gè)球. 高二數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思的要求2 / 6 2復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)思想圓是平面幾何圖形，

3、在歐式幾何中已有系統(tǒng)的研究，人們在已知定點(diǎn) （即圓心） ，定長（即半徑）條件下，研究了周長和半徑的關(guān)系由此得到了圓周率，還有面積、體積和其它的許多性質(zhì)。想一想，在圓的軌跡形成的過程中，滿足什么樣的條件才能形成圓？學(xué)生回答：到圓心距離等于半徑. 復(fù)習(xí)總結(jié)圓的定義：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡. 老師在黑板上按照條件做出圓的軌跡來，接下來，讓同學(xué)把剛才的實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)移到練習(xí)本上， 在練習(xí)本地畫出由條件 “到定點(diǎn)的距離等與定長的點(diǎn)”限制下的圖形圓，讓學(xué)生慢慢地體會概念的由來，對概念有更深刻印象. 怎樣更加精確研究這個(gè)動(dòng)點(diǎn)呢？因?yàn)樾枰_的原因，就需要數(shù)據(jù)的支持，怎么樣用數(shù)來表示圖形呢？這個(gè)轉(zhuǎn)化可是數(shù)學(xué)史

4、上一個(gè)非常重要的思想數(shù)學(xué)結(jié)合思想 . 在直角坐標(biāo)系下，把動(dòng)點(diǎn)引入二元數(shù)x，來限定表述 (x，y)，顯然我們可以用 x，二元數(shù)來分析這個(gè)圖形上的每一個(gè)點(diǎn). 這樣我們就需要建立直角坐標(biāo)系，建立直角坐標(biāo)系后，任意的動(dòng)點(diǎn)就有了坐標(biāo)（x，y） ，動(dòng)點(diǎn)不論在任何位置都可以用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來. 從上面一系列的分析來看，在直角坐標(biāo)系下，圖形要經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化變成用兩個(gè)變數(shù) x，y 表示的式子（即方程） ；反過來方程的數(shù)量關(guān)系，完全可以反映圖形的一切性質(zhì)上，這就是數(shù)與形的結(jié)合，又稱為數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想 . 把圓的定義滿足的幾何條件op 轉(zhuǎn)換成代數(shù)方程，得ryx22，化簡得圓心在原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：2 2r2。圓

5、心在原點(diǎn)的圓形數(shù)轉(zhuǎn)化op代數(shù)轉(zhuǎn)化ryx22代數(shù)轉(zhuǎn)化2 2r2圓心在原點(diǎn)的圓數(shù)形轉(zhuǎn)化op代數(shù)轉(zhuǎn)化ryx22代數(shù)轉(zhuǎn)化2 2r2當(dāng)把圓圖形不變圓心平移至c（a，b）時(shí)，我們可以用兩種方法來求圓的方程，一種是：把幾何條件pc 直譯成代數(shù)方程rbyax22)()(，化簡方程得（）2+（）2= r2；另一種方法是：由方程2 2r2按向量（ a，b）進(jìn)行平移，同樣可以得到圓的方程（）2+（）2= r2.（一題多解是轉(zhuǎn)化的載體）2 2r2數(shù)形轉(zhuǎn)化（）2+（）2= r22 2r2平移轉(zhuǎn)化（）2+（）2= r2下面我們要就利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來研究其它曲線的性質(zhì)，這一節(jié)課我們類比圓的研究方法來研究橢圓的方程和性

6、質(zhì).（數(shù)學(xué)思想的教學(xué)，由實(shí)驗(yàn)抽象出數(shù)學(xué)形式，定性研究）高二數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思的要求3 / 6 3新課類比學(xué)習(xí)橢圓定義在學(xué)習(xí)圓錐曲線的時(shí)候， 我們首先學(xué)習(xí)的是橢圓的方程和幾何性質(zhì)，那么我們類比圓的定義和性質(zhì)來研究，首先來做一個(gè)實(shí)驗(yàn). 實(shí)驗(yàn)過程由老師與學(xué)生的共同參與活動(dòng)：在上面實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上， 啟發(fā)學(xué)生開放思想， 大膽把條件進(jìn)行變換， 如果把一個(gè)定點(diǎn)分離成兩個(gè)定點(diǎn)，會變成怎樣一種情形？問題就變成“到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離和等與定長的點(diǎn)的軌跡”是什么？讓學(xué)生自己也動(dòng)手來做一做實(shí)驗(yàn)，找一找動(dòng)點(diǎn)的位置， 說一說動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形 . 經(jīng)過探索這個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡， 得到初步的印象， 有了一定的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，再由老

