直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題典型例題分析

1、 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題典型例題分析 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，涉及交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題、弦的問(wèn)題、對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、最值問(wèn)題、取值范圍問(wèn)題等，現(xiàn)將其分類(lèi)總結(jié)如下，供同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)參考。 一、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)交點(diǎn)問(wèn)題研究直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)交點(diǎn)問(wèn)題，通常將直線(xiàn)方程與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立，將交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程解的問(wèn)題，利用判別式討論之注意：1數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用； 2在用到直線(xiàn)斜率時(shí)注意斜率不存在的情況； 3)在研究直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)時(shí)注意 直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行的情況。例1集合與集合，當(dāng)為何值時(shí)MN有兩個(gè)元素MN只有一個(gè)元素MN沒(méi)有元素【解析】：由消去整理假設(shè)即，那么=當(dāng)即且時(shí)，MN有兩個(gè)

2、元素當(dāng)即時(shí)，MN只有一個(gè)元素當(dāng)即或時(shí)，MN沒(méi)有元素 假設(shè)即時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)平行，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，即 MN只有一個(gè)元素 綜上所述 當(dāng)且時(shí)，MN有兩個(gè)元素 當(dāng)或 時(shí)，MN只有一個(gè)元素 當(dāng)或時(shí)，MN沒(méi)有元素【評(píng)析】此題研究的是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，將其轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)方程與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立組成的方程組解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，注意數(shù)形結(jié)合和特殊情況。二、圓錐曲線(xiàn)上點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題這類(lèi)問(wèn)題通常，先設(shè)出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫(xiě)出過(guò)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的直線(xiàn)方程，與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立化為一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系和中點(diǎn)公式，求出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的中點(diǎn)在直線(xiàn)上，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸垂直解題。 例2拋物線(xiàn)y=x

3、2+3上存在關(guān)于直線(xiàn)x+y=0對(duì)稱(chēng)的相異兩點(diǎn)A、B，那么|AB|等于A.3 B.4 C.3 【解析】：設(shè)直線(xiàn)的方程為，由，得 由韋達(dá)定理知 的中點(diǎn)，又在直線(xiàn)上 解得， ， 由弦長(zhǎng)公式 應(yīng)選C 【評(píng)析】此題考查直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系 三、參數(shù)的取值范圍問(wèn)題 這類(lèi)問(wèn)題有兩種方法，1根據(jù)題意結(jié)合圖形列出所討論參數(shù)適合的不等式(組，通過(guò)解不等式組求出參數(shù)的范圍；2將所討論的參數(shù)表示為關(guān)于另一個(gè)參數(shù)的函數(shù)問(wèn)題，用求函數(shù)值域的方法求解。 例3 設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線(xiàn)的斜率的取值范圍. 【解析】：顯然直線(xiàn)不滿(mǎn)足題設(shè)條件，可設(shè)直線(xiàn)：，聯(lián)

4、立，消去，整理得：由得：或又又，即 故由、得或 【評(píng)析】為了求參數(shù)的取值范圍，用的是函數(shù)法 四、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題 解決這類(lèi)問(wèn)題，通常結(jié)合圖形，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，用求函數(shù)的最值的方法求解，注意函數(shù)的定義域和直線(xiàn)斜率不存在的情況。 例4 橢圓C: ，直線(xiàn)l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離為，求AOB面積的最大值. 【解析】： 設(shè)，1當(dāng)軸時(shí)，2當(dāng)與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為由，得把代入橢圓方程，整理得， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立當(dāng)時(shí)，綜上所述當(dāng)最大時(shí)，面積取最大值 【評(píng)析】此題是將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線(xiàn)斜率的函數(shù)問(wèn)題，利用均值不等式求最值。 五、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系中的弦的問(wèn)

5、題 對(duì)弦長(zhǎng)問(wèn)題，將其化為一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式解之；弦的中點(diǎn)問(wèn)題或中點(diǎn)軌跡問(wèn)題 常用參數(shù)法或平方差法處理之。 例5雙曲線(xiàn)，求過(guò)點(diǎn)M3，1的弦的中點(diǎn)軌跡方程。 【解析】：設(shè)過(guò)M3，1的弦的中點(diǎn),弦的端點(diǎn)坐標(biāo)為A，B -得 當(dāng) 時(shí)，=，=又A，B，M，P共線(xiàn)， =即=，化簡(jiǎn)得當(dāng) 時(shí)，P3，0也適合過(guò)M3，1的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為【評(píng)析】此題是雙曲線(xiàn)的弦的中點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，用的是平方差法，此題也可用參數(shù)法。練習(xí)：1、以F12,0，F(xiàn)22,0為焦點(diǎn)的橢圓與直線(xiàn)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，那么橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為ABCD2、中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)為(0，±5)的橢圓被直線(xiàn)3xy2=0截得的弦的中點(diǎn)

6、的橫坐標(biāo)為，那么橢圓方程為( )3 、斜率為1的直線(xiàn)l與橢圓+y2=1相交于A、B兩點(diǎn)，那么|AB|的最大值為( )A 2B C D 4、拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P到直線(xiàn)有最短的距離,那么P的坐標(biāo)是A,(0,0) B, C, D, 5、經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)L與該拋物線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn)（） 線(xiàn)段AB的斜率為k，試求中點(diǎn)M的軌跡方程；（） 直線(xiàn)的斜率k2，且點(diǎn)M到直線(xiàn)3 x+4y+m=0的距離為，試確定m的取值范圍6、拋物線(xiàn)y2=2px(p0),過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(a,0)且斜率為1的直線(xiàn)l與該拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A、B，且|AB|2p (1)求a的取值范圍 (2)假設(shè)線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)N，求NAB面積

7、的最大值 7、傾斜角為的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，假設(shè)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的值答案1、C 2、C 3、C 4、C5、(1)設(shè)A(直線(xiàn)AB的方程為y=k(x-1) (k0),代入得 kx-(2k+4)x+k=0設(shè)M(x ,y)，那么 點(diǎn)M的坐標(biāo)為(于是消去k，可得M的軌跡方程為(2) 由于 d= 所以 即 0,得0, 即 或 故實(shí)數(shù)的取值范圍為 6、(1)設(shè)直線(xiàn)l的方程為 y=xa,代入拋物線(xiàn)方程得(xa)2=2px,即x22(a+p)x+a2=0|AB|=2p 4ap+2p2p2,即4app2，又p0,a (2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中點(diǎn) C(x,y), 由(1)知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p, 那么有x=p 線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的