高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題一 第2講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程

1、1 / 17 第第 2 講講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程 考情分析考情分析 1.基本初等函數(shù)的圖象、性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)，利用函數(shù)性質(zhì)比較大小是常見題型.2.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷及參數(shù)范圍是高考的熱點(diǎn)，常以壓軸題形式出現(xiàn) 考點(diǎn)一 基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) 核心提煉 1指數(shù)函數(shù) yax(a0，a1)與對數(shù)函數(shù) ylogax(a0，a1)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于 yx 對稱，它們的圖象和性質(zhì)分 0a1 兩種情況，著重關(guān)注兩函數(shù)圖象的異同 2冪函數(shù) yx的圖象和性質(zhì)，主要掌握 1,2,3，12，1五種情況 例 1 (1)已知 f(x)2x1，g(x)1x2，規(guī)定：當(dāng)|f(x)|g(

2、x)時(shí)，h(x)|f(x)|；當(dāng)|f(x)|g(x)時(shí)，h(x)g(x)，則 h(x)( ) a有最小值1，最大值 1 b有最大值 1，無最小值 c有最小值1，無最大值 d有最大值1，無最小值 答案 c 解析 畫出 y|f(x)|2x1|與 yg(x)1x2的圖象，它們交于 a，b 兩點(diǎn)由“規(guī)定”，在 a，b 兩側(cè)，|f(x)|g(x)，故 h(x)|f(x)|；在 a，b之間，|f(x)|g(x)，故 h(x)g(x)綜上可知，yh(x)的圖象是圖中的實(shí)線部分，因此 h(x)有最小值1，無最大值 2 / 17 (2)已知函數(shù) f(x)ex2(x0)與 g(x)ln(xa)2 的圖象上存在關(guān)于

3、 y 軸對稱的點(diǎn)，則 a 的取值范圍是( ) a.，1e b(，e) c.1e，e d.e，1e 答案 b 解析 由題意知，方程 f(x)g(x)0在(0，)上有解， 即 ex2ln(xa)20在(0，)上有解， 即函數(shù) yex與 yln(xa)的圖象在(0，)上有交點(diǎn) 函數(shù) yln(xa)可以看作由 yln x 左右平移得到， 當(dāng) a0時(shí)，兩函數(shù)有交點(diǎn)， 當(dāng) a0 時(shí)，向左平移，由圖可知，將函數(shù) yln x 的圖象向左平移到過點(diǎn)(0,1)時(shí)，兩函數(shù)的圖象在(0，)上不再有交點(diǎn)， 把(0,1)代入 yln(xa)，得 1ln a，即 ae，a1 和 0a1 時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)；當(dāng)0

4、aln e12，e10，故排除 c. (2)已知函數(shù) f(x)是定義在 r 上的奇函數(shù)，當(dāng) x0 時(shí)，f(x)12x，則不等式 f(x)0 時(shí)，f(x)12x0. 又 f(x)是定義在 r 上的奇函數(shù)， 所以 f(x)12的解集關(guān)于原點(diǎn)對稱，由 12x12得 2x1，則 f(x)0，若函數(shù) g(x)f(x)m 有兩個(gè)不同的零點(diǎn) x1，x2，則 x1x2等于( ) a2 b2 或 21e c2 或 3 d2或 3或 21e 答案 d 解析 當(dāng) x0時(shí)， f(x)(x1)ex， 當(dāng) x1 時(shí)，f(x)0， 故 f(x)在(，1)上單調(diào)遞減， 當(dāng)10， 故 f(x)在(1,0上單調(diào)遞增， 所以 x0

