量子力學(xué)習(xí)題

1、1一一. .量子力學(xué)基本原理之一量子力學(xué)基本原理之一波函數(shù)波函數(shù) 微觀粒子的運動狀態(tài)可以用波函數(shù)微觀粒子的運動狀態(tài)可以用波函數(shù) 完全完全描述描述。( , ) r t2,r tr tr t表示表示 t 時刻時刻, 微觀粒子在空間微觀粒子在空間 點出現(xiàn)的相對點出現(xiàn)的相對概率密度概率密度。r2) 要求要求2,tr單值單值3) 波函數(shù)的波函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性4) 粒子在空間各點的概率的總和為粒子在空間各點的概率的總和為 1- 波函數(shù)波函數(shù)歸一化歸一化條件條件1) 空間任何有限體積元中找到粒子的概率為空間任何有限體積元中找到粒子的概率為有限值有限值2二二. .量子力學(xué)基本原理之二量子力學(xué)基本原理之二薛定諤

2、方程薛定諤方程22( , )( , )( , )2ir tU r tr ttm （2）其解波函數(shù)）其解波函數(shù) 是一個是一個復(fù)函數(shù)復(fù)函數(shù)。只有其模。只有其模方才有直接的物理意義方才有直接的物理意義tr,（1）它的解滿足態(tài)的疊加原理）它的解滿足態(tài)的疊加原理若若 和和 是薛定諤方程的解，是薛定諤方程的解，),(2tr),(1tr則則 也是薛定諤方程的解。也是薛定諤方程的解。),(),(2211trctrc（3）它是）它是非相對論非相對論形式的方程。形式的方程。3薛定諤方程應(yīng)用薛定諤方程應(yīng)用薛定諤方程薛定諤方程勢場中運動的粒子勢場中運動的粒子定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程定態(tài)波函數(shù)：定態(tài)波函數(shù)：22(

3、, )() ( , )2ir tU rtr ttm ，22( ) ( )( )2U rrErm EtiEertr)(),(量子力學(xué)基本原理之二表述量子力學(xué)基本原理之二表述自由粒子自由粒子22( , )( , )2ir tr ttm ( , )( , )ir tHr tt4一維定態(tài)問題（一維無限深方勢阱）一維定態(tài)問題（一維無限深方勢阱）本征值：本征值：,.)2, 1(22222nnmaEn本征函數(shù)：本征函數(shù)：2sin(0)0(0 xa)nn xxaaax0aa05線性諧振子問題線性諧振子問題本征值：本征值：12nEn零點能零點能(基態(tài)能量基態(tài)能量)為為:210E0,1,2,3n km本征函數(shù)：本

4、征函數(shù)： 222xnnnxA eHx2!nnAn其中m6勢壘穿透（隧道效應(yīng)）問題勢壘穿透（隧道效應(yīng)）問題U(x)x0a考慮考慮 EU 的情況的情況U0 U x U0 0 , 212220dmEdx2222220dmEUdx 2332220dmEdxEU 11111ik xik xxAeBe入射入射 反射反射 22222k xk xxA eB e衰減衰減 33333ikx aikx axA eB eB3=002222332211( )m(UE )aaAT eAA7三三. .量子力學(xué)基本原理之三量子力學(xué)基本原理之三力學(xué)量算符力學(xué)量算符1.1.量子力學(xué)中力學(xué)量為什么要用算符代替？量子力學(xué)中力學(xué)量為什

5、么要用算符代替？由于很多力學(xué)量中既有由于很多力學(xué)量中既有“坐標(biāo)坐標(biāo)”，又有，又有“動量動量”，必，必須統(tǒng)一在同一表象中計算其平均值。須統(tǒng)一在同一表象中計算其平均值。2.2.給定力學(xué)量，能夠?qū)懗銎鋵?yīng)的算符給定力學(xué)量，能夠?qū)懗銎鋵?yīng)的算符常常用用算算符符piijkixyz (能量算符能量算符) 動量算符動量算符 動能算符動能算符2222222()2mxyz哈密頓算符哈密頓算符222( )( )22pHU rU rmm 22pTm222m8角動量算符角動量算符Lrp i r()xLiyzzy ()yLizxxz ()zLixyyx 2222xyzLLLLijkixyzxyz 坐標(biāo)算符坐標(biāo)算符rr勢

