《初中數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料》2018年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題突破專題十講：2018年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題突破專題七：圖形變換綜合探究題

1、難題突破專題七圖形變換綜合探究題 圖形的軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)是近年中考的新題型、熱點(diǎn)題型，它主要考查學(xué)生的觀察與實(shí)驗(yàn)?zāi)芰?，探索與實(shí)踐能力，因此在解題時(shí)應(yīng)注意以下方面：1熟練掌握圖形的軸對稱、圖形的平移、圖形的旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)和基本方法2結(jié)合具體問題大膽嘗試，動(dòng)手操作平移、旋轉(zhuǎn)，探究發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在規(guī)律是解答操作題的基本方法3注重圖形與變換的創(chuàng)新題，弄清其本質(zhì)，掌握其基本的解題方法，尤其是折疊與旋轉(zhuǎn)等類型1平移變換問題例題：（2017湖南岳陽）問題背景：已知edf的頂點(diǎn)d在abc的邊ab所在直線上（不與a，b重合），de交ac所在直線于點(diǎn)m，df交bc所在直線于點(diǎn)n，記adm的面積為s1，bnd的面積為s

2、2（1）初步嘗試：如圖，當(dāng)abc是等邊三角形，ab=6，edf=a，且debc，ad=2時(shí)，則s1s2=12；（2）類比探究：在（1）的條件下，先將點(diǎn)d沿ab平移，使ad=4，再將edf繞點(diǎn)d旋轉(zhuǎn)至如圖所示位置，求s1s2的值；（3）延伸拓展：當(dāng)abc是等腰三角形時(shí)，設(shè)b=a=edf=（）如圖，當(dāng)點(diǎn)d在線段ab上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)ad=a，bd=b，求s1s2的表達(dá)式（結(jié)果用a，b和的三角函數(shù)表示）（）如圖，當(dāng)點(diǎn)d在ba的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)ad=a，bd=b，直接寫出s1s2的表達(dá)式，不必寫出解答過程【分析】（1）首先證明adm，bdn都是等邊三角形，可得s1=22=，s2=（4）2=4，由此即可解決

3、問題；（2）如圖2中，設(shè)am=x，bn=y首先證明amdbdn，可得=，推出=，推出xy=8，由s1=adamsin60°=x，s2=dbsin60°=y，可得s1s2=xy=xy=12；（3）如圖3中，設(shè)am=x，bn=y，同法可證amdbdn，可得xy=ab，由s1=adamsin=axsin，s2=dbbnsin=bysin，可得s1s2=（ab）2sin2（）結(jié)論不變，證明方法類似；【解答】解：（1）如圖1中，abc是等邊三角形，ab=cb=ac=6，a=b=60°，debc，edf=60°，bnd=edf=60°，bdn=adm=60

4、°，adm，bdn都是等邊三角形，s1=22=，s2=（4）2=4，s1s2=12，故答案為12（2）如圖2中，設(shè)am=x，bn=ymdb=mdn+ndb=a+amd，mdn=a，amd=ndb，a=b，amdbdn，=，=，xy=8，s1=adamsin60°=x，s2=dbsin60°=y，s1s2=xy=xy=12（3）如圖3中，設(shè)am=x，bn=y，同法可證amdbdn，可得xy=ab，s1=adamsin=axsin，s2=dbbnsin=bysin，s1s2=（ab）2sin2如圖4中，設(shè)am=x，bn=y，同法可證amdbdn，可得xy=ab，s1=

5、adamsin=axsin，s2=dbbnsin=bysin，s1s2=（ab）2sin2【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何變換綜合題、等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積公式銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?jí)狠S題類型2折疊問題例題：（2017江蘇徐州）如圖，將邊長為6的正三角形紙片abc按如下順序進(jìn)行兩次折疊，展平后，得折痕ad，be（如圖），點(diǎn)o為其交點(diǎn)（1）探求ao到od的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖，若p，n分別為be，bc上的動(dòng)點(diǎn)當(dāng)pn+pd的長度取得最小值時(shí)，求bp的長度；如圖，若點(diǎn)q在線段bo上，bq=1，則qn+np+

6、pd的最小值=【考點(diǎn)】rb：幾何變換綜合題【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到bao=abo=obd=30°，得到ao=ob，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）如圖，作點(diǎn)d關(guān)于be的對稱點(diǎn)d，過d作dnbc于n交be于p，則此時(shí)pn+pd的長度取得最小值，根據(jù)線段垂直平分線的想知道的bd=bd，推出bdd是等邊三角形，得到bn=bd=，于是得到結(jié)論；（3）如圖，作q關(guān)于bc的對稱點(diǎn)q，作d關(guān)于be的對稱點(diǎn)d，連接qd，即為qn+np+pd的最小值根據(jù)軸對稱的定義得到qbn=qbn=30°，qbq=60°，得到bqq為等邊三角形，bdd為等邊三角形，解直角三

