高中數(shù)學(xué)講義微專題70求點(diǎn)的軌跡方程

1、- 1 - / 10 微專題 70 求點(diǎn)的軌跡問(wèn)題 一、基礎(chǔ)知識(shí)： 1、求點(diǎn)軌跡方程的步驟： （1）建立直角坐標(biāo)系 （2）設(shè)點(diǎn)：將所求點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為(), x y，同時(shí)將其他相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)化（未知的暫用參數(shù)表示） （3）列式：從已知條件中發(fā)掘, x y的關(guān)系，列出方程 （4）化簡(jiǎn)：將方程進(jìn)行變形化簡(jiǎn)，并求出, x y的范圍 2、求點(diǎn)軌跡方程的方法 （1）直接法：從條件中直接尋找到, x y的關(guān)系，列出方程后化簡(jiǎn)即可 （2）代入法：所求點(diǎn)(),p x y與某已知曲線()00,0f xy=上一點(diǎn)()00,q x y存在某種關(guān)系，則可根據(jù)條件用, x y表示出00,xy，然后代入到q所在曲線方程中，即可得到

2、關(guān)于, x y的方程 （3）定義法：從條件中能夠判斷出點(diǎn)的軌跡為學(xué)過(guò)的圖形，則可先判定軌跡形狀，再通過(guò)確定相關(guān)曲線的要素，求出曲線方程。常見的曲線特征及要素有： 圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡 直角圓：若abac，則a點(diǎn)在以bc為直徑的圓上 確定方程的要素：圓心坐標(biāo)(), a b，半徑r 橢圓：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（常數(shù)大于定點(diǎn)距離）的點(diǎn)的軌跡 確定方程的要素：距離和2a，定點(diǎn)距離2c 雙曲線：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于定點(diǎn)距離）的點(diǎn)的軌跡 注：若只是到兩定點(diǎn)的距離差為常數(shù)（小于定點(diǎn)距離），則為雙曲線的一支 確定方程的要素：距離差的絕對(duì)值2a，定點(diǎn)距離

3、2c 拋物線：平面上到一定點(diǎn)的距離與到一定直線的距離（定點(diǎn)在定直線外）相等的點(diǎn)的軌跡 確定方程的要素：焦準(zhǔn)距：p。若曲線位置位于標(biāo)準(zhǔn)位置（即標(biāo)準(zhǔn)方程的曲線），則通過(guò)準(zhǔn)線方程或焦點(diǎn)坐標(biāo)也可確定方程 （4）參數(shù)法：從條件中無(wú)法直接找到, x y的聯(lián)系，但可通過(guò)一輔助變量k，分別找到, x y與- 2 - / 10 k的聯(lián)系，從而得到, x y和k的方程：( )( )xf kyg k=，即曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)k后即可得到軌跡方程。 二、典型例題： 例 1：設(shè)一動(dòng)點(diǎn)p到直線:3l x =的距離到它到點(diǎn)()1,0a的距離之比為33，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程是（ ） a. 22132xy+= b. 2213

4、2xy= c. ()224136xy= d. 22123xy+= 思路：設(shè)(),p x y，則可直接利用已知條件列出關(guān)于, x y的等式，化簡(jiǎn)即可 解：設(shè)(),p x y ()223331p lxdpaxy=+ ()223331xxy=+ ()()222331xxy=+ 2221626xxy= ()()22224246136xyxy= 答案：c 例 2：已知兩定點(diǎn)的坐標(biāo)分別為()()1,0 ,2,0ab，動(dòng)點(diǎn)滿足條件2mbamab= ，則動(dòng)點(diǎn)m的軌跡方程為_ 思路：通過(guò)作圖可得2mbamab= 等價(jià)的條件為直線,ma mb的斜率的關(guān)系，設(shè)mab=，則2mba=，則可通過(guò),ma mb的斜率關(guān)系得

5、到動(dòng)點(diǎn)m的方程 解：若m在x軸上方，則tan ,tan2mambkk= 221mambmakkk= ,12mambyykkxx=+ 代入可得： - 3 - / 10 22122211yyxxyx+= + ，化簡(jiǎn)可得： 2233xy=即2213yx = 若m在x軸下方，則tan ,tan2mambkk= =，同理可得：2213yx = 當(dāng)22=時(shí)，即mab為等腰直角三角形，()2,3m或()2, 3m滿足上述方程 所以當(dāng)x在一四象限時(shí)，軌跡方程為()22113yxx= 當(dāng)m在 線 段ab上 時(shí) ， 同 樣 滿 足20mbamab= =， 所 以 線 段ab的 方 程()012yx= 也為m的軌跡

6、方程 綜上所述：m的軌跡方程為()22113yxx=或()012yx= 答案：()22113yxx=或()012yx= 例 3：已知f是拋物線24xy=的焦點(diǎn)，p是該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則線段pf中點(diǎn)m的軌跡方程是（ ） a. 212xy= b. 21216xy= c. 222xy= d. 221xy= 思路：依題意可得()0,1f，(),m x y ，()00,p xy，則有0000221212xxxxyyyy=+=，因?yàn)?)00,p xy自身有軌跡方程，為：2004xy=，將00221xxyy=代入可得關(guān)于, x y的方程，即m的軌跡方程：()()2224 2121xyxy= 答案：d 例 4

