北師大版高中數(shù)學(xué)必修一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)：1.3.2《基本不等式》教案

1、1 / 6 基本不等式基本不等式 【教學(xué)分析】【教學(xué)分析】 本節(jié)課是在系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開(kāi)的，作為重要的基本不等式之-，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。要進(jìn)-步了解不等式的性質(zhì)及運(yùn)用，研究最值問(wèn)題，此時(shí)基本不等式是必不可缺的?；静坏仁皆谥R(shí)體系中起了承上啟下的作用，同時(shí)在生活及生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，因此它也是對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感價(jià)值觀教育的好素材，所以基本不等式應(yīng)重點(diǎn)研究。 【教學(xué)目標(biāo)】【教學(xué)目標(biāo)】 1通過(guò)兩個(gè)探究實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想； 2借助基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題 【核心素養(yǎng)核心素養(yǎng)】 1數(shù)學(xué)抽象：根據(jù)實(shí)

2、際例子，抽象概括“和定積最大，積定和最小” 2邏輯推理：本節(jié)內(nèi)容進(jìn)-步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，組織學(xué)生分析證明方法，加深對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí)，提高邏輯推理論證能力； 3數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用基本不等式求最值 4直觀想象：結(jié)合課本的探究圖形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)-步探究基本不等式的幾何解釋?zhuān)瑥?qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想； 5數(shù)學(xué)建模：基本不等式是從大量數(shù)學(xué)問(wèn)題和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中抽象出來(lái)的-個(gè)模型，在公式推導(dǎo)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合、歸納猜想、演繹推理、分析法證明等在各種不等式研究問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用；另外它在如“求面積-定，周長(zhǎng)最小；周長(zhǎng)-定，面積最大”等實(shí)際問(wèn)題的計(jì)算中也經(jīng)常涉及到。 【教學(xué)難

3、點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)】 1基本不等式成立時(shí)的三個(gè)限制條件（簡(jiǎn)稱一正、二定、三相等）； 2利用基本不等式求解實(shí)際問(wèn)題中的最大值和最小值。 2 / 6 【教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)】 應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想證明基本不等式，并從不同角度探索基本不等式2abab+的證明過(guò)程及應(yīng)用。 【課前【課前準(zhǔn)備準(zhǔn)備】 ppt 【教學(xué)過(guò)程】【教學(xué)過(guò)程】 1知識(shí)引入 對(duì)于任意實(shí)數(shù)x和y，20 xy（）總是成立的，即2220 xxyy+，所以 222xyxy+，當(dāng)且僅當(dāng)xy=時(shí)，等號(hào)成立 若0a ，0b ，取xa=，yb=，則：2abab+，當(dāng)且僅當(dāng)ab=時(shí)，等號(hào)成立；這個(gè)不等式稱為基本不等式，其中2ab+稱為a，b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為a，

4、b的幾何平均數(shù)，因此，基本不等式也稱為均值不等式。 結(jié)論：兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)的算術(shù)平均值大于或等于它們的幾何平均值 2基本不等式的幾何解釋 如圖 1-14，ab是半圓o的直徑，點(diǎn)c在ab上，且aca=，cbb=過(guò)點(diǎn)c作ab的垂線交ab于點(diǎn)d。連接ad，od，bd顯然odoa=；利用三角形相似，可證得acd相似于dcb，從而，abcd = 從圖中可以看出odcd，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) c 與圓心 0 重合時(shí)，等號(hào)成立，即“半徑大于或等于半弦” 利用基本不等式或類(lèi)似上述幾何圖形，還可以推出-些其他的簡(jiǎn)單不等式 2ab+3 / 6 例 4：已知0a，0b，0c，求證:abcabbcac+ 證 明 因 為0a，0b，

