高考數(shù)學一輪復習第2章 第7節(jié) 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) (2)

1、1 / 13 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 考試要求 1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運算中的作用. 2.理解對數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點，會畫底數(shù)為 2,10，12的對數(shù)函數(shù)的圖象. 3.體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型. 4.了解指數(shù)函數(shù) yax(a0，且 a1)與對數(shù)函數(shù) ylogax(a0，且 a1)互為反函數(shù) 1對數(shù)的概念 如果 axn(a0，且 a1)，那么 x 叫做以 a為底 n的對數(shù)，記作 xlogan，其中 a叫做對數(shù)的底數(shù)，n叫做真數(shù) 提醒：指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系 2對數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運算性質(zhì) (

2、1)對數(shù)的性質(zhì)： loga10；alogann；logaabb(a0，且 a1) (2)換底公式： logablogcblogca(a，c 均大于 0且不等于 1，b0) (3)對數(shù)的運算性質(zhì)： 如果 a0，且 a1，m0，n0，那么： loga(m n)logamlogan； logamnlogamlogan； 2 / 13 logamnnlogam(nr) 3對數(shù)函數(shù)的定義、圖象與性質(zhì) 定義 函數(shù) ylogax(a0且 a1)叫做對數(shù)函數(shù) 圖象 a1 0a1 性質(zhì) 定義域：(0，) 值域：r 當 x1時，y0，即過定點(1,0) 當 0 x1 時，y0； 當 x1 時，y0 當 0 x1時

3、，y0； 當 x1時，y0 在(0，)上為增函數(shù) 在(0，)上為減函數(shù) 4反函數(shù) 指數(shù)函數(shù) yax(a0，且 a1)與對數(shù)函數(shù) ylogax(a0，且 a1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線 yx 對稱 常用結(jié)論 1換底公式的三個重要結(jié)論 (1)logab1logba； (2)logambnnmlogab； (3)logab logbc logcdlogad. 2對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的關(guān)系 如圖，作直線 y1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標為相應(yīng)的底數(shù)，故 0cd1ab.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大 一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”) 3 / 13

4、 (1)函數(shù) ylog2(x1)是對數(shù)函數(shù)( ) (2)log2x22log2x.( ) (3)函數(shù) yln1x1x與 yln(1x)ln(1x)的定義域相同( ) (4)對數(shù)函數(shù) ylogax(a0 且 a1)的圖象過定點(1,0)，且過點(a,1)，1a，1 ，函數(shù)圖象不在第二、三象限( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 二、教材習題衍生 1(多選)(2020 山東臨沂期末)若 10a4,10b25，則下列結(jié)論正確的是 ( ) aab2 bba1 cab8(lg 2)2 dbalg 6 acd 由 10a4,10b25，得 alg 4，blg 25，則 ablg 4lg 25lg

5、1002，balg 25lg 4lg 254，又 lg254lg 6，balg 6，ab4lg 2lg 54lg 2lg 48(lg 2)2，故選 acd. 2已知 a2，blog213，clog12 13，則( ) aabc bacb ccba dcab d 因為 0a1，b0，clog12 13log231.所以 cab.故選 d. 3函數(shù) ylog23 (2x1)的定義域是_ 12，1 由 log23 (2x1)0，得 02x11. 12x1. 函數(shù) ylog23 (2x1)的定義域是12，1 . 4函數(shù) yloga(4x)1(a0，且 a1)的圖象恒過點_ (3,1) 當 4x1，即

6、x3時，yloga111. 4 / 13 所以函數(shù)的圖象恒過點(3,1) 考點一 對數(shù)式的化簡與求值 對數(shù)運算的一般思路 典例 1 (1)設(shè) 2a5bm，且1a1b2，則 m 等于( ) a. 10 b10 c20 d100 (2)(多選)下列各式或說法中正確的有( ) alg(lg 10)0 blg(ln e)0 c若 10lg x，則 x100 d若 log25x12，則 x 5 (3)(2020 全國卷)logistic 模型是常用數(shù)學模型之一，可應(yīng)用于流行病學領(lǐng)域，有學者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計確診病例數(shù) i(t)(t 的單位：天)的 logistic 模型：i(t)k1e

7、0.23(t53)，其中 k 為最大確診病例數(shù)，當 i(t*)0.95k時，標志著已初步遏制疫情，則 t*約為(ln 193)( ) a60 b63 c66 d69 5 / 13 (1)a (2)ab (3)c (1)由已知，得 alog2m，blog5m， 則1a1b1log2m1log5mlogm2logm5logm102. 解得 m 10.故選 a. (2)對于 a，因為 lg 101，lg 10，所以 lg(lg 10)lg 10，故 a正確； 對于 b，因為 ln e1，lg 10，所以 lg(ln e)lg 10，故 b正確； 對于 c，因為 10lg x，所以 x1010，故 c

