高等數(shù)學(xué)課件：11.6 泰勒公式

1、11.6 泰勒公式泰勒公式1 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)問(wèn)題問(wèn)題: 本節(jié)我們將把泰勒公式推廣到二元函數(shù)本節(jié)我們將把泰勒公式推廣到二元函數(shù))()(!)( )( )()(202000002xxoxxxfxxxfxfxf 在一元微積分中在一元微積分中 , 有泰勒公式有泰勒公式:設(shè)設(shè) z = f (x , y) , 則其偏導(dǎo)數(shù)則其偏導(dǎo)數(shù) ),(,),(yxfyz yxfxzyx 稱稱 關(guān)于關(guān)于 x , y 的偏導(dǎo)數(shù)為函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)為函數(shù) ),(,),(yxf yxfyx z = f (x , y) 的的二階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù) 關(guān)于關(guān)于 x 的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù): xzx)( xxxxzyxfyxfxz ),

2、(),(1122關(guān)于關(guān)于 x , y 的二階混合偏導(dǎo)數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù): xzy)( xyxyzyxfyxfyxz ),(),(122關(guān)于關(guān)于 y , x 的二階混合偏導(dǎo)數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù): yzx)( yxyxzyxfyxfxyz ),(),(212關(guān)于關(guān)于 y 的二階偏導(dǎo)數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù): yzy)( yyyyzyxfyxfyz ),(),(2222例例設(shè)設(shè) , 求求 )sin(yxxu yxxyyyxxu u u u,解解)cos()sin(yxxyxux )cos(yxxuy )sin()cos()cos(yxxyxyxuxx )sin()cos(yxxyx 2)sin(yxxuyy )

3、sin()cos(yxxyxuxy )sin()cos(yxxyxuyx xyxfyxxfyxfxxxxx ),(),(lim),(0說(shuō)明說(shuō)明:(1) 也可用偏導(dǎo)數(shù)的定義表示上面的二階也可用偏導(dǎo)數(shù)的定義表示上面的二階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) , 例如例如 yyxfyyxfyxfxxyxy ),(),(lim),(0(2) 一般情況一般情況 與與 是不同的是不同的 ),(yxfxy),(yxfyx問(wèn)題問(wèn)題: 在什么條件下成立在什么條件下成立 ? ),(),(yxfyxfyxxy 定理定理設(shè)設(shè) z = f (x , y) , 如果如果 在在 ),(, ),(yxf yxfyxxy點(diǎn)點(diǎn) ( x , y ) 處連

4、續(xù)處連續(xù) , 則有則有),(),(yxfyxfyxxy 證明證明任取增量任取增量 , 考慮考慮 00 y x,),(),(),(),(yxfyxxfyyxfyyxxfD 令令 , 則則 D 可表示為可表示為),(),(),(yxfyxxfyx yxyxyyxDy ),(),(),( yxfxxfyy ),(),( ( 介于介于y 與與 y+y 之間之間) yxfyx ),( ( 介于介于 x 與與 x +x 之間之間) 再令再令 , 則則 D 又可表示為又可表示為),(),(),(yxfyyxfyx xyyxyxxDx ),(),(),( xyfyyfxx ),(),( ( 介于介于 x 與與

5、 x +x 之間之間) yxfxy ),( ( 介于介于 y 與與 y+y 之間之間) yxfyxf xyyx ),(),( ),(),( xyyxff 由由 在在 (x , y) 處連續(xù)處連續(xù) , ),(, ),(yxf yxfxyyx讓讓 x 0 , y 0 有有),(),(yxfyxf xyyx 說(shuō)明說(shuō)明: (1) 是否與是否與 相等的問(wèn)題相等的問(wèn)題 ),(yxfyx),(yxfxy本質(zhì)上是兩極限是否可交換的問(wèn)題本質(zhì)上是兩極限是否可交換的問(wèn)題(2) 對(duì)于更高階的偏導(dǎo)數(shù)對(duì)于更高階的偏導(dǎo)數(shù) , 只要涉及的高階偏導(dǎo)數(shù)只要涉及的高階偏導(dǎo)數(shù) 連續(xù)連續(xù) , 類似的結(jié)論也成立類似的結(jié)論也成立 , 即求