7、師和學(xué)生共同梳理不同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果下的結(jié)論，然后老師再把實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)移到黑板上，和同學(xué)們共同完成對動(dòng)點(diǎn)軌跡的探尋。根據(jù)條件由兩個(gè)定點(diǎn)和定長的線段共同限制下畫出橢圓的圖形，再由這些實(shí)驗(yàn)帶來的信息，共同協(xié)商確定橢圓的定義 . 板演畫圖過程： 首先出示一條確定長度的短繩，充分展示是短繩的長度是確定的， 也稱之為定長 . 在黑板上取兩個(gè)定點(diǎn)， 注意到定點(diǎn)的取法有三種， 我們分三種情況進(jìn)行討論， 第一種情況， 繩長大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離；第二種情況，繩長等于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離；第三種情況，繩長小于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離 . 第一種情況，兩個(gè)定點(diǎn)的距離小于繩子的長度，把繩的兩個(gè)端點(diǎn)分別放在兩個(gè)定點(diǎn)上，拉直在繩子改變形狀

8、， 繩子的長度不會該變， 使點(diǎn)在移動(dòng)的過程中始終保持到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和不變，下面我們在黑板所在的平面內(nèi)找動(dòng)點(diǎn)的位置以及運(yùn)動(dòng)形成的軌跡. 哪個(gè)同學(xué)對這個(gè)問題很感興趣？愿意幫助老師找到滿足條件的點(diǎn)呢？好！讓學(xué)生們進(jìn)行探討，然后請?jiān)敢獗憩F(xiàn)的同學(xué)到黑板前面來， 找出這些動(dòng)點(diǎn)， 用這些動(dòng)點(diǎn)連接成一條曲線， 觀察這個(gè)圖形，我們創(chuàng)造的這個(gè)圖形為橢圓. 接下來第二種情況，再取繩長等于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離， 找?guī)讉€(gè)學(xué)生到黑板上畫這樣的動(dòng)點(diǎn)，使動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和等于繩長，經(jīng)過試驗(yàn)、 尋點(diǎn)、思考后學(xué)生認(rèn)為這些動(dòng)點(diǎn)構(gòu)成了一條以兩個(gè)定點(diǎn)為端點(diǎn)的一條線段，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為線段端點(diǎn)的一條線段. 第三種情況，繩長小于

9、兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離時(shí)，找不到滿足條件的點(diǎn)，畫不出圖形. 在這三種情形中，有兩種情形動(dòng)點(diǎn)的軌跡是圖形，其中一個(gè)是橢圓，另一個(gè)是線段，第三種情況不表示任何圖形 . 在這些感性的認(rèn)識基礎(chǔ)上，我們進(jìn)行歸納、總結(jié)，得出準(zhǔn)確可靠的結(jié)論，給出橢圓的嚴(yán)密定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn) f1，f2的距離的和等于常數(shù)（大于21ff）的點(diǎn)的軌跡（或集合）叫做橢圓。 f1， f2叫做橢圓的焦點(diǎn)；21ff叫做橢圓的焦距 . 接下來我們在焦點(diǎn)不變的情況下，把定長變大或變小，再由同學(xué)親自動(dòng)手畫一些其他的橢圓，以加深對橢圓的感性認(rèn)識。學(xué)生實(shí)際操作的過程熱情很高，氣氛非常好，聽講時(shí)，精力非常集高二數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思的要求4 / 6 中，

10、緊緊盯著黑板，這說明教學(xué)效果很好. 有了畫圖形的實(shí)際操作經(jīng)驗(yàn)，再讓學(xué)生認(rèn)真回味剛才畫圖的過程， 從感性上體會橢圓、 從理性上領(lǐng)悟橢圓的定義以及定長的變化對圖形形狀的影響，學(xué)生會從我們實(shí)驗(yàn)的條件變更當(dāng)中得出新結(jié)論，總結(jié)出：當(dāng)定點(diǎn)距離不變時(shí)，定長越長時(shí)，圖形越接近于圓形，橢圓越鼓；定長越短時(shí)，圖形越接近于一條直線，橢圓越扁平。條件再度變更：在定長不變，改變兩個(gè)焦點(diǎn)的位置的情況下再來畫一組橢圓，體會條件變化對圖形的影響 . 黑板上這樣一個(gè)幾何圖形，是一條曲線圍成的封閉圖形，是我們不太熟悉的橢圓，在我們生活當(dāng)中是比較常見的，當(dāng)我們拿手電筒去照射垂直于光線的一個(gè)平面的時(shí)候，我們發(fā)現(xiàn)光斑所形成的是一個(gè)圓，