7、角形即可得到結(jié)論【解答】解：（1）ao=2od，理由：abc是等邊三角形，bao=abo=obd=30°，ao=ob，bd=cd，adbc，bdo=90°，ob=2od，oa=2od；（2）如圖，作點(diǎn)d關(guān)于be的對稱點(diǎn)d，過d作dnbc于n交be于p，則此時(shí)pn+pd的長度取得最小值，be垂直平分dd，bd=bd，abc=60°，bdd是等邊三角形，bn=bd=，pbn=30°，=，pb=；（3）如圖，作q關(guān)于bc的對稱點(diǎn)q，作d關(guān)于be的對稱點(diǎn)d，連接qd，即為qn+np+pd的最小值根據(jù)軸對稱的定義可知：qbn=qbn=30°，qbq=60

8、°，bqq為等邊三角形，bdd為等邊三角形，dbq=90°，在rtdbq中，dq=qn+np+pd的最小值=，故答案為：同步訓(xùn)練：（2017.江蘇宿遷）如圖，在矩形紙片abcd中，已知ab=1，bc=，點(diǎn)e在邊cd上移動(dòng)，連接ae，將多邊形abce沿直線ae翻折，得到多邊形abce，點(diǎn)b、c的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)b、c（1）當(dāng)bc恰好經(jīng)過點(diǎn)d時(shí)（如圖1），求線段ce的長；（2）若bc分別交邊ad，cd于點(diǎn)f，g，且dae=22.5°（如圖2），求dfg的面積；（3）在點(diǎn)e從點(diǎn)c移動(dòng)到點(diǎn)d的過程中，求點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)的路徑長【考點(diǎn)】lo：四邊形綜合題【分析】（1）如圖1中，設(shè)ce

9、=ec=x，則de=1x，由adbdec，可得=，列出方程即可解決問題；（2）如圖2中，首先證明adb，dfg都是等腰直角三角形，求出df即可解決問題；（3）如圖3中，點(diǎn)c的運(yùn)動(dòng)路徑的長為的長，求出圓心角、半徑即可解決問題【解答】解：（1）如圖1中，設(shè)ce=ec=x，則de=1x，adb+edc=90°，bad+adb=90°，bad=edc，b=c=90°，ab=ab=1，ad=，db=，adbdec，=，=，x=2ce=2（2）如圖2中，bad=b=d=90°，dae=22.5°，eab=eab=67.5°，baf=bfa=45&

10、#176;，dfg=afb=dgf=45°，df=fg，在rtabf中，ab=fb=1，af=ab=，df=dg=，sdfg=（）2=（3）如圖3中，點(diǎn)c的運(yùn)動(dòng)路徑的長為的長，在rtadc中，tandac=，dac=30°，ac=2cd=2，cad=dac=30°，cac=60°，的長=類型3旋轉(zhuǎn)變換問題例題：（2017內(nèi)蒙古赤峰）opa和oqb分別是以op、oq為直角邊的等腰直角三角形，點(diǎn)c、d、e分別是oa、ob、ab的中點(diǎn)（1）當(dāng)aob=90°時(shí)如圖1，連接pe、qe，直接寫出ep與eq的大小關(guān)系；（2）將oqb繞點(diǎn)o逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)a

11、ob是銳角時(shí)如圖2，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請加以說明（3）仍將oqb繞點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)，當(dāng)aob為鈍角時(shí)，延長pc、qd交于點(diǎn)g，使abg為等邊三角形如圖3，求aob的度數(shù)【考點(diǎn)】rb：幾何變換綜合題【分析】（1）先判斷出點(diǎn)p，o，q在同一條直線上，再判斷出apebfe，最后用直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半即可得出結(jié)論；（2）先判斷出ce=dq，pc=de，進(jìn)而判斷出epcqed即可得出結(jié)論；（3）先判斷出cq，gp分別是ob，oa的垂直平分線，進(jìn)而得出gbo=gob，goa=gao，即可得出結(jié)論【解答】解：（1）如圖1，延長pe，qb交于點(diǎn)f，apo和bqo是等

