高中數(shù)學(xué)必修二章末復(fù)習(xí)課 (2)

1、1 / 8 章末復(fù)習(xí)課 要點(diǎn)訓(xùn)練一 復(fù)數(shù)的概念 1.代數(shù)形式為 z=a+bi(a,br),其中實(shí)部為 a,虛部為 b. 2.共軛復(fù)數(shù)為=a-bi(a,br). 3.復(fù)數(shù)的分類 a+bi 實(shí)數(shù)( = 0)有理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)無理數(shù)(無限不循環(huán)小數(shù))虛數(shù)( 0)純虛數(shù)( = 0)非純虛數(shù)( 0) 若 z=a+bi(a,br)是實(shí)數(shù),則 z 與的關(guān)系為 z=. 2 / 8 若 z=a+bi(a,br)是純虛數(shù),則 z與的關(guān)系為 z+=0. 4.復(fù)數(shù)相等的充要條件 a+bi=c+di = , = (a,b,c,dr). 1. 若復(fù)數(shù) z=1+i(i為虛數(shù)單位),是 z 的共軛復(fù)數(shù),則 z2+2的虛部為( )

2、 a.0 b.-1 c.1 d.-2 解析:因?yàn)?z=1+i,所以=1-i,所以 z2+2=(1+i)2+(1-i)2=2i+(-2i)=0.故選 a. 答案:a 2.設(shè) i 是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù) a-103-i(ar)是純虛數(shù),則 a 的值為 ( ) a.-3 b.-1 c.1 d.3 解析:a-103-i=a-10(3+i)(3-i)(3+i)=a-10(3+i)10=(a-3)-i,由純虛數(shù)的定義,知 a-3=0,所以 a=3. 答案:d 3.復(fù)數(shù) z=log3(x2-3x-3)+ilog2(x-3),當(dāng) x為什么實(shí)數(shù)時(shí),(1)zr?(2)z為虛數(shù)? 解:(1)因?yàn)橐粋€(gè)復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)的充要條件

3、是虛部為 0, 3 / 8 所以2-3-3 0,log2(-3) = 0,-3 0, 解得 x=4,所以當(dāng) x=4 時(shí),zr. (2)因?yàn)橐粋€(gè)復(fù)數(shù)是虛數(shù)的充要條件是虛部不為 0, 所以2-3-3 0,log2(-3) 0,-3 0, 解得 x3+212,且 x4. 所以當(dāng) x3+212,且 x4 時(shí),z 為虛數(shù). 要點(diǎn)訓(xùn)練二 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算 1.復(fù)數(shù)的模 復(fù)數(shù) z=a+bi(a,br)的模|z|=2+ 2,且 z=|z|2=a2+b2. 2.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算 若兩個(gè)復(fù)數(shù) z1=a1+b1i,z2=a2+b2i(a1,b1,a2,b2r),則 (1)加法:z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)

4、i; (2)減法:z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i; (3)乘法:z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i; (4)除法:12=(12+12)+(21-12)i22+22=12+1222+22+21-1222+22i(z20). 4 / 8 1.在復(fù)平面內(nèi),設(shè) z=1+i(i 是虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)2+z2對應(yīng)的點(diǎn)位于( ) a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限 解析:2+z2=21+i+(1+i)2=21+i+2i=(1-i)+2i=1+i,所以復(fù)數(shù)2+z2對應(yīng)的點(diǎn)為(1,1),位于第一象限. 答案:a 2.已知 z1,z2為復(fù)數(shù),(3+i)z1

5、為實(shí)數(shù),z2=12+i,且|z2|=52,求 z2. 解:由已知,得 z1=z2(2+i), 所以(3+i)z1=z2(2+i)(3+i)=z2(5+5i)r. 因?yàn)閨z2|=52, 所以|z2(5+5i)|=50, 所以 z2(5+5i)= 50, 所以 z2=505+5i=101+i= (5-5i). 3.已知 z 是復(fù)數(shù),z-3i為實(shí)數(shù),-5i2-i為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位). (1)求復(fù)數(shù) z; (2)求1-i的模. 解:(1)設(shè) z=a+bi(a,br), 5 / 8 所以 z-3i=a+(b-3)i為實(shí)數(shù),可得 b=3, 所以 z=a+3i. 因?yàn)?5i2-i=-2i2-i=2+2+

