空間幾何體的內(nèi)切球與外接球問題

1、方體的體對角線所以球的體積為AC=+ 4 = 215,A空間幾何體的內(nèi)切球與外接球問題1. 2016全國卷n 體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）32A. 12 n B. n C . 8 n D . 4 n3解析A 因?yàn)檎襟w的體積為8，所以正方體的體對角線長為2 3,所以正方體的外接球的半徑為 3,所以球的表面積為 4 n（3）2 = 12 n .2. 2016全國卷 川在封閉的直三棱柱 ABC- ABC內(nèi)有一個(gè)體積為 V的球.若 ABLBC AB= 6, BC= 8, AA= 3,貝U V的最大值是（）9 n32 nA. 4 nB.' C . 6 n D.2

2、3解析B 當(dāng)球與三側(cè)面相切時(shí)，設(shè)球的半徑為1, / AB丄BC AB= 6, BC= 8, / 8 n+ 6m= 10,解得1= 2，不合題意；當(dāng)球與直三棱柱的上、下底面相切時(shí)，設(shè)球的半徑為2,3 34 Q 甲 9則22= 3,即2= 2- 球的最大半徑為 2故V的最大值為qnX逅=2 n .3. 2016鄭州模擬在平行四邊形 ABCD中, / CBA= 120° , AD= 4,對角線BD= 2 . 3,將其沿對角線BD折起，使平面 ABDL平面BCD若四面體 ABCD勺頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的 體積為.答案：203n ;解析：因?yàn)? CBA= 120°,所以/ DAB

3、= 60°,在三角形 ABD中，由余弦定理得（23） 2= 42+ AB 2X 4 ABcos 60°,解得AB= 2,所以AB丄BD折起后平面 ABL平面BCD即有ABL平面BCD如圖所示，可知 A, B, C, D可看作一個(gè)長方體中的四個(gè)頂點(diǎn)，長AC就是四面體ABCD外接球的直徑，易知20 . ,5n4. 2016山西右玉一中模擬球O的球面上有四點(diǎn)S,A,B,C,其中O,A,B, C四點(diǎn)共面， ABC是邊長為2的正三角形，平面SABL平面ABC,則棱錐S-ABC的體積的最大值為（ ）A 嚴(yán)B. 3C. 2 3D. 4選A;解析（1）由于平面SABL平面ABC所以點(diǎn)S在平

4、面ABC上的射影H落在AB上，根 據(jù)球的對稱性可知，當(dāng) S在“最高點(diǎn)”，即H為AB的中點(diǎn)時(shí)，SH最大，此時(shí)棱錐 S-ABC的 體積最大.2 2 3 2石 因?yàn)?ABC是邊長為2的正三角形，所以球的半徑 r = OC= §CH=尹于x 2=寧. 亠 i 1 也在 Rt SHC中, OH= 2°C=2,23精選資料，歡迎下載所以SHh=1,故所求體積的最大值為5. 2016贛州模擬如圖7-38-19所示，設(shè) A, B, C, D為球0上四點(diǎn)，AB, AC, AD兩兩垂 直，且AB= AC= _3，若AD= R（R為球0的半徑），則球0的表面積為（）A. n B. 2 n C.

5、4 n D. 8 n選D;解析：因?yàn)?AB AC AD兩兩垂直，所以以 AB AC AD為棱構(gòu)建一個(gè)長方體，如圖所 示，則長方體的各頂點(diǎn)均在球面上，AB= AC= 3,所以AE= 6 , AD= R DE= 2R則有 氏+ 6 = （2 R）2 ,解得R=叮2 ,所以球的表面積 S= 4 n R= 8 n .6. 2016安徽皖南八校三聯(lián)如圖所示，已知三棱錐 ABCD勺四個(gè)頂點(diǎn) A, B, C, D都在球0 的表面上，ACL平面BCD BCL CD且AC= 3 , BC= 2 , CD= 5,則球0的表面積為（）A. 12 n B . 7 n C . 9 n D . 8 n解析A 由ACL平面

6、BCD BCL CD知三棱錐 A-BCD可以補(bǔ)成以 AC BC CD為三條棱的長方體，設(shè)球 0的半徑為 R則有(2 R) 2= AC+ BC+ CD= 3 + 4+ 5 = 12 ,所以S球=4n R = 12n .7. 2016福建泉州質(zhì)檢已知A, B, C在球0的球面上，AB= 1, BC= 2, / ABC= 60°,且 點(diǎn)O到平面ABC的距離為2,則球O的表面積為 .答案：20 n 解析在厶ABC中用余弦定理求得 AC= 3,據(jù)勾股定理得/ BAC為直角， 故BC的中點(diǎn)O即為 ABC所在小圓的圓心， 則00丄平面ABC,在直角三角形 00B中可求得 球的半徑r = 5 ,則球