8、錯誤； 對于 d，因為 log25x12，所以 25 x，所以 x5，故 d錯誤 故選 ab. (3)由題意可得，當 i(t*)0.95k時，k1e0.23(t*53)0.95k， 119e0.23(t*53)，ln 190.23(t*53)，t*5313，t*66，故選 c. 點評：對數(shù)運算中 logab1logba是常用的性質(zhì)之一 跟進訓練 1(2020 全國卷)設(shè) alog342，則 4a( ) a.116 b19 c.18 d16 b 法一：因為 alog342，所以 log34a2，則有 4a329，所以 4a14a19，故選 b. 法二：因為 alog342，所以alog342，所

9、以 log34a2，所以 4a 3213219，故選 b. 法三：因為 alog342，所以a21log34log43，所以 4a23，兩邊同時平方得 4a9，所以 4a14a19，故選 b. 6 / 13 2(2019 北京高考)在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述兩顆星的星等與亮度滿足 m2m152lg e1e2，其中星等為 mk的星的亮度為ek(k1,2)已知太陽的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為( ) a1010.1 b10.1 clg 10.1 d1010.1 a 由題意知，m126.7，m21.45，代入所給公式得1.45(26.7)

10、52lg e1e2，所以 lg e1e210.1， 所以e1e21010.1，故選 a. 考點二 對數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用 利用對數(shù)函數(shù)的圖象解決的兩類問題及技巧 (1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數(shù)形結(jié)合思想 (2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解 典例 2 (1)(多選)若函數(shù) f(x)ax2，g(x)loga|x|，其中 a0，且 a1，則函數(shù) f(x)，g(x)在同一坐標系中的大致圖象可能是( ) a b c d (2)當 0 x12時，4xlogax，則 a的取值范圍是

11、( ) 7 / 13 a0，22 b22，1 c(1， 2) d( 2，2) (1)ad (2)b (1)易知 g(x)loga|x|為偶函數(shù)當 0a1時，f(x)ax2單調(diào)遞減，g(x)loga|x|在(0，)上單調(diào)遞減，此時 a選項符合題意當 a1時，f(x)ax2單調(diào)遞增，g(x)loga|x|在(0，)上單調(diào)遞增，此時 d選項符合題意故選 ad. (2)構(gòu)造函數(shù) f(x)4x和 g(x)logax，當 a1時不滿足條件，當 0a1時，畫出兩個函數(shù)在0，12上的圖象，可知 f 12g12，即 2loga12，則 a22，所以 a的取值范圍為22，1 . 母題變遷 1將本例(2)中“4xl

12、ogax”變?yōu)椤?xlogax有解”，a 的取值范圍是_ 0，22 若方程 4xlogax 在0，12上有解，則函數(shù) y4x與函數(shù) ylogax的圖象在0，12上有交點 由圖象可知 0a1，loga122，解得 0a22，即 a的取值范圍為0，22. 2若將本例(2)變?yōu)椋寒?0 x14時， xlogax，則實數(shù) a 的取值范圍為_ 116，1 若 xlogax 在 x0，14上恒成立，則 0a1，且 y x的圖象在 ylogax圖象的下方，如圖所示， 由圖象知14loga14， 8 / 13 所以 0a1，a 14，解得116a1. 即實數(shù) a的取值范圍是116，1 . 跟進訓練 1.已知函

13、數(shù) yloga(xc)(a，c 為常數(shù)，其中 a0，a1)的圖象如圖，則下列結(jié)論成立的是( ) aa1，c1 ba1,0c1 c0a1，c1 d0a1,0c1 d 由對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及函數(shù)圖象的平移變換知 0a1,0c1. 2已知不等式 x2logax0對 x0，12恒成立，則實數(shù) a的取值范圍為_ 116，1 由 x2logax0得 x2logax，設(shè) f1(x)x2，f2(x)logax，要使 x0，12時，不等式 x2logax 恒成立，只需 f1(x)x2在0，12上的圖象在 f2(x)logax 圖象的下方即可當 a1時，顯然不成立； 當 0a1時，如圖所示 要使 x2logax