6、能算符勢能算符9其平均值其平均值( )nrF通過通過 的的本征方程本征方程( )( )nnnFrr和本征值和本征值 n可求得本征函數(shù)可求得本征函數(shù)在量子力學(xué)中，力學(xué)量用一個算符在量子力學(xué)中，力學(xué)量用一個算符 表示，表示，F(xiàn)1.當(dāng)體系處在當(dāng)體系處在 n態(tài)時，態(tài)時， 力學(xué)量有力學(xué)量有確定值確定值，即，即本征值本征值 n2.當(dāng)體系處在當(dāng)體系處在疊加態(tài)疊加態(tài) 時，時，( )( )nnnrCr力學(xué)量一般沒有確定值，力學(xué)量一般沒有確定值，2*dnnnFFC2nC表示粒子處在表示粒子處在 的概率的概率n求力學(xué)量平均值注意統(tǒng)一表象求力學(xué)量平均值注意統(tǒng)一表象10基本對易關(guān)系基本對易關(guān)系 , 0 x y ,0yx

7、 p ,xx pi ,0zx p,0 xypp,yzxL Li Lh,zxyL Li Lh不對易，不能同時具有確定值不對易，不能同時具有確定值,xyzL LL0,2xLL0,2yLL0,2zLL2L因而因而 分別和分別和 同時有確定值。同時有確定值。,xyzL LLCABBABA,算符算符 和和 的對易式的對易式AB0C0CAB和和 相互對易相互對易A, B同時有確定值同時有確定值A(chǔ), B不能同時有確定值不能同時有確定值和和 相互不對易相互不對易AB11四四. 量子力學(xué)中的氫原子問題量子力學(xué)中的氫原子問題1、能量量子化和主量子數(shù)、能量量子化和主量子數(shù)式中式中 n 稱為主量子數(shù)稱為主量子數(shù).n=

8、1,2,3422220132nmeEn 2、角動量量子化和角量子數(shù)、角動量量子化和角量子數(shù)) 1( llL式中式中 l 稱為角量子數(shù)或副量子數(shù)稱為角量子數(shù)或副量子數(shù).)1(2, 1 ,0nl3、角動量空間量子化和磁量子數(shù)、角動量空間量子化和磁量子數(shù)lzmL 式中式中 ml 稱為磁量子數(shù)稱為磁量子數(shù).lml2, 1, 0角動量在空間的取向只有角動量在空間的取向只有 (2l+1) 種可能。種可能。12施特恩施特恩格拉赫實驗格拉赫實驗烏倫貝克和高斯密特假設(shè)烏倫貝克和高斯密特假設(shè) - 電子自旋假設(shè)電子自旋假設(shè)自旋磁量子數(shù)自旋磁量子數(shù)21sm4、電子自旋、電子自旋電子自旋角動量在外磁場方向上的分量電子自

9、旋角動量在外磁場方向上的分量 zsSm 自旋角動量大小自旋角動量大小3(1)4Ss s自旋量子數(shù)自旋量子數(shù)s=1/25、原子的電子殼層結(jié)構(gòu)、原子的電子殼層結(jié)構(gòu)主量子數(shù)：主量子數(shù)：n=1, 2, 3, 4, K, L, M, N 最大電子數(shù)：最大電子數(shù)：2n2角量子數(shù)：角量子數(shù)：l=0, 1, 2, 3, s, p, d, f 最大電子數(shù)：最大電子數(shù)：2(2l+1)13四個量子數(shù)四個量子數(shù) (1) 主量子數(shù)主量子數(shù) n 大體上確定原子中電子的能量大體上確定原子中電子的能量 (2) 角量子數(shù)角量子數(shù) l 確定電子的軌道角動量確定電子的軌道角動量 (3) 磁量子數(shù)磁量子數(shù) ml 確定軌道角動量在外磁

10、場方向上的分量確定軌道角動量在外磁場方向上的分量 (4) 自旋磁量子數(shù)自旋磁量子數(shù) ms 確定自旋角動量在外磁場方向上的分量確定自旋角動量在外磁場方向上的分量電子以四個量子數(shù)為標(biāo)志的可能狀態(tài)數(shù)分布如下：電子以四個量子數(shù)為標(biāo)志的可能狀態(tài)數(shù)分布如下： n , l , ml 相同相同 ，但，但 ms 不同的可能狀態(tài)有兩個。不同的可能狀態(tài)有兩個。 n , 相同相同 ，但，但 l , ml ，ms 不同的狀態(tài)有不同的狀態(tài)有 1202(21)2nlln 個，組成一個殼層。個，組成一個殼層。 n , l , 相同相同 ，但，但 ml ，ms 不同的可能狀態(tài)有不同的可能狀態(tài)有 2( 2l +1)個，個， 組成