6、(-4)i5為純虛數(shù), 所以 2a+2=0, 所以 a=-1, 所以 z=-1+3i. (2)1-i=-1+3i1-i=(-1+3i)(1+i)(1-i)(1+i)=-4+2i2=-2+i, 所以|1-i|=|-2+i|=(-2)2+ 12=5. 要點(diǎn)訓(xùn)練三 與共軛復(fù)數(shù)有關(guān)問題的求解方法 1.若復(fù)數(shù) z的代數(shù)形式已知,則根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可以先寫出,再進(jìn)行復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.必要時(shí),需通過復(fù)數(shù)的運(yùn)算先確定出復(fù)數(shù) z 的代數(shù)形式,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求. 2.共軛復(fù)數(shù)應(yīng)用的另一種常見題型:已知關(guān)于 z 和的方程,而復(fù)數(shù)z 的代數(shù)形式未知,求 z.解此類題的常規(guī)思路為設(shè) z=a+bi(a,br),則=

7、a-bi,代入所給方程,利用復(fù)數(shù)相等的充要條件,轉(zhuǎn)化為求解方程(組). 1.已知復(fù)數(shù) z1=(-1+i)(1+bi),z2=+2i1-i,其中 a,br,且 z1與 z2互為共軛復(fù)數(shù),求 a,b 的值. 解:z1=(-1+i)(1+bi) =-1-bi+i-b 6 / 8 =(-b-1)+(1-b)i, z2=+2i1-i =(+2i)(1+i)(1-i)(1+i) =+i+2i-22 =-22+22i. 因?yàn)?z1和 z2互為共軛復(fù)數(shù), 所以-22= -1,+22= -(1-), 解得 = -2, = 1. 2.已知 zc,虛部大于 0,且|z|2+(z+) i=5+2i. (1)求 z;

8、(2)若 mr,=z i+m,求證:|1. (1)解:設(shè) z=a+bi,a,br,且 b0, 所以=a-bi. 由已知,得 a2+b2+2ai=5+2i, 所以2+ 2= 5,2 = 2, 解得 = 1, = 2. 7 / 8 所以 z=1+2i. (2)證明:由(1),得 =(1+2i) i+m=(m-2)+i, 則|=(-2)2+ 11, 當(dāng)且僅當(dāng) m=2時(shí),等號(hào)成立,所以|1. 要點(diǎn)訓(xùn)練四 數(shù)形結(jié)合思想 1.任何一個(gè)復(fù)數(shù) z=a+bi(a,br),在復(fù)平面內(nèi)都有唯一的一個(gè)點(diǎn)z(a,b)和它對應(yīng),也與從原點(diǎn)出發(fā)的向量 一一對應(yīng). 2.復(fù)數(shù)加法的幾何意義 若復(fù)數(shù) z1,z2對應(yīng)的向量1 ,2

9、 不共線,則復(fù)數(shù) z1+z2是以1 ,2 為兩鄰邊的平行四邊形的對角線 所對應(yīng)的復(fù)數(shù). 3.復(fù)數(shù)減法的幾何意義 若復(fù)數(shù) z1,z2對應(yīng)的向量1 ,2 不共線,則復(fù)數(shù) z1-z2是連接向量1 ,2 的終點(diǎn),并指向 z1的向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù). 1.如圖所示,若 i 為虛數(shù)單位,復(fù)平面內(nèi)點(diǎn) z表示復(fù)數(shù) z,則表示復(fù)數(shù)1+i的點(diǎn)是 ( ) 8 / 8 a.e b.f c.g d.h 解析:因?yàn)辄c(diǎn) z(3,1)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 z,所以 z=3+i,所以1+i=3+i1+i=(3+i)(1-i)(1+i)(1-i)=4-2i2=2-i,該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,-1),即點(diǎn) h. 答案:d 2.已知復(fù)數(shù) z1=2+3i,z2