14、 在 x0，12上恒成立，需 f112f212，所以有122loga12，解得 a116， 所以116a1. 即實數(shù) a的取值范圍是116，1 . 考點三 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 比較對數(shù)值的大小 比較對數(shù)值大小的常見類型及解題方法 9 / 13 常見類型 解題方法 底數(shù)為同一常數(shù) 可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷 底數(shù)為同一字母 需對底數(shù)進行分類討論 底數(shù)不同，真數(shù)相同 可以先用換底公式化為同底后，再進行比較 底數(shù)與真數(shù)都不同 常借助 1,0等中間量進行比較 典例 31 (1)已知 alog3 72，b14，clog13 15，則 a，b，c 的大小關(guān)系為( ) aabc bbac ccba

15、 dcab (2)(2019 天津高考)已知 alog52，blog0.50.2，c0.50.2，則 a，b，c 的大小關(guān)系為( ) aacb babc cbca dcab (3)(2020 全國卷)設(shè) alog32，blog53，c23，則( ) aacb babc cbca dcab (1)d (2)a (3)a (1)clog13 15log35，log35log372log331， 即 ca1，又141401. cab，故選 d. (2)alog52log5512，blog0.50.2log0.50.51，c0.50.21212，0.50.21，acb，故選 a. (3)2332，23

16、 ，log32log33 23，ac. 3352，35 ，log53log55 23，bc，acb，故選 a. 點評：本例 t(1)和 t(3)主要使用了化為同底和中間量比較大小，其中常數(shù)化為同底，利用了性質(zhì) mlogaam，本例 t(2)主要使用中間量比較大小 10 / 13 解簡單對數(shù)不等式 求解對數(shù)不等式的兩種類型及方法 類型 方法 logaxlogab 借助 ylogax 的單調(diào)性求解，如果 a的取值不確定，需分 a1 與 0a1兩種情況討論 logaxb 需先將 b 化為以 a為底的對數(shù)式的形式，再借助 ylogax的單調(diào)性求解 典例 32 (1)若 loga341(a0 且 a1)

17、，則實數(shù) a的取值范圍是_ (2)若 loga(a21)loga2a0，則 a的取值范圍是_ (1)0，34(1，) (2)12，1 (1)當 0a1時，loga34logaa1，0a34； 當 a1時，loga34logaa1，a1. 實數(shù) a的取值范圍是0，34(1，) (2)由題意得 a0且 a1，故必有 a212a， 又 loga(a21)loga2a0，所以 0a1， 同時 2a1，所以 a12.綜上，a12，1 . 點評：在對數(shù)不等式中，真數(shù)大于 0是隱含條件，不能忘記！ 與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復合函數(shù)的單調(diào)性 求解與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復合函數(shù)單調(diào)性的步驟 一求 求出函數(shù)的定義域，所有問題都

18、必須在定義域內(nèi)討論 二判 判斷對數(shù)函數(shù)的底數(shù)與 1 的關(guān)系，分 a1與 0a1兩種情況 判斷內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性，運用復合函數(shù)“同增異減”原則判斷函數(shù)的單調(diào)性 11 / 13 典例 33 (1)(2020 新高考全國卷)已知函數(shù) f(x)lg(x24x5)在(a， )單調(diào)遞增，則 a 的取值范圍是( ) a(，1 b(，2 c2，) d5，) (2)設(shè)函數(shù) f(x)log13 (4x24ax3a)在(0,1)上是增函數(shù)，則 a的取值范圍是_ (1)d (2)2,4 (1)由 x24x50，得 x1或 x5，即函數(shù) f(x)的定義域為(，1)(5，)令 tx24x5，則 t(x2)29，所

19、以函數(shù) t在 (，1)上單調(diào)遞減，在(5，)上單調(diào)遞增，又函數(shù) ylg t 在(0，)上單調(diào)遞增，從而函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(5，)，由題意知(a，) (5，)， a5，故選 d. (2)令 t4x24ax3a，由 ylog13 t 在(0，)是減函數(shù)可得 t4x24ax3a 在(0,1)上是減函數(shù)，且 t0在(0,1)上恒成立， 又 t4x24ax3a4xa22a23a， a21，44a3a0，解得 2a4. 點評：已知 f(x)logag(x)在區(qū)間m，n上是增函數(shù)，對于這類問題，應(yīng)從兩個方面考慮：一是根據(jù) a與 1的關(guān)系確定 g(x)在m，n上的單調(diào)性，二是 g(x)0 在 xm，n時恒成立，此時只需 g(x)min0即可 跟進訓練 1已知 alog27，blog38，c0.30.2，則 a，b，c 的大小關(guān)系為( ) acba babc cbca dcab a alog27log242,1blog38log392，c0.30.21， c