11、一個次殼層。組成一個次殼層。141）全同粒子系）全同粒子系四四. 量子力學(xué)基本原理之四量子力學(xué)基本原理之四全同粒子體系全同粒子體系全同粒子所組成的體系中，任意二全同粒子相互交全同粒子所組成的體系中，任意二全同粒子相互交換位置，不引起體系物理狀態(tài)的改變。換位置，不引起體系物理狀態(tài)的改變。全同性原理全同性原理全同粒子系的特征：全同粒子系的特征：全同粒子系波函數(shù)具有的交換對稱性。全同粒子系波函數(shù)具有的交換對稱性。全同粒子：全同粒子：15在一個原子系統(tǒng)內(nèi)，不可能有兩個或兩個以上的電子具有在一個原子系統(tǒng)內(nèi)，不可能有兩個或兩個以上的電子具有相同的狀態(tài)，亦即相同的狀態(tài)，亦即不可能不可能具有具有完全相同完全相

12、同的的四四個量子數(shù)。個量子數(shù)。 a. a.泡利不相容原理泡利不相容原理原子系統(tǒng)處于正常狀態(tài)時，每個電子趨向占有原子系統(tǒng)處于正常狀態(tài)時，每個電子趨向占有最低的能級最低的能級b.b.能量最小原理能量最小原理2）原子中的電子分布）原子中的電子分布可用可用（ n+0.7 l ) 的值確定能級的高低。的值確定能級的高低。1 , 2 , 2 , 3 , 34 , 3, .sdsspsp能級能量高低次序如下：能級能量高低次序如下：16(1) (1) 定態(tài)薛定諤方程對一維問題的簡單應(yīng)用定態(tài)薛定諤方程對一維問題的簡單應(yīng)用基本問題基本問題一維無限深勢阱薛定諤方程解的物理意義一維無限深勢阱薛定諤方程解的物理意義諧振

13、子的能量諧振子的能量隧道效應(yīng)及掃描隧道顯微鏡隧道效應(yīng)及掃描隧道顯微鏡一維定態(tài)問題解所得結(jié)果的量子圖象與經(jīng)典圖像區(qū)別一維定態(tài)問題解所得結(jié)果的量子圖象與經(jīng)典圖像區(qū)別(2) 四個量子數(shù)及其物理意義四個量子數(shù)及其物理意義(4) 電子自旋及施特恩電子自旋及施特恩-格拉赫實驗格拉赫實驗(5) 原子的電子殼層結(jié)構(gòu)，泡利不相容原理，能量最低原理原子的電子殼層結(jié)構(gòu)，泡利不相容原理，能量最低原理(3) 量子力學(xué)中的算符量子力學(xué)中的算符5. (1) 用 4 個量子數(shù)描述原子中電子的量子態(tài)，這 4 個 量子數(shù)各稱做什么，它們?nèi)≈捣秶鯓樱?(2) 4 個量子數(shù)取值的不同組合表示不同的量子態(tài)， 當(dāng) n = 2 時，包括

14、幾個量子態(tài)？ (3) 寫出磷 (P) 的電子排布，并求每個電子的軌道角動量。答：(1) 4 個量子數(shù)包括： 主量子數(shù) n， n = 1, 2, 3, 角量子數(shù) l， l = 0, 1, 2, n-1 軌道磁量子數(shù) ml， ml = 0, 1, , l 自旋磁量子數(shù) ms， ms = 1/2(3) 按照能量最低原理和泡利不相容原理在每個量子態(tài)內(nèi)填充1個電子, 得磷 (P)的電子排布 1s22s22p63s23p3。(2) n = 2l = 0(s)l = 1(p)ml = 0ml = -1ml = 0ml = 1ms = 1/2ms = 1/2ms = 1/2ms = 1/22n2 = 8個量子

15、態(tài)01)0(01)(ll1s, 2s, 3s 電子軌道角動量為2p, 3p 電子軌道角動量為21111)()(ll在 z 方向的投影可以為, 0, lm解: (1)費米能量是價電子排布的最高能級對應(yīng)的能量。1mol 鈉原子結(jié)合成鈉金屬后,其 3s 能級形成價帶。取價帶底能量Eb= -5.54eV, 如果價帶內(nèi)密集的能級平均間隔為 1.07610-23 eV, 求：(1)費米能量是多少？(2)用波長為 300nm 的單色光照射鈉金屬, 發(fā)出光電子 的最大動能是多少？eV30. 2)54. 5(10076. 110023. 621212323F bEENE由題意, 3s能級分裂成N個能級, 形成價