12、腰直角三角形，apo=bqo=90°，aop=boq=45°，aob=90°，aop+aob+boq=180°，點(diǎn)p，o，q在同一條直線上，apo=bqo=90°，apbq，pae=fbe，點(diǎn)e是ab中點(diǎn)，ae=be，aep=bef，apebfe，pe=ef，點(diǎn)e是rtpqf的斜邊pf的中點(diǎn)，ep=eq；（2）成立，證明：點(diǎn)c，e分別是oa，ab的中點(diǎn)，ceob，ce=ob，doc=eca，點(diǎn)d是rtoqb斜邊中點(diǎn)，dq=ob，ce=dq，同理：pc=de，doc=bde，eca=bde，pce=edq，epcqed，ep=eq；（3）如圖2，

13、連接go，點(diǎn)d，c分別是ob，oa的中點(diǎn)，apo與qbo都是等腰直角三角形，cq，gp分別是ob，oa的垂直平分線，gb=go=ga，gbo=gob，goa=gao，設(shè)gob=x，goa=y，x+x+y+y+60°=360°x+y=150°，aob=150°同步訓(xùn)練：（2017黑龍江佳木斯）已知：aob和cod均為等腰直角三角形，aob=cod=90°連接ad，bc，點(diǎn)h為bc中點(diǎn)，連接oh（1）如圖1所示，易證：oh=ad且ohad（不需證明）（2）將cod繞點(diǎn)o旋轉(zhuǎn)到圖2，圖3所示位置時(shí)，線段oh與ad又有怎樣的關(guān)系，并選擇一個(gè)圖形證明你的

14、結(jié)論【考點(diǎn)】r2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；kd：全等三角形的判定與性質(zhì)；kw：等腰直角三角形【分析】（1）只要證明aodboc，即可解決問題；（2）如圖2中，結(jié)論：oh=ad，ohad延長oh到e，使得he=oh，連接be，由beooda即可解決問題；如圖3中，結(jié)論不變延長oh到e，使得he=oh，連接be，延長eo交ad于g由beooda即可解決問題；【解答】（1）證明：如圖1中，oab與ocd為等腰直角三角形，aob=cod=90°，oc=od，oa=ob，在aod與boc中，aodboc（sas），ado=bco，oad=obc，點(diǎn)h為線段bc的中點(diǎn)，oh=hb，obh=hob=oad，又

15、因?yàn)閛ad+ado=90°，所以ado+boh=90°，所以ohad（2）解：結(jié)論：oh=ad，ohad，如圖2中，延長oh到e，使得he=oh，連接be，易證beoodaoe=ad oh=oe=ad由beooda，知eob=daodao+aoh=eob+aoh=90°，ohad如圖3中，結(jié)論不變延長oh到e，使得he=oh，連接be，延長eo交ad于g易證beoodaoe=ad oh=oe=ad由beooda，知eob=daodao+aof=eob+aog=90°，ago=90°ohad專 題 訓(xùn) 練1. （2017貴州安順）如圖，一塊含有3

16、0°角的直角三角板abc，在水平桌面上繞點(diǎn)c按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到abc的位置，若bc=12cm，則頂點(diǎn)a從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為16cm【考點(diǎn)】o4：軌跡；r2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【分析】由題意知aca=bac+abc=120°、ac=2bc=24cm，根據(jù)弧長公式可求得點(diǎn)a所經(jīng)過的路徑長，即以點(diǎn)c為圓心、ca為半徑的圓中圓心角為120°所對弧長【解答】解：bac=30°，abc=90°，且bc=12，aca=bac+abc=120°，ac=2bc=24cm，由題意知點(diǎn)a所經(jīng)過的路徑是以點(diǎn)c為圓心、ca為半徑的圓中圓心角為120°

17、所對弧長，其路徑長為=16（cm），故答案為：162. （2017齊齊哈爾）如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個(gè)單位長度，abc的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a（3，4），b（5，2），c（2，1）（1）畫出abc關(guān)于y軸對稱圖形a1b1c1；（2）畫出將abc繞原點(diǎn)o逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到的a2b2c2；（3）求（2）中線段oa掃過的圖形面積【考點(diǎn)】r8：作圖旋轉(zhuǎn)變換；mo：扇形面積的計(jì)算；p7：作圖軸對稱變換【分析】（1）分別作出各點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，再順次連接即可；（2）根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形a2b2c2即可；（3）利用扇形的面積公式即可得出結(jié)論【解答】解：（