6、導(dǎo)次序可以交換即求導(dǎo)次序可以交換 例如例如xxxyyzxxyxyz 55325xyz (3) 今后若不作特別聲明今后若不作特別聲明 , 我們都認(rèn)為求導(dǎo)次序我們都認(rèn)為求導(dǎo)次序可以交換可以交換 , 即即),(),(yxfyxf xyyx 例例證明證明: 函數(shù)函數(shù)2221zyxr ru ,滿足滿足拉普拉斯方程拉普拉斯方程:0222222 zuyuxu解解22221zyxxrxrdrduxu 3rx 22221zyxyryrdrduyu 3ry 22221zyxzrzrdrduzu 3rz )(332211rxxrxu 52331rxr )(ryryr4331 22yu )(rxrxr4331 523

7、31ryr 52331rzr 22zu )(rzrzr4331 代入方程有代入方程有222222zuyuxu 03352223 rzyxr)(說(shuō)明說(shuō)明: 拉普拉斯算子拉普拉斯算子:222222zyx 則拉普拉斯方程可寫成則拉普拉斯方程可寫成0 u又又222222zyx 2 所以拉普拉斯方程又可寫成所以拉普拉斯方程又可寫成02 u解解例例設(shè)設(shè) , 求求),(xz yx xyfu322 yzxyu u,記記 , xzt yxs xyr ,322則則xzt yxs xyr t s rfu ,),(322ytfysfyrfutsry ysfxyfsr 32注意到注意到 , 此時(shí)此時(shí) , 有有),(,)

8、,(t s rff t s rffssrr )(sryxxyfxyfxuu32 )()(srfxxfxy 32 )(xtfxsfxrfxfyrtrsrrr2)(xtfxsfxrfstsssr 3 )(rtrsrrrfxzffyxfy2222)(stsssrfxzxsffy2223 rtrsrrrxyfxyzxyffxyyfu 24223stsssrfxzffy22363 rtrsrrrfxyzfyxyfxyyf2342223)(stssfxzf236 )()(sryzfzfzxyu 32 )(ztfzsfzrfxyrtrsrr2)(ztfzsfzrfstsssr 3strtfxyf32 注意注

9、意: 在求導(dǎo)過(guò)程中在求導(dǎo)過(guò)程中 , 要始終注意要始終注意, ),(, ),(,),( t s rff t s rff t s rffttssrr t s rffrsrs,),( 這是求解這類問(wèn)題的要點(diǎn)這是求解這類問(wèn)題的要點(diǎn)解解例例設(shè)設(shè) , 求求0 ),(zx yxF zxx記記 , zxv yxu ,將方程兩邊對(duì)將方程兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù) , 有有0 xvFxuFvu01 )(xzFF vu(1)注意到注意到 ),(,),(v uFF v uFFvvuu 將方程將方程 (1) 兩邊再對(duì)兩邊再對(duì) x 求偏導(dǎo)數(shù)求偏導(dǎo)數(shù) , 有有011122 xzFxzFFxzxzFFvvvvuuvuu)(

10、)()(由由 (1) 式得式得vuFFxz 1代入上式有代入上式有0222 xzFFFFFFFFFFFvvvvuvuvuuvvuuu)(0222322 xzFFFFFFFF vvvuuvvuuuv)(vvuuuvuvvuvFFFFFFFFxz 2232221 解解例例試將拉普拉斯方程試將拉普拉斯方程:02222 yuxu寫成極坐標(biāo)系中的形式寫成極坐標(biāo)系中的形式),(yxuu 將將 r , 作為中間變量作為中間變量 , 則有則有ur yxxuxrruxu yuyrruyu cosrx sinry (2)(3)將將 (2) 式兩邊取全微分得式兩邊取全微分得 drdrdxsincos drdrdyc

11、ossin dydxdr sincos 解得解得dyrdxrd cossin ry rx yr xr cos,sin,sin,cos 代入代入 (3) 式有式有 uru xursincos uru yurcossin uru xursincos )(cossinxuxruxu xurrrr 22)(sin)sin(cosxuxrurxrrxrur 21 rrrruru ur222sincossin urur2222sinsin uru yurcossin )(sincosyuyruuy yurrrr 22)(cos)cossin(yuyruryrryrur 21 rrrruru ur2222s