16、帶。該價帶最多容納2N(2l+1)個電子,即2N個電子。Eb EFA真空能級E0 0價帶光照射鈉時發(fā)生光電效應(yīng)，由愛因斯坦光電方程得到鈉金屬發(fā)出光電子的最大動能是eV84. 130. 2106 . 1103001031063. 6211998342m AhcAhm v(2)金屬的逸出功是金屬內(nèi)的一個電子變成自由電子所吸收的最小能量，即由費米能級向自由能級躍遷的電子所吸收的能量。 A = E0 - EF = 0 - (-2.30) = 2.30eV21例例1. 設(shè)有一個電子在寬為設(shè)有一個電子在寬為0.20nm一維無限深的方勢阱一維無限深的方勢阱中，中， （1）計算電子在最低能級的能量；）計算電子

17、在最低能級的能量； （2）當(dāng)電子處于第一激發(fā)態(tài)時，在勢阱何處出）當(dāng)電子處于第一激發(fā)態(tài)時，在勢阱何處出現(xiàn)的概率最小，其值為多少？現(xiàn)的概率最小，其值為多少？解：解：（1 1）一維無限深方勢阱中粒子的可能能量）一維無限深方勢阱中粒子的可能能量 22221,2,3,.2nEnnma2218121.51 109.432EJeVma式中式中a為勢阱寬度，當(dāng)量子數(shù)為勢阱寬度，當(dāng)量子數(shù)n=1時，粒子處于基態(tài)，能量最時，粒子處于基態(tài)，能量最低。因此，電子在最低能級的能量為低。因此，電子在最低能級的能量為22粒子在一維無限深方勢阱中的波函數(shù)為粒子在一維無限深方勢阱中的波函數(shù)為 2sinnxxaa(1,2,)n (

18、0)xa當(dāng)它處于第一激發(fā)態(tài)時，波函數(shù)為當(dāng)它處于第一激發(fā)態(tài)時，波函數(shù)為 22sinxxaa 2222sinxxaa(0)xa（2）當(dāng)電子處于第一激發(fā)態(tài)時，在勢阱何處出現(xiàn)的概率最小，）當(dāng)電子處于第一激發(fā)態(tài)時，在勢阱何處出現(xiàn)的概率最小，其值為多少？其值為多少？相應(yīng)的概率密度函數(shù)為相應(yīng)的概率密度函數(shù)為令令 ，得得 20dxdx2822sincos0 xxaaa23在在 的范圍內(nèi)討論，的范圍內(nèi)討論，(0)xa 2220dxdx由由 可知，可知， 2222sinxxaa2822sincos0 xxaaa 2x當(dāng)當(dāng)x=a/4，a/2，3a/4時，函數(shù)時，函數(shù) 取得極值。取得極值。函數(shù)在函數(shù)在 x=a/2（即

19、（即x=0.1nm）處概率最小，）處概率最小，其值為其值為0. 24例例2. 設(shè)粒子處在設(shè)粒子處在 0, a 范圍內(nèi)的一維無限深方勢阱中范圍內(nèi)的一維無限深方勢阱中, ,波函數(shù)為波函數(shù)為 24sincosxxxaaa試求粒子能量的可能測量值及相應(yīng)的概率試求粒子能量的可能測量值及相應(yīng)的概率. .解解: :在一維無限深方勢阱中能量本征值在一維無限深方勢阱中能量本征值2222,1,2,32nnEnma相應(yīng)的能量本征函數(shù)為相應(yīng)的能量本征函數(shù)為 2sin, 0nn xxxaaa25 21133134sincos1223sinsin21,2xxxaaaxxaaaacxcxcc式中測量能量為測量能量為2212

20、2Ema223292Ema其概率為其概率為其概率為其概率為2112c2312c題中所給波函數(shù)為本征函數(shù)的線性組合題中所給波函數(shù)為本征函數(shù)的線性組合, ,做變換如下做變換如下26 123nnn例例3 3：粒粒子子在在一一維維無無限限深深勢勢阱阱中中運運動動，能能量量量量子子數(shù)數(shù)為為 ，求求：（）距距勢勢阱阱內(nèi)內(nèi)壁壁四四分分之之一一寬寬度度以以內(nèi)內(nèi)發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)粒粒子子的的概概率率；（ ） 為為何何值值時時，上上述述的的概概率率最最大大；（ ）時時，該該概概率率的的極極限限如如何何及及物物理理意意義義。解：) 1 (4/1Paananxxxx4/324/02d)(d)(aaaxaxnaxaxna4/32