5、時(shí)，f(x)的最小值為 f(1)1e. 又當(dāng) x1時(shí)，f(x)3x，當(dāng) 0 x1 時(shí)，f(x)x1. 作出 f(x)的圖象，如圖所示因?yàn)?g(x)f(x)m 有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，所以方程 f(x)m 有兩個(gè)不同的根，等價(jià)于直線 ym 與 f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2， 由圖可知 1m2或 m0或 m1e. 若 1m2，則 x1x22； 若 m0，則 x1x23； 5 / 17 若 m1e，則 x1x2131e21e. (2)設(shè)函數(shù) f(x)是定義在 r 上的偶函數(shù)，且對任意的 xr，都有 f(x2)f(2x)，當(dāng) x2,0時(shí)，f(x)22x1，則關(guān)于 x 的方程

6、 f(x)log8(x2)0 在區(qū)間(2,6)上根的個(gè)數(shù)為( ) a1 b2 c3 d4 答案 c 解析 對于任意的 xr，都有 f(2x)f(2x)， f(x4)f2(x2)f2(x2)f(x)f(x)， 函數(shù) f(x)是一個(gè)周期函數(shù)，且 t4. 又當(dāng) x2,0時(shí)，f(x)22x1，且函數(shù) f(x)是定義在 r 上的偶函數(shù)， 且 f(6)1，則函數(shù) yf(x)與 ylog8(x2)在區(qū)間(2,6)上的圖象如圖所示， 根據(jù)圖象可得 yf(x)與 ylog8(x2)在區(qū)間(2,6)上有 3 個(gè)不同的交點(diǎn)，即 f(x)log8(x2)0在區(qū)間(2,6)上有 3個(gè)根 考向 2 求參數(shù)的值或取值范圍

7、例 3 (1)已知關(guān)于 x 的方程 9|x2|4 3|x2|a0 有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_ 答案 3,0) 解析 設(shè) t3|x2|(0t1)， 6 / 17 由題意知 at24t在(0,1上有解， 又 t24t(t2)24(0t1)， 3t24ta，x26x3，xa，若函數(shù) g(x)f(x)2x 恰有 2 個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍為_ 答案 3，1)3，) 解析 由題意得 g(x) x32x，xa，x26x32x，xa， 即 g(x) 3x，xa，x24x3，xa， 如圖所示， 因?yàn)?g(x)恰有兩個(gè)不同的零點(diǎn)， 即 g(x)的圖象與 x軸有兩個(gè)交點(diǎn) 若當(dāng) xa時(shí)，g(x

8、)x24x3有兩個(gè)零點(diǎn)， 則令 x24x30，解得 x3 或 x1， 則當(dāng) xa 時(shí)，g(x)3x沒有零點(diǎn)，所以 a3. 若當(dāng) xa時(shí)，g(x)x24x3有一個(gè)零點(diǎn)， 則當(dāng) xa 時(shí)，g(x)3x必有一個(gè)零點(diǎn)， 7 / 17 即3a0，1x，x0，則 yf(x)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ) a1 b3 c2 d4 答案 b 解析 作出函數(shù) f(x)與 g(x)的圖象如圖，由圖象可知兩個(gè)函數(shù)有 3 個(gè)不同的交點(diǎn)，所以函數(shù)yf(x)g(x)有 3個(gè)零點(diǎn) (2)(多選)已知函數(shù) f(x) x2a，x0 時(shí)，f(x)的圖象如圖所示， 8 / 17 當(dāng) f(f(x)0 時(shí)，f1(x)2a，f2(x)0，f

9、3(x)a.又 f(f(x)0有 8個(gè)不同的實(shí)根，故 f1(x) 2a有三個(gè)根，f2(x)0有三個(gè)根，f3(x)a 有兩個(gè)根，又 x2axxa22a24，所以2aa24且 a8 且 a0，綜上可知，a8. 專題強(qiáng)化練專題強(qiáng)化練 一、單項(xiàng)選擇題 1(2020 全國)設(shè) alog342，則 4a等于( ) a.116 b.19 c.18 d.16 答案 b 解析 方法一 因?yàn)?alog342， 所以 log34a2， 所以 4a329， 所以 4a14a19. 方法二 因?yàn)?alog342， 所以 a2log342log43log432log49， 所以 4a4log 9414log 949119

