曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)PPT教案

1、曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)曲線積分與曲面積分復(fù)習(xí)第一類曲線積分特點(1)被積函數(shù)的定義域是曲線弧.( , ),( , )f x yx yL (2)微元 是平面曲線弧長元素.ds (3)空間曲線上的一類曲線積分( , , )f x y z ds( , )dLf x ys對弧長的曲線積分:第1頁/共36頁(1)公式法:22d( )( , )(),)( )(Lx yttstfttdf( ),()( ),xttyt L的參數(shù)方程：L:( ),yy x axb( ),(),yy xaxbxx( ),(),xx ycydyy( ),xx y cydL:一定，二代，三換元，定，代，換關(guān)鍵在方程。小下限,大上限.

2、2.第一類曲線積分的計算第2頁/共36頁步驟：22d( )( , )(),)( )(Lx yttstfttdf1.寫出L的參數(shù)方程，確定參數(shù)的范圍2.化為定積分一定，二代，三換元，定，代，換關(guān)鍵在方程。小下限,大上限.(2)技巧：對稱性簡化計算.第3頁/共36頁例題例122,xyLeds其中L 為圓周直線 及x軸在第一象限222,xyayx邊界.計算內(nèi)所圍成的扇形的整個 例3 計算 其中L為 形成4433(),Lxyds222333xya的弧段. yaxo例22,x yzds其中 為折線ABCD,這里A，計算B，C，D依次為0 0 00 0 21 0 21 3 2( , , ),( , , )

3、,( , , ),( , , ).第4頁/共36頁oxyABL1 nMiM1 iM2M1M述移動過程中變力 所作的功W.設(shè)一質(zhì)點在xoy平面內(nèi)從點A沿光滑曲線弧L移動的作用，其中函數(shù)( , )( , )( , )F x yP x y iQ x y j 到點B,在移動過程中，這質(zhì)點受到變力( , ),( , )P x y Q x y( , )F x y 在L上連續(xù).計算在上(,)iiF 第二類曲線積分1.引例：變力沿平面曲線做功WF S iiiiiWPxQyddLWP xQ yddLP xQ y對坐標(biāo)的曲線積分第5頁/共36頁 (2)被積函數(shù)的定義域是曲線弧.( , ),( , ),( , )P

4、 x y Q x yx yLddLP xQ y對坐標(biāo)的曲線積分特點(1)積分曲線是有向曲線弧. (3)微元 是有向弧微分 在坐標(biāo)軸上的投影d ,dxydsddddLLP xQ yP xQ y 與一類曲線積分的本質(zhì)區(qū)別 (4)變力沿空間曲線做功dddLWP xQ yR z第6頁/共36頁一定，二代，三換元，定，代，換關(guān)鍵在方程。下起上終之參.2.第二類曲線積分的計算(1)公式法:( ),( ),xtyt 有向曲線L的參數(shù)方程：從 到t . ( , )( , )()( ),( )( ),(dd( )d()dLxytx yx ytttPttttPPQL:( )yy x從 到xa. bL:( )xx

5、y從 到xc.d( ),yy xxx從 到xa. b( ),xx yyy從 到xc.d第7頁/共36頁步驟：1.寫出L的參數(shù)方程，確定參數(shù)的走向2.化為定積分一定，二代，三換元，定，代，換關(guān)鍵在方程。下起上終之參.( , )( , )()( ),( )( ),(dd( )d()dLxytx yx ytttPttttPPQ第8頁/共36頁例題yx yx1 1( , )B11( ,)Aoyx,dLxyx其中L為沿拋物線 從點2yx 到的一段. 例4 計算11( ,)A11( , )B 例5 計算 其中 是從到 的直線段.3223,dddxyxzyx y z3 2 1( , , )A0 0 0( ,

6、 , )B第9頁/共36頁(1)格林公式平面閉曲線 定理1 設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑的曲線 L圍成，則有( , ),P x y( , )Q x yd dddLDQPx yP xQ yxy( 格林公式 )函數(shù)在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),其中L是D的正向邊界曲線.DLD0L1L2L第二類曲線積分的重要定理第10頁/共36頁說明： (1)格林公式僅計算平面閉曲線的二類曲線積分.ddd dLDQPP xQ yx yxy (2) L是D的正向邊界曲線沿著邊界走，區(qū)域在左手.ddd dLDQPP xQ yx yxy (3) L必須是封閉的平面曲線.( , ),( , )P x yQ x y在D上具有連續(xù)