21、4/02dsin2dsin223sin21412sin2141nnnn2sin121nn)2(n當(dāng)4/1P時，為最大值；33121)3(時，當(dāng)n4/1P21這時結(jié)果趨于經(jīng)典，概率相等。粒子在阱內(nèi)各處出現(xiàn)的27例例4. 粒子在一維無限深勢井中運動粒子在一維無限深勢井中運動, ,其波函數(shù)為其波函數(shù)為 2sin000nn xxxaaaxxa或計算動量和動能的平均值。計算動量和動能的平均值。解解：動量算符為：動量算符為 xpix 動量的平均值為動量的平均值為 *nn0n0n2sinsind2sinds0dcodaaxxpx pn xn xixaaxann xn xixaaaaxxxixxx 28動能算

22、符為動能算符為 222222xpTmm x 動能的平均值為動能的平均值為 222022222*n22220nnn2sinsindsindd2d2aan xn xxmaaxann xnxmTx Txxxxaaamaxm x 29例例5. H2分子中原子的振動相當(dāng)于一個諧振子，其勁度分子中原子的振動相當(dāng)于一個諧振子，其勁度系數(shù)為系數(shù)為 k=1.13103N/m，質(zhì)量是，質(zhì)量是m=1.6710-27kg。此分子的能量本征值（以此分子的能量本征值（以eV為單位）多大？當(dāng)此諧為單位）多大？當(dāng)此諧振子由某一激發(fā)態(tài)躍遷到相鄰的下一激發(fā)態(tài)時，振子由某一激發(fā)態(tài)躍遷到相鄰的下一激發(fā)態(tài)時，所放所放出的光子的能量和波

23、長各是多少？出的光子的能量和波長各是多少？解：解： 氫分子振動的角頻率為氫分子振動的角頻率為km氫分子振動的能量為氫分子振動的能量為343192711()()22 21 6.63 101.13 10()1.6 10221.67 1010.542nhkEnnmnneV30放出光子的能量等于放出光子的能量等于10.54nnEEEeV波長為波長為3486196.63 103 102.3 100.54 1.6 10hcmE 312222133212( )e(23)3 xxxxx例例6 6：設(shè)設(shè)線線性性諧諧振振子子的的勢勢能能為為，試試證證：，為為線線性性諧諧振振子子的的定定態(tài)態(tài)波波函函數(shù)數(shù)，并并求求出

24、出所所對對應(yīng)應(yīng)能能級級。解：)()(21)(dd222222xExxxx0)(2)()(dd22422xExxxx)(dd22xx而)()7(222xx02)7(224222Exx E27為定態(tài)波函數(shù))(xE而)21( n n3能級32例例7. 鋰鋰 (Z=3) 原子中含有三個電子，電子的量子態(tài)可原子中含有三個電子，電子的量子態(tài)可用（用（n, l , ml , ms ）四個量子數(shù)來描述，若已知其中一）四個量子數(shù)來描述，若已知其中一個的量子態(tài)為個的量子態(tài)為 （1, 0, 0, 1/2 ），則其余兩個電子的量），則其余兩個電子的量子態(tài)分別為子態(tài)分別為和和 (1, 0, 0, -1/2)第一個電子在

25、第一個電子在 s 支殼層，故第二個電子應(yīng)填滿支殼層，故第二個電子應(yīng)填滿 s 層，量子層，量子數(shù)為（數(shù)為（1, 0, 0, -1/2 ）。）。第三個電子在第三個電子在 n=2 的的 s 支殼層，即取支殼層，即取 l =0 ，因此有，因此有 ml =0,ms=1/2. 故第三個電子的量子數(shù)為故第三個電子的量子數(shù)為 （2, 0, 0, 1/2 ） 或或（2, 0, 0, -1/2 ）。）。(2, 0, 0, 1/2)。33例例8. 下列各量子數(shù)中，哪一組可以描述原子中電子下列各量子數(shù)中，哪一組可以描述原子中電子的狀態(tài)？的狀態(tài)？(A) n =2, l =2, ml =0, ms=1/2(B) n =3, l =1, ml = 1, ms= 1/2(C) n =1, l