高考大題專項(xiàng)練六　高考中的概率與統(tǒng)計(jì)

1、1 / 6 高考大題專項(xiàng)練六高考大題專項(xiàng)練六 高考中的概率與統(tǒng)計(jì)高考中的概率與統(tǒng)計(jì) 高考大題專項(xiàng)練第高考大題專項(xiàng)練第 12 頁(yè)頁(yè) 一一、非選擇題、非選擇題 1.(2020 山東,19)為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù),治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研,隨機(jī)抽查了 100天空氣中的 pm2.5 和 so2濃度(單位:g/m3),得下表: pm2.5 so2 0,50 (50,150 (150,475 0,35 32 18 4 (35,75 6 8 12 (75,115 3 7 10 (1)估計(jì)事件“該市一天空氣中 pm2.5濃度不超過(guò) 75,且 so2濃度不超過(guò) 150”的概率; (2)根據(jù)所給數(shù)

2、據(jù),完成下面的 22列聯(lián)表: pm2.5 so2 0,150 (150,475 0,75 (75,115 (3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 0.01的前提下認(rèn)為該市一天空氣中 pm2.5濃度與 so2濃度有關(guān)? 附:k2=(-)2(+)(+)(+)(+), p(k2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解:(1)根據(jù)抽查數(shù)據(jù),該市 100天空氣中 pm2.5濃度不超過(guò) 75,且 so2濃度不超過(guò) 150的天數(shù)為 32+18+6+8=64,因此,該市一天空氣中 pm2.5濃度不超過(guò) 75,且 so2濃度不超過(guò)150 的概率的估

3、計(jì)值為64100=0.64. (2)根據(jù)抽查數(shù)據(jù),可得 22列聯(lián)表: pm2.5 so2 0,150 (150,475 0,75 64 16 (75,115 10 10 (3)根據(jù)(2)的列聯(lián)表得 k2的觀測(cè)值 k=100(6410-1610)2802074267.484. 由于 7.4846.635,故在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 0.01的前提下認(rèn)為該市一天空氣中 pm2.5濃度與 so2濃度有關(guān). 2.(2020 全國(guó),理 18)某沙漠地區(qū)經(jīng)過(guò)治理,生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善,野生動(dòng)物數(shù)量有所增加,為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量,將其分成面積相近的 200個(gè)地塊,從這些地塊中用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取

4、20個(gè)作為樣區(qū),調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,20),其中2 / 6 xi和 yi分別表示第 i 個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位:公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量,并計(jì)算得 =120 xi=60, i=120yi=1 200, =120(xi-)2=80,=120(yi-)2=9 000, =120(xi-)(yi-)=800. (1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值(這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)); (2)求樣本(xi,yi)(i=1,2,20)的相關(guān)系數(shù)(精確到 0.01); (3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料,各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性

5、以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì),請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法.并說(shuō)明理由. 附:相關(guān)系數(shù) r=1(-)(-) =1(-)2=1(-)2,21.414. 解:(1)由已知得樣本平均數(shù) =120=120yi=60, 從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為 60200=12 000. (2)樣本(xi,yi)(i=1,2,20)的相關(guān)系數(shù) r=i=120(-)(-) =120(-)2=120(-)2=800809 000=2230.94. (3)分層抽樣:根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層,再對(duì) 200 個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣. 理由如下:由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)

6、的正相關(guān).由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大,從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大,采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性,提高了樣本的代表性,從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì). 3.已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)分別為 24,16,16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取 7 人,進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查. (1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取多少人? (2)若抽出的 7人中有 4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,現(xiàn)從這 7人中隨機(jī)抽取 3人做進(jìn)一步的身體檢查. 用 x表示抽取的 3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機(jī)變量 x的分布列與數(shù)學(xué)期望; 設(shè) a為事件“抽取

7、的 3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件 a發(fā)生的概率. 解:(1)由已知,甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)之比為 322,由于采用分層抽樣的方法從中抽取 7人,因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取 3人、2人、2 人. (2)隨機(jī)變量 x的所有可能取值為 0,1,2,3. p(x=k)=c4c33-c73(k=0,1,2,3). 所以,隨機(jī)變量 x的分布列為 x 0 1 2 3 3 / 6 p 135 1235 1835 435 隨機(jī)變量 x的數(shù)學(xué)期望 e(x)=0135+11235+21835+3435=127. 設(shè)事件 b為“抽取的 3人中,睡眠充足的員工有 1人,

8、睡眠不足的員工有 2人”;事件 c為“抽取的 3人中,睡眠充足的員工有 2人,睡眠不足的員工有 1人”,則 a=bc,且 b與 c互斥.由知,p(b)=p(x=2),p(c)=p(x=1),故 p(a)=p(bc)=p(x=2)+p(x=1)=67. 所以,事件 a發(fā)生的概率為67. 4.為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠,隨機(jī)選一只施以甲藥,另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后,再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多 4只時(shí),就停止試驗(yàn),并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更