5、0c， 所 以 由 基 本 不 等 式 得2abab+，2bcbc+，2acac+；三式相加，得222222abcabbcac+ 即：abcabbcac+ 把-段長(zhǎng)為16 cm的細(xì)鐵絲彎成形狀不同的矩形，試填寫(xiě)表 1-3，并思考當(dāng)矩形的長(zhǎng)、寬分別為何值時(shí)，面積最大 表 1-3 方案 長(zhǎng)/cm 寬/cm 面積/2cm 方案 1 方案 2 方案 3 設(shè)矩形的長(zhǎng)為 cmx，寬為 cmy，則8xy+=此時(shí)，由基本不等式2xyxy+ 得，即16xy 又因?yàn)楫?dāng)4xy=時(shí)，16xy =（即不等式16xy 中的等號(hào)成立），由此可知，邊長(zhǎng)為4 cm的正方形的面積最大 思考交流： 類(lèi)比上面的方法，說(shuō)明：面積為21

6、6 cm的所有不同形狀的矩形中，邊長(zhǎng)為4 cm的正方形的周長(zhǎng)最小 重點(diǎn)結(jié)論：當(dāng)x，y均為正數(shù)時(shí)，下面的命題均成立： （1）若xys+=（s為定值）則當(dāng)且僅當(dāng)xy=時(shí)，xy取得最大值24s （2）若xyp=(p為定值）則當(dāng)且僅當(dāng)xy=時(shí)，xy+取得最小值2p 例 5：已知 x，y 均為2xyxy+整數(shù)，試證明：若xys+=(s為定值），則當(dāng)且僅當(dāng)xy=，時(shí)，xy取得最大值24s 證明：由基本不等式和xys+=，得2sxy，所以24sxy ，又因?yàn)楫?dāng)2sxy=時(shí)，不等式中的等號(hào)成立，所以此時(shí)xy取得最大值24s 4 / 6 例 6：如圖 1-16，動(dòng)物園要圍成四間相同面積的長(zhǎng)方形禽舍，-面可利用原

7、有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成（接頭處不計(jì)） （1）現(xiàn)有可圍36 m長(zhǎng)鋼筋網(wǎng)的材料，當(dāng)每間禽舍的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)時(shí)，可使每間禽舍面積最大？ （2）若使每間禽舍面積為224 m則每間禽舍的長(zhǎng)、寬各設(shè)計(jì)為多長(zhǎng)時(shí)，可使圍成四間禽舍的鋼筋網(wǎng)總長(zhǎng)最??？ 解：（1）設(shè)每間禽舍的長(zhǎng)為 mx，寬為 my，則 設(shè)sxy=，09x ，06y ，應(yīng)用基本不等式，有232 23xyxy+，2 618s即：272s 當(dāng)且僅當(dāng)23xy=時(shí)，不等式中等號(hào)成立，此時(shí)23xy=，2318xy+=，45x =，3y =；因此，當(dāng)每間禽舍的長(zhǎng)、寬分別設(shè)計(jì)為4.5 m和3 m時(shí)，可使每間禽舍面積最大，最大面積為213.5 m 重點(diǎn)題

8、型 （1）利用基本不等式求求最值 1下列函數(shù)中，最小值是 2 的是（ ） a22xyx=+ b22122yxx=+ c77xxy=+ d28(0)yxxx=+ 答案：c 2下列命題中正確的是（ ） a若a，b r，則22bab aaba b+= b若0 x，則12xx+ 5 / 6 c若0 x，則4424xxxx+ = d若x r，則222 222xxxx+= 答案：d （2）和定積最大，和定積最小的考查 1若1mn =，其中0m，則3mn+的最小值等于（ ） a2 2 b2 c2 3 d52 答案：c 2已知0 x，0y，且22xy+=，則xy（ ） a有最大值為 1 b有最小值為 1 c有最大值為12 d有最小值為12 答案：c （3）“1”的代換運(yùn)用 1若對(duì)任意的正數(shù)a，b滿足310ab+=，則31ab+的最小值為（ ） a6 b8 c12 d24 答案：c 2若0ab，34