7、0的表面積S= 4n r2= 20n .8. 2016河南中原名校一聯(lián)如圖K38-16所示，ABCD1BGD是邊長為1的正方體，S-ABCD 是高為1的正四棱錐,若點(diǎn) S , A , B , C, D在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）9A. n16B.25n16C.49n16D.8116圖 K38-16選D;解析如圖所示作輔助線，易知球心O在SG上，設(shè)OG= x,則OB= SO= 2 x,、2 2x) = x +同時(shí)由正方體的性質(zhì)知 B1G = ¥，則在Rt OBG中，由勾股定理得 OB= GB+ OG,即(2 2 i,解得x = 7，所以球的半徑 R= 2 7= 9，所以球的表面

8、積 S= 4 n R = 81 n .2 8 8 8 169. 2013課標(biāo)全國I 如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為 (500 n 3A. cm3B.866 n廠cm1 372 n 3 C.- cm2 048 n 3cmD.3解析：設(shè)球半徑為 R,由題可知R, R- 2,正方體棱長一半可構(gòu)成直角三角形，即OBA為直角三角形，如圖.BC= 2, BA= 4, OB= R 2, OA= R 由 R2= (R 2)2+ 42,得 R= 5,435003,所以球的體積

9、為3 nX 5 = - ncm )，故選A項(xiàng).答案：A10.已知正四棱錐的側(cè)棱與底面的邊長都為32，則這個(gè)四棱錐的外接球的表面積為（）A. 12 nB. 36 nC. 72 nD. 108n選B;解析：依題意得，該正四棱錐的底面對角線長為3 2 X 2 = 6 ,高為寸（3曲6 f = 3,球心為底面正方形的中心,因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3,所以該四棱錐的外接球的其外接球的半徑為3,所以其外接球的表面積等于4 nX 3 = 36 n11. 2014石家莊質(zhì)檢一已知球O,過其球面上 A、B C三點(diǎn)作截面，若 O點(diǎn)到該截面的距離是球半徑的一半，且AB= BC= 2,Z B= 120

10、6;,則球O的表面積為（）64 n 8 n16 nA. ' B. C . 4 n D. _精選資料，歡迎下載解析：如圖，球心 0在截面ABC勺射影為RABC的外接圓的圓心 O .由題意知082，OA R 其中R為球O的半徑在 ABC中,AO QaB+ bC 2ABBCcos120 °22+ 22- 2 X 2X 2X2= 2 3.AC4 ABC的外接圓半徑為，則2r = snACO華=4,得 r = 2,即卩 O A= 2.在 Rt2222 R2216264 nOGA中，0縝0A= 0A即-+ 4 = R,解得 R = p，故球 0的表面積 S= 4點(diǎn)=可，故選A.答案：A1

11、2. 2014鄭州模擬在三棱錐 A-BCD中，AB= CD= 6, AO BD= AD= BO 5,則該三棱 錐的外接球的表面積為 .解析：依題意得，該三棱錐的三組對棱分別相等，因此可將該三棱錐補(bǔ)形成一個(gè)長方體，fa2+ b2= 62,設(shè)該長方體的長、寬、高分別為a、b、c,且其外接球的半徑為 R,則S b2+ c2= 5s,得c2+ a2= 52,a2+ b2 + c2= 43，即(2F)2= a2+ b2+ c2 = 43，易知R即為該三棱錐的外接球的半徑，所以該三 棱錐的外接球的表面積為 4 nR = 43 n答案：43 n13. 2014 全國卷正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱錐的

12、高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為()81 n27 nA. B . 16 n C . 9 n D.44答案：A;解析如圖所示，E為AC與 BD的交點(diǎn).因?yàn)檎睦忮F的底面邊長為2,所以AE= 2aC= 2.設(shè)球心為0,球的半徑為 R則0E= 4 R 0A= R又因?yàn)?A0E為直角三角形，所以 0A= OE2+ AE2,即卩氏=(4 R) 2+ 2，解得R= 9，所以該球的表面積 S= 4 n F2= 4 n81 n4主壩圖Afl14. 2016 湖南八校聯(lián)考如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體外接球的表面積為()A. 8 n B . 16 n C . 32 n D .答案：C;解析該幾何體

13、為一個(gè)四棱錐，其外接球的球心為底面正方形的中心，所以半徑為2叮2,表面積為4 nX (2 2) 2= 32 n .ABCD是正方形且球心 O在此平面)15.已知四棱錐S -ABCD勺所有頂點(diǎn)在同一球面上，底面內(nèi)，當(dāng)四棱錐的體積取得最大值時(shí)，其表面積等于16+ 16 3，則球O的體積等于(n 64 2 n-B.C.D.解析由題意，當(dāng)此四棱錐的體積取得最大值時(shí)，四棱錐為正四棱錐.設(shè)球則 AC= 2R, SO R, AB= 2r 則有(2R)2+ 4X 2x 卜乙* 16+ 16 ,3,解得 R= 2 2, 球 O的體積是 £n R= §: ?冗.33A.4,2 n 口 16 2 n 32 2 3°廠答案：D;的半徑為16. 2016 武漢調(diào)研已知直三棱柱 ABCABC的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB= AC= AA=2, / BAC= 90°,則該球的體積等