18、1）如圖，a1b1c1即為所求；（2）如圖，a2b2c2即為所求；（3）oa=5，線段oa掃過的圖形面積=3. （2017廣西）如圖，點(diǎn)p在等邊abc的內(nèi)部，且pc=6，pa=8，pb=10，將線段pc繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到p'c，連接ap'，則sinpap'的值為【考點(diǎn)】r2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；kk：等邊三角形的性質(zhì)；t7：解直角三角形【分析】連接pp，如圖，先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得cp=cp=6，pcp=60°，則可判定cpp為等邊三角形得到pp=pc=6，再證明pcbpca得到pb=pa=10，接著利用勾股定理的逆定理證明app為直角三角形，app=9

19、0°，然后根據(jù)正弦的定義求解【解答】解：連接pp，如圖，線段pc繞點(diǎn)c順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到p'c，cp=cp=6，pcp=60°，cpp為等邊三角形，pp=pc=6，abc為等邊三角形，cb=ca，acb=60°，pcb=pca，在pcb和pca中，pcbpca，pb=pa=10，62+82=102，pp2+ap2=pa2，app為直角三角形，app=90°，sinpap=故答案為4. （2017張家界）如圖，在正方形abcd中，ad=2，把邊bc繞點(diǎn)b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段bp，連接ap并延長交cd于點(diǎn)e，連接pc，則三角

20、形pce的面積為610【考點(diǎn)】r2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；le：正方形的性質(zhì)【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的想知道的pb=bc=ab，pbc=30°，推出abp是等邊三角形，得到bap=60°，ap=ab=2，解直角三角形得到ce=22，pe=42，過p作pfcd于f，于是得到結(jié)論【解答】解：四邊形abcd是正方形，abc=90°，把邊bc繞點(diǎn)b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到線段bp，pb=bc=ab，pbc=30°，abp=60°，abp是等邊三角形，bap=60°，ap=ab=2，ad=2，ae=4，de=2，ce=22，pe=42，過p作pfcd于f，

21、pf=pe=23，三角形pce的面積=cepf=×（22）×（42）=610，故答案為：6105. （2017甘肅天水）abc和def是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，bac=edf=90°，def的頂點(diǎn)e與abc的斜邊bc的中點(diǎn)重合，將def繞點(diǎn)e旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段de與線段ab相交于點(diǎn)p，線段ef與射線ca相交于點(diǎn)q（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)q在線段ac上，且ap=aq時(shí)，求證：bpecqe；（2）如圖，當(dāng)點(diǎn)q在線段ca的延長線上時(shí)，求證：bpeceq；并求當(dāng)bp=2，cq=9時(shí)bc的長【考點(diǎn)】s9：相似三角形的判定與性質(zhì)；kd：全等三角形的判定與性質(zhì)；kw：等腰直角三角

22、形；r2：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【分析】（1）由abc是等腰直角三角形，易得b=c=45°，ab=ac，又由ap=aq，e是bc的中點(diǎn)，利用sas，可證得：bpecqe；（2）由abc和def是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，易得b=c=def=45°，然后利用三角形的外角的性質(zhì)，即可得bep=eqc，則可證得：bpeceq；根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得be的長，即可得bc的長，【解答】（1）證明：abc是等腰直角三角形，b=c=45°，ab=ac，ap=aq，bp=cq，e是bc的中點(diǎn)，be=ce，在bpe和cqe中，bpecqe（sas）；（2）解：連接pq，abc和

23、def是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，b=c=def=45°，beq=eqc+c，即bep+def=eqc+c，bep+45°=eqc+45°，bep=eqc，bpeceq，=，bp=2，cq=9，be=ce，be2=18，be=ce=3，bc=66. （2017山東臨沂）數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖1，ac，bd是四邊形abcd的對角線，若acb=acd=abd=adb=60°，則線段bc，cd，ac三者之間有何等量關(guān)系？經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的思路：如圖2，延長cb到e，使be=cd，連接ae，證得abeadc，從而容易證明ace是等邊三角形，

24、故ac=ce，所以ac=bc+cd小亮展示了另一種正確的思路：如圖3，將abc繞著點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使ab與ad重合，從而容易證明acf是等邊三角形，故ac=cf，所以ac=bc+cd在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（1）小穎提出：如圖4，如果把“acb=acd=abd=adb=60°”改為“acb=acd=abd=adb=45°”，其它條件不變，那么線段bc，cd，ac三者之間有何等量關(guān)系？針對小穎提出的問題，請你寫出結(jié)論，并給出證明（2）小華提出：如圖5，如果把“acb=acd=abd=adb=60°”改為“acb=acd=abd=adb=”，其它條件不變，那么線段bc，cd，ac三者之間有