12、insincos urur2222cossin 代入拉普拉斯方程得代入拉普拉斯方程得0122222 ururuyuxurrr所以拉普拉斯方程在極坐標(biāo)系的表達(dá)形式為所以拉普拉斯方程在極坐標(biāo)系的表達(dá)形式為0112 uruurrrr解解例例已知函數(shù)已知函數(shù) u = u(x , y) 滿足滿足02222 )(yuxuayuxu(1) 選取選取 , , 利用變換利用變換yxeyxvyxu ),(),(將原方程變形將原方程變形 , 使新方程中不出現(xiàn)一階偏導(dǎo)數(shù)使新方程中不出現(xiàn)一階偏導(dǎo)數(shù)(2) 再令再令 = x + y , = x y 使新方程變形使新方程變形 , 并求并求方程的解方程的解(1) veexvx

13、uyxyx yxevxv )(veeyvyuyxyx yxevyv )(yxyxe vxvexvxvxu )()(2222yxevxvxv )(2222yxyxe vyveyvyvyu )()(2222yxevxvxv )(2222yxevyvyu )(yxevxvxu )(代入方程得代入方程得 yvaxvayvxv)()( 222222022 vaa)( 令令02 a 02 a22a a ,此時(shí)原方程化為此時(shí)原方程化為02222 yvxv(4) (2) 令令 , 有有yx yx ,xvxvvx yvyvvy )()( vxvxvxx vv vv xvxv xvxv vvv 2)()( vyv

14、yvyy yvyv yvyv vvv 2代入方程代入方程 (4) , 方程化為方程化為 02 vv)( fv )()( v 所以所以 , 原方程的解為原方程的解為)()()(),(xyaeyxyxyxu 2 其中其中 , 是任意的可微函數(shù)是任意的可微函數(shù) 2 二元函數(shù)的泰勒公式簡(jiǎn)述二元函數(shù)的泰勒公式簡(jiǎn)述定理定理設(shè)設(shè) f (x , y) 在在 P0 = (x0 , y0) 的某鄰域內(nèi)具有的某鄰域內(nèi)具有各各 n + 1 階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , P = (x , y) 是該鄰域內(nèi)是該鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)的任意一點(diǎn) , 則則 fyyyxxxyxfyxfP00000)()(),(),( fyyyx

15、xx P020021)()(! fyyyxxx nPn0001)()(!fyyyxxx nn),()()(! )( 10011 (5)其中其中 介于介于 x0 與與 x 之間之間 , 介于介于 y0 與與 y 之間之間 , 并且并且fyyyxxxnP000)()( knknknknkyxPfyyxxkn )()()(0000證明證明: 設(shè)設(shè) )(, )()(0000yyty xxtxftF 則有則有 ),()(,),()(y xfF y xfF 1000對(duì)對(duì) F( t ) 應(yīng)用泰勒公式有應(yīng)用泰勒公式有! )()(!)()( )()()()( ntF nFFFFnn100011 由由 y xfF

16、),()(000 )(,()(,()( 0000000yyy xfxxy xfFyx 一般地可證明一般地可證明:fyyyxxxFPnn0000)()()()( 于是定理得證于是定理得證 說(shuō)明說(shuō)明: (1) 從證明可知從證明可知: 對(duì)于更多變量的函數(shù)對(duì)于更多變量的函數(shù) , 可可獲得類似的結(jié)果獲得類似的結(jié)果例如例如 , f (x , y , z) , P0 = (x0 , y0 , z0) ,則將公式則將公式 (5)中的中的fyyyxxxPn000)()( 用用 替換即可替換即可fzxzyyyxxxPn0000)()()( (2) (5) 式的余項(xiàng)式的余項(xiàng) fyyyxxx nn),()()(! )( 10011 用用 代替代替 , 所得到的公式所得到的公式)()(2020yyxxo 稱為帶稱為帶皮亞諾型余項(xiàng)的皮亞諾型余項(xiàng)的 n 階泰勒公式階泰勒公式(3) 當(dāng)當(dāng) n = 1 時(shí)時(shí))(),()(),(),(),(00000000yyyyxfxxxyxfyxfyxf )(),()(),(!0022022221yyxxyxfxxxf )(),(2022yyyf (6)當(dāng)當(dāng) n = 2 時(shí)時(shí))(),()(),(),(),(0000