10、. 2函數(shù) f(x)ln x2x6的零點(diǎn)一定位于區(qū)間( ) a(1,2) b(2,3) c(3,4) d(4,5) 9 / 17 答案 b 解析 函數(shù) f(x)ln x2x6在其定義域上連續(xù)且單調(diào)， f(2)ln 2226ln 220， 故函數(shù) f(x)ln x2x6的零點(diǎn)在區(qū)間(2,3)上 3在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù) f(x)2ax 和 g(x)loga(x2)(a0 且 a1)的大致圖象可能為( ) 答案 a 解析 由題意知，當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù) f(x)2ax 為減函數(shù)若 0a1，則函數(shù)f(x)2ax 的零點(diǎn) x02a(0,2)，且函數(shù) g(x)loga(x2)在(2，)上為增函數(shù)故 a

11、正確 4(2020 廣東省揭陽三中模擬)已知 a，b，c滿足 4a6，b12log 4，c335，則( ) aabc bbca ccab dcb4，a1，b12log 42，c3351,0ccb. 5(2020 全國)logistic 模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)城有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù) i(t)(t 的單位：天)的 logistic 模型：i(t)k1e0.23(t53)，其中 k為最大確診病例數(shù)當(dāng) i(t*)0.95k 時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則 t*約為(ln 193)( ) a60 b63 c66 d69 答案 c 解析 因?yàn)?i(t)k1

12、e0.23(t53)， 所以當(dāng) i(t*)0.95k時(shí)，*0.23531 etk+0.95k， 即*0.235311 et+0.95， 即 1*0.2353et10.95， 即*0.2353et10.951， *0.2353et19， 0.23(t*53)ln 19， t*ln 190.235330.235366. 6(2020 泉州模擬)若函數(shù) yloga(x2ax1)有最小值，則 a 的取值范圍是( ) a1a2 b0a2，a1 c0a1，且 u(x)min0，a240， 1a2，a的取值范圍是 1a0，2x24x1，x0 (e 為自然對數(shù)的底數(shù))，若函數(shù) g(x)f(x)kx 恰好有兩個(gè)

13、零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) k 等于( ) a2e be ce d2e 答案 c 解析 g(x)f(x)kx0，即 f(x)kx，如圖所示，畫出函數(shù) yf(x)和 ykx 的圖象， 2x24x1kx， 即 2x2(4k)x10， 設(shè)方程的兩根為 x1，x2， 則 (4k)280，且 x1x212， 故 g(x)在 x0 時(shí)相切 當(dāng) x0時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(x0，kx0)，f(x)ex， f(x)ex，f(x0)0exk，0exkx0， 解得 x01，ke. 8已知函數(shù) f(x) a，x0，1e|x|1，x0，若關(guān)于 x 的方程 2f2(x)(2a3)f(x)3a0 有五個(gè)不12 / 17 同的解，則 a的取值范圍

14、是( ) a(1,2) b.32，2 c.1，32 d.1，3232，2 答案 d 解析 作出 f(x)1e|x|1，x0的圖象如圖所示 設(shè) tf(x)，則原方程化為 2t2(2a3)t3a0， 解得 t1a，t232. 由圖象可知，若關(guān)于 x 的方程 2f2(x)(2a3)f(x)3a0 有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，只有當(dāng)直線ya與函數(shù) yf(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)才滿足條件， 所以 1a0， 解得 a32，綜上，得 1a8lg22 dbalg 6 答案 acd 解析 由 10a4,10b25，得 alg 4，blg 25，則 ablg 4lg 25lg 1002，故 a正13 / 17 確；