7、一階偏導(dǎo)數(shù). (4)添邊：構(gòu)成閉區(qū)域，具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù). 加負(fù)號：沿著邊界走，區(qū)域在右手，記得添負(fù)號。 挖洞：含奇點時莫忘挖洞去奇點. 第11頁/共36頁例6 計算,)()3(Ldxyxdyyx其中L為9)4() 1(22yx的負(fù)向.例7 計算 上由點到點 的一段弧.,Lxdy其中L為122 yx)0 , 1 (A) 1 , 0(B應(yīng)用：22dd,Lx yy xxy其中L為一無重點且不過例8 計算 原點的分段光滑正向閉曲線.LyxoDxyoLDrl1D第12頁/共36頁Dyxo1L2LBA12LLPdxQdyPdxQdy定義：曲線積分與路徑無關(guān)等價于0CPdxQdy條件：12ddddLLP

8、xQ yP xQ y120LLPdxQdy12dddd0LLP xQ yP xQ y(2)曲線積分與路徑無關(guān)第13頁/共36頁則曲線積分 在D內(nèi) 定理2 設(shè)D 是單連通域 ,( , ),( , )P x yQ x y在D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),在 D 內(nèi)恒成立.PQyxddLP xQ y路徑無關(guān)(或沿D內(nèi)任意閉曲線的曲線積分為零)的充函數(shù)要條件是第14頁/共36頁，其中L是從點0 0( , ) 例10 計算cos dsin dxLey xy y到點 的任意有向曲線.2 2(,) 利用路徑無關(guān)計算曲線積分，其中L是xoy平面內(nèi)的任 例9 計算22ddLxy xxy意有向閉曲線.特點：路徑無關(guān)，閉

9、曲線,積分為零.特點：路徑無關(guān)，非閉曲線,選易積分路線.第15頁/共36頁第二類曲線積分的計算方法總結(jié)1.公式法：被積函數(shù)與積分路徑簡單. ( , )( , )()( ),( )( ),(dd( )d()dLxytx yx ytttPttttPPQddd dLDQPP xQ yx yxy2.格林公式：平面閉曲線，不易積分，但 簡單.QPxy3.路徑無關(guān)：選擇簡單路徑，積分.PQyx第16頁/共36頁三、二元函數(shù)的全微分求積( , )d( , )dP x yxQ x yy( , )u x y ?du ? 設(shè)區(qū)域D是一個單連通域, 函數(shù)P(x,y)及定理3PQyx在D內(nèi)恒成立.u(x,y)的全微分

10、的充ddP xQ y在D內(nèi)為某一函數(shù)Q(x,y)在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則曲線積分的被積表達式要條件是1.全微分的條件第17頁/共36頁( ,0)A xyxo( , )B x y在整個xoy面內(nèi) 例11 驗證22()()xy dxxy dy( , )u x y的全微分，并求這樣一個函數(shù).是一函數(shù)第18頁/共36頁第一類曲面積分( , , )d.f x y zS“一投，二代，三換，投影，換元看方程”第一類曲面積分的計算221( , )d d( , , )d , ,xyxyDz x yzzf x y zSf xxyy 例12 計算 ,其中 為球面 222()IxyzdS2222xyzR222()

11、IxyzdS2222xyzR2222xyzR 例13 計算 ，其中 為222()IxyzdS22220()xyzRz R第19頁/共36頁 之間的圓柱面 例14 計算 ，其中 為平面2221IdSxyz01,zz221xy 例15 計算 ，其中 為球面2()IxyzdS2221xyz第20頁/共36頁 步驟：1.寫出曲面的顯式表達式( , )zz x y2.將曲面向xoy面投影xyD3.求出曲面面積元素221d ddxyzzSx y221( , )d d( , , )d , ,xyxyDz x yzzf x y zSf xxyy4.化為二重積分“一投，二代，三換，投影，換元看方程”第21頁/共