9、有效.為了方便描述問(wèn)題,約定:對(duì)于每輪試驗(yàn),若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得 1 分,乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得 1分,甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得 0 分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為 和 ,一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為 x. (1)求 x的分布列; (2)若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開(kāi)始時(shí)都賦予 4分,pi(i=0,1,8)表示“甲藥的累計(jì)得分為 i 時(shí),最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率,則 p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,7),其中a=p(x=-1),b=p(x=0),c=p(x=1).假設(shè)

10、=0.5,=0.8. ()證明:pi+1-pi(i=0,1,2,7)為等比數(shù)列; ()求 p4,并根據(jù) p4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性. 解:(1)x的所有可能取值為-1,0,1. p(x=-1)=(1-), p(x=0)=+(1-)(1-), p(x=1)=(1-). 所以 x的分布列為 x -1 0 1 p (1-) +(1-)(1-) (1-) (2)()由(1)得 a=0.4,b=0.5,c=0.1. 因此 pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1, 故 0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1), 即 pi+1-pi=4(pi-pi-1). 又因?yàn)?p1-p0=p1

11、0, 所以pi+1-pi(i=0,1,2,7)為公比為 4,首項(xiàng)為 p1的等比數(shù)列. ()由()可得 p8=p8-p7+p7-p6+p1-p0+p0 =(p8-p7)+(p7-p6)+(p1-p0) 4 / 6 =48-13p1. 由于 p8=1,故 p1=348-1, 所以 p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=44-13p1=1257. p4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率.由計(jì)算結(jié)果可以看出,在甲藥治愈率為 0.5,乙藥治愈率為 0.8 時(shí),認(rèn)為甲藥更有效的概率為 p4=12570.003 9,此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小,說(shuō)明這種試驗(yàn)方案合理. 5.某公司為

12、確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi) x(單位:千元)對(duì)年銷售量 y(單位:t)和年利潤(rùn) z(單位:千元)的影響.對(duì)近 8 年的年宣傳費(fèi) xi和年銷售量yi(i=1,2,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值. x y w i=18(xi-x)2 i=18(wi-w)2 i=18(xi-x)(yi-y) i=18(wi-w)(yi-y) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中 wi=, =18=18wi. (1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx 與 y=c+dx哪一個(gè)適宜作為年銷售量 y 關(guān)于年宣傳費(fèi) x 的回歸方程類型?(給出判斷即

13、可,不必說(shuō)明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立 y 關(guān)于 x 的回歸方程; (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn) z 與 x,y 的關(guān)系為 z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題: 當(dāng)年宣傳費(fèi) x=49時(shí),年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少? 當(dāng)年宣傳費(fèi) x 為何值時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大? 附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),(un,vn),其回歸直線 v=+u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為=1(-)(-)=1(-)2,= . 解:(1)由散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+d適宜作為年銷售量 y 關(guān)于年宣傳費(fèi) x 的回歸方程類型. (2)令 w=,先建立 y 關(guān)于 w的線性回歸方

14、程. 因?yàn)?18(wi-w)(yi-y)i=18(-)2=108.81.6=68, 5 / 6 = w=563-686.8=100.6, 所以 y 關(guān)于 w的線性回歸方程為y=100.6+68w, 因此 y 關(guān)于 x 的回歸方程為=100.6+68. (3)由(2)知,當(dāng) x=49 時(shí),年銷售量 y 的預(yù)報(bào)值=100.6+6849=576.6, 年利潤(rùn) z 的預(yù)報(bào)值=576.60.2-49=66.32. 根據(jù)(2)的結(jié)果知,年利潤(rùn) z 的預(yù)報(bào)值 =0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12. 所以當(dāng) =13.62=6.8,即 x=46.24時(shí),取得最大值. 故當(dāng)年宣傳費(fèi)為 46

15、.24千元時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大. 6.為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取 16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布 n(,2). (1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記 x表示一天內(nèi)抽取的 16個(gè)零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件數(shù),求 p(x1)及 x的數(shù)學(xué)期望; (2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查. ()試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性; ()下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的 16

16、個(gè)零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計(jì)算得 =116=116xi=9.97,s=116i=116(-)2= 116( =1162-162)0.212,其中 xi為抽取的第 i 個(gè)零件的尺寸,i=1,2,16. 用樣本平均數(shù)作為 的估計(jì)值,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s 作為 的估計(jì)值,利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查?剔除(-3,+3)之外的數(shù)據(jù),用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì) 和(精確到 0.01). 附:若隨機(jī)變量 z服從正態(tài)分布 n(,2), 則

17、p(-3z+3)0.997 3. 6 / 6 0.997 3160.957 7,0.0080.09. 解:(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在(-3,+3)之內(nèi)的概率為 0.997 3,從而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率為 0.002 7, 故 xb(16,0.002 7). 因此 p(x1)=1-p(x=0)=1-0.997 3160.042 3. x的數(shù)學(xué)期望為 e(x)=160.002 7=0.043 2. (2)()如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有 0.002 7,一天內(nèi)抽取的 16 個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有 0.042 3,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查,可見(jiàn)上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程的方法是合理的.