7、：已知f是拋物線24yx=上的焦點(diǎn)，p是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)m滿足- 4 - / 10 2fpfm=，則m的軌跡方程是_ 思路：考慮設(shè)()()00,m x yp xy，由拋物線24yx=可得：()1,0f，且2004yx=，故考慮利用向量關(guān)系得到, x y與00,xy的關(guān)系，從而利用代入法將00,xy用, x y進(jìn)行表示，代入到2004yx=即可 解：由拋物線24yx=可得：()1,0f 設(shè)()()00,m x yp xy ()()001,1,fpxyfmxy= 2fpfm= ()00002112122xxxxyyyy= = p在24yx=上 2004yx=，將代入可得： ()()224

8、 21yx=，即221yx= 答案：221yx= 例 5：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線()44xtt= 與橢圓221169xy+=交于兩點(diǎn)()()1122,p t yp t y，且120,0yy，12,a a分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，則直線12ap與21a p的交點(diǎn)所在曲線方程為_ 思 路 ： 由 橢 圓 可 得 ：()()124,0 ,4,0aa， 從 而 可 確 定 線12ap與21a p的 方 程 。()()21122 1:4 ,:444yyapyxa p yxtt=+=+，若聯(lián)立方程解, x y，則形式較為復(fù)雜不易化簡(jiǎn)，觀察兩條直線方程的特點(diǎn)，可發(fā)現(xiàn)若兩邊相乘，有平方差的特點(diǎn)，且xt=

9、與橢圓相交，則12,p p關(guān) 于x軸對(duì) 稱 ，有21yy= 。所 以兩方 程 左右兩 邊 分別相 乘 可得：()22212416yyxt= ，再利用()11,p t y滿足橢圓方程，消去等式中的1, t y即可 解：由橢圓可知：()()124,0 ,4,0aa，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)(), x y。 xt=與橢圓相交于12,p p 12,p p關(guān)于x軸對(duì)稱 21yy= - 5 - / 10 考慮直線12ap與21a p的方程：由()()1214,0 ,ap ty可得：1 214a pykt= + ()112:44yapyxt=+ 同理可得：()12 1:44ya pyxt= 可得：()222121616y

10、yxt= 由()11,p t y在橢圓上可得：()222211911616916tyyt+= =，代入可得： ()22229 16161616tyxt= ，整理后可得： 221169xy= 答案：221169xy= 小煉有話說(shuō)：本題消元的方法比較特殊，是抓住了兩直線中某些地方具備平方差公式的特點(diǎn)，從而兩式相乘，再進(jìn)行代入消元。 例 6：若動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)()3,0a 且和定圓()22:34cxy+= 外切，則動(dòng)圓圓心p的軌跡方程是_ 思路：定圓的圓心為()3,0c，觀察到恰好與()3,0a 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以考慮p點(diǎn)軌跡是否為橢圓或雙曲線，設(shè)動(dòng)圓p的 半 徑 為r， 則 有par=， 由 兩 圓 外

11、 切 可 得2pcr=+，所以2pcpa=，即距離差為定值，所以判斷出p的軌跡為雙曲線的左支，則1,3ac=，解得2228bca=，所以軌跡方程為()22118yxx= 答案：()22118yxx= 小煉有話說(shuō)：本題從所給條件中的對(duì)稱定點(diǎn)出發(fā)，先作一個(gè)預(yù)判，從而便可去尋找符合定義- 6 - / 10 的要素，即線段的和或差。要注意本題中pcpa，所以軌跡為雙曲線的一支。 例 7：是圓()22125xy+=的圓心為c，()1,0a是圓內(nèi)一定點(diǎn)，q為圓周上任一點(diǎn)，線段aq的垂直平分線與cq的連線交于點(diǎn)m，則m的軌跡方程為（ ） a. 224412125xy= b. 224412125xy+= c.

12、 224412521xy= d. 224412521xy+= 思路：可得()1,0c ，發(fā)現(xiàn)剛好與()1,0a均在x軸上且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，從而聯(lián)想到雙曲線或 橢 圓 的 焦 點(diǎn) ， 觀 察 幾 何 性 質(zhì) 可 得 ： 由aq的 中 垂 線 可 得amqm=，從而考慮5cmamcmqmcqr+=+=，即m到,a c的距離和為定值 5，從而判斷出其軌跡為橢圓，可得525,12aac=，則222214bac=，所以橢圓方程為：224412521xy+= 答案：c 例 8：已知直線ykxm=+與拋物線22yx=交于,a b兩點(diǎn)，且oaoboaob+=，其中o為坐標(biāo)原點(diǎn)，若omab于m，則點(diǎn)m的軌跡方程為