15、balg 25lg 4lg 254lg 6且 lg 254 4lg 2 lg 48lg22，故 c 正確 10已知函數(shù) f(x)loga(x1)，g(x)loga(1x)，a0，a1，則( ) a函數(shù) f(x)g(x)的定義域?yàn)?1,1) b函數(shù) f(x)g(x)的圖象關(guān)于 y 軸對稱 c函數(shù) f(x)g(x)在定義域上有最小值 0 d函數(shù) f(x)g(x)在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù) 答案 ab 解析 f(x)loga(x1)，g(x)loga(1x)，a0，a1，f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)，由 x10 且 1x0 得1x1，故 a 對；由 f(x)g(x)loga(x1

16、)loga(1x)f(x)g(x)，得函數(shù) f(x)g(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于 y軸對稱，b對；1x1，f(x)g(x)loga(1x2)，y1x2在0,1)上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，當(dāng) 0a1 時(shí)，函數(shù) f(x)g(x)在0,1)上單調(diào)遞減，無最小值，故 c 錯(cuò)；f(x)g(x)loga(x1)loga(1x)，當(dāng) 0a1 時(shí)，f(x)loga(x1)在(0,1)上單調(diào)遞增，g(x)loga(1x)在(0,1)上單調(diào)遞減，函數(shù) f(x)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，故 d錯(cuò) 11(2020 淄博模擬)已知函數(shù) yf(x)是 r 上的奇函數(shù)，對于任意 xr，都有 f(x4)f(x

17、)f(2)成立當(dāng) x0,2)時(shí)，f(x)2x1.給出下列結(jié)論，其中正確的是( ) af(2)0 b點(diǎn)(4,0)是函數(shù) yf(x)圖象的一個(gè)對稱中心 c函數(shù) yf(x)在區(qū)間6，2上單調(diào)遞增 d函數(shù) yf(x)在區(qū)間6,6上有 3 個(gè)零點(diǎn) 答案 ab 解析 對于 a，因?yàn)?f(x)為奇函數(shù)且對任意 xr，都有 f(x4)f(x)f(2)，令 x2，則14 / 17 f(2)f(2)f(2)0，故 a 正確；對于 b，由 a 知，f(2)0，則 f(x4)f(x)，則 4 為 f(x)的一個(gè)周期，因?yàn)?f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)(0,0)成中心對稱，則(4,0)是函數(shù) f(x)圖象的一個(gè)對稱中心，故

18、b 正確；對于 c，因?yàn)?f(6)0，f(5)f(54)f(1)f(1)1，6f(5)，所以 f(x)在區(qū)間6，2上不是單調(diào)遞增的，故 c 錯(cuò)誤；對于 d，因?yàn)?f(0)0，f(2)0，所以 f(2)0，又 4 為 f(x)的一個(gè)周期，所以 f(4)0，f(6)0，f(4)0， f(6)0，所以函數(shù) yf(x)在區(qū)間6,6上有 7個(gè)零點(diǎn)，故 d 錯(cuò)誤 12對于函數(shù) f(x) sin x，x0，2，12f(x2)，x(2，)，則下列結(jié)論正確的是( ) a任取 x1，x22，)，都有|f(x1)f(x2)|1 b函數(shù) yf(x)在4,5上單調(diào)遞增 c函數(shù) yf(x)ln(x1)有 3個(gè)零點(diǎn) d若關(guān)于 x的方程 f(x)m(m0)恰有 3個(gè)不同的實(shí)根 x1，x2，x3，則 x1x2x3132 答案 acd 解析 f(x) sin x，x0，2，12f(x2)，x(2，)的圖象如圖所示， 當(dāng) x2，)時(shí)，f(x)的最大值為12，最小值為12，任取 x1，x22， )，都有|f(x1)f(x2)| 1 恒成立，故 a 正確；函數(shù) yf(x)在4,5上的單調(diào)性和在0,1上的單調(diào)性相同，則函數(shù) yf(x)在4,5上不單調(diào)，故 b 錯(cuò)誤；作出 yln(x1)的圖象，結(jié)合圖象，易知 yln(x1)的圖象與 f(x)的圖象有 3個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)