11、當(dāng)我們把平面變動(dòng)或者是把手電筒移動(dòng)使光線與平面呈一定角度時(shí)，所形成到光斑就是一個(gè)橢圓； 在自然界一些天體的運(yùn)行軌跡也是橢圓。由此可見， 對橢圓的研究是源于人們對自然界的探索. 4運(yùn)用數(shù)形結(jié)合求橢圓的方程接下來我們要精確地研究橢圓的性質(zhì)，再引導(dǎo)學(xué)生來思考怎樣來研究這樣一個(gè)新的圖形的性質(zhì)： 我們?nèi)绻_地得到它的各種性質(zhì)，當(dāng)然是離不開數(shù)的精確描述 . 聯(lián)想天體的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓，再聯(lián)想到科學(xué)家的對天體研究以及軌道預(yù)測和精確定位，這些都離不開一種精確的計(jì)算方法，這就是對“數(shù)”的計(jì)算，而我們得到的橢圓圖形， 圖形和數(shù)是否有聯(lián)系呢？當(dāng)然有，類比圓的研究方法， 建立直角坐標(biāo)系， 用數(shù)與形結(jié)合思想的最好范例

12、解析法來研究幾何圖形，也就是把動(dòng)點(diǎn)用數(shù)來表示，滿足的幾何條件轉(zhuǎn)化為方程表示. 好，這樣我們就把數(shù)和形又一次地聯(lián)系起來 . 通過上面到方法我們知道，首先要建立直角坐標(biāo)系，在建立直角坐標(biāo)系時(shí)， 我們按照使數(shù)據(jù)盡量小， 使方程盡量簡單的原則， 把兩個(gè)坐標(biāo)軸分別建立在橢圓到對稱軸上. 設(shè)兩個(gè)焦點(diǎn)之間距離是2c，定長為2a，然后，設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)p 的坐標(biāo)（ x，y） ，把 p（x，y）到兩個(gè)定點(diǎn) f1(，0)，f2（c，0）的距離和等于定長2a的幾何條件轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程， 使圖形與方程之間建立聯(lián)系，我們就可以從方程的形式上，來研究得到橢圓的一些相應(yīng)的性質(zhì). 推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)方程：（以下方程推導(dǎo)過程由

13、學(xué)生完成）建系：以 f1和 f2 所在直線為 x 軸，線段 f1 f2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系；設(shè)點(diǎn)：設(shè) m（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，設(shè)21ff=2c，則 f1（，0） ，f2（c，0） ；列式：由1pf2pf 2a得aycxycx22222；化簡：移項(xiàng)平方后得222222244ycxaaycxycx，高二數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思的要求5 / 6 整理得，222ycxacxa，兩邊平方后整理得，22222222caayaxca，由橢圓的定義知， 2a2c，即 ac，22ac令222bca，其中 b0，代入上式，得222222bayaxb，兩邊同時(shí)除以22ba，得：12222byax（ab0）.

14、從上述推導(dǎo)過程可知，這個(gè)橢圓是所有以方程12222byax（ab0）的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的 . 這就是說，如果m（x0，y0）是橢圓上的點(diǎn)，那么（x0，y0）一定是這個(gè)方程的解；反過來，如果（x0，y0）是方程12222byax（ab0）的解，那么以它為坐標(biāo)的點(diǎn)一定在這個(gè)橢圓上，這樣，我們就說方程12222byax（ab0）是這個(gè)橢圓的方程 . 這個(gè)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 它的坐標(biāo)軸為對稱軸， 它表示的橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上，焦點(diǎn)是 f1（c，0） 、f2（c，0） ，其中 b2 a2c2. 根據(jù)題目條件， 直譯為關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的幾何關(guān)系，再利用解析幾何有關(guān)公式 （兩點(diǎn)距離公式、點(diǎn)到直線距離公式、夾

15、角公式等）進(jìn)行整理、化簡. 即把這種關(guān)系“ 翻譯” 成含的等式就得到曲線的軌跡方程了. 5練習(xí)： 動(dòng)點(diǎn) p（）到兩定點(diǎn) a（3，0）和 b（3，0）的距離的比等于2 2|pbpa即，求動(dòng)點(diǎn) p的軌跡方程？解：2222)3(| ,)3(payxpbyx，2|pbpa代入222222224)3(4)3(2)3()3(yxyxyxyx得，化簡得（ x5）2216，軌跡是以（ 5，0）為圓心， 4 為半徑的圓 . 6小結(jié)：這節(jié)課我們利用了重要的數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)結(jié)合，研究了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，主要學(xué)習(xí)了這幾個(gè)方面的問題：高二數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與反思的要求6 / 6 （1）橢圓的定義；（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)；（