12、36頁預(yù)備知識：上側(cè)n (,1)xyzzcos0(, 1)xyzz cos0下側(cè)前側(cè)(1,)yzxxn cos0( 1,)yzxxcos0后側(cè):( , )xx y zoxyz通過曲面上任一點處法向量的指向來指定.例：:( , )zz x yoxyz1.有向曲面的側(cè)第22頁/共36頁右側(cè)n (,1,)xzyycos0(, 1,)xzyycos0左側(cè):( , )yy x zoxyz第23頁/共36頁oxyz2.有向曲面在坐標(biāo)面上的投影 設(shè) 為有向曲面,S在上取一小塊曲面.)(xy上各點處法向量的方向余弦S在xOy面上的投影區(qū)域的面積為假定Scos有相同的符號.,)(yxS把 在 xoy 面上的投影

13、記為S則規(guī)定()x yS(),x y(),x y 0 ,時當(dāng)0cos時當(dāng)0cos時當(dāng)0coscosS第24頁/共36頁() ,zxS 在 zox面上的投影Soxyz() ,yzS 在 yoz面上的投影Soxyz()yzS() ,yz() ,yz 0 ,0cos0cos0coscosS()zxS() ,zx() ,zx 0 ,0cos0cos0coscosS第25頁/共36頁( , , )d d( , , )d d( , , )d d .P x y zy zQ x y zz xR x y zx y第二類曲面積分( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )( , , )P

14、 x y z dydzP x y z dydzQ x y z dzdxQ x y z dzdxR x y z dxdyR x y z dxdy 用 表示 的反向曲面, 則與側(cè)有關(guān)性質(zhì)第26頁/共36頁1( , , )d dIP x y zy zd dcos dy zS :( , ),xx y z( , )yzy zD( ( , ), , )d d( , , )d d( ( , ), , )d dyzyzDDP x y zy zy zP x y zy zP x y zy zy z取前側(cè)取后側(cè)d dcosdz xS :( , ),yy z x( , )zxz xD2( , , )d dIQ x y

15、 zz xoxyz( , ( , ), )d d( , , )d d( , ( , ), )d dzxzxDDQ x y z x zz xQ x y zz xP x y z x zz x取右側(cè)取左側(cè)oxyz第二類曲面積分的計算第27頁/共36頁oxyz:( , ),zz x y( , )xyx yD( , , ( , )d d( , , )d d( , , ( , )d dxyxyDDR x y z x yx yR x y zx yR x y z x yx y取上側(cè)取下側(cè)3( , , )d dIR x y zx yd dcos dx yS 一投，二代，三定號，投影，代入看積分，定號要靠曲面?zhèn)鹊?/p>

16、28頁/共36頁 例16 計算 其中 是平面 含在()d d ,xzx yxza 柱面 部分內(nèi)的上側(cè).222xya 理解：在曲面上；曲面面積元素的投影.例17 計算 其中 是球面22,x y zdxdy2222xyzR 的下半部分的下側(cè). 特點：曲面具有單值函數(shù)表達式第29頁/共36頁dxdyzyxR),(xyDdxdyyxzyxR),(,(2、化為二重積分3、計算二重積分:xyD1、明確 的方程，確定投影:( , )zz x y步驟：一投，二代，三定號，投影，代入看積分，定號要靠曲面?zhèn)鹊?0頁/共36頁( , , )P x y z dydz( , , )cosQ x y zdS( , , )

17、cosP x y zdS( , , )Q x y z dzdxdSzyxRcos),(dxdyzyxR),(為有向曲面在任意點處法向量的方向余弦.cos,cos,cos兩類曲面積分之間的聯(lián)系第31頁/共36頁其中是2()d dd d ,zxyzzxy旋轉(zhuǎn)拋物面221()2zxy介于平面 z= 0 之間部分的下側(cè). 例18 計算及 z = 2oyxz2第32頁/共36頁 的方向取外側(cè).定理1 設(shè)空間閉區(qū)域 由分片光滑的閉在 上有連續(xù)的一階函數(shù) P, Q, R 曲面 所圍成, 則有 偏導(dǎo)數(shù) , ()dPQRPdydzQdzdxRdxdyvxyz.)coscoscos()(dSRQPdxdydzzRyQxP或高斯公式第33頁/