13、（ ） a. 222xy+= b. ()2211xy+= c. ()2211xy+= d. ()2214xy+= 思路：先處理?xiàng)l件oaoboaob+=可得由,oa ob為鄰邊的平行四邊形對(duì)角線相等，所以該四邊形為矩形。即oaob，設(shè)()()1122,a x yb xy，即12120 x xy y+=，聯(lián)立直線與拋物線方程并利用韋達(dá)定理可得2mk= ，從而可得直線過(guò)定點(diǎn)()2,0，結(jié)合圖像性質(zhì)可得omab，則m的軌跡為以oc為直徑的圓，軌跡方程為()2211xy+= 解：oaoboaob+=，且,oaob oaob+為,oa ob為鄰邊的平行四邊形對(duì)角線 - 7 - / 10 該四邊形為矩形，即

14、oaob 設(shè)()()1122,a x yb xy，12120oa obx xy y=+= 聯(lián)立方程：22ykxmyx=+=，消去x可得：222202kyymkyym=+= 122my yk= 222121224y ymx xk= 2220mmkk+=，由0km 可得2mk= ():22lykxmkxkk x=+=，即直線過(guò)定點(diǎn)()2,0c omab即omcm m的軌跡為以oc為直徑的圓 則該圓的圓心為()1,0，半徑1r = 軌跡方程為()2211xy+= 答案：b 例 9：過(guò)點(diǎn)()6,0m 作圓22:6490c xyxy+=的割線，交圓c于,a b兩點(diǎn)，在線段ab上取一點(diǎn)q，使得112mam

15、bmq+=，求點(diǎn)q的軌跡 解：設(shè)點(diǎn)()()()1122,a x yb xyq x y，直線ab的斜率為k ()()()2221216 ,16 ,16makxmbkxmqkx=+=+=+ 由112mambmq+=可得：()()()22212112161616kxkxkx+=+ ()()()12112666xxx+=+ ()()()1212121226366xxx xxxx+=+ ，聯(lián)立方程： ()2266490yk xxyxy=+=，消去x可得： ()()()222212 6233 12830kxkkxkk+= ()()221212222 6233 1283,11kkkkxxx xkk+= =+

16、代入可得： - 8 - / 10 ()()()()2222222 623122163 12832 62363611kkkxkkkkkk+=+ 即()4182816kx+=+，而6mqykkx=+代入可得： ()41826816yxx+=+化簡(jiǎn)可得：92270 xy+=，因?yàn)閝在圓內(nèi) 所以點(diǎn)q的軌跡是直線92270 xy+=被圓截得的弦 例 10：如圖所示，點(diǎn)n在圓224xy+=上運(yùn)動(dòng)，dnx軸，點(diǎn)m在dn的延長(zhǎng)線上，且()0dmdn= （1）求點(diǎn)m的軌跡方恒，并求當(dāng)為何值時(shí)，m的軌跡表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 （2）當(dāng)12=時(shí)，在（1）中所得曲線記為c，已知直線:12xly+=，p是l上的動(dòng)點(diǎn)，射

17、線op（o為坐標(biāo)原點(diǎn)）交曲線c于點(diǎn)r，又點(diǎn)q在op上且滿足2oqopor=，求點(diǎn)q的軌跡方程 解 ： （ 1 ） 思 路 ：n自 身 有 軌 跡 方 程 ， 且 條 件 中 所 求 的 點(diǎn)m與 點(diǎn)n存 在 聯(lián) 系（dmdn=），所以考慮利用代入法求軌跡方程。設(shè)()()00,m x yn xy，然后利用向量關(guān)系找到m的坐標(biāo)與n坐標(biāo)的聯(lián)系001xxyy=，從而代入到n所在的方程便得到關(guān)于, x y的等式，即m的軌跡方程 設(shè)()()00,m x yn xy ()()00,0,dmydny= dmdn= 0yy= dnx軸 0 xx= 00001xxxxyyyy= - 9 - / 10 由n在224x

18、y+=上可知：22004xy+=，代入可得： 2224yx+=即222144xy+= 當(dāng)01時(shí)，m的軌跡表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 （2）思路：由（1）可知曲線方程為2214xy+=，從而題目中的點(diǎn),p r均有方程。設(shè)所求點(diǎn)(),q x y，則可考慮尋找q的坐標(biāo)與()()1122,p x yr xy之間的聯(lián)系。本題, ,o p q r共線是關(guān)鍵點(diǎn)，因?yàn)樵谶@條線上的點(diǎn)，其與o點(diǎn)距離的比值即為橫縱坐標(biāo)的比值。所以先從,p q入手，題目中沒有,op oq的比例，則不妨設(shè)optoq=，進(jìn)而得到(),q x y與()11,p x y的聯(lián)系：11xtxyty=，再尋找,q r的聯(lián)系，結(jié)合條件2oqopor=可知22222222oporxytoqxyoq=，從而用t即可表示出(),q x y與()22,r xy的聯(lián)系（而不用再設(shè)字母）：222222xtxyty=。所以可以用代入法分別將兩組關(guān)系代入至直線與橢圓方程，